ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN TOÁN - VÒNG 1 pptx

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH
LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM
2010


MÔN THI: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I
1) Giải hệ phương trình







.2
231283
22
22
yx
xyyx

2) Giải phương trình
2 3
2x 1 3 4x 2x 1 3 8x 1.

      

Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức








.2512411
22
 xyyxxyyx
2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta
luôn có.
 
2
3 7 n n 1
n
1.2 2.3 n n 1
 
 
   
 

 

Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với
đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc
0
30ACB
. Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thẳng BC với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đường thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo
R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M
thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9
)1)(1(  ba , hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
44
11 baP  .
_____________________________
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.



Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10
Giải

Vòng I
Câu I
1)Giải hệ phương trình








.2
231283
22
22
yx
xyyx





  
2 2 2 2
2 2
2 3x 8y 12xy 23 x y 0
17x 24x4 7y 0
x y 17x 7y 0
x y
7y

x
17
     
    
   








 Với
x y

ta có
2 2 2 2
x x 2 2x 2 x 1 x 1 y 1
           

 Với
7y
x
17
 ta có
2
2 2
2 2
7 49y 338y 17 7

y y 2 y 2 2 y x
17 289 289 13 13
 
            
 
 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
   
7 17 7 17
1;1 ; 1; 1 ; ; ; ;
13 13 13 13
   
   
   
   


2) Giải phương trình
2 3
2x 1 3 4x 2x 1 3 8x 1.
      
(1)
Đk
1
x
2
 

   



2 2
1 2x 1 3 4x 2x 1 3 2x 1 4x 2x 1
         


Đặt
    
2
2x 1 a
4x 2x 1 b
a 3
1 a 3b 3 ab a 3 b 1
b 1

 


  




       




 Với a=3

2x 1 3 2x 1 9 x 4
      

 Với b=1
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10
2 2 2
x 0
4x 2x 1 1 4x 2x 1 1 4x 2x 0
1
x
2



           




Vậy nghiệm của phương trình là
x 4
x 0
1
x
2













Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức








.2512411
22
 xyyxxyyx




      
 
  
2 2 2 2

2 2
2
1 x y x y 4xy 2 x y 1 xy 25
x y xy 1 2 x y 1 xy 25
x y 1 xy 25
x y 1 xy 5 x 1 y 1 5
x 0;y 4
x 4;y 0
        
       
    
        
 



 


Vậy các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài là




0;4 ; 4;0


2)Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt
quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.
 

2
3 7 n n 1
n
1.2 2.3 n n 1
 
 
   
 

 


Ta có
   
2
n n 1 1
1
n n 1 n n 1
 
 
 

Thay vào ta được
   
2
3 7 n n 1 1 1 1
A 1 1 1
1.2 2.3 n n 1 1.2 2.3 n n 1
1 1 1 1 1 1
n 1 n 1

2 2 3 n n 1 n 1
 
         
 
          
 

n A n 1
   
Vậy


A n

(đpcm)

Câu III
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10

1)Ta có

0
AC
cot ACB AC AB.cot30 2 3R
AB
   

0
AB AB

sin ACB BC 4R
BC sin30
   
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AH AB AC 12R 4R 3R
AH R 3
    
 


2) Ta có


ACB HAB

(cùng phụ với

CAH
)
Mà


HAB HNB

(cùng bằng
1
2
số đo cung


HB
)


HNB ACB


Từ đó tứ giác CMNH nội tiếp. Tâm đường tròn nội tiếp CMNH thuộc đường trung trực
của CH cố định.

Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9
)1)(1(  ba , hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
44
11 baP  .


Ta có:
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10
 
 
2
2
1 a 1 b
9
(1 a)(1 b) 9 2 a b

4 4
2 a b 3 a b 1
2 a b 3 a b 5
  
       
    
 
 
 
      
 

Áp dụng bất đẳng thức
   
2 2
2 2 2 2
a b c d a c c d
      
. Dấu bằng xảy ra khi
a b
c d

;
 
 
 
 
2
2
2 2 2 2

a b
2 a b a b a b
2

      (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)
 
 
4
2
4 4 2 2 2
a b
1 17
P 1 a 1 b 2 a b 4 4
4 4 2

           
Dấu bằng xảy ra khi
1
a b
2
 