SKKN góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
LỚP 11 THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ :
“GĨC TRONG KHƠNG GIAN"
MƠN : TỐN


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NAM YÊN THÀNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
LỚP 11 THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ :
“GĨC TRONG KHƠNG GIAN"

Mơn: Tốn
Người thực hiện: Nguyễn Thị Bảo
Thời gian thực hiện: Năm 2022
Số điện thoại: 0396 806 139


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1

1. Lý do chọn đề tài……………………………………………

1

2. Mục đích của đề tài…………………………………………

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………….

2

4. Giới hạn của đề tài…………………………………………..

2

5. Tính mới của đề tài ………………………………………

2

6 . Phương pháp nghiên cứu…………………………………….
PHẦN II. NỘI DUNG…………………………………………….
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn…………………………………….
1.1 Cơ sở lý luận………………………………………………….
1.1.1 Khái niệm …………………………………………………..
1.1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực…………………………………
1.1.3 Nội dung chủ đề “ góc trong khơng gian” trong chương trình
1.2 Cơ sở thực tiễn ……………………………………………..

3

3
3
3
4
4
4

2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong
khơng gian.

4

2.1 Một số kiến thức cơ bản ……………………………………

4

2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian…………………
2.1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……………………….
2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng…………………………………….
2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
2.2.1 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
cho học sinh thơng qua dạng tốn liên quan đến góc giữa hai
đường thẳng
2.2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
cho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng
2.2.3 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng
tạocho học sinh thơng qua dạng tốn liên quan đến góc giữa hai
mặt phẳng

6
7
8
8

14
26

2.2.4 Bài tập tự luyện……………………………………………..

35

3. Kết quả thực nghiệm sư phạm…………………………………..

37


3.1 Mục đích thực nghiệm………………………………………….

37

3.2 Nội dung thực nghiệm………………………………………….

37

3.3 Kết quả thực nghiệm…………………………………………..

38

III. KẾT LUẬN…………………………………………………

39

1. Kết luận…………………………………………………….

39

2. Kiến nghị…………………………………………………..

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….

40


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.Lý do chọn đề tài
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành
Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ
mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thơng, trong đó có mục tiêu: phát triển năng lực
công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.
Chương trình tổng thể Ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày
26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục tốn học hình thành và phát triển cho học sinh
những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố
cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mơ hình hố tốn học, năng
lực giải quyết vấn đề tốn học,…”. Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể cũng
chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn
có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến

thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực
hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những
điều kiện cụ thể”.
Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường
THPT, hoạt động dạy giải bài tập tốn có vai trị hết sức quan trọng. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ mơn Tốn ở bậc
THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn
luyện kỹ năng giải Tốn, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ,
phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển
năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Hình học khơng gian là nội dung trong chương trình học của các lớp ở
trường phổ thơng, được giới thiệu trong hình học lớp 5, lớp 8, lớp 9 và đi sâu
nghiên cứu ở các lớp 11 và 12. Đây là phần kiến thức rất quan trọng đối với con
người trong cuộc sống thực tế.
Vì sự quan trọng như vậy nên trong chương trình học dành khá nhiều thời
gian cho việc dạy và học hình học khơng gian. Tuy nhiên, việc dạy và học hình
học khơng gian gặp rất nhiều khó khăn; khó khăn khơng chỉ đối với học sinh mà cả
với giáo viên. Có nhiều điều làm cho việc dạy và học hình học khơng gian chưa đạt
kết quả cao, và có lẽ điều khó khăn nhất trong việc dạy và học nội dung này là việc
chúng ta phải biểu diễn và hình dung một vật thể thực trong không gian ba chiều
lên trên giấy ( tức là trên không gian hai chiều), do đó việc tưởng tượng và nhìn
nhận hình cho đúng với thực tế là rất khó khăn.
Trong đề THPT Quốc Gia nay là TN THPT và các đề Đánh giá năng lực
của các trường Đại học thường có câu về hình học khơng gian liên quan đến “góc
trong khơng gian”. Với tâm lý chung của nhiều học sinh là sợ học hình khơng gian
thì những bài tốn dạng này bị các em bỏ qua vì nghĩ nó q khó để có thể hiểu. Là
một giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn tơi ln băn khoăn, trăn trở trong việc tìm
các giải pháp để các em với học lực mơn Tốn khác nhau xoá đi suy nghĩ sợ học
1

hình khơng gian nói chung và các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải
các bài toán liên quan đến “ góc trong khơng gian”, góp phần phát triển năng lực
giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập mơn
Tốn,hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh.
Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thơng qua
dạy học chủ đề : góc trong khơng gian ”
1.2. Mục đích của đề tài
Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy
cho học sinh các bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài tốn
khó và phức tạp . Từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
cho cho học sinh.
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 11 và giáo viên THPT .
Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung chương trình Hình Học 11, mở rộng
phù hợp với nội dung thi ĐH, HSG.
1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh
khi dạy chủ đề “góc trong khơng gian” qua đó góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11.
ơ

1.5. Tính mới của đề tài

- Đề tài xây dựng được hệ thống bài tập góc giữa hai đường thẳng trong
khơng gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng với nhiều
phương pháp giải quyết khác nhau.
- Đề tài có đưa vào các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình
học khơng gian liên quan đến góc với các hướng giải quyết khác nhau.

1.6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra quan sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

2


PHẦN II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Khái niệm
- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện,
cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá
nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành cơng một loại hoạt động
nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”
- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là:
+ Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện
của người học.
+ Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc
tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...
+ Năng lực được hình thành, phát triển thơng qua hoạt động và thể hiện ở sự
thành công trong hoạt động thực tiễn.
1.1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực
- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và
phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:
+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thơng qua tất cả các
môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và
hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua
một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực
tính tốn, năng lực khoa học, năng lực cơng nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm
mĩ, năng lực thể chất.
- Theo chương trình GDPT mơn Tốn năm 2018, u cầu cần đạt về năng
lực đặc thù là: Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực
toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn) bao gồm các thành phần
cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hố tốn học;
năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng
cơng cụ, phương tiện học tốn.
1.1.3. Nội dung chủ đề “góc trong khơng gian” trong chương trình mơn
tốn lớp 11.
Phần này được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 11 với các nội dung
Mục III: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian - bài 2 - chương III.
Mục V.3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - bài 3 - chương III.
Mục I : Góc giữa hai mặt phẳng - bài 4 - chương III.

3


1.2. Cơ sở thực tiễn.
Có thể nói chủ đề góc trong khơng gian là một chủ đề hay trong chương
trình mơn Tốn lớp 11, nó liên quan đến nhiều bài tốn hình học khơng gian trong
các đề thi TNTHPT, đề đánh giá năng lực của các trường Đại học, đề thi học sinh
giỏi . Kiến thức cơ bản về nội dung này được đề cập trong sách giáo khoa nhưng
vẫn cịn một số tồn tại:
- Bài tập về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
hầu như là không được đề cập trong sách giáo khoa. Bài tập góc giữa hai mặt
phẳng được đề cập nhưng rất ít.
- Khi giảng dạy giáo viên ít chú trọng đến đến việc xác định góc và tính

góc, dẫn đến nhiều học sinh lúng túng khi gặp dạng toán này.
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Nam Yên Thành nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực
giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo (nhiều em có điểm mơn Tốn tuyển sinh
vào 10 chưa đạt 2,0 điểm). Các bài tốn thuộc chủ đề góc trong không gian trong
các đề thi thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán
này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước
biến đổi.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp, tôi thấy rằng khi ra những bài tập
dạng này học sinh thường lúng túng trong q trình giải.
2 .Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong khơng gian.
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1.Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian
a. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a và
b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . Kí hiệu: a; b
b

a

a'
b'
O

b) Tính chất.
+) a b

a; b

900

a / /b
a b

a; b

00

+)

+) 00

a; b

900

4


+) Nếu u , v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b và u; v

0

0

a; b

90

0

a; b

 khi  900

a; b

1800 

 thì :

khi 900  1800

c). Cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian.
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b
Cách 1: Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a , b lần lượt song
song với a và b . Khi đó a; b

a '; b '

Cách 2: Từ điểm O thuộc đường thẳng a hoặc b, vẽ đường thẳng đi qua O
và song song với đường thẳng cịn lại . Khi đó : a; b

a; b '

a '; b .

a
b'

O
b

d) Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian.
Phương pháp 1: Xác định góc , sau đó tính góc (dùng định lý cosin hoặc hệ
thức lượng trong tam giác vuông ).
Phương pháp 2: Tính góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng,
từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng.

 

cos  a; b  = cos u; v

với cos  u; v  

u.v
u.v

( u , v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b ).
2.1.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói
rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   bằng 90 .
Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng   thì góc giữa a
và hình chiếu a của nó trên   được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng   .
Kí hiệu :  a;   
5


A

φ

a'

M

H
a

α

b) Tính chất :





+) 00   a;     900

+) a     a,    900
a// 

+)

a



a; 

00

c) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau.
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:





+) Nếu a    thì a,    900
+) Nếu a khơng vng góc với   thì ta tìm hình chiếu a’ của a lên  
Cách tìm hình chiếu a của a trên mặt phẳng   ta có thể làm như sau
A

φ

a'

M

H
a

α

B1: Tìm giao điểm M  a    .
B2: Xác định một điểm A trên đường thẳng a  A  M  và tìm hình chiếu vng góc
H của A trên mặt phẳng   .
B3: Kết luận : a là đường thẳng đi qua hai điểm M và H. Khi đó :

 a;      a; a '  AMH  

d) Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau
Phương pháp 1 : Dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( mục 2.1.2 c)
sau đó tính góc ( sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng)
Phương pháp 2 : Khơng xác định góc mà sử dụng khoảng cách :

6


AH
AM

Theo cách xác định góc ở mục 2.1.2 c ta suy ra sin 

d A, 
AM

( M là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, A là điểm khác M nằm trên
đường thẳng )
2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng.

b

a) Định nghĩa:

a

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai



đường thẳng lần lượt vng góc với hai



mặt phẳng đó.
Kí hiệu :

 , 

b) Tính chất :
)



+) 00
+)



 , 

 , 

 // 




900

900

 , 

00

c) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
Cách 1:
+) Xác định giao tuyến 



c.

+) Lấy điểm I bất kì thuộc c.
+) Trong   dựng a  c tại I

c
I

+) Trong    dựng b  c tại I
+) KL:

 , 

a, b

a



b



7


Cách 2:
+) Xác định giao tuyến 
+) Lấy A





a.
β

A a

dựng
A



A a AK

Khi đó, a
Do đó,

a, K

a , AH

AHK suy ra HK

 , 

Từ đó suy ra sin 

AK , HK
AH
AK

 ,H

H



a.

AKH 

a

φ

A

α

K

d A, 
d A, a

d) Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
Phương pháp 1 : Dựng góc giữa hai mặt phẳng ( mục c ), sau đó tính góc .
Phương pháp 2: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vng góc với hai mặt
phẳng  ,  .Tính góc giữa hai đường thẳng a, b đó.
Phương pháp 3: Sử dụng cơng thức hình chiếu S ' S .cos

cos

S'
S



(  là góc giữa hai mặt phẳng  và  .
Phương pháp 4. Sử dụng khoảng cách (dựa vào cách 2 mục 2.1.3c )
sin 

AH
AK

d A, 
d A, a

(với A là điểm nằm trên mặt phẳng  , A không nằm trên giao tuyến a của hai
mặt phẳng  và  )
2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
cho học sinh
2.2.1 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo cho học sinh lớp thơng qua dạng tốn tính góc giữa hai đường thẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi ,cạnh bên SA  AB
và SA vng góc với BC .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC .
b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB, SD sao cho IJ / / BD . Chứng minh góc
giữa AC và IJ khơng phụ thuộc vào vị trí của I và J.
8


Phân tích bài tốn :
S

J
I
D
A

B

C

Ta thấy AD//BC và SA vng góc với BC nên SA vng góc với AD. Đáy ABCD là
hình thoi mà SA=AB
nên SA=AB=AD=BC=CD.
a) Cách 1: Ta thấy góc giữa hai đường thẳng SD và BC chính là góc giữa hai
đường thẳng SD và AD. Ta tính góc SDA để suy ra góc giữa hai đường thẳng SD
và BC.
Cách 2: Ta tính tích vơ hướng SD.BC để suy ra góc giữa hai véctơ SD, BC .
Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
b) Vì IJ// BD nên góc giữa IJ và AC là góc giữa BD và AC.
Lời giải
a) Cách 1: Ta thấy AD//BC và SA vng góc với BC nên SA vng góc với
AD. Đáy ABCD là hình thoi mà SA=AB nên SA =AD. Vậy tam giác SAD vuông tại
cân tại A.
Do BC// AD nên SD; BC
Vậy : SD; BC

450 .

Cách 2: Ta có: SD.BC
cos SD, BC

AD; AD . Mà SDA 450 ( vì tam giác SAD vng cân).

SD.BC
SD . BC

SA AD .BC

AD 2
AD 2. AD

b) Vì IJ// BD nên IJ ; AC

SA.BC AD.BC

1
2

SD, BC

BD; AC

0 AD.BC

AD 2

450 . Vậy : SD; BC

450 .

900 ( ABCD là hình thoi). Vậy góc

giữa hai đường thẳng AC và IJ luôn không đổi và bằng 900 , khơng phụ thuộc vào
vị trí của I và J.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy ABCD
là hình vng. Gọi N là trung điểm của SB.
a) Chứng minh các tam giác SAB, SCD là các tam giác vuông.
9

b) Tính góc giữa hai đường thẳng : AN và CN; AN và ND; AN và SD.
Phân tích bài tốn :
a) Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng a, AC và BD là hai đường chéo của
hình vng nên ta sẽ tính được độ dài theo a. Từ đó áp dụng định lý Py-ta-go đảo
để chứng minh tam giác vng.
b) Các tam giác CAN và AND có thể tính được độ dài ba cạnh của chúng. Ta
sẽ sử dụng định lý Cosin tính ANC và AND , từ đó suy ra góc giữa hai đường
thẳng AN và NC; AN và ND.
Lời giải
S

N

B
A

D

C

Do đáy ABCD là hình vng cạnh a

AC

BD a 2

a) Tam giác SAC có : SA2 SC 2 a 2 a 2 2a 2 AC 2 .Theo định lý Py-ta-go
đảo ta có tam giác SAC vng tại S .
Chứng minh tương tự ta có tam giác SBD vuông tại S .
b) Tam giác SAB và SBC là các tam giác đều cạnh a, AN và CN là các trung

tuyến

AN

a 3
.
2

CN

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ANC, ta có:

cos ANC

ANC

AN 2 NC 2 AC 2
2. AN .NC

arccos

1
với 900
3

a 3
2

2

2.

arccos

a 3
2

2

a 3 a 3
.
2
2

1
3

a 2

2

1
3

1800 . Vậy AN , CN

1800 arccos

1
3

*) Vì tam giác SBD vng tại S, N là trung điểm của SB nên:
ND 2

SD 2 SN 2

a2

a
2

2

5a 2
4

ND

a 5
2
10


Áp dụng định lý Cosin vào tam giác AND, ta có :

cos AND

AN

2

2

ND AD
2. AN .ND

AND arccos

a 3
2

2

2.

2

a 5
2

2

a2

a 3 a 5
.
2
2

2 15

. Vậy AN , DN
15

2 15
15

arccos

2 15
15

AB.SD

DC.SD

1 2
a
2
a 3
.a
2

1
.
3

*) Tính góc giữa AN và SD.
Ta có :
AN .SD

AB BN .SD

AB.SD BN .SD

DC.SD

1 2
a
2

a.a.cos600

Cos AN,SD

AN .SD

Cos AN , SD

Vậy Cos AN,SD

arccos

AN . SD

1
3

Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA   ABC  và
SA  a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và SC . Tính cosin của góc giữa hai

đường thẳng AN và CM .
Phân tích bài tốn : Bài tốn u cầu tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng AN và CM , ở đây yếu tố song song chưa có sẵn nên chắc chắn việc xác định
góc để tính sẽ gặp nhiều khó khăn hơn so với việc tính góc giữa hai véc tơ chỉ
phương.
Lời giải:
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra
AM  CE 

a
.
2

S

N



 



Khi đó AE //CM  AN ; CM  AN ; AE   .
Mặt khác SC  SA  AC  2a  độ dài đường
2

2

a 3

SC
 a . AE  CM 
trung tuyến AN là AN 
2
2

E
C

A

M
B

Do ABC đều nên CM  AM  AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó CE  AE mà CE  SA  CE   SAE   CE  SE .
11


1
SEC vng tại E có đường trung tuyến EN  SC  a .
2

Ta có: cos NAE 

3
3
AN 2  AE 2  NE 2

 0  cos  

2. AN . AE
4
4

Cách 2: Ta có: AN 
Khi đó AN .CM 

Lại có AN 







1
1
AS  AC ; CM  AM  AC  AB  AC .
2
2



1
1
a 2 3a 2
1
1
 1
AS  AC  AB  AC   AB. AC  AC 2  a 2 cos 60  

.
2
2
4
2
8
2
 4

SC
a 3
 a; CM 
 cos =
2
2

3a 2
8
a.

a 3
2



3
.
4

Ví dụ 4.Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có các cạnh bằng a,

BAD 600 , BAA ' DAA ' 1200 .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D .
b) Tính góc giữa AC’ với B’D.
Lời giải :
C

Đặt AB x, AD y, AA ' z .
2

Khi đó : x
x. y

2

2

y

x . y cos x, y

z

B

a2 ;

D
A

a2

2

C'

2

x.z
y.z

x . z cos x, z

a
;
2

y . z cos y, z

a2
2

B'
D'
A'

a) Vì AB / / A ' B ' nên AB; A ' D

A ' B '; A ' D .

ÁP dụng định lý Cosin cho tam giác A ' AD ta có:
A ' D2

A ' A2

AD 2 2AA '. ADcosDAA' 3a 2

A' D a 3 .

Theo công thức hình hộp, ta có : DB ' DC DA DD ' x y z
DB '2

2

DB '

2

x y z

x

2

y

2

z

2

2 x. y 2 x.z 2 y.z 2a 2

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác A ' B ' D ta có:
12


A ' D 2 A ' B '2 DB '2
2. A ' D. A ' B '

cos B ' A ' D

Vậy AB; A ' D

A ' B '; A ' D

3a 2 a 2 2a 2
2a 3a

arccos

1
3

1
3

b) Ta có : AC ' x y z

AB '

2

2

AC '2

AC '

x y z

x

2

y

2

z

2

2 x. y 2 x.z 2 y.z 2a 2

AB AA ' x z
2

2

AB '2

AB '

x z

x

2

2 x.z z

2

a2

AB ' a

Tứ giác ADC ' B ' là hình bình hành mà AB ' AD a, AC ' B ' D nên tứ giác ADC ' B '
là hình vng. Vậy AC ' B ' D ,tức là AC '; B ' D

900 .

Nhận xét: Bài toán này sử dụng ưu thế của phương pháp véc tơ. Nếu không
sử dụng phương pháp véctơ thì việc tính độ dài các đoạn thẳng AC’, DB’ sẽ gặp
nhiều khó khăn.
Ví dụ 5. (Trích đề thi hsg tỉnh Sơn La lớp 11 năm học 2020-2021)
Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a . Đường thẳng
SA vng góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB , H là hình
chiếu vng góc của C lên SB và góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng
HCM bằng 600 . Tính sin của góc tạo bởi MH và SC .

Lời giải
Ta có

S

CM
CM

SA
AB

Mà CH
SB

CM

SAB

CM

SB 1

SB 2 . Từ (1) và ( 2) suy ra
H

CMH

Lại có:
AB
BH

C

A

HCM
HCM

M

K

M

AB, HCM

Trong tam giác SBC dựng HK / / SC
tam giác BMH có BH MB.sin 600

BMH

K

60

0

BC . Khi đó MH , SC

a 3

; MH
2

MB.cos600

MH , HK Trong

a
2
13


Ta có SAB

SB

MHB

3a 3
2

SA2 AB 2

HK / / SC

SA
MH

BH
SB

HK
SC

AB
BH

SA

HK

BH

a
2
a 3
2

2a.

AB.MH
BH

2a 3
3

SC
BK
BC

a 3
; BK
2

3a
4

Trong tam giác MBK có: MK 2 BM 2 BK 2 2BM .BK .cos 600
MH 2 HK 2 MK 2
2.MH .HK

Trong tam giác MHK có : cos MHK
Vậy sin MH , SC

1 cos 2 MHK

MK

a 13
4

3
8

61
8

2.2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
cho học sinh lớp thơng qua dạng tốn tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, có

AB  a; BC  a 3 . Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy một góc 60 . Tính cosin góc
giữa SC và mặt phẳng  ABC  .
Phân tích bài tốn : Giả thiết cho SA   ABC  nên việc xác định hình chiếu
của SB, SC lên  ABC  là dễ dàng, từ đó ta xác định được góc và tính .
Lời giải
Vì SA   ABC  nên hình chiếu của SB,SC

S

lên (ABC) lần lượt là AB, AC





  SB;  ABC    S B; AB  SBA  60 .

Do đó SA  AB tan SBA  a tan 60  a 3 .

C

A

Ta có: AC  AB 2  BC 2  2a.

 SC;  ABC     SC; AC   SCA .
Khi đó: cos SCA 

B

2a
2
AC
AC
.



2
2
2
2
SC
7
SA  AC
3a  4a

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
BD  a 3, SA   ABCD  . Biết SC tạo với đáy một góc 60 . Tính tan góc tạo bởi SC
và mặt phẳng  SAB  .
14


Phân tích bài tốn :
Giả thiết cho SC tạo với đáy một góc 60 nên đầu tiên ta phải đi xác định góc 60
là góc nào.Vì có SA vng góc với đáy nên chỉ cần dựng CH  AB ta sẽ suy ra
được H là hình chiếu của C lên SAB .
Lời giải:
Ta có: AC  BD tại O,
OA  OC , OB  OD .

S

Xét tam giác OAB vuông tại O ta có:

A
D

OB
3
sin OAB 

AB
2

H
O
B

C

 OAB  60  ABC đều cạnh a

Mặt khác SA   ABCD    SC;  ABCD     SA; AC   SCA  60 .
Suy ra SA  AC tan 60  a 3 .
Dựng CH  AB (Do ABC đều cạnh a nên H là trung điểm của AB).
Mà : CH  SA ( Vì SA   ABCD 





 CH   SAB    SC ;  SAB    SC ; SH  CSH

Ta có: CH 

a 3
CH
a 13
trong đó SH  SA2  AH 2 
.
 tan CSH 
2
SH
2

Do đó tan CSH 

3
39

.
13
13

Nhận xét: Ví dụ 1,2 xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
định nghĩa. Việc xác định hình góc và tính góc khơng gây ra nhiều khó khăn.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành, AD 2cm, DC 1cm, ADC 1200 . Cạnh bên SB 3 cm , hai mặt phẳng (SAB)
và (SBC) cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi  là góc tạo bởi SD và mặt

phẳng (SAC) . Tính sin  .
Phân tích bài tốn :
Việc xác định hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (SAC) ở đây khơng dễ, ta sẽ
nghĩ đến việc tính góc dựa vào khoảng cách. Khoảng cách từ điểm D đến SAC
được tính thông qua khoảng cách từ điểm B đến SAC .
Lời giải
15


Ta có:

S

SAB

SBC

SB

SAB

ABCD

SBC

ABCD

BD

AB

2

AD

SB

K

2

2. AB. AD.cos 60

SB 2 BD 2

SD

ABCD
C

B

0

3
H O

6
A

AC

AD

2

DC

2

2. AD.DC.cos120

0

D

7

Gọi H là hình chiếu của B trên AC , K là hình chiếu của B trên SH . Khi đó
BK
SAC .
Do S

ABC

Ta có:

1
BH . AC
2

1
BK 2

1
BH 2

Mà d D, SAC
Vậy sin 

1
AB.BC.sin1200
2

1
BS 2

BK

d B, SAC

d D, SAC
SD

6
4

BH

21

7

d B, SAC

d D, SAC

6
4

6
4

1
.
4

Câu 4. (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn lớp 12 năm học 2021-2022)
Cho tứ diện ABCD với AB

BCD và AB 2 2 . Tam giác ACD có ba góc

nhọn, đường cao AK 2 6 và AC 5, AD 7 . Gọi L là trung điểm của BC . Tính góc
tạo bởi đường thẳng KL và mặt phẳng ACD .
Phân tích bài tốn: Việc dựng góc ở bài tốn này cũng gây ra nhiều khó
khăn trong khi đưa về khoảng cách lại là bài toán quen thuộc. Vậy nên ta chọn
phương pháp sử dụng khoảng cách để giải quyết bài toán này.

Lời giải

16

Vì CD

AK , CD

Kẻ BT

AK 1 , v CD

AB

CD
ABK

Từ (1) và (2) suy ra BT

BCD

CD

CD

BK

A

BT 2
T

ACD ,

D

vậy d B, ACD
AB

ABK

BT
AB

B
K

BK . Áp dụng định lý Pitago

L

cho tam giác vuông ABK ta có :
AK 2

BK

AB 2

C

4.

24 8

Tam giác ABK vng, đường cao BT nên
1
BT 2

1
BA2

Ta có :
Gọi 

1
BK 2

1 1
3
8 16 16

d L; ACD

sin 

KL, ACD

CK

AC 2

AK 2

BC

BK 2 CK 2

1
2

CL
CB

d B; ACD

BT

4 3
. Vậy d B; ACD
3

d L; ACD

1 4 3
.
2 3

KL

1
BC
2

d L; ACD
KL

25 24 1
16 1

d L; ACD
KL

4 3
.
3

2 3
3

17

KL là trung tuyến của tam giác vuông BKC ( vng tại K)

Vậy sin 

BT

2 3
3
17
2

4 51
51

 arcsin

17
2

4 51
51

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có
AB  a 3; AD  a , tam giác SBD là tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt
phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính sin góc tạo bởi SA và mặt phẳng
 SBC  .
Lời giải:

17


Gọi O là trung điểm của BD ta có:
SO  BC mặt khác

S

 SBD    ABC   SO   ABC 
Ta có:

F

BD  AB 2  AD 2  2a  SO 

1
BD  a .
2

Dựng OE  BC , OF  SE  OF   SBC  .
d  D;  SBC    2d  O;  SBC    2 HF
1
2

SH .OE
SH  OE
2

2

E

O
C

D

a 3
2

Ta có: HE  AB 
 OF 

B

A

a

Suy ra d  A;  SBC   

3 a 21

7
7

2a 21
. Mặt khác SA  SO 2  OA2  a 2 .
7

Do đó sin  SA;  SBC   

d  A;  SBC  
SA



42
.
7

Nhận xét: Ví dụ 3 , 4, 5 sử dụng phương pháp dùng khoảng cách để tính góc khi
việc dựng góc trực tiếp là khó khăn.

Ví dụ 6. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn
AD 2a, AB

BC

a , các cạnh bên bằng 2a. Hai mặt phẳng SAD và ABCD

vng góc với nhau. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD . Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho AM x 0 x a . Tìm x để góc giữa SC và SMG lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Mặt phẳng (SMG) chứa đường thẳng SG cố định, áp dụng Tính chất (*) ta có
SC; SMG

SC; SG . Từ đó suy ra góc SC; SMG

góc với (SCG). Phát hiện rằng BD

lớn nhất khi (SMG) vuông

SCH nên (SMG) song song BD. Vận dụng

điều này ta dựng được điểm M.

Lời giải:
18


S

N

H

D

A
G

E
M
B

C

Mặt phẳng (SMG) chứa đường thẳng SG cố định.
Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD nên hình chiếu
H của S lên ABCD là trung điểm AD.
Do các cạnh bên bằng nhau suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD suy ra
ABCD là hình thang cân.

Ta có SC; SMG
SC; SMG

max

Mà ABCD

SC; SG
SC; SG

SMG

SCH , ABCD

SMG

Lại do BCDH là hình thoi
Gọi N MG AD . Ta có

SCH

BD

HN
HD

HG
HE

MG

CH

MG

SCH

MG

CH

MG / / BD

2
3

AM
AB

AN
AD

5
6

x

5a
6

Nhận xét: Bài tốn này có sử dụng tính chất (*) :
Cho hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau nhưng khơng vng góc. Một mặt phẳng
(P) thay đổi luôn chứa d 2 . Khi đó d1; P

d1; d 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

P vng góc với mặt phẳng chứa d1 và d 2 .

Chứng minh:
d1

M

d2
H

I
K

Gọi I d1 d2 . Lấy M d1 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên
(P) và d 2 . Khi đó MH MK .
19


Mặt khác: sin d1; d 2
sin d1; P

MK
;sin d1 ; P
MI

sin MIK

sin d1; d 2

Dấu “=” xảy ra khi H

d1; P

MH

MI

sin MIH

d1; d 2

Mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng chứa d1 và

K

d2 .

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh
a, BAD 600 , SA SB SD. Gọi M và N là hai điểm lần lượt di động trên cạnh AB và
CD sao cho CN 2 AM . Xác định vị trí của M để góc giữa SB và SMN lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Với giả thiết CN 2 AM ta nhận ra rằng khi AM càng lớn thì CN cũng lớn. Nói
cách khác, khi M tiến đến B thì N tiến đến D. Từ đó có thể thấy đường thẳng MN
có khả năng quay quanh 1 điểm cố định. Bằng việc kiểm tra một vài vị trí của 2
điểm M, N ta nhận ra đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định. Điểm đó ta có thể
kiểm tra chính là giao điểm với đường thẳng AC. Kết hợp với điểm S, ta suy ra mặt
phẳng (SMN) luôn chứa 1 đường thẳng cố định.
Lời giải:
Gọi I MN AC . Ta có

IA
IC

1
.

2

AM
CN

S

Khi đó I cố định. Suy ra mặt phẳng
(SMN) chứa SI cố định.
Theo Tính chất (*) ta có:
SB; SMN
SB; SI .

A
M

B

SB; SMN

IA
IC

max

1
2

SB; SI

AI
AO

N

O

Do đó

Lại có

D
I

P

C

SBI

2
.Mà ABD là tam giác đều nên I là tâm đường trịn ngoại
3

tiếp tam giác ABD.
Do SABD là hình chóp đều nên SI
Mà BI

AD

MN / / AD

AM
AB

AI
AC

ABD

SI

BI

BI

P

BI

MN .

1
.
3

Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a, SA a và
SA vng góc với (ABCD). Gọi E là điểm thuộc đoạn BD sao cho BE 3ED . Mặt

20

phẳng (P) thay đổi chứa SE và cắt các cạnh AD, DC lần lượt tại M, N. Tính MN để
góc giữa SB và (P) là lớn nhất.
Phân tích bài tốn:
Bài toán đã cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng cố định SE. Vận dụng Tính
chất (*) ta có: SB; P

SB; SE . Dấu bằng xảy ra khi

P

SBE . Như vậy ta

cần dựng mặt phẳng (P) chứa SB và vng góc với (SBE). Thay vì dựng hai mặt
phẳng vng góc, ta chuyển về dựng song song với một đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng kia. Từ đó bài tốn được giải quyết.
Lời giải:
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng SE cố định.
S

I
H
M

D

A
E

N

O
B

C

Ta thấy SB; P

max

SB; SE

Gọi O BD AC . Kẻ AH
Do BD

SAC

BD

SBE hay P

P

SBD .

SO .

AH

AH

AH / / P

SBD

Kẻ SI / / AH , I AC . Đường thẳng IE cắt AD, DC tại M, N.
OA2
OS 2

1
3

OA
Ta có
OI

OH
OS

DM

2x
x
DO
DI
3
3

xDA

4x
x
DE
DI
3
3

Do M, E, I thẳng hàng nên
DN

yDC

y DI IC

y

Do N, E, I thẳng hàng nên
MN

DM 2 DN 2

4x x
1
3 3

x

4
1

DO
DI
3
3
8y
3

y
1
3

3
5

8y
DE
3
y

3
7

DM

3a
.
5

y
DI

3
DN

3a
7

3a 74
35
21