Tóm tắt công thức toán

CÔNG THỨC TOÁN HỌC
Trần Anh Tuấn - 0974 396 391
(Giảng viên Toán trường Đại học Thương Mại - TT luyện thi ĐHSPHN)
LƯỢNG GIÁC
1. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1. sin
2
𝛼 + cos
2
𝛼 = 1; 2. tan 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
; 3. cot 𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
;
4. tan 𝛼. cot 𝛼 = 1; 5. 1 + tan
2
𝛼 =
1
cos
2
𝛼
; 6. 1 + cot
2
𝛼 =
1
sin
2
𝛼
;

7. sin(𝛼+𝑘2𝜋) = sin 𝛼; cos(𝛼+𝑘2𝜋) = cos 𝛼; tan(𝛼+𝑘𝜋) = tan 𝛼; cot(𝛼 +𝑘𝜋) = cot 𝛼.
2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
P
P
P
P
P
P
P
Góc
Hàm
−𝛼 𝜋 −𝛼
𝜋
2
− 𝛼 𝜋 + 𝛼
sin −sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 −sin 𝛼
cos cos 𝛼 −cos 𝛼 sin 𝛼 −cos 𝛼
tan −tan 𝛼 −tan 𝛼 cot 𝛼 tan 𝛼
cot −cot 𝛼 −cot 𝛼 tan 𝛼 cot 𝛼
“cos đối,
sin bù,
phụ chéo,
khác 𝜋 tan
và cot”
3. Công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc
1. cos(𝑎±𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏∓sin 𝑎 sin 𝑏; sin(𝑎±𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏±cos 𝑎 sin 𝑏;
2. cos 2𝑎 = cos
2
𝑎 − sin
2

𝑎 = 2 cos
2
𝑎 − 1 = 1 − 2 sin
2
𝑎 =
1−tan
2
𝑎
1+tan
2
𝑎
;
3. sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎 =
2 tan 𝑎
1+tan
2
𝑎
; tan 2𝑎 =
2 tan 𝑎
1−tan
2
𝑎
; sin
2
𝑎 =
1−cos 2𝑎
2
4. sin 3𝑎 = 3 sin 𝑎 − 4 sin
3
𝑎; cos 3𝑎 = 4 cos

3
𝑎 − 3 cos 𝑎; cos
2
𝑎 =
1+cos 2𝑎
2
.
4. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1. cos 𝑢+cos 𝑣 = 2 cos
𝑢+𝑣
2
cos
𝑢−𝑣
2
; cos 𝑢−cos 𝑣 = −2 sin
𝑢+𝑣
2
sin
𝑢−𝑣
2
;
2. sin 𝑢 + sin 𝑣 = 2 sin
𝑢+𝑣
2
cos
𝑢−𝑣
2
; sin 𝑢 − sin 𝑣 = 2 cos
𝑢+𝑣
2

sin
𝑢−𝑣
2
;
3. cos 𝑎 cos 𝑏 =
1
2
[cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]; sin 𝑎 sin 𝑏 =
−
1
2
[cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)]; sin 𝑎 cos 𝑏 =
1
2
[sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)];
4. sin 𝑥 ± cos 𝑥 =
√
2 sin

𝑥 ±
𝜋
4

=
√
2 cos

𝑥 ∓
𝜋
4


; 1 ± sin 2𝑥 =
(sin 𝑥±cos 𝑥)
2
; sin
4
𝑥+ cos
4
𝑥 = 1 −
1
2
sin
2
2𝑥; sin
6
𝑥+ cos
6
𝑥 = 1 −
3
4
sin
2
2𝑥;
5. Phương trình lượng giác cơ bản
1. sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇔

𝑥 = 𝛼 + 𝑘2𝜋
𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 𝑘2𝜋;
2. sin 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋;
3. sin 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =

𝜋
2
+ 𝑘2𝜋; 4. sin 𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋;
5. sin 𝑥 = 𝑚 ⇔

𝑥 = arcsin(𝑚) + 𝑘2𝜋
𝑥 = 𝜋 − arcsin(𝑚) + 𝑘2𝜋,
có nghiệm ⇔ |𝑚| ≤ 1;
6. cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇔ 𝑥 = ±𝛼 + 𝑘2𝜋; 7. cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋;
8. cos 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝑘2𝜋; 9. cos 𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋;
10. cos 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = ±arccos(𝑚) + 𝑘2𝜋, có nghiệm ⇔ |𝑚| ≤ 1;
11. tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋; tan 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arctan(𝑚) + 𝑘𝜋;
12. cot 𝑥 = cot 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋; 13. cot 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arccot(𝑚) + 𝑘𝜋.
6. Phương trình lượng giác đơn giản
1. 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 ⇔
𝑎
√
𝑎
2
+𝑏
2
sin 𝑥 +
𝑏
√

𝑎
2
+𝑏
2
cos 𝑥 =
𝑐
√
𝑎
2
+𝑏
2
, với
cos 𝛼 =
𝑎
√
𝑎
2
+𝑏
2
, sin 𝛼 =
𝑏
√
𝑎
2
+𝑏
2
⇒ sin(𝑥+𝛼) =
𝑐
√
𝑎

2
+𝑏
2
, 𝑐
2
≤ 𝑎
2
+𝑏
2
;
PT tương tự 𝑎 sin 𝑢 + 𝑏 cos 𝑢 =
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
sin 𝑣 (hoặc
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
cos 𝑣);
và 𝑎 sin 𝑢 + 𝑏 cos 𝑢 = 𝑎
′
sin 𝑣 + 𝑏
′
cos 𝑣, với
√
𝑎

2
+ 𝑏
2
=
√
𝑎
′2
+ 𝑏
′2
;
2. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin 𝑥 và cos 𝑥
𝑎 sin
2
𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 cos
2
𝑥 + 𝑑 = 0, và
𝑎 sin
3
𝑥 + 𝑏 sin
2
𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 sin 𝑥 cos
2
𝑥 + 𝑑 cos
3
𝑥 + 𝑒 sin 𝑥 + 𝑓 cos 𝑥 = 0.
Chia hai vế phương trình cho sin
2
𝑥 (hoặc cos
3
𝑥), rồi đặt 𝑡 = tan 𝑥.

3. PT đối xứng sin 𝑥 và cos 𝑥 : 𝑎(sin 𝑥 ± cos 𝑥) + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 = 0,
đặt 𝑡 = sin 𝑥 ± cos 𝑥 (|𝑡| ≤
√
2), khi đó sin 𝑥 cos 𝑥 = ±
𝑡
2
−1
2
.
7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho Δ𝐴𝐵𝐶,

𝐴 = 90
∘
,
đường cao 𝐴𝐻, có : 1. 𝐵𝐶
2
= 𝐴𝐵
2
+ 𝐴𝐶
2
; 2.
1
𝐴𝐻
2
=
1
𝐴𝐵
2
+
1

𝐴𝐶
2
.
8. Hệ thức lượng trong tam giác thường : cho Δ𝐴𝐵𝐶, có các
cạnh 𝑎, 𝑏, 𝑐; độ dài các đường cao ℎ
𝑎
, ℎ
𝑏
, ℎ
𝑐
; trung tuyến 𝑚
𝑎
, 𝑚
𝑏
, 𝑚
𝑐
:
1. ĐL h/s cos: 𝑎
2
= 𝑏
2
+𝑐
2
−2𝑏𝑐 cos 𝐴; cos 𝐴 =
𝑏
2
+𝑐
2
−𝑎
2

2𝑏𝑐
; 2. CT trung
tuyến 𝑚
2
𝑎
=
2(𝑏
2
+𝑐
2
)−𝑎
2
4
; 3. ĐL h/s sin: 𝑎 = 2𝑅 sin 𝐴; 4. CT diện
tích: 𝑆 =
1
2
𝑎ℎ
𝑎
=
1
2
𝑏𝑐 sin 𝐴 = 𝑝𝑟 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
=

𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),
𝑝 =
𝑎+𝑏+𝑐

2
- nửa chu vi; 𝑅, 𝑟 - bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp.
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
1. Bất đẳng thức Cauchy :
1. Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0, có :
𝑎+𝑏
2
≥
√
𝑎𝑏;
𝑎+𝑏+𝑐
3
≥
3
√
𝑎𝑏𝑐; 2. Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0,
có :
1
𝑎
+
1
𝑏
≥
4
𝑎+𝑏
;
1
𝑎
+
1

𝑏
+
1
𝑐
≥
9
𝑎+𝑏+𝑐
, dấu bằng ⇔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐.
2. Bất đẳng thức hình học : cho
−→
𝑢 = (𝑎; 𝑏),
−→
𝑣 = (𝑐; 𝑑),
có : 1. |
−→
𝑢 | + |
−→
𝑣 | ≥ |
−→
𝑢 +
−→
𝑣 | ⇔
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
+
√
𝑐

2
+ 𝑑
2
≥

(𝑎 + 𝑐)
2
+ (𝑏 + 𝑑)
2
, dấu bằng ⇔
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
> 0 (
−→
𝑢 ,
−→
𝑣 cùng chiều);
2. |
−→
𝑢 |.|
−→
𝑣 | ≥ |
−→
𝑢 .
−→
𝑣 | ⇔
√

𝑎
2
+ 𝑏
2
.
√
𝑐
2
+ 𝑑
2
≥ |𝑎𝑐 + 𝑏𝑐|, dấu bằng
⇔
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
(
−→
𝑢 ,
−→
𝑣 cùng phương).
3. Phương trình bậc hai : PT 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ̸= 0).
1. Δ = 𝑏
2
−4𝑎𝑐; 2. PT có hai nghiệm p/b khi Δ > 0, nghiệm kép khi
Δ = 0, vô nghiệm khi Δ < 0; 2 nghiệm trái dấu khi 𝑃 < 0; 2 nghiệm
dương p/b khi


Δ > 0
𝑃 > 0, 𝑆 > 0
; 3. ĐL Vi-ét

𝑆 = 𝑥
1
+ 𝑥
2
= −
𝑏
𝑎
𝑃 = 𝑥
1
𝑥
2
=
𝑐
𝑎
.
4. Phương trình, bất phương trình chứa căn :
1.
√
𝐴 =
√
𝐵 ⇔

𝐴 ≥ 0 (or 𝐵 ≥ 0)
𝐴 = 𝐵;
2.

√
𝐴 = 𝐵 ⇔

𝐵 ≥ 0
𝐴 = 𝐵
2
;
3.
√
𝐴 >
√
𝐵 ⇔

𝐵 ≥ 0
𝐴 ≥ 𝐵;
4.
√
𝐴 < 𝐵 ⇔

𝐵 ≥ 0 và 𝐴 ≥ 0
𝐴 < 𝐵
2
;
5.
√
𝐴 > 𝐵 ⇔

𝐵 < 0
𝐴 ≥ 0
hoặc


𝐵 ≥ 0
𝐴 ≥ 𝐵
2
.
5. Phương trình, bất PT mũ và logarit : với 𝑎 > 0, 𝑎 ̸= 1
1. 𝑎
𝑢
= 𝑎
𝑣
⇔ 𝑢 = 𝑣; 2. 𝑎
𝑢
= 𝑏 ⇔

𝑏 > 0
𝑢 = log
𝑎
𝑏;
3. log
𝑎
𝑢 =
𝑏 ⇔ 𝑢 = 𝑎
𝑏
; 4. log
𝑎
𝑢 = log
𝑎
𝑣 ⇔

𝑢 > 0 (or 𝑣 > 0)

𝑢 = 𝑣;
5. 𝑎
𝑢
>
𝑎
𝑣
⇔

𝑎 > 1
𝑢 > 𝑣
or

0 < 𝑎 < 1
𝑢 < 𝑣;
6. 𝑎
𝑢
> 𝑏 ⇔

𝑏 < 0
𝑢 − xác định
or

𝑏 > 0, 𝑎 > 1
𝑢 > log
𝑎
𝑏
or

𝑏 > 0, 0 < 𝑎 < 1
𝑢 < log

𝑎
𝑏;
7. 𝑎
𝑢
< 𝑏 ⇔

𝑏 > 0, 𝑎 > 1
𝑢 < log
𝑎
𝑏
or

𝑏 > 0, 0 < 𝑎 < 1
𝑢 > log
𝑎
𝑏;
8. log
𝑎
𝑢 > log
𝑎
𝑣 ⇔

𝑎 > 1
𝑢 > 𝑣 > 0
or

0 < 𝑎 < 1
0 < 𝑢 < 𝑣;
9. log
𝑎

𝑢 > 𝑏 ⇔

𝑎 > 1
𝑢 > 𝑎
𝑏
or

0 < 𝑎 < 1
0 < 𝑢 < 𝑎
𝑏
;
10. log
𝑎
𝑢 < 𝑏 ⇔

𝑎 > 1
0 < 𝑢 < 𝑎
𝑏
or

0 < 𝑎 < 1
𝑢 > 𝑎
𝑏
.
6. Quy tắc tính đạo hàm : cho 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥), có
1. (𝑢 ± 𝑣)
′
= 𝑢
′
± 𝑣

′
; (𝑢𝑣)
′
= 𝑢
′
𝑣 + 𝑢𝑣
′
;

𝑢
𝑣

′
=
𝑢
′
𝑣−𝑢𝑣
′
𝑣
2
;
2. 𝑔(𝑥) = 𝑓 [𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑔
′
𝑥
= 𝑓
′
𝑢
.𝑢
′
𝑥

và có bảng đạo hàm cơ bản
(𝐶.𝑥)
′
= 𝐶 (𝐶.𝑢)
′
= 𝐶.𝑢
′
(𝑥
𝛼
)
′
= 𝛼.𝑥
𝛼−1
(𝑢
𝛼
)
′
= 𝛼.𝑢
𝛼−1
.𝑢
′

1
𝑥

′
= −
1
𝑥
2


1
𝑢

′
= −
𝑢
′
𝑢
2
(
√
𝑥)
′
=
1
2
√
𝑥
(
√
𝑢)
′
=
𝑢
′
2
√
𝑢
(𝑒

𝑥
)
′
= 𝑒
𝑥
(𝑒
𝑢
)
′
= 𝑒
𝑢
.𝑢
′
(𝑎
𝑥
)
′
= 𝑎
𝑥
. ln 𝑎 (𝑎
𝑢
)
′
= 𝑎
𝑢
. ln 𝑎.𝑢
′
(ln |𝑥|)
′
=

1
𝑥
(ln |𝑢|)
′
=
𝑢
′
𝑢
(log
𝑎
|𝑥|)
′
=
1
𝑥 ln 𝑎
(log
𝑎
|𝑢|) =
𝑢
′
𝑢. ln 𝑎
(sin 𝑥)
′
= cos 𝑥 (sin 𝑢)
′
= 𝑢
′
. cos 𝑢 (cos 𝑥)
′
= −sin 𝑥 (cos 𝑢)

′
= −𝑢
′
. sin 𝑢
(tan 𝑥)
′
=
1
cos
2
𝑥
(tan 𝑢)
′
=
𝑢
′
cos
2
𝑢
(cot 𝑥)
′
= −
1
sin
2
𝑥
(cot 𝑢)
′
= −
𝑢

′
sin
2
𝑢
Chú ý :

𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑

′
=
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
(𝑐𝑥+𝑑)
2
;

𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐
𝑚𝑥+𝑛

′
=
𝑎𝑚𝑥
2
+2𝑎𝑛𝑥+
𝑏 𝑐
𝑚 𝑛
(𝑚𝑥+𝑛)

2
;

𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑚𝑥
2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝

′
=
𝑎 𝑏
𝑚 𝑛
𝑥
2
+ 2
𝑎 𝑐
𝑚 𝑝
𝑥 +
𝑏 𝑐
𝑛 𝑝
(𝑚𝑥
2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝)
2
.
7. Phương trình tiếp tuyến của đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm
𝑀
0

(𝑥
0
; 𝑓(𝑥
0
)) thuộc đường cong là 𝑦 = 𝑓
′
(𝑥
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑓 (𝑥
0
).
8. Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong 𝑦 = 𝑓 (𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) là
hệ phương trình tiếp điểm

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
𝑓
′
(𝑥) = 𝑔
′
(𝑥)
có nghiệm.
9. Tính đồng biến, nghịch biến : 1. Nếu 𝑓
′
(𝑥) > 0 với mọi
𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì 𝑦 = 𝑓 (𝑥) đồng biến trên (𝑎; 𝑏); 2. Nếu 𝑓
′
(𝑥) < 0 với
mọi 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì 𝑦 = 𝑓(𝑥) nghịch biến trên (𝑎; 𝑏).

10. Cực trị : 1. Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có 𝑓
′
(𝑥
0
) = 0 và đổi dấu khi
qua điểm 𝑥
0
, thì 𝑥
0
gọi là cực trị của hàm số; nếu 𝑓
′
đổi dấu từ +
sang − thì 𝑥
0
là điểm cực đại; nếu 𝑓
′
đổi dấu từ − sang + thì 𝑥
0
là
điểm cực tiểu; 2. Nếu

𝑓
′
(𝑥
0
) = 0
𝑓
′′
(𝑥
0

) > 0
thì 𝑥
0
là điểm cực tiểu; nếu

𝑓
′
(𝑥
0
) = 0
𝑓
′′
(𝑥
0
) < 0
thì 𝑥
0
là điểm cực đại.
11. Nguyên hàm các hàm số cơ bản :

𝑎 d𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶

𝑥
𝛼
d𝑥 =
𝑥
𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶


d𝑥
𝑥
= ln |𝑥| + 𝐶

𝑒
𝑥
d𝑥 = 𝑒
𝑥
+ 𝐶

𝑎
𝑥
d𝑥 =
𝑎
𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶

sin 𝑥 d𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

cos 𝑥 d𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

d𝑥
cos
2
𝑥
= tan 𝑥 + 𝐶

d𝑥
sin

2
𝑥
= −cot 𝑥 + 𝐶
1
12. Phương pháp tìm nguyên hàm
1. Đổi biến :

𝑓(𝑢)𝑢
′
d𝑥 = 𝐹 (𝑢) + 𝐶 (𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓);
2. Nguyên hàm từng phần :

𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣 d𝑢.
13. Tích phân
1. CT Niu-tơn - Laibnit :
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥) d𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎);
2. CT đổi biến số :
𝑏

𝑎
𝑓 [𝑢(𝑥)] 𝑢
′
(𝑥) d𝑥 =
𝑢(𝑏)


𝑢(𝑎)
𝑓(𝑢) d𝑢;
3. CT tích phân từng phần :
𝑏

𝑎
𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣
⃒
⃒
⃒
𝑏
𝑎
−
𝑏

𝑎
𝑣 d𝑢.
14. Công thức diện tích, thể tích : cho 𝑎 < 𝑏, ta có
1. Hình 𝐻
1
:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

𝑦 = 𝑓 (𝑥)
𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑥 = 𝑎
𝑥 = 𝑏
; 2. Hình 𝐻
2
:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑥 = 𝑓(𝑦)
𝑥 = 𝑔(𝑦)
𝑦 = 𝑎
𝑦 = 𝑏
𝑆
𝐻
1
=
𝑏

𝑎
|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| d𝑥 𝑆
𝐻
2

=
𝑏

𝑎
|𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)| d𝑦.
3. Hình 𝐻
3
:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
trục 𝑂𝑥
𝑥 = 𝑎
𝑥 = 𝑏
; 4. Hình 𝐻
4
:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪

⎪
⎪
⎩
𝑥 = 𝑓(𝑦)
trục 𝑂𝑦
𝑦 = 𝑎
𝑦 = 𝑏
𝑉
𝐻
3
quanh 𝑂𝑥
= 𝜋
𝑏

𝑎
𝑓
2
(𝑥) d𝑥 𝑉
𝐻
4
quanh 𝑂𝑦
= 𝜋
𝑏

𝑎
𝑓
2
(𝑦) d𝑦.
15. Số phức
1. Dạng đại số : 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C; 𝑎, 𝑏 ∈ R; 𝑖

2
= −1; 𝑎: phần thực; 𝑏:
phần ảo; 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎
′
+ 𝑏
′
𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑎
′
và 𝑏 = 𝑏
′
; |𝑧| =
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
: mô-đun
của 𝑧; 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖: số phức liên hợp; 𝑧
−1
=
1
𝑧
: số phức nghịch đảo.
2. Dạng LG : 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙); 𝜙: acrgumen của 𝑧; 𝑟 = |𝑧| > 0.
3. Phép toán : (𝑎+𝑏𝑖)±(𝑎
′
+𝑏
′
𝑖) = (𝑎±𝑎
′

)+(𝑏±𝑏
′
)𝑖; (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎
′
+𝑏
′
𝑖) =
(𝑎𝑎
′
−𝑏𝑏
′
) + (𝑎𝑏
′
+ 𝑎
′
𝑏)𝑖;
𝑎+𝑏𝑖
𝑎
′
+𝑏
′
𝑖
=
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎
′
−𝑏
′
𝑖)
(𝑎
′

+𝑏
′
𝑖)(𝑎
′
−𝑏
′
𝑖)
=
𝑎𝑎
′
+𝑏𝑏
′
𝑎
′2
+𝑏
′2
+
𝑎
′
𝑏−𝑎𝑏
′
𝑎
′2
+𝑏
′2
𝑖;
Nếu 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) và 𝑧
′
= 𝑟
′

(cos 𝜙
′
+ 𝑖 sin 𝜙
′
) thì 𝑧𝑧
′
= 𝑟𝑟
′
[cos(𝜙 + 𝜙
′
) + 𝑖 sin(𝜙 + 𝜙
′
)] và
𝑧
𝑧
′
=
𝑟
𝑟
′
[cos(𝜙 − 𝜙
′
) + 𝑖 sin(𝜙 − 𝜙
′
)];
CT Moa-vrơ [𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙)]
𝑛
= 𝑟
𝑛
(cos 𝑛𝜙 + 𝑖 sin 𝑛𝜙).

4. Căn bậc hai của 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 là số 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖 sao cho
𝑧 = 𝑤
2
⇔ 𝑥
2
−𝑦
2
= 𝑎 và 2𝑥𝑦 = 𝑏; nếu 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙+𝑖 sin 𝜙) thì 𝑧 có hai
căn bậc hai là
√
𝑟

cos
𝜙
2
+ 𝑖 sin
𝜙
2

và
√
𝑟

cos

𝜋 +
𝜙
2

+ 𝑖 sin


𝜋 +
𝜙
2

.
16. Tổ hợp : 1. 𝑃
𝑛
= 𝑛! = 𝑛.(𝑛 − 1) . . . 1; 0! = 1; 𝐴
𝑘
𝑛
=
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
;
𝐶
𝑘
𝑛
=
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
; 𝐶
𝑘−1
𝑛−1
+ 𝐶
𝑘
𝑛−1
= 𝐶
𝑘
𝑛

; 2. Nhị thức Niu-tơn :
(𝑎 + 𝑏)
𝑛
=
𝑛

𝑘=0
𝐶
𝑘
𝑛
𝑎
𝑘
𝑏
𝑛−𝑘
=
𝑛

𝑘=0
𝐶
𝑘
𝑛
𝑎
𝑛−𝑘
𝑏
𝑘
.
17. Xác suất : 1. 𝑃 (𝐴) =
|𝐴|
|Ω|
; 𝑃 (∅) = 0; 𝑃 (Ω) = 1; 0 ≤ 𝑃 (𝐴) ≤ 1.

2. 𝑃 (𝐴 + 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵), với 𝐴, 𝐵 xung khắc; 𝑃 (𝐴) = 1 −𝑃 (𝐴);
3. 𝑃 (𝐴𝐵) = 𝑃 (𝐴)𝑃 (𝐵), với 𝐴, 𝐵 độc lập;
4. Bảng phân bố biến ngẫu nhiên rời rạc
𝑋 𝑥
1
𝑥
2
··· 𝑥
𝑛
𝑃 𝑝
1
𝑝
2
··· 𝑝
𝑛
có 𝑝
𝑖
= 𝑃 (𝑋 = 𝑥
𝑖
),
𝑛

𝑖=1
𝑝
𝑖
= 1; kì vọng 𝜇 = 𝐸(𝑋) =
𝑛

𝑖=1
𝑥

𝑖
𝑝
𝑖
; phương
sai 𝑉 (𝑋) =
𝑛

𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝜇)
2
𝑝
𝑖
; độ lệch chuẩn 𝜎(𝑋) =

𝑉 (𝑋).
18. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (𝑎 ± 𝑏)
2
= 𝑎
2
± 2𝑎𝑏 + 𝑏
2
; 2. (𝑎 ± 𝑏)
3
= 𝑎
2
± 3𝑎
2

𝑏 + 3𝑎𝑏
2
± 𝑏
3
;
3. 𝑎
2
− 𝑏
2
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏); 4. 𝑎
3
± 𝑏
3
= (𝑎 ± 𝑏)(𝑎
2
∓ 𝑎𝑏 + 𝑏
2
).
5. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
2
= 𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
+ 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎.
HÌNH HỌC
A. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
1. Tọa độ điểm, tọa độ véctơ

1. Cho 𝐴(𝑥
1
; 𝑦
1
), 𝐵(𝑥
2
; 𝑦
2
), 𝐶(𝑥
3
; 𝑦
3
), 𝑀: trung điểm 𝐴𝐵, 𝐺: trọng
tâm Δ𝐴𝐵𝐶 :
−→
𝐴𝐵 = (𝑥
2
−𝑥
1
; 𝑦
2
−𝑦
1
); 𝐴𝐵 =

(𝑥
2
− 𝑥
1
)

2
+ (𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
;
𝑀

𝑥
1
+𝑥
2
2
;
𝑦
1
+𝑦
2
2

; 𝐺

𝑥
1
+𝑥
2
+𝑥
3

3
;
𝑦
1
+𝑦
2
+𝑦
3
3

.
2. Cho
−→
𝑢 = (𝑥
1
; 𝑦
1
),
−→
𝑣 = (𝑥
2
; 𝑦
2
), thì
−→
𝑢 =
−→
𝑣 ⇔

𝑥

1
= 𝑥
2
𝑦
1
= 𝑦
2
;
−→
𝑢 ±
−→
𝑣 = (𝑥
1
± 𝑥
2
; 𝑦
1
± 𝑦
2
); 𝑘.
−→
𝑢 = (𝑘𝑥
1
; 𝑘𝑦
1
) ;
−→
𝑢 
−→
𝑣 ⇔ ∃𝑘 ∈

R :
−→
𝑢 = 𝑘
−→
𝑣 ⇔
𝑥
1
𝑥
2
=
𝑦
1
𝑦
2
; 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng ⇔
−→
𝐴𝐵 
−→
𝐴𝐶;
−→
𝑢 .
−→
𝑣 = |
−→
𝑢 |.|
−→
𝑣 |cos(
−→
𝑢 ,
−→

𝑣 ) = 𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑦
1
𝑦
2
; cos(
−→
𝑢 ,
−→
𝑣 ) =
−→
𝑢 .
−→
𝑣
|
−→
𝑢 |.|
−→
𝑣 |
=
𝑥
1
𝑥
2
+𝑦
1
𝑦

2
√
𝑥
2
1
+𝑦
2
1
√
𝑥
2
2
+𝑦
2
2
;
−→
𝑢 ⊥
−→
𝑣 ⇔
−→
𝑢 .
−→
𝑣 = 0 ⇔ 𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑦
1
𝑦

2
= 0.
2. Đường thẳng
1. Δ qua 𝑀(𝑥
0
; 𝑦
0
), vtcp
−→
𝑢 = (𝑎; 𝑏) ̸=
−→
0 ⇒ Δ :

𝑥 = 𝑥
0
+ 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦
0
+ 𝑏𝑡
: PT tham
số, hoặc Δ :
𝑥−𝑥
0
𝑎
=
𝑦−𝑦
0
𝑏
(𝑎𝑏 ̸= 0): PT chính tắc; 2. Mọi đường thẳng có
PT tổng quát 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 = 0 (𝑎

2
+𝑏
2
̸= 0), vtpt
−→
𝑛 = (𝑎; 𝑏), vtcp
−→
𝑢 = (−𝑏; 𝑎);
3. Δ qua 𝑀(𝑥
0
; 𝑦
0
), vtpt
−→
𝑛 = (𝑎; 𝑏), thì Δ : 𝑎(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑏(𝑦 − 𝑦
0
) = 0;
4. Δ qua 𝑀(𝑥
0
; 𝑦
0
), có hệ số góc 𝑘, thì Δ : 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑦
0
;
5. Cho 𝑀(𝑥
0

; 𝑦
0
) và Δ : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, thì 𝑑(𝑀, Δ) =
|𝑎𝑥
0
+𝑏𝑦
0
+𝑐|
√
𝑎
2
+𝑏
2
;
6. cos(Δ
1
, Δ
2
) = |cos(
−→
𝑛
Δ
1
,
−→
𝑛
Δ
2
)| =
|

−→
𝑛
Δ
1
.
−→
𝑛
Δ
2
|
|
−→
𝑛
Δ
1
|.|
−→
𝑛
Δ
2
|
.
3. Đường tròn : 1. PT chính tắc của đường tròn : (𝑥 − 𝑥
0
)
2
+
(𝑦 −𝑦
0
)

2
= 𝑅
2
, tâm 𝐼(𝑥
0
; 𝑦
0
), bán kính 𝑅 > 0; 2. PT tổng quát của
đường tròn : 𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, tâm 𝐼(−𝑎; −𝑏), bán kính
𝑅 =
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
− 𝑐 > 0.
4. Elip : 1. PT chính tắc (𝐸) :
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2

= 1 (𝑎 > 𝑏 > 0); 2. Tiêu điểm
𝐹
1
(−𝑐; 0), 𝐹
2
(𝑐; 0), tiêu cự 𝐹
1
𝐹
2
= 2𝑐 > 0 và 𝑎
2
= 𝑏
2
+ 𝑐
2
; 3. Tâm
sai 𝑒 =
𝑐
𝑎
< 1; 4. PT đường chuẩn 𝑥 = ±
𝑎
𝑒
; 5. Bốn đỉnh 𝐴
1
(−𝑎; 0),
𝐴
2
(𝑎; 0), 𝐵
1
(0; −𝑏), 𝐵

2
(0; 𝑏); 6. Độ dài trục lớn (trục thực) : 2𝑎; trục
bé (trục ảo): 2𝑏; 7. PT hình chữ nhật cơ sở 𝑥 = ±𝑎, 𝑦 = ±𝑏; 8. Bán
kính qua tiêu : 𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝐸), thì 𝑀𝐹
1
= 𝑎 +
𝑐𝑥
𝑎
, 𝑀𝐹
2
= 𝑎 −
𝑐𝑥
𝑎
.
5. Hypebol : 1. PT chính tắc (𝐻) :
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
= 1 (𝑎, 𝑏 > 0);
2. Tiêu điểm 𝐹
1
(−𝑐; 0), 𝐹
2
(𝑐; 0), tiêu cự 𝐹

1
𝐹
2
= 2𝑐 > 0 và 𝑐
2
= 𝑎
2
+𝑏
2
;
3. Tâm sai 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1; 4. PT đường chuẩn 𝑥 = ±
𝑎
𝑒
; 5. Bốn đỉnh
𝐴
1
(−𝑎; 0), 𝐴
2
(𝑎; 0), 𝐵
1
(0; −𝑏), 𝐵
2
(0; 𝑏); 6. Độ dài trục lớn (trục
thực) : 2𝑎; trục bé (trục ảo): 2𝑏; 7. PT hình chữ nhật cơ sở 𝑥 = ±𝑎,
𝑦 = ±𝑏; 8. Bán kính qua tiêu : 𝑀 (𝑥; 𝑦) ∈ (𝐻), thì 𝑀 𝐹
1
=

⃒
⃒
𝑎 +
𝑐𝑥
𝑎
⃒
⃒
,
𝑀𝐹
2
=
⃒
⃒
𝑎 −
𝑐𝑥
𝑎
⃒
⃒
; 9. PT tiệm cận : 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥.
6. Parabol : 1. PT chính tắc (𝑃 ) : 𝑦
2
= 2𝑝𝑥 (𝑝 > 0); 2. Tiêu
điểm 𝐹

𝑝
2
; 0


; 3. PT đường chuẩn 𝑥 = −
𝑝
2
.
B. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. 𝑉
chóp
=
1
3
𝑆.ℎ; 2. 𝑉
lăng trụ
= 𝑆.ℎ; 3. 𝑉
cầu
=
4
3
𝜋𝑅
3
;
4. 𝑉
nón
=
1
3
𝑆.ℎ; 5. 𝑉
trụ
= 𝑆.ℎ; 6. 𝑆
xq-cầu

= 4𝜋𝑅
2
;
7. 𝑆
xq-trụ
= 2𝜋𝑅.ℎ; 8. 𝑆
xq-nón
= 𝜋𝑅𝑙, 𝑙: đường sinh hình nón.
C. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tích có hướng của hai véctơ : 1. Cho
−→
𝑢 = (𝑥
1
; 𝑦
1
; 𝑧
1
),
−→
𝑣 = (𝑥
2
; 𝑦
2
; 𝑧
2
), tích có hướng của hai véctơ
−→
𝑢 và
−→
𝑣 là một véctơ,

xác định bởi : [
−→
𝑢 ,
−→
𝑣 ] =
⎛
⎜
⎝
𝑦
1
𝑧
1
𝑦
2
𝑧
2
;
𝑧
1
𝑥
1
𝑧
2
𝑥
2
;
𝑥
1
𝑦
1

𝑥
2
𝑦
2
⎞
⎟
⎠
.
2. Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng
1. 𝑆
Δ𝐴𝐵𝐶
=
1
2
⃒
⃒
⃒
[
−→
𝐴𝐵,
−→
𝐴𝐶]
⃒
⃒
⃒
; 2. 𝑉
h.hộp
=
⃒
⃒

⃒
[
−→
𝐴𝐵,
−−→
𝐴𝐷].
−−→
𝐴𝐴
′
⃒
⃒
⃒
;
3. 𝑉
𝐴𝐵𝐶𝐷
=
1
6
⃒
⃒
⃒
[
−→
𝐴𝐵,
−→
𝐴𝐶].
−−→
𝐴𝐷
⃒
⃒

⃒
; 4. 𝑑(𝐴𝐵, 𝐶𝐷) =
|
[
−−→
𝐴𝐵,
−−→
𝐶𝐷].
−−→
𝐴𝐶
|
|
[
−−→
𝐴𝐵,
−−→
𝐶𝐷]
|
;
5. 𝑑(𝑀, 𝐴𝐵) =
|[
−−→
𝑀𝐴,
−−→
𝑀𝐵]|
|
−−→
𝐴𝐵|
=
|[

−−→
𝑀𝐴,
−−→
𝐴𝐵]|
|
−−→
𝐴𝐵|
; 6. cos(
−→
𝑢 ,
−→
𝑣 ) =
−→
𝑢 .
−→
𝑣
|
−→
𝑢 |.|
−→
𝑣 |
;
7. sin(
−→
𝑢 ,
−→
𝑣 ) =
|
[
−→

𝑢 ,
−→
𝑣 ]
|
|
−→
𝑢 |.|
−→
𝑣 |
; 8. cos(𝐴𝐵, 𝐶𝐷) =
⃒
⃒
⃒
cos(
−→
𝐴𝐵,
−−→
𝐶𝐷)
⃒
⃒
⃒
.
3. Mặt phẳng 1. Mọi mặt phẳng có PT tổng quát 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 = 0
(𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
̸= 0), vtpt

−→
𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐); 2. (𝛼) qua 𝑀 (𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
),
vtpt
−→
𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐), thì (𝛼) : 𝑎(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑏(𝑦 − 𝑦
0
) + 𝑐(𝑧 − 𝑧
0
) = 0;
3. Cho 𝑀(𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
) và (𝛼) : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, thì 𝑑(𝑀, 𝛼) =
|𝑎𝑥
0
+𝑏𝑦
0
+𝑐𝑧
0

+𝑑|
√
𝑎
2
+𝑏
2
+𝑐
2
; 4. cos(𝛼
1
, 𝛼
2
) = |cos(
−→
𝑛
𝛼
1
,
−→
𝑛
𝛼
2
)| =
|
−→
𝑛
𝛼
1
.
−→

𝑛
𝛼
2
|
|
−→
𝑛
𝛼
1
|.|
−→
𝑛
𝛼
2
|
.
4. Đường thẳng 1. Δ qua 𝑀(𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
), vtcp
−→
𝑢 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) ̸=
−→
0 ⇒
Δ :
⎧
⎪

⎨
⎪
⎩
𝑥 = 𝑥
0
+ 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦
0
+ 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧
0
+ 𝑐𝑡
: PT tham số, hoặc Δ :
𝑥−𝑥
0
𝑎
=
𝑦−𝑦
0
𝑏
=
𝑧−𝑧
0
𝑐
(𝑎𝑏𝑐 ̸= 0): PT chính tắc; 2. Cho 𝑀
0
∈ Δ, thì 𝑑(𝑀, Δ) =
|[
−−−→
𝑀𝑀

0
,
−→
𝑢
Δ
]|
|
−→
𝑢
Δ
|
;
3. 𝑑(Δ, Δ
′
) =
⃒
⃒
⃒
⃒

−→
𝑢 ,
−→
𝑢
′

.
−−−−→
𝑀
0

𝑀
′
0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒

−→
𝑢 ,
−→
𝑢
′

⃒
⃒
⃒
⃒
, 𝑀
0
∈ Δ, 𝑀
′
0
∈ Δ
′
; 4. cos(Δ

1
, Δ
2
) =
|cos(
−→
𝑢
Δ
1
,
−→
𝑢
Δ
2
)| =
|
−→
𝑢
Δ
1
.
−→
𝑢
Δ
2
|
|
−→
𝑢
Δ

1
|.|
−→
𝑢
Δ
2
|
; 5. sin(Δ, 𝛼) = |cos(
−→
𝑢
Δ
,
−→
𝑛
𝛼
)|.
5. Mặt cầu : 1. PT chính tắc của mặt cầu : (𝑥 −𝑥
0
)
2
+ (𝑦 −𝑦
0
)
2
+
(𝑧 −𝑧
0
)
2
= 𝑅

2
, tâm 𝐼(𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
), bán kính 𝑅 > 0; 2. PT tổng quát
của mặt cầu : 𝑥
2
+𝑦
2
+𝑧
2
+2𝑎𝑥+2𝑏𝑦 +2𝑐𝑧 +𝑑 = 0, tâm 𝐼(−𝑎; −𝑏; −𝑐),
bán kính 𝑅 =
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 𝑑 > 0.
2