Bài giảng Giải tích I PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. NGUYỄN XN THẢO

BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH I
CÁC NHĨM NGÀNH 1, 2 VÀ 3

Hà Nội - 2018


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



 “Non s«ng ViƯt Nam cã trở nên t-ơi đẹp
hay không
Dân tộc Việt Nam có b-ớc tới đài vinh
quang để sánh vai với các c-ờng quốc năm
châu đ-ợc hay không
Chính là nhờ ở một phần lớn ở công học tập
của các em
9. 1945. H Chí Minh


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



LỜI NÓI ĐẦU
Để tạo điều kiện học tốt trong q trình học theo học chế tín chỉ, bài
giảng Giải tích 1 cho các nhóm ngành 1, 2 và 3 được viết trên cơ sở đề

cương Giải tích 1 của Bộ mơn Tốn cơ bản cho các em sinh viên Đại học
Bách Khoa Hà Nội (có kèm theo đề cương các nhóm ngành). Bài giảng chứa
đựng đầy đủ các kiến thức cơ bản, các dạng toán quan trọng và có minh hoạ
bằng các đề thi cuối kỳ từ K50 đến nay và bài giải mẫu. Các bài tập phong
phú về dạng và đều có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho các em
sinh viên tự học tốt. Do khối lượng bài giảng có hạn, nên không thể đưa vào
lời giải của tất cả các ví dụ cũng như các đề thi của các khóa trước, mà chỉ
dẫn ra lời giải của một số dạng toán tiêu biểu. Những lời giải thú vị sẽ được
thực hiện trên lớp. Vì vậy cuốn bài giảng này khơng đặt mục đích thay thế bài
giảng lý thuyết trên lớp. Đây là tài liệu có ích cho các em sinh viên muốn đạt
kết quả tốt môn học này.

Ghi chú. Bài giảng này nên phơ tơ một mặt, cịn một mặt để sinh viên ghi chép


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



MỤC LỤC
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
Bài 1. Hàm số, dãy số...........................................................................................1
Bài 2. Giới hạn, liên tục ........................................................................................7
Bài 3. Đạo hàm và vi phân ................................................................................ 16
Bài 4. Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí về hàm khả vi .............................. 22
Bài 5. Định lí về hàm khả vi và ứng dụng ......................................................... 26
Bài 6. Khảo sát hàm số...................................................................................... 33
CHƯƠNG II. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
Bài 7. Tích phân bất định................................................................................... 37
Bài 8. Tích phân xác định .................................................................................. 41

Bài 9. Tích phân xác định, tích phân suy rộng ................................................. 46
Bài 10. Tích phân suy rộng................................................................................ 53
Bài 11. Ứng dụng của tích phân xác định ........................................................ 59
CHƯƠNG III. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 12. Hàm nhiều biến ..................................................................................... 65
Bài 13. Đạo hàm riêng và vi phân ..................................................................... 71
Bài 14. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, cực trị .......................................... 76
Bài 15. Cực trị có điều kiện ............................................................................... 83
Bài 16. Tích phân kép (Nhóm ngành 3) ............................................................ 86
Tài liệu học tập ................................................................................................... 94
Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ năm học 2016-2017-2018....................................... 95


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN

BÀI 1
(§1.1  §1.5)
 Tổng quan
 Phương pháp học
§1.1 Mở đầu :Các tập hợp số

,

,

,

 Đặt vấn đề
I. Sơ lược về các yếu tố logic
1. Điều kiện cần và đủ
PQ
PQ
2. Mệnh đề tương đương P  Q
3. Chứng minh logic
a) Phương pháp bắc cầu: (P  Q, Q  R)  (P  R)
b) Phương pháp phủ định: (P  Q)  ( Q  P )
c) Phương pháp chỉ ra phản ví dụ
4. Phương pháp quy nạp. Cần chứng minh mệnh đề T(n) đúng  n 
Giả sử có +) T(1) đúng
+) T(k) đúng  T(k + 1) đúng, k 
Khi đó T(n) đúng  n 

.

.
2

 n  n  1 
Ví dụ. 1 + 2 + ... + n = 
 ,n


2
3

3

3

.

II. Các tập hợp số
1. Sự cần thiết mở rộng tập hợp số





2. Hệ tiên đề của tập hợp số thực
a)

(+, .): a, b, c 

có a + b 

, a.b 

giao hốn, kết hợp
b)  a, b 

 ! x 

c)  a, b 

, a  0  ! x 

d)  a, b 

 a  b hoặc b  a

: a + x = b.
: a.x = b.

1



.


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo

quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu.
e) Tiên đề supremum
A

, A bị chặn trên đều có supremum 

A

, A bị chặn dưới đều có infimum 

Chú ý
Từ trên nhận được các tính chất đã biết ở phổ thơng, chẳng hạn
 T/c Archimede:  a, b 



trù mật trong

,a>0n

:  a, b 

: na > b.

,a
: a < r < b.

§ 1.2. Mở đầu :TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CÁC TÍNH CHẤT
 Đặt vấn đề
a,
1. Định nghĩa. a  
a,

a0
a0

2. Tính chất
a) |x| < a, a > 0  a < x < a.
b) |x| > b, b > 0  x > b hoặc x < b.
c) |a + b|  |a| + |b|
d) |ab| = |a||b|
e)

a a
 ,b0
b b
§ 1.3 HÀM SỐ

 Đặt vấn đề
1. Định nghĩa. X 

, tương ứng f: X 

là hàm số nếu thoả mãn:

+) x  X  f(x) 
+) x1 = x2  f(x1) = f(x2)
Khi đó X là tập xác định, cịn {f(x), x  X} là tập giá trị.
Ví dụ 1. Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc
ban đầu là 128ft/s. Tên lửa này chuyển động lên hoặc xuống
theo đường thẳng. Bằng thực nghiệm, độ cao của tên lửa
được cho bởi cơng thức f(t) = 128t  16t2
Ví dụ 2. x  x 2  y 2  1

2


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo
Ví dụ 3. Tìm tập xác định y 


x
cos  x

Ví dụ 4. a) Tìm tập giá trị y  sin x  cos x
b) (K59) Tìm tập xác định và tập giá trị y  lg(1 2sinx) .
7

( (   k 2 ;
 k 2 );( ;lg3) )
2
6
c) (K60) Tìm tập xác định y  arcsin

2x
.
1 x

1
3

(   x  1)

1
Ví dụ 5. Tìm f(x) biết f    x  1  x 2 , x > 0.
x
2. Một số khái niệm

a) Đồ thị của hàm y = f(x) là {(x, f(x)), x  TXĐ}
b) y = f(x) chẵn   x  MXĐ có f(x) = f(x)
Ví dụ 1. y  3 1  x   3 1  x 
c) y = f(x) lẻ   x  MXĐ có f(x) = f(x)
Ví dụ 2. a) y = ax  ax, a > 0.

b) (K59) y  sinx  cos2 x . (không chẵn, không lẻ)
d) Hàm y = f(x) tuần hoàn   T  0: f(x + T) = f(x),  x  TXĐ.
Số T > 0 bé nhất để f(x + T) = f(x),  x được gọi là chu kì.
Ví dụ 3. y  tan x
đ) Hàm hợp: y = f(x), x = (t), có hàm hợp y = f   f((t))
e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = (y)


+) (f )(y) = y,  y  Y
+) (  f)(x) = x,  x  X

Hàm ngược của hàm y=f(x) thường được ký hiệu là y  f 1( x )
Ví dụ 4. a) y  1  x 2 với 1  x  0, có x   1  y 2 , y  [0 ; 1].
b) (K59) f ( x )  2 x  2 x , trên (,0] .
x  x2  4
: [2, )  ( ,0] ).
( y  log2
2

3


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo


§ 1.4. HÀM SỐ SƠ CẤP

1. Định nghĩa. Các hàm số sơ cấp cơ bản là x, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx,
và các hàm lượng giác ngược.
2. Các hàm số sơ cấp cơ bản

a) y = x, TXĐ: phụ thuộc  , đồ thị  (1 ; 1),   .
b) y = ax, 0 < a  1, TXĐ:

, TGT: y > 0, đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi a < 1
ax + y =ax ay , ax  y = ax / a y

c) y = logax, 0 < a  1, TXĐ: x > 0, TGT: , đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi a < 1
x
logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x|  loga|y|, logax =  loga|x|;
y
y = logax có hàm ngược là x = ay.
d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
e) Các hàm lượng giác ngược
  
+) y = arcsinx: [1 ; 1]    ;  là hàm ngược của hàm y = sin x
 2 2
+) y = arccosx: [1 ; 1]  [0 ; ] là hàm ngược của hàm y = cosx
  
+) y = arctanx: ( ; )    ;  là hàm ngược của hàm y = tan x
 2 2
+) y = arccotx : ( ; )  (0 ; ) là hàm ngược của hàm y = cotx
f) Các hàm hyperbolic
e x  e x
+) y = sinhx=
2
e x  e x
+) y = coshx=
2
sinhx


+) y = tanhx=
cosh x

+) y = cothx=

là hàm sin-hyperbolic của x
là hàm cosin-hyperbolic của x
e x  e x
e x  e x
e x  e x

là hàm tan-hyperbolic của x

coshx

là hàm cotan-hyperbolic của x
sinh x e x  e  x

Các hàm hyperbolic có một số tính chất tương tự các hàm lượng giác, cụ thể :
+) cosh2 x  sinh2 x  1
+) cosh2x  2cosh2 x  1  2sinh2 x  1
1
1
+) coth2 x  1 
+) 1  tanh2 x 
2
cosh x
sinh2 x
1
+) cosh2x  cosh2 x  sinh2 x

+) coth2 x  1 
sinh2 x
+) sinh( x  y )  sinhxcosh y  sinh y cosh x
+) sinh2x  2sinh x cosh x
4


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
+) cosh( x  y )  coshxcosh y  sinh x sinh y
t anhx  tanh y
+) tanh( x  y ) 
1  tanh x tanh y


+) tanh2x 

2t anhx
1  tanh2 x

3. Hàm số sơ cấp
Định nghĩa. Tạo nên từ các hàm số sơ cấp cơ bản bởi số hữu hạn các phép
tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp và các hằng số
Ví dụ 1. y  3 x+sinx
Ví dụ 2. y = |x|
x



Ví dụ 3. y  sin t 2dt .
0

§ 1.5. DÃY SỐ
 Đặt vấn đề
1. Định nghĩa. x1, x2, ..., xn, ..., xi  .
2. Giới hạn.
a) Định nghĩa
lim xn  a, a 

n 

   > 0, bé tuỳ ý,  N( ):  n > N( ) thì có |xn  a| <  .

Định nghĩa.
Khi lim xn     M > 0, lớn tuỳ ý,  N:  n > N có |xn| > M, ta nói dãy số
n 

phân kì

b) Tính chất
1) lim xn  a , a > p (a < p)  N: n > N có xn > p (xn < p)
n 

2) lim xn  a , xn  p (xn  p)  a  p (a  p)
n 

3) lim xn  a , lim xn  b  a = b.
n 

n 

4) lim xn  a  M > 0: |xn|  M, n.
n 

c) Phép tốn
Có lim xn  a , lim y n  b , khi đó ta có
n 

n 

xn a
 , b  0, yn  0,  n.
n  y n
b

lim  xn  y n   a  b ; lim  xn y n   ab ; lim

n 

n 

5


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
d) Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn



1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn.  dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn trên (dưới)
 có giới hạn.

2) Tiêu chuẩn kẹp. Có xn  yn  zn, lim xn  a  lim zn  lim y n  a .
n 

n

n 

3) Tiêu chuẩn Cauchy.  lim xn  a    > 0, N( ): m, n > N có |xm  xn| <  .
n 

Ví dụ 1. Cho dãy xn: x1  2, xn 1  2  xn . Chứng minh rằng {xn} hội tụ và tìm
giới hạn.
Ví dụ 2. Cho dãy xn: x1  0, xn 1 
tìm giới hạn.

1
1 
xn 
. Chứng minh rằng {xn} hội tụ và

xn 
2

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

6


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo

GIẢI TÍCH I
BÀI 2.
(§1.6 - §1.8)
§1.6. Giới hạn hàm số
 Đặt vấn đề
a) lim 2 x  ?
x 1

1
?
x 0 x

b) lim

1
?
x  x

c) lim

I. Định nghĩa
 ĐN1. x0 

là điểm tụ của X 

 (U ( xo ) \ xo )  X   ,   > 0.

 ĐN2. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo

lim f  x   a   (xn)  X, xn  x0, xn  x0  f(xn)  a.

x  x0

 ĐN3. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo
lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,   ( ) > 0: 0 < |x  x0| <  ( )  |f(x)  a| <  .

x  x0

Chú ý. ĐN2  ĐN3.
Ví dụ 1. lim  3x  2

Ví dụ 2. lim cos
x 0

x 2

1
x

II. Tính chất và phép tốn
1) Tính chất
a) lim f  x   a,

lim f  x   b  a = b

x  x0

x  x0

b) lim f  x   a  lim  f  x   a   0
x  x0

x  x0

c) f(x) = c  lim f  x   c
x  x0

d) f(x)  h(x)  g(x), x  U 0  x0  ; lim f  x   a  lim g  x   lim h  x   a
x  x0

x  x0

x  x0

e) lim f  x   a , f(x)  c, x  U 0  x0  \ x0   a  c
x  x0

f) lim f  x   a , a > p  f(x) > p, x  U 0  x0  \ x0 
x  x0

2. Phép toán
a) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x   g  x    a  b
x  x0

x  x0

x  x0

f x a

 , (b  0)
x  x0 g  x 
b

b) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x  .g  x    a.b và lim
x  x0

x  x0

x  x0

7


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

3. Khử dạng vô định
a) Các dạng vô định



0 
;
; 0. ;    ; 1 ; 00 ; 0
0 

b) Khử dạng vô định. Sử dụng các phép biến đổi đại số và các giới hạn đặc biệt
x

sin x

1

lim
 1 ; lim  1    e
x 0 x
x  
x

Ví dụ 1. lim

x 0

x4 2
x

 x  2
Ví dụ 3. lim 

x 1 x  1 

Ví dụ 2. lim  2  x  tan
x 2

x
4

2 x 1

cot2 x

Ví dụ 4. a)(K53) lim  cos x 
x 0

x

b)(K59) lim  1  cos 
x 0 
3

(e



1
2)
1
x

tan x

 1  sinx
c)(K59) lim 

x 0  1  2sin x 

(1)

1  4x 1 2
.( )
d)(K62) 1) lim

x 0 ln(1  3x)
3

2) lim
 ln(e  2x) 
x 0

1
sinx

.

( e3 )
2
e
(e )

III. Giới hạn hàm hợp, một phía, vơ cực

1. Giới hạn hàm hợp. lim u  x   u0 , lim f  u   a  lim f  u  x    a
x  x0

x  x0

u u0

2. Giới hạn một phía.
Định nghĩa 4.
lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,   ( ) > 0: 0 < x  x0 <  ( )  |f(x)  a| <  .

x  x0

Định nghĩa 5.
lim f  x   b    > 0 bé tuỳ ý,   ( ) > 0: 0 < x0  x <  ( )  |f(x)  b| <  .

x  x0

Mối liên hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn
lim f  x   a  lim f  x   a  lim f  x 
x  x0

x  x0

x x0

3. Giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực
lim f  x   a   (xn)   có lim f  xn   a
Định nghĩa 6.
n 

x 

Định nghĩa 7. lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,  N( ) > 0: |x| > N( )  |f(x)  a| < .
x 

Chú ý. ĐN6  ĐN7.
8


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Ví dụ 1. lim

x2  4  x

x 

Ví dụ 3. lim

x 1



5

Ví dụ 2. lim

x 

x  x  2x
4



x 1 x 

1
1

x x

Ví dụ 4(K52) 1. lim  sin x  sin 1  x 2 
x 

(0)

2. lim  cos x  1  cos x  1

(0)

x 

x2

2

[ 3 x3  3x 2  x2  2x ]. (2)
Ví dụ 5(K58) a) lim  cos  ( e2 )
b)(K60) xlim

x  
x
Định nghĩa 8.
lim f  x      (xn)   có lim f  xn   
n 

x 

Định nghĩa 9
lim f  x      N > 0 lớn tuỳ ý,   (N) > 0: |x  x0| <  (N)  |f(x)| > N.

x  x0

Khi đó ta bảo f ( x ) khơng có giới hạn khi x  x0 .

 Đặt vấn đề

§1.7. Vơ cùng bé, vơ cùng lớn

I. Vô cùng bé
I. Định nghĩa.  (x) là vô cùng bé (VCB), x  x0  lim   x   0 .
x  x0

2. Tính chất.
a)  (x) là VCB, x  x0, c = const  c (x) là VCB khi x  x0.
b) i(x), i  1, n là VCB khi x  x0 

n

  i  x  là VCB khi x  x

0

i 1

c)  (x) là VCB khi x  x0, f(x) bị chặn trong U 0 (x0)   (x)f(x) là VCB, x  x0
3. Liên hệ giữa VCB và giới hạn
Định lí. lim f ( x )  L  f(x)  L là VCB khi x  x0 (hay f(x) = L + (x),  (x) là VCB)
x x0

4. So sánh VCB. Giả sử  (x), (x) là các VCB khi x  x0.
 x
1
Định nghĩa.  (x)   (x)  lim
x  x0   x 

 x
 a
x  x0   x 

Định nghĩa. (x) là VCB cùng cấp với VCB (x) khi x  x0  lim

9

\{0}


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



 x
0
x  x0   x 
Ví dụ 1.
a) sinx  x, ex  1  x, ln(1 + x)  x, (1 + x)  1  x , arcsinx  x ,
arctanx  x khi x  0
1
ex
b)(K55) Cho   x  

,   x   e  1  x  x .
2
Chứng minh rằng   x    x  khi x  0.
Định nghĩa.  (x) là VCB cấp cao hơn VCB (x) khi x  x0  lim

1

c)(K55) Cho   x   e  1  2x  2 x ,   x   ex .
Chứng minh rằng   x    x  khi x  0.
d)(K59) So sánh hai VCB sau trong quá trình
2

  x   tan( x )  e( x 1)  1,   x  1 c os x  lnx .
5. Ứng dụng tìm giới hạn

x 1

(2 VCB cùng bậc)

 x
 x
 lim
x  x0   x 
x  x0   x 

a)  (x)    x  , (x)    x  , x  x0  lim

 e x  1 tan x

1  3x 4 1  4x  1

Ví dụ 2. lim
x 0
x 0
1 x  1
sin2 x
b) (x) là VCB cấp cao hơn  (x) khi x  x0   (x) +  (x)   (x)

Ví dụ 4. lim

Ví dụ 3(K53) lim

3

( 4)

x  sin x

x 0

x3

c) Quy tắc ngắt bỏ VCB :  (x), (x) là các VCB khi x  x0;

 x 

m

  k  x  ,  (x) là VCB có cấp thấp nhất;
1

k 1

 x 

n

 k  x  ,  (x) là VCB có cấp thấp nhất
1

 x
 x
 lim 1
x  x0   x 
x  x0 1  x 

 lim

k 1

Ví dụ 5. a) lim

x 0

b)(K56) 1) lim

x  sin3 x  tan4 x
4x  x 4  5x8
x 2 ln(1  4 x )

x 0 2 x 3

3) lim

x 0

x 3 (e2 x  1)

2) lim

(2)

 3 tan x 4

x 0

4) lim

(2)

x 4  2x 5

c)(K61) 1) Tìm a, để lim

x 0

ln(cos3x )
ax

x 0

1

10

x ln(1  3 x 2 )
x 3  2sin4 x
x 3 (e3 x  1)
x 4  3x5

3
( a   ,  2 )
2

(3)
(3)

:


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

2)


1
(e5 )

1
x x 5
lim ( )

x 5 5

II. Vô cùng lớn
1. Định nghĩa. f(x) xác định U 0 (x0) (có thể trừ x0), f(x) là vơ cùng lớn (VCL) khi x
 x0  lim f  x   
x  x0

Chú ý. Hàm là VCL  khơng bị chặn


Ví dụ 6. f(x) = x sinx là không bị chặn nhưng không phải là VCL.
2. Liên hệ giữa VCB và VCL
a) f(x) là VCB, x  x0 và f(x)  0 

1
là VCL khi x  x0.
f x

1
là VCB khi x  x0.
f x
3. So sánh các VCL. Giả sử A(x), B(x) là các VCL khi x  x0,
Ax

a) A(x) là VCL cấp cao hơn VCL B(x), x  x0  lim
x  x0 B  x 
Ax
a 0
b) A(x), B(x) là các VCL cùng cấp, x  x0  lim
x  x0 B  x 

b) f(x) là VCL, x  x0 

Ax
 1.
x  x0 B  x 

c) A(x), B(x) là các VCL tương đương, x  x0  lim
4. Ứng dụng tìm giới hạn

a) Cho các VCL tương đương A(x)  A  x  , B(x)  B  x  ,
Ax
Ax
 lim
x  x0  lim
x  x0 B  x 
x  x0 B  x 
b) Quy tắc ngắt bỏ VCL : Cho A(x), B(x) là các VCL khi x  x0;
Ax 
Bx 

m

 Ak  x  , A (x) là VCL có cấp cao nhất;
1

k 1
n

 Bk  x  , B (x) là VCL có cấp cao nhất

1

k 1

A x
Ax
 lim 1
x  x0 B  x 
x  x0 B1  x 

 lim

11


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



9x  x  x  2
4

Ví dụ 7. lim

3

 3x 2  x  1
Ví dụ 8. Tính giới hạn
x  2009 x 4

cot( x 2 1)

a)(K54) 1. lim(2  x )
x 1

3. lim

(1  4 x )ln(1  2 x )

(e





9
2009

1
2)

cot(1 x 2 )

2. lim (2  x )
x 1

( 2ln 4 )

4. lim

(1  9 x )ln(1  3 x )

3x  4x
x  2x
b)(K58) 1) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x   :
1
1
1
 ( x )  ln(1  )sin
và  (x)  2 , (a=1)
x
x
ax
2) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x  0 :
2

x 0

3

x 0

 ( x )  ln(1  ax 2 ) và  (x)  ( 1  x 2  1) ,
3) lim 

1  t anx  1  sinx
ln(1  x 3 )

x 0

c)(K60) lim (e

x

x 0

,

1
 3 x ) sinx

(

2

3

1
2
(e )

( 2ln3 )

(a=-0,5)

1
)
4

( e4 )

d)(K61) Tìm a, để f ( x )  ln(3x  5x ) và g ( x )  ax  là hai VCL tương đươpng
khi x  
( a  ln5,  1)

§ 1.8. HÀM SỐ LIÊN TỤC
 Đặt vấn đề
I. Hàm liên tục
1. Định nghĩa. f(x) liên tục tại x0 

+) f(x) xác định trên U 0 (x0)
+) lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f  x   0 )
x x0

f(x) liên tục trái tại x0 

x 0

+) f(x) xác định trên U 0 (x0)  {x < x0}
+) lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0

Tương tự ta có ĐN liên tục phải.
Định nghĩa. f(x) liên tục trên (a ; b)  f(x) liên tục tại  x  (a ; b)
f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) liên tục trong (a ; b), liên tục trái tại b và liên tục phải tại a.

12


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo

1

x sin ,

Ví dụ 1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0: f  x   
x
a,

x0
x 0

Ví dụ 2.(K51)
1

sin

x  1,

a) Tìm a để y   1
 2 x 1  1
a,


x 1

liên tục tại x = 1.

(  a)

x 1

1

sin

x  1 , x  1

b) Tìm a để y   1
liên tục tại x = 1.
 2 x 1  1
a,
x  1

Ví dụ 3. a)(K55)
a sin  arccot x  , x  0
liên tục tại x = 0.
1. Tìm a để y  
2

cosln x  cosln x  x , x  0
a cos  arctan x  , x  0
2. Tìm a để y  
2
sinln  x  x   sinln x, x  0
 ln(1  x )  sinx
x0


b)(K59) 1. Tìm a để y  
x sin x

a
x 0

1  cos2x

2. Xét tính liên tục f ( x )   ln(1  x 2 )

0


x0

.

(  a)

(a = 0)

liên tục tại x = 0.

(a = 0).

liên tục tại x = 0.

1
(  ).
2

(chỉ liên tục tại x  0 ).

x 0

x

nêu | x | 1
 cos
.
2
c)(K60) Xét tính liên tục f ( x)  

| x  1| nêu | x | 1

d)(K62) Tìm a để hàm số sau liên tục trên

( \{  1} ).

x

nêu | x | 1
 cos
.
2
: f ( x)  

| x  1| nêu | x | 1

(-1 và 4).

2. Tính liên tục của các hàm sơ cấp. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các
khoảng mà hàm số đó xác định.

13


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



3. Phép toán. Cho f(x), g(x) liên tục tại x0  f(x)  g(x) liên tục tại x0, f(x)g(x) liên
f x
tục tại x0 và
liên tục tại x0 nếu g(x0)  0
g x
4. Ý nghĩa. f(x) liên tục trên [a ; b]  đồ thị là đường liền nét.
5. Tính chất
Định lí 1. (Weierstrass 1) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) bị chặn trên [a ; b]
Định lí 2. (Weierstrass 2) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) đạt giá trị lớn nhất và bé
nhất trên [a ; b]
Định lí 3 (Bolzano-Cauchy). f(x) liên tục trên [a ; b], M = max f , N = min f ,  
a ; b 
a ; b 
[m ; M]   c  [a ; b]: f(c) =  .
Hệ quả. f(x) liên tục trên [a ; b], f(a)f(b) < 0   c  (a ; b): f(c) = 0.
6. Điểm gián đoạn
Định nghĩa. f(x) xác định U 0 (x0), gián đoạn tại x0  f(x) không liên tục tại x0.
f(x) xác định U 0 (x0)\{x0} thì ta bảo f(x) gián đoạn tại x0
Định nghĩa. Điểm gián đoạn x0 của hàm f(x) là điểm gián đoạn loại 1

  lim f  x  ,  lim f  x  .
x  x0

x  x0

Các điểm gián đoạn còn lại được gọi là điểm gián đoạn loại 2.
1

sin x
Ví dụ 4. f  x  
Ví dụ 5. f  x   e x
x
Ví dụ 6(K54) Phân loại điểm gián đoạn của hàm số

a) f ( x ) 

b) f ( x ) 

1
x 1
1 2 x

(x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)

1

(x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)

x 1
1 3 x

Ví dụ 7(K56) Các điểm sau là các điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a) x = 0 ; f ( x ) 

1
23

cot x

(loại 1)

b) x 


1
, f (x) 
2
3  2tan x

Ví dụ 8 a)(K60) Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số

14

(loại 1)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x 2

1. y  2 x 2 

2. y 

1
21 x

sinx
x

e

x

1
x



(x = 2 là loại 2; x = 0 là loại 1)
(x = 1; x = 0 là loại 2)

b)(K61) 1. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số :
1


y   2  log3 x

3


x  0, 9

(x = 0 là gi đ bỏ được; x = 9 là gi đ loại 2)

x  0, 9

2. Tìm điểm gián đoạn của hàm số : f ( x )  lim

6

n  2 

x

2n

, x

( x  1 )

Định nghĩa. f(x) liên tục từng khúc trên [a;b] khi [a;b] chia thành hữu hạn đoạn
và hàm f(x) liên tục trên mỗi đoạn này.
II. Hàm số liên tục đều
Định nghĩa. f(x) liên tục đều trên X    > 0 bé tuỳ ý.   ( ) > 0,  x1, x2  X,
|x1  x2| <  ( )  |f(x1)  f(x2)| <  .
Ví dụ 8. a) y = x + 2.

1
 , x  (0 ; 1]
b) y   x
0,

x 0

Định lí (Cantor). f(x) liên tục trong [a ; b]  f(x) liên tục đều trong [a ; b]

15


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 3.
§1.9. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
 Đặt vấn đề
I. Định nghĩa. f(x) xác định trong U 0  x0  , f'(x0) = a
f ( x0  x )  f ( x0 )
 a
x 0
x
Ví dụ 1. y = 2010, tính y'
Ví dụ 2. y = x3, tính y’

 lim

Ví dụ 3. y = ax, 0 < a  1, tính y'

Ví dụ 4. y = |x|, xét y'(0), y'(-1)

a) Ý nghĩa hình học

f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm
số y = f(x) tại x = x0.
b) Ý nghĩa cơ học. Xét chất điểm M chuyển
động thẳng, khơng đều với qng đường là S(t)
tính từ điểm O nào đó. Khi đó vận tốc tức thời
S (t )  S (t 0 )
tại t0 là v (t0 )  lim
 S(t0 )
t  t0
t  t0
Ví dụ 5. Một người đi xe máy với vận tốc 30km/h trong nửa đầu tiên của đoạn
đường và 20km/h trong nửa thứ hai. Hỏi vận tốc trung bình là bao nhiêu?
(24km/h)
Ví dụ 6. Một tên lửa bắn thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 m/s và
đạt độ cao trong t giây là S = tv0  16t2
a) Tìm vận tốc ở thời điểm t
b) Mất bao lâu để tên lửa đạt tới độ cao tối đa?
c) Tính vận tốc tên lửa khi chạm đất
d) Vận tốc ban đầu là bao nhiêu để tên lửa chạm đất sau khi bắn 15 giây.
c) Ý nghĩa thực tế.

dy
là suất biến đổi của y theo x.
dx

Ví dụ 7. Cho hình trịn bán kính r, ta có S = r2, ta có S' = 2r. Như vậy suất
biến đổi diện tích của một hình trịn theo bán kính chính bằng chu vi của nó.
Ví dụ 8. Một cái thang dài 13ft đứng dựa vào bức tường thì chân thang bị
trượt ra xa bức tường với tốc độ không đổi 6ft/s. Đầu trên của chiếc thang
chuyển động xuống dưới nhanh như thế nào khi chân thang cách tường 5ft?

Ví dụ 9. Người ta hút dầu ra khỏi thùng để làm sạch nó. Biết sau khi hút t phút
lượng dầu còn lại trong thùng là V = 40(50  t)2 lít.
a) Tìm lượng dầu hút trung bình trong 20 phút đầu tiên.
( v tb
16

40.502  40.302

 3200 (l/p))
20


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



b) Tìm tốc độ dầu được hút ra khỏi thùng tại thời điểm t = 20 phút.
( v  20   (40.502  v )t 10  2400 l/p)
Ví dụ 10. Một cái thùng hình nón với đỉnh ở phía dưới có chiều cao 12 ft và
đường kính đáy là 12ft được bơm đầy nước với tốc độ khơng đổi là 4ft3/phút.
Hãy tính tốc độ biến đổi chiều cao cột nước khi
( y   2 

a) nước sâu 2ft

1

b) nước sâu 8ft. ( y   8  

)


Ví dụ 11. a)(K57) Chứng minh rằng:
1) 2arctan x  arcsin

2x
1 x2

2) 2arccot x  arccos

2x
1 x2

1
)
16

 ,  x  1


5
,  x  1
2

1

xarc cot 2 , x  0

b)(K58) Cho f  x   
, tính f   x 

x

x 0
0

1
2x 2
, x  0; y  0  0 )
( f ( x )  arc cot 2 
x
1 x4

c)(K59) 1) Chứng minh rằng phương trình x 5  sinx  2x  2, có duy nhất
nghiệm thực.
2



x
2) Cho f  x   3 x  e , x  0 , tính f   0 .

0
x 0


(3)

2. Đạo hàm một phía, mối liên hệ với liên tục, đạo hàm của hàm ngược.
a) Đạo hàm một phía.
Định nghĩa.

f  x0   x   f  x0 
f  x0   x   f  x0 
; f   x0  0   lim
x 0
x 0
x
x
Nhận xét.  f'(x0)  f'(x0 + 0) = f'(x0  0)
f   x0  0   lim

Ví dụ 1. a) y  1  x , xét y'(1 0)
b)(K60) y  1  x 2 ,tích các đạo hàm phải, trái tại 1.
 1

c)(K61) Tính f (0), ở đó f ( x )  e x
 0

x  0,
x0

b) Liên hệ đạo hàm và liên tục.
 f'(x0)  f(x) liên tục tại x0.
17

(2; -2; 2; -2)

(0)

PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



Ngược lại khơng đúng, ví dụ y  3 x liên tục tại x0 = 0 nhưng  f'(0).
c) Đạo hàm của hàm số ngược
+) Hàm số x = (y) có hàm ngược y = f(x)
+) y = f(x) liên tục tại x0 = (y0)
+) '(y0)  0
Khi đó ta có f   x0  

1
.
  y0 

Ví dụ 2. y = arccot x, tính y'.
Ví dụ 3. a) y = arcsin x, tính y'.
b)(K58) 1) Cho các hàm f, g khả vi, g ( x )  f 1( x ) . Đặt G( x ) 

1
, tính G(2) ,
g(x )

biết
1
( )
9

f (3)  2 , f (3)  1.

2) Cho các hàm f, g khả vi, g ( x )  f 1( x ) . Đặt G( x )  e g (x) , tính G(2) , biết
1
( )
f (3)  2 , f (3)  1.
9
3) Cho các hàm f, g khả vi, biết f (g( x ))  x , f ( x )  1  (f ( x ))2 . Tìm g(x)
( arct anx  C )
c)(K59) Chứng minh rằng hàm số f ( x )  2 x  2  ln( x 2  1) có hàm số ngược
1
g ( x )  f 1( x ). Tính g (2).
( )
2
3. Phép tốn và cơng thức.
a) Phép toán. Các hàm f, g khả vi tại x0, khi đó
 (f  g)'(x0) = f'(x0)  g'(x0)
 (f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)
f   x0  g  x 0   g   x 0  f  x 0 
 f 
    x0  
, g(x0)  0.
g 2  x0 
g 

b) Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản.
Ta dẫn ra công thức của một vài hàm
 (x)' = x  1

 c' = 0
  tan x  

1
cos2 x

 (ax)’ = ax lna

  arccos x   

1
1 x2

  arccot x   

Ví dụ 1(K52) Tìm k để hàm số f   x  liên tục tại x = 0
18

 loga x  

1
x ln a
1

1 x2


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



1
k


arcsin x  cos , x  0

a) f  x   
x
0,
x 0

(k > 2)

1
k

arctan x  sin , x  0

b) f  x   
x
0,
x 0

(k > 2)

1  1  x 4 cos x 2

, x0
Ví dụ 2(K57) Tính f (0) , ở đó f ( x )   x 4 ln 1  2 x 2 

x 0
0,

(0)

c) Đạo hàm của hàm hợp.
 y'u(u0),  u'x(x0)  y = y(u(x)) có đạo hàm tại x0 và có y'x(x0) = y'u(u0).u'x(x0).
Ví dụ 1. y = (x  1)(x  2) ... (x  2009), tính y'(1).
2  x,

Ví dụ 2. y   2  x   x  3  ,
 x  3,


(2008!)

x  2
2  x  3 ,

tính y'.

x 3

x  2
1,

(  2 x  1,  2  x  3 )
1,
x 3


Ví dụ 3. y = xx, tính y'.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng:

- Đạo hàm của hàm chẵn là hàm lẻ (K58)
- Đạo hàm của hàm lẻ là hàm chẵn (K58)
- Đạo hàm của hàm tuần hoàn là hàm tuần hồn có cùng chu kì
x

Ví dụ 5. y = x x , tính y’.
Ví dụ 6.(K53) Chứng minh rằng
a) 3arctan x  arctan( x  2)  4arctan( x  1), x  0
b) 2arccot x  arccot( x  2)  3arccot( x  1), x  0
Ví dụ 7(K50) a) CMR arctanx  arctany  ln
4

4

b) CMR arccotx  arccoty  ln
4

4

x2
y2
y2
x2

,  x, y: x  y > 0.
,  x, y: x  y > 0.

Ví dụ 8(K56) CMR f(x) liên tục với mọi x.
1
 2

 x arccot , x  0
a) f ( x )  
x
0,
x 0

1
 2
 x arctan , x  0
b) f ( x )  
x
0,
x 0

19


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



1
 3
 x sin , x  0
c) f ( x )  
x
0,
x 0

1

 3
 x cos , x  0
d) f ( x )  
x
0,
x 0

4. Vi phân
a) Định nghĩa. f(x) xác định trong U 0  x0  , nếu có f = Ax +  (x), ở đó A

chỉ phụ thuộc vào x0 chứ không phụ thuộc vào x,  (x) là VCB cấp cao hơn
so với x thì ta nói f(x) khả vi tại x0 và có
df = Ax.
Ví dụ 1. y = 2x + 3, tính dy.
b) Ý nghĩa hình học. Nếu A  0 thì f  df.
Nhận xét Ax là tuyến tính đối với x nên nó đơn giản hơn f nhiều.
c) Ứng dụng tính gần đúng. f(x0 + x)  f(x0) + df(x0).
Ví dụ 2. a) Tính gần đúng

4,01 .

b)(K59) Tính gần đúng

3

2  0,06
.
2  0,06

(1,02)

Ví dụ 3. Một mảnh kim loại hình vng, mỗi cạnh 20cm, khi nung nóng mỗi
cạnh dãn ra 0,1cm. Tính gần đúng phần diện tích mảnh kim loại dãn ra.
d) Liên hệ giữa đạo hàm và khả vi
f'(x0) = A  df(x0) = Ax.
Ví dụ 4.

 ex 
Ví dụ 5.
 
d  x3   x 

 x 6  3x 4  1

d

d  x2 

d

e) Tính bất biến của vi phân cấp 1
y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi  dy = f'(x)dx.
5. Đạo hàm và vi phân cấp cao
a) Đạo hàm cấp cao.
Định nghĩa. f(n)(x) = (f(n  1)(x))'
Ví dụ 1.  y = x, y(n) = ?

 y = sinx, y

n

Quy tắc.  f(n)(x), g(n)(x) thì có
1) (f(x)  g(x))(n) = f(n)(x)  g(n)(x)
n

2)  f  x  .g  x  





 sin  x  n 

2

n

C nkf k  x g n k  x  (Quy tắc Leibnitz).

k 0

Ví dụ 2. y = x lnx, tính y(5)

Ví dụ 3. y = sinax cosbx, tính y(20)
20


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Ví dụ 4. y = x2 cosx, tính y(30)

Ví dụ 5. y 

1
x2  1

, tính y(n)

Ví dụ 6(K50) Tính y(n), n 
a) y 

1  2x

(  2  e 2 x  n  1  2 x  )
n

e2 x

b) y  x ln(1  3x )

(

 n  2!3n 1

1  3 x n

3x  n  )

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

21