tóm tắt công thức toán cấp 3

Page 1




TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC
CẦN NHỚ MÔN TOÁN

I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
2
2
( )
( 0; , ; ; ; 4 )
f x ax bx c
b
a R S b ac
a
   
  
       
12
12
12
12
12
12
1
0
/ ( ) 0,

0
0
/ ( ) 0,
0
/ ( ) 0
0
/ ( ) 0
0
2
0
/ ( ) 0
0
2
0
/
( ) 0
( ) 0
/
( ) 0
/
a f x x R
a
b f x x R
a
c x x af
d x x af
S
e x x af
S
xx

f
x x af
af
g x x
af
hx













   





   



   





   









   












  





   



  
2
12
12
12
( ) 0
( ) 0
( ) 0
/
( ) 0
/ ( ). ( ) 0
af
x
af
af
i x x
af
xx
j f f
xx

















   



  



  


12
0
( ) 0
/ ( ) 0
0
2
0
2
af
k x x af
S
S

  










    











2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
*
33
*
*
0
*
0
*
*
*
0
*
0
0
*
*0
*
nn
ab
ac
bc
a b a c b c
c

ac bc
ab
c
ac bc
ab
ab
a c b d
cd
a c b a b c
ab
ac bd
cd
ab
ab
nN
a b a b
a b a b






    















   



    












   
  

Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:
 

0
( , )
a a a a R
x a a x a a
x a x a x a
a b a b a b a b R
    
     
     
     

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không
âm):


Page 2

*
2
ab
ab


dấu “=” xảy ra khi a = b
*
3
3
abc
abc




dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số
thực):
2 2 2 2
* ( )( )ab cd a c b d   

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
  
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
*a b a b c b a a a b b b      
Dấu “=” xảy ra khi
3
12
1 2 3
a
aa
b b b


3. Cấp số cộng:
a/Đònh nghóa: Dãy số u
1
, u
2
…….,u
n
,…….

Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
1nn
u u d



b/Số hạng thứ n:
1
( 1)
n
u u n d  

c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
11
( ) [2 ( ) ]
22
nn
nn
S u u u n d    

4. Cấp số nhân:
a/Đònh nghóa: Dãy số u
1
, u
2
…….,u
n
,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
1

.
nn
u u q



b/Số hạng thứ n:
1
1
.
n
n
u u q



c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1
1
( 1)
1
n
n
q
S u q
q




Nếu
1
1 1 lim
1
n
n
u
qS
q

    


5. Phương trình, bất phương trình chứa giá
trò tuyệt đối:
22
*
0
*
*
*
*
A B A B
B
AB
AB
AB
AB
AB
A B A B

AB
AB
AB
   












  







6. Phương trình , bất phương trình chứa căn
thức:
2
2
2
0 ( 0)

*
0
*
0
*
0
*0
0
0
*
0
AB
AB
AB
B
AB
AB
A
AB
AB
A
A B B
AB
B
A
AB
B
AB






















  























7. Phương trình, bất phương trình logarit:
 
01
*log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)
f(x)=g(x)
01
( ) 0
*log ( ) log ( )
( ) 0
( 1) ( ) ( ) 0
aa
aa
a
f x g x f x g x
a
fx
f x g x
gx

a f x g x



   













  


8. Phương trình , bất phương trình mũ:
 
( ) ( )
( ) ( )
01
( ) ( )
*
1
/ ( ), ( )

0
*
( 1) ( ) ( ) 0
f x g x
f x g x
a
f x g x
aa
a
f x g x
a
aa
a f x g x
  






















  




Page 3

9. Lũy thừa:
.
.
* . .
*
*( )
*
*
* ( . )
1
*
*
k
n
m n m
kk
nm
a a a a

a
a
a
aa
aa
aa
bb
a b ab
a
a
a a a
     



  







  


















10. Logarit:0<N
1
, N
2
, N và
0 , 1ab
ta có:
21
log
log log
12
1 2 1 2
1
12
2
*log
*log
*
*

*log ( ) log log
*log log log
*log log
1
*log log
log
*log
log
1
*log
log
a
aa
M
a
M
a
N
NN
a a a
a a a
aa
a
a
b
a
b
a
b
N M N a

aM
aN
NN
N N N N
N
NN
N
NN
NN
N
N
a
b
a




  















II. LƯNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản:
22
2
2
2
2
sin cos 1
sin
cos
cos
cot
sin
.cot 1
1
1
cos
1
1 cot
sin
xx
x
tgx
x
x
gx

x
tgx gx
tg x
x
gx
x







2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos( ) cos
sin( ) sin
()
cot ( ) cot
xx
xx
tg x tgx
g x gx

  
  
  

Cung bù:
sin( ) sin

cos( ) cos
()
cot ( )
xx
xx
tg x tgx
g x tgx





  
  
  

Cung phụ:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( ) cot
2
cot ( )
2
xx
xx
tg x gx
g x tgx










Cung hơn kém

:
sin( ) sin
cos( ) cos
()
cot ( ) cot
xx
xx
tg x tgx
g x gx




  
  




Page 4

Cung hơn kém
2


sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( ) cot
2
cot ( )
2
xx
xx
tg x gx
g x tgx





  
  
  

3. Công thức cộng:
sin( ) sin cos sin cos
( ) cos cos sin sin
()

1
x y x y y x
cox x y x y x y
tgx tgy
tg x y
tgxtgy
  






4. Công thức nhân đôi:
2
2 2 2
2
2
2
sin 2 2sin cos
cos2 2cos 1
1 2sin cos sin
2
2
1
1 cos2
cos
2
1 cos2
sin

2
x x x
xx
x x x
tgx
tg x
tg x
x
x
x
x


   







5. Công thức nhân ba:
3
3
3
2
3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos

3
3
13
3cos cos3
cos
4
3sin sin3
sin
4
x x x
x x x
tgx tg x
tg x
tg x
xx
x
xx
x










6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx
theo

2
x
t tg

2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
1
t
x
t
t
x
t
t
tgx
t









7. Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
 
 
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
   
   
   

b/Tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos

22
sin sin 2cos sin
22
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
sin( )
cot cot
sin sin
sin( )
cot cot
sin
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy
xy
tgx t gy
xy
xy
tgx tgy
xy
xy
gx gy
xy

xy
gx gy



  












sinxy

Đặc biệt:
2
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
44
sin cos 2sin( ) 2 cos( )
44
1 sin 2 (sin cos )
x x x x
x x x x
x x x



    
     
  


II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:

Page 5

1. Phương trình cơ bản:
 
2
/sin sin k Z
2
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
2
/cos cos (k Z)
2
cos 1 2
cos 1 2
cos 0
2
/ ( )
/cot cot

x u k
a x u
x x k
x x k
x x k
x x k
x u k
b x u
x u k
x x k
x x k
x x k
c tgx tgu x u k k Z
d gx gu x u k

















  

  

   
     
  


  

  

   
    
  
    
    ( )kZ



2. Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,
cotgx) ta chuyển về phương trình:
1
10
0
nn
nn

a t a t a


   

Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú
ý điều kiện
11t  

3. Phương trình bậc nhất theo sinx và
cosx:
sin cosa x b x c

Điều kiện để có nghiệm:
2 2 2
a b c

Cách giải: Chia hai vế cho
22
ab
và
sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ
bản
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với
sinx và cosx:
22
sin sin cos cos 0a x b x x c x d   

Cách giải:
*Xét

cos 0
2
x x k


   
có là
nghiệmkhông?
*Xét
cos 0x 
chia 2 vế chia cho cos
2
x
và đặt t= tgx Chú ý:
2
2
1
(1 )
cos
d d tg x
x


5. Phương trình dạng:
.(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c   

Cách giải: Đặt
22
sin cos 2sin( ) 2 2
4

11
sin .cos (sin .cos )
22
t x x x t
tt
x x x x

       

  
và giải phương trình bậc hai theo t

III. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Đònh lý cosin:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
cos
2
cos
2
cos
2
a b c bc A

b a c ac B
c a b ab C
b c a
A
bc
a c b
B
ac
a b c
C
ab
  
  
  







2. Đònh lý hàm số sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  

3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
24
24
24
a
b
c
b c a
m
a c b
m
a b c
m







4. Công thức độ dài đường phân giác trong:
2 cos
2
2 cos
2

2 cos
2
a
b
c
A
bc
l
bc
B
ac
l
ac
C
ab
l
ab








Page 6

5. Công thức tính diện tích tam giác:
1 1 1
. . .

2 2 2
1 1 1
.sin .sin .sin
2 2 2
.
4
( )( )( )
a b c
S a h b h c h
S bc A ab C ac B
abc
S p r
R
S p p a p b p c
  
  

   

III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1. Đạo hàm các hàm số thường gặp:

1
2
2
2
1/( )' .
1
2/( )'
2

11
3/ '
4/(sin )' cos
5/(cos )' sin
1
6/( )'
cos
1
7/(cot )'
sin
8/( )'
9/( )' ln
1
10/(ln )'
1
11/(log )'
.ln
xx
xx
a
xx
x
x
xx
xx
xx
tgx
x
gx
x

ee
a a a
x
x
x
xa


















1
2
2
2
12/( )' . . '
'

13/( )'
2
1'
14/ '
15/(sin )' '.cos
16/(cos )' '.sin
'
17/( )'
cos
'
18/(cot )'
sin
19/( )' '
20/( )' ' ln
'
21/(ln )'
'
22/(log )'
.ln
uu
uu
a
u u u
u
u
u
u
uu
u u u
u u u

u
tgu
u
u
gu
u
e u e
a u a a
u
u
u
u
u
ua



















2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

1
2
( 1)
1
ln
1
xx
dx x C
x
x dx C
dx
xC
x
dx
C
xx
e dx e C






  



  







2
2
ln
cos sin
sin cos
cos
cot
sin
x
x
a
a dx C
a
xdx x C
xdx x C
dx
tgx C
x
dx
gx C
x



  

  







Chú ý:
1
( ) ( )f ax b dx F ax b C
a
   


3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể
tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình
phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:

( ) ( )
( ) ( )
a
b
a
b

S f x g x dx
S f y g y dy





-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
22
( ) ( )
a
b
V f x g x dx




*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
22
( ) ( )
a
b
V f y g y dy




-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các
giao điểm.

Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các
giao điểm.

IV. HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH
 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt
phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác đònh được một điểm
duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’
gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình
đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
 Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến
theo vectơ
u

là một phép biến hình biến
điểm M thành điểm M’ sao cho
'.MM u
 

Phép tònh tiến theo vectơ
u

thường được ký
hiệu là T hoặc
u
T

. Vectơ

u

được gọi là
vectơ tònh tiến.
 Tính chất của phép tònh tiến:
Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai điểm
M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì
M’N’ = MN
Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

Page 7

làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến
góc thành góc bằng nó.
 Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến: Trong
mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép
tònh tiến theo vectơ
u

.
Biết tọa độ của
u

là (a,b). Giả sử điểm

M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta
có:
'
'
x x a
y y b






 Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép
biến hình không là thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường
thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính , biến góc thành góc bằng nó.

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
 Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép đối
xứng qua đường thẳng a là phép phép biến
hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng
với M qua a
 Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép dời

hình
 Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:
'
'
xx
yy






Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:
'
'
xx
yy






 Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng
d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép
đối Đ
d

biến H thành chính nó, tức là Đ
d
(H) =
H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
 Đònh nghóa phép quay: Trong mặt phẳng
cho điểm O cố đònh và góc lượng giác


không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O
thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và
( , ')OM OM


được gọi là phép quay tâm
O góc quay

.
 Đònh lý: Phép quay là một phép dời hình
 Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua
điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có
nghóa là
'0OM OM
  

 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho

phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta
có:
'2
'2
x a x
y b y






 Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là
tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối
xứng tâm Đ
o
biến hình H thành chính nó, tức
là Đ
o
(H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:
 Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác
bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác
ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam
giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời
hình biến tam giác này thành tam giác kia.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG:

Page 8

1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
*
( , )
B A B A
AB x x y y  


*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:
MA
k
MB



(
1k 
)
Tọa độ điểm M được xác đònh bởi:
1
1
AB

M
AB
M
x kx
x
k
M
y ky
y
k














*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:
2
2
AB
I

AB
I
xx
x
I
yy
y












*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
3
3
A B C
G
A B C
G
xxx
x
G

yyy
y












*Cho tam giác ABC có
1 2 1 2
1 2 2 1
( ; ), ( ; )
1
2
ABC
AB a a AC b b
S a b a b


  
 

2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng


:
-Phương trình tổng quát:
0Ax By C  

Vectơ pháp tuyến
22
( ; ); 0n A B A B  


-Phương trình tham số:
0
0

x x at
tR
y y bt







Vectơ chỉ phương
( ; )u a b

và qua điểm M(x
0
; y

0
)
-Phương trình chính tắc:
00
x x y y
ab



-Phương trình đoạn chắn:
1
xy
ab



qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
0
' ' ' 0
Ax By C
A x B y C
  
  

2 2 2 2
. ' . '
. ' '
A A B B
Cos

A B A B





c/Khoảng cách từ một điểm
00
( ; )M x y
đến đường
thẳng:
00
/
22
M
Ax By C
d
AB





d/Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
hai đường thẳng:
2 2 2 2
' ' '
''
AX By C A x B y C
A B A B

   



e/Xác đònh phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài
Hai điểm M(x
1
; y
1
) và M’(x
2
; y
2
) nằm cùng phía so
với

12
.0tt

Hai điểm M(x
1
; y
1
) và M’(x
2
; y
2
) nằm khác phía so
với


12
.0tt

1 1 2 2
12
2 2 2 2
' ' '
( ; )
''
Ax By C A x B y C
tt
A B A B
   




3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và
bán kính R
   
22
2
x a y b R   

-Dạng 2: Phương trình có dạng
22
2 2 0x y ax by c    

Với điều kiện
22
0a b c  
là phương trình đường
tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính
22
R a b c  

-Phương tích của một điểm M
0
(x
0
; y
0
) đối với một
đường tròn:
22
/( ) 0 0 0 0
22
MC
P x y ax by c    

4/Elip:
-Phương trình chinh tắc Elip (E)
22
22
1
xy
ab



2 2 2
( );a b c a b  

-Tiêu điểm: F
1
(-c; 0) , F
2
(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A
1
(-a; 0) , A
2
(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B
1
(0; -b) , B
2
(0; b)
-Tâm sai :
1
c
e
a


-Phương trình đường chuẩn:
a
x

e



Page 9

-Bán kính qua tiêu:
1
2
M
M
MF a ex
MF a ex



-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
0
( x
0
; y
0
)
()E

00
22
1
x x y y
ab




-Điều kiện tiếp xúc của
(E):
22
22
1
xy
ab

và

:
0Ax By C  
là:
2 2 2 2 2
A a B b C


5/Hypebol:
a/ Phương trình chinh tắc Elip (E)
22
22
1
xy
ab


2 2 2

c a b

-Tiêu điểm: F
1
(-c; 0) , F
2
(c; 0)
-Đỉnh: A
1
(-a; 0) , A
2
(a; 0)
-Tâm sai :
1
c
e
a


-Phương trình đường chuẩn:
a
x
e


-Phương trình tiệm cận:
b
yx
a


-Bán kính qua tiêu:
1
2
M
M
MF ex a
MF ex a



-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
0
( x
0
; y
0
)
()E

00
22
1
x x y y
ab


-Điều kiện tiếp xúc của
(E):
22

22
1
xy
ab

và

:
0Ax By C  
là:
2 2 2 2 2
A a B b C

6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
2
( ): 2P y px

-Tiêu điểm:
( ;0)
2
p
F

-Phương trình đường chuẩn:
2
p
x 

-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x

0
; y
0
)
()P
:
00
()y y p x x

-Điều kiện tiếp xúc của (P) và
 

:
0Ax By C  

2
2AC B p


II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN:
1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Đònh nghóa: cho hai vectơ
( ; ; )
( '; '; ')
u x y z
v x y z






, ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
uv
y z z x x y








Các ứng dụng:
-
,uv

cùng phương
,0uv



  

-
,,u v w
  
đồng phẳng

, . 0u v w



  

-
1
,
2
ABC
S AB AC




 

-ABCD là tứ diện
, . 0AB AC AD m

  

  

-
1
6
ABCD
Vm

b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
2 2 2
0
( ; ; ) ( 0)
Ax By Cz D
n A B C A B C
   
   


Dạng 2:
0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
( , , ), ( ; ; )
A x x B y y C z z
n A B C M x y z
     



-Phương trình mặt phẳng chắn:
1
x y z
a b c
  

((

) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt
phẳng khác:
( ): 0
( ): ' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D


   
   
là
( ) ( ' ' ' ') 0Ax By Cz D A x B y C z D

       

Trong đó
22
0



-Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt
phẳng:

Page 10

 

 
:0
: ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D


   
   

   
   
   
/ : : ': ': '
/
' ' ' '
/ //
' ' ' '



   
    
   
a d A B C A B C
A B C D
b
A B B D
A B C D
c

A B C D

3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
   


   


b/ Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct









Trong đó (x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương là
( ; ; )u a b c


c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
0 0 0
2 2 2
( 0)
x x y y z z
a b c
abc
  

  

4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
Giả sử đường thẳng d qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có vectơ
chỉ phương là
( ; ; )u a b c


và đường thẳng d’ qua
0 0 0 0
' ( ' ; ' ; ' )M x y z
và có vectơ chỉ phương là
' ( '; '; ')u a b c


     
     
00
00
0 0 0
0 0 0
00
/ , ' . ' . ' 0
. ' . ' 0
/'
: : : ': '
/ ' : : ': ': ' : :
/ ' : : ': ': ' : :
/ , ' . ' . ' 0
a d d u u M M
u u M M
b d d I
a b c a b c
c d d a b c a b c x x y y z z
d d d a b c a b c x x y y z z
e d d u u M M




  






  




     
      

  

  
  

  
5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian: trong không gian cho :
 
 
 
 
0 0 0
0 0 0

0 0 0
:
:0
/0
0
/
0
0
/
0
x x y y z z
d
a b c
Ax By Cz D
a d I aA bB cC
aA bB cC
bd
Ax By Cz D
aA bB cC
cd
Ax By Cz D




  

   
     
  




   

  



   



6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:
 
0 0 0 0
0 0 0
( / )
2 2 2
( ; ; )
:0
M
M x y z
Ax By Cz D
Ax By Cz D
d
A B C



   
  



-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm
1 1 1 1
0 0 0
( ; ; )
:
M x y z
x x y y z z
d
a b c
  


0
/
.
Md
M M u
d
u



 


-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
0 0 0
00
00
/'
:
''
'0
':
' ' '
. ' . . '
.'
x x y y z z
a b c
x x y y
zz
a b c
u u M M
d
uu

  
  


  






  
 

7/ Góc :
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi

là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
2 2 2 2 2 2
: ( ; ; )
': ' ( ', ', ')
.'
' ' '
cos
.'
' ' '
d u a b c
d u a b c
uu
aa bb cc
uu
a b c a b c





   



 
 

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi

là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Page 11

 
00
2 2 2 2 2 2
: ( ; ; )
: ( ; ; )
0 90
sin
d u a b c
n A B C
Aa Bb Cc
A B C a b c









   



- Góc giữa hai mặt phẳng:
 
 
2 2 2 2 2 2
:0
: ' ' ' ' 0
' ' '
cos
' ' '
AX By Cz D
A x B y C z D
AA BB CC
A B C A B C



   
   


   


8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R

     
2 2 2
2
x a y b z c R     

Dạng 2:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d      

Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính
2 2 2
R a b c d   


III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
-Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm chung
ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt
nhau

A a b

2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng
( ) ( )ABC



b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
thẳng
( ) ( , )aA



c/ Hai đường thẳng cắt nhau
( ) ( , )ab



d/ Hai đường thẳng song song : a//a’
( ) ( , ')aa



Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm
trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng


thì d song song
với mặt phẳng


3/ Nếu d//

, mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và
cắt

theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng
song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d
và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song
với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có)
cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào
song song với đường thẳng này thì cũng song song
hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của 2
mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao tuyến
mới song song nhau
8/ Nếu
//

thì

song song với mọi đường thẳng

nằm trong


9/ Nếu

chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song
với

thì
//


10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt
mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai
và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt
phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)
thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng sẽ
vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc
chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một
mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì
song song nhau.

Page 12

7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc
với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa
đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng
khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song
song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì
cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào
nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao
tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt
mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai
và hai giao tuyến song song
16/ Đònh lý ba đường vuông góc
Giả sử

 
 
là đường xiên
nằm trong
OH
OA
Ad










Ta có
OA D HA D  

O



d

H A



Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH d

2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các
khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng

là độ dài đoạn
OH



4/ Khoảng cách từ O đến

là ngắn nhất so với các
khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên


5/ Khoảng cách giữa
//d

là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên d đến


6/Khoảng cách giữa

//

là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên

đến


7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ
dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

là góc
nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống


9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhọn
tạo bởi hai đường thẳng song song với hai đường
thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai
đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường thẳng
nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng vông
góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d
1
và d
2

:
- Dựng mặt phẳng

chứa d
2
và song song với d
1

- Tìm hình chiếu d’ của d
1
lên

, d’ cắt d
2
tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với

cắt d
1
tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2


Page 13

Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
 

1
1/ Thể tích hình chóp: V= .
3
2/ Thể tích chóp cụt:
B,B' là diện tích 2 đáy
1
V= ' . ' .
3
h là chiều cao hình chóp
3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c
4/ Diện tích xung qu
đáy
Sh
B B B B h




xq
tp xq
2
xq
2
anh hình trụ: S 2
5/ Diện tích toàn phần hình trụ: S S 2
6/ Thể tích hình trụ: V= R
7/ Diện tích xung quanh hình nón: S
1
8/Thể tích hình nón V=
3

9/ Diện tích xung quan
đáy
Rh
S
h
Ra
Rh







 
 
xq
22
2
xq
3
h hình nón cụt:S '
2
1
10/ Thể tích hình nón cụt: V= ' '
3
11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: S 4
4
12 / Thể tích mặt cầu: V=
3

R R a
R R RR h
R
R







V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
-Hoán vò:
! ( 1)( 2) 3.2.1
n
P n n n n   

-Chỉnh hợp:
 
 
!
0
!
k
n
n
A k n
nk
  


-Tổ hợp:
 
!
!!
k
n
n
C
n k k



-Các hệ thức cần nhớ:
 
 
 
1
11
! 1 !
0
0
k n k
nn
k k k
n n n
n n n
C C k n
C C C k n





  
   

-Nhò thức Newton:
0 0 1 1
0
( )

n n n k n k k n n
n n n n
k
k n k k
n
n
a b C a b C a b C a b C b
C a b



      


-Các công thức cần nhớ:
0 1 2
0 1 2
2
( 1) ( 1) 0

nn
n n n n
k k n n
n n n n n
C C C C
C C C C C
    
        