Giáo trình cơ kỹ thuật (nghề cắt gọt kim loại CĐTC)

TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ ĐỒNG THÁP
KHOA CƠ KHÍ – XÂY DỰNG

GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC: CƠ KỸ THUẬT
NGHỀ: CẮT GỌT KIM LOẠI
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG/TRUNG CẤP

(Ban hành kèm theo Quyết định số:……, ngày……, tháng……, năm 2017
của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Nghề Đồng Tháp)

Đồng Tháp, năm 2017


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được
phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các tiêu đề đích về đào tạo và tham
khảo.
Mọi tiêu đề đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với tiêu đề đích kinh
doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.

1


LỜI NĨI ĐẦU
Mơn cơ học nói chung, cơ kỹ thuật 1 nói riêng là mơn học cơ bản cho sinh viên
tất cả các nghành của trường đại học kỹ thuật. u cầu chính của mơn học nhằm cung
cấp các kiến thức cơ bản về ứng xử của hệ vật rắn trong kỹ thuật dưới tác động bên
ngồi. Vì mục đích trên giáo trình được gọi tên là cơ kỹ thuật 1.
Quan điểm của tác giả khi biên soạn là: đi từ cơ bản đến chi tiết, sự chặt chẽ và
thống nhất xun suốt về cơ sở tốn học. Do đó, để thuận lợi cho người sử dụng, mỗi

chương của sách có tóm tắt lý thuyết, được trình bày khá cơ đọng và một số cơ sở toán
học mới đã được đưa vào. Ngồi ra mỗi chương cịn có một số ví dụ cụ thể vừa để
minh họa cho phần lý thuyết vừa làm bài giải mẫu.
Với kinh nghiệm giảng dạy và tham khảo các tài liệu khác có liên quan đến nội
dung mơn cơ kĩ thuật. Nhưng, giáo trình này sẽ khơng tránh khỏi nhược điểm và thiếu
sót. Tơi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và quý bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả:

2


MỤC LỤC

Trang
LỜI GIỚI THIỆU ............................................................................................... 4
Chƣơng I : Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học .................................... 6
1.1. Những khái niệm cơ bản .......................................................................................... 6
1.1.1 Vật rắn tuyệt đối ............................................................................................... 6
1.1.2 Lực .................................................................................................................... 6
1.2 Các tiên đề của tĩnh học............................................................................................. 8
1.3 Liên kết và phản lực liên kết ..................................................................................... 9
1.4 Các loại ngoại lực .................................................................................................... 11
Chƣơng 2 : Hệ lực phẳng đồng quy ........................................................................... 12
2.1. Định nghĩa .............................................................................................................. 12
2.2 Hợp 2 lực đồng quy ................................................................................................. 12
2.3. Hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy ....................................................................... 13
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực đồng quy ................................................................ 14
2.5. Ví dụ và bài tập ....................................................................................................... 15

Chƣơng 3 : Momen của một lực đối với một điểm- Ngẫu lực ................................. 17
3.1. Mô men của lực đối với 1 điểm .............................................................................. 17
3.2. Ngẫu lực ................................................................................................................ 17
3.3.. Thu hệ lực phẳng – Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng .................................... 18
3.4. Biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định chịu lực song song .............................................. 18
Kiểm tra
Chƣơng 4 : Trọng tâm của vật rắn – tính ổn định cân bằng .................................. 21
4.1. Trọng tâm của vật. ................................................................................................. 21
4.1.1 Khái niệm .......................................................................................................... 21
4.1.2 Tọa độ trọng tâm của hình phẳng ...................................................................... 21
4.1.3 Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm hình phẳng .................................. 22
4.2. Trọng tâm của vật thể đối xứng. ............................................................................. 22
4.2.1 Khái niệm chung ...................................................................................................
4.2.2 Điều kiện cân bằng ổn định của vật tựa trên mặt phẳng nằm ngang
Chƣơng 5 : Ma sát ....................................................................................................... 25

3


5.1. Ma sát trượt............................................................................................................. 25
5.1.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 25
5.1.2. Các định luật về ma sát trượt ........................................................................... 25
5.2. Ma sát lăn ............................................................................................................... 26
5.2.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 26
5.2.2. Định luật về ma sát lăn .................................................................................... 26
5.2.3. Điều kiện cân bằng của vật chịu ma sát lăn .................................................... 26
Chƣơng 6 : Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định............................. 27
6.1 Khái niệm ................................................................................................................ 27
6.1.1 Định nghĩa ....................................................................................................... 27
6.1.2 Gốc quay ......................................................................................................... 27

6.1.3 Vận tốc gốc ..................................................................................................... 27
6.1.4 Gia tốc gốc ...................................................................................................... 28
6.2 Các chuyển động quay cơ bản ........................................................................... 29
6.2.1 Chuyển động quay đều .................................................................................... 29
6.2.2 Chuyển động quay biến đổi đều ...................................................................... 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 32

4


Chƣơng 1 :CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
NỘI DUNG
- Đưa ra mơ hình cơ bản, hệ tiên đề
- Khái niệm về liên kết, phản lực liên kết.
- Các mơ hình phản lực liên kết
HƢỚNG DẪN CÁCH HỌC CỦA CHƢƠNG TRÊN NHƢ SAU
Học viên phải đọc trước ở nhà các phần :
- Các khái niệm cơ bản
- Hệ tiên đề tĩnh học

- Moment của lực F đối với tâm

- Momen của F đối với trục 
Trước khi lên lớp học viên đặt các câu hỏi ở các phần mà học viên đã đọc ở nhà
chưa rõ .

- Giảng viên cần giảng rỏ các khái niệm, Moment của lực F đối với tâm


Momen của F đối với trục  , đồng thời giải bài tập mẫu về tìm phản lực liên kết
của dầm, cho bài tập về nhà và phải dặn dò sinh viên làm bài tập.
YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƢỢC SAU KHI HỌC CHƢƠNG NÀY
Học viên phải hiểu rõ các khái niệm và phải biết cách thay các gối bằng các phản
lực liên kết và dùng phương trình mơmen tìm chúng, hiểu được bài tập mẩu mà giảng
viên đã giảng và giải các bài tập về nhà.
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
- Tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ là
không đổi.
- Vật rắn tuyệt đối là vật thể không bị biến dạng trong mọi trường hợp
chịu lực.
- Vật rắn tuyệt đối chính là vật hể đàn hồi được lý tưởng hóa bỏ qua biến
dạng.
- Trong thực tế nếu biến dạng của vật có ảnh hưởng khơng đáng kể trong
tính tốn, vật khảo sát được xem là vật rắn tuyệt đối.
1.1.2.LỰC : Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hổ giữa hai vật
thể với nhau
Các yếu tố đặc trưng cho lực:
Lực là đại lượng đặt trưng cho tác dụng cơ học của vật thể này lên vật thể khác.
1.1.2.1.Điểm đặt : Vị trí thể hiện sự tác dụng tương hổ:

5


Ví dụ : Trọng lực đặt tại trọng tâm của vật
1.1.2..2. Chiều: hướng của tác dụng tương hổ
Ví dụ : Lực hấp dẫn có phương xuyên tâm, có chiều hướng tâm
1.1.2.3. Cường độ (trị số) : Giá trị tác dụng tương hổ, có đơn vị đo là
Niutơn (N).


Lực là đại lượng có hướng  biểu diễn bằng véctơ : Véctơ lực : F

A
F
Đường tác dụng của lực F
1.2. CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC: (các định luật cơ học)
1.2.1. TIÊN ĐỀ 1
- Điều kiện cần và đủ để hệ gồm hai lực cần bằng là chúng có cùng đường tác dụng
cùng trị số và ngược chiều nhau.
 
( F1 , F2 )  0  (Cùng đường tác dụng, cùng cường độ và ngược chiều).
 
( F1 , F2 ) : được gọi là cặp lực cân bằng.

F2
F1

F1

F2

1.2.2. TIÊN ĐỀ 2: (Thêm bớt cặp lực cân bằng)
- Tác dụng của hệ lực không đổi khi thêm vào hay bớt ra một cặp lực cân bằng

  0

 
  
 F1 , F2 ,, Fn   F1 , F2 ,, Fn , 1 ,  2 .

Tiên đề này đưa ra phép biến tương đương một hệ lực đó là chủ động đưa thêm
vào hay bớt ra những cặp lực cân bằng cho một hệ lực.
* Hệ quả : Tác dụng của một lực không đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của
lực.

Thật vậy : Cho lực Fa đặt tại A, trên đường tác dụng của FA tại điểm B ta đặt vào
 
 
một cặp lực cân bằng ( FB , FB ' ) sao cho FA FB
FB

  
B
Theo tiên đề 2 : FA = ( FA , FB , F ' B )
FB
 
FA
Theo tiên đề 1 : ( FB , F ' B )  0
A
  

Theo tiên đề 2 : ( FA , FB , F ' B )  FB




Vậy thì : FA  FB hay FB là FA được trượt từ A đến B trên đường tác dụng của
nó.
 
1 ,  2

1.2.3. TIÊN ĐỀ 3. (Hợp của 2 lực có cùng điểm đặt)

6


- Hai lực có cùng điểm đặt thì có hợp lực có cùng điểm đặt và được biểu diễn
bằng véctơ lực là đường chéo của hình bình hành có hai cạnh bên là hai véctơ lực đã
cho:
 



( F1 , F2 )  R0
  
R0 = F1  F2 )

1

F1

R0

0
F2

2

Nếu hai lực có đường tác dụng cắt nhau tại O, ta trượt các
lực về đặt tại O.

Một lực phân thành hai thành phần theo hai phương cho

 
 
trước có cùng điểm đặt với nó : R0  ( F1 , F2 ); F1 , F2 theo 1 và 2 
một lực có thể phân thành n lực theo n phương cho trước  hệ n lực
đồng qui hợp thành một hợp lực đặt tại điểm đồng qui
Tiền đề này cho ta hai phép biến đổi tương đương là hợp và phân của hai lực có
cùng điểm đặt.
1.2.4. TIỀN ĐỀ 4 :(tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng và lực phản tác dụng của hai vật thể thì cùng đường tác dụng, cùng
cường độ và ngược chiều nhau.
Hai lực này không tạo thành cặp lực cân bằng nếu xét riêng
từng vật
Hai lực này tạo thành cặp lực cân bằng nếu xét hệ gồm cả
hai vật
1.2.5.TIỀN ĐỀ 5: (Hóa rắn : Xem vật thực rắn tuyệt đối)
Vật bị biến dạng cân bằng khí hóa rắn vẫn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực đã cho.
Tiên đề này dùng để khảo sát các vật thể thực.
1.2.6. TIÊN ĐỀ 6: (Giải phóng liên kết)
1.2.6.1 . Vật tự do và vật chịu liên kết
a ) Vật tự do : vật thực hiện được mọi di chuyển (3 tịnh tiến, 3 quay
đối với 3 trục của hệ qui chiếu Decác : 6 bậc tự do)
b ) Vật chịu liên kết : vật có một hoặc nhiều chuyểnm động bị cản trở
(số bậc tự do <6)
Vật chịu liên kết còn được gọi là vật khảo sát.
+ Vật tự do : rơi xuống được

7

+ Vật chịu liên kết mặt bàn : không rơi xuống được (chuyển động bị cản rở)

N

Vật chịu liên kết

Vật gây liên kết

P

P

N : phản lực kiên kết : (lực phản tác dụng)

P : áp lực (lực tác dụng)
1.3. Liên kết và phản lực liên kết
a) Liên kết : Là điều kiện cản trở chuyển động của vật chịu liên kết.
b) Phản lực liên kết : tác dụng của vật gây liên kết làm cản trở chuyển
động của vật chịu liên kết là phản lực liên kết.
Phản lực liên kết có các yếu tố sau :
Điểm đặt tại chổ liên kết (vị trí tiếp xúc giữa 2 vật liên kết)
Có cùng phương ngược chiều với chuyển động bị cản trở.
Có cường độ phụ thuộc vào lực tác dụng còn lại lên vật
khảo sát.
1.3.1. Tiên đề giải phóng liên kết
Vật chịu lên kết có thể xem là vật tự do nếu thay các liên kết với vật bằng các
phản lực liên kết tương ứng.
1.3.2. Liên kết và các phản lực liên kết tương ứng
a) Liên kết tựa : Phản lực liên kết vng góc tiếp tuyến mặt tựa.

b) Liên kết dây mềm : PLLK dọc theo dây và hướng vào dây.
c) Liên kết thanh củng : PLLK dọc theo đường thẳng qua 2 đầu thanh.
d) Liên kết bản lề trụ : PLLK thuộc mặt phẳng vng góc trục bản lề.
e) Liên kết bản lề cầu: PLLK nằm trong không gian hướng theo 3 trục
vng góc.
f)
Liên kết bản lề cối: PLLK nằm trong khơng gian hướng theo 3 trục
vng góc.

T2

T1

a

S2

S1

N

P

C
b

P

8

P


z

Z

y

R

Y

Z

R
y

Y

A

X

R

x X

x

d

X
e

R=

X Y
2

2

( Q,

XB,

X Y  Z
2

XA

XB

ZB,

2

z
A

TD,
YB,

y

x

f

R=

Thí dụ:
A: Liên kết bản lề trụ.
B: Liên kết bản lề cối.
C: Liên kết dây mềm.
D: Liên kết dây mềm.

Y

ZB
B

2

YA
TC
C
YB

p

Q
y

TD

D

x
1.4. CÁC LOẠI NGOẠI LỰC
a ) Vật tự do : vật thực hiện được mọi di chuyển (3 tịnh tiến, 3 quay
đối với 3 trục của hệ qui chiếu Decác : 6 bậc tự do)
b ) Vật chịu liên kết : vật có một hoặc nhiều chuyển động bị cản trở
(số bậc tự do <6)
Vật chịu liên kết còn được gọi là vật khảo sát.
+ Vật tự do : rơi xuống được
+ Vật chịu liên kết mặt bàn : không rơi xuống được (chuyển động bị cản rở)

N

Vật chịu liên kết

Vật gây liên kết

N

P

: phản lực kiên kết : (lực phản tác dụng)

9

P



P : áp lực (lực tác dụng)

Câu hỏi ôn tập:
Câu 1: Liên kết và phản lực liên kết là gì? Cho ví dụ
Câu 2: Khái niệm về vật rắn tuyệt đối

10


CHƢƠNG 2: HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUI NỘI DUNG
- Chương này đưa ra các dạng thu gọn tương đương của hệ lực, những điều
kiện cân bằng của hệ lực làm cơ sở để đánh giá tác dụng của chúng và giải bài toán
cân bằng của vật rắn, hệ vật rắn.
HƢỚNG DẪN CÁCH HỌC CỦA CHƢƠNG TRÊN NHƢ SAU
Học viên phải đọc trước ở nhà các phần :
- Véctơ chính-mơmen chính của hệ lực đối với một tâm
- Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ, hệ lực đồng qui và hệ lực phẳng.
Trước khi lên lớp học viên đặt các câu hỏi ở các phần mà học viên đã đọc ở nhà
chưa rõ .
- Hệ phương trình cân bằng của hệ lực đặc biệt.
Học viên lên lớp cần phải trao đổi các vấn đề mà mình đọc ở nhà chưa hiểu
Giảng viên cần giảng rõ cách tìm hệ lực phân bố, giảng rõ điều kiện cân bằng của
hệ lực phẳng, giải bài tập mẫu và cho bài tập về nhà và phải dặn dò sinh viên phải làm
bài tập.

YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƢỢC SAU KHI HỌC CHƢƠNG NÀY
Học viên phải hiểu rõ cách tìm hệ lực phân bố và áp dụng hệ phương trình của hệ
lực phẳng để từ đó tìm được các thành phần ngoại lực của dầm, hiểu được bài tập mẫu
mà giảng viên đã giảng và giải các bài tập về nhà.
2.1. Định nghĩa :

- Vector chính của hệ lực
là
vector
tự
do
(
R ’) bằng tổng vector lực thuộc hệ:




R ’ = F 1+ F 2+ .... + F n


n
R ’ =  Fk
k 1



- Vectơ chính của hệ lực  ( Fk ) chỉ có ý nghĩa hình học . Đó là vectơ tổng
của các vectơ lực của hệ, nó khơng có ý nghĩa là vai trị của 1 lực .
2.2.Hợp hai lực đồng qui 
Ký hiệu : M 0

Định nghĩa :
- Vector moment chính của hệ lực đối với tâm O của hệ lực bằng tổng các vector
moment của lực thuộc hệ lấy cùng đối với tâm đó.

 
 
 
M 0 = m o (F 1 ) + m o (F 2 ) + .... + m o (F n )

M0 =

n




n 
 
m o (F k ) =  rk ^ Fk


; rk = OAk ( điểm đặt Fk )

k 1
k 1

Vectơ M 0 là một vectơ tổng của các vectơ moment .

11



điểm 0:

Nếu là một hệ lực phẳng thì ta có moment chính của hệ lực  ( Fk ) đối với

M0 =

n



k 1

 
m o (F k ) =

n

  hk. Fk

k 1

2.3. Hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui

Chọn góc tọa độ Oxy tại điểm đồng qui, phương trình  m o( Fk ) đương nhiên
bằng khơng ; do đó diều kiện cân bằng của hệ lực là:
Xk = 0
Yk = 0


2.3..1. Hợp hệ lực đồng qui  ( Fk ’)
Ap dụng
tiên đề
3 , cho
ta:


 

 
( F1 ’, F2 ’)  R 1 với R1 = F1 ’+ F2 ’ = F1 + F2
 




  
( R1 , F3 ’)  R 2 với R 2 = R1 + F3 ’ = F1 + F2 + F3







 

( R n2 , Fn ’ )  R o với R o = R n2 + Fn ’ = F1 + F2 + ..... + Fn = R ’
Vậy :





 ( Fk ’)  R o với



Ro = R ’ =

n




Fk ’

k 1

2.3.2. Hợp hệ ngẫu lực  ( m k )
 
 
Cho hai ngẫu lực ( F1 , F1 ’) ; ( F2 , F2 ’) có vectơ moment là m1, m2

Ta có thể đưa hai ngẫu lực trên về nhận đoạn AB làm cánh tay địn .

 
 
F1 , F2 có điểm đặt tại A  ( F1 , F2 )  F

F2


 
F = F1 + F2 ( F vng góc với AB).
 
A
F1 ’, F2 ’ có điểm đặt tại B
F1
 

 

 
 ( F1 ’, F2 ’)  F ’ F1 ’+ F2 ’ = - F1 - F2 = - F
 
 


 [( F 1, F1 ’); ( F1 ’, F2 ’)]  ( F , F ’)
 
Gọi m là vectơ moment của ngẫu lực ( F , F ’ )




F1
ta có : m = BA × F = BA × ( F1 + F2 )
F



= BA × F1 + BA × F2
B




F2
Mà m 1 = BA × F1 ; m 2 = BA × F2



Vậy : m = m 1 + m 2


Mở rộng cho hợp của hệ ngẫu lực  ( m k ) thì ta được :  ( m k )  ngẫu lực tổng

hợp 
n





Với  = m 1 + m 2 + .... + m n =  m k . Theo định lý dời lực thì




m k = m o ( Fk )

k 1

12

F












Vậy  m k =  m o ( Fk )   = M 0 .
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui
2.4.1. ĐỊNH LÝ: Điều kiện cần và đủ để hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính
và vectơ moment chính đối với một điểm ( tâm) của hệ lực bằng không.

R ’ =  Fk

 
M o =  m o ( Fk )

* Suy ra: ( Fk )  0 ; k = 1.... n ;

CHỨNG MINH: Dựa vào kết quả thu hệ lực bất kỳ về tâm 0 ta dễ dàng chứng
minh định lý trên. 
2.4.2. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG GIẢI TÍCH
2.4.2.1. Định lý: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân bằng là tổng
hình chiếu các lực lên các trục tọa độ và tổng moment các lực đối với các trục tọa độ
bằng không.
Xk = 0
(1)
Yk = 0
(2)
Z = 0
(3)
 k
mx( Fk ) = 0 (4)

my( Fk ) = 0 (5)

mx( Fk ) = 0 (6)





 ( Fk )  0

Sáu phương trình cân bằng trên là hệ phương trình cân bằng của một hệ lực
bất kỳ (Còn được gọi là hệ lực tổng quát ).
2.4.2.2. Chứng minh:
Hình chiếu của ( Fk ) trên các trục tọa độ là Xk, Yk, Zk.





Hình chiếu của R ’ trên các trục tọa độ là
R x’, R y’ , R z’.








Hình chiếu của M o trên các trục tọa độ là M ox, M oy, M oz .
Trong hình học giải tích ta có :


R ’ =  rk




R x’ = Xk

R y’ = Yk


R z’ = ZZk







Mox =  m x( Fk )/x =  m x( Fk )




 
M o =  M o(( Fk )  Moy =  m y( Fk )/y =  m y( Fk )

 
Moy =  m z( Fk )/z =  m z( Fk )

13


Suy ra :

R’=0 


R x’ = 0


R y’ = 0

R z’ = 0



Xk = 0 (1)
Yk = 0 (2)
Zk = 0 (3 )


Mox = 0
mx( Fk ) = 0 (4)



my( Fk ) = 0 (5)
M o = 0  Moy = 0

Moz = 0
mz( Fk ) = 0 (6)
Định lý chứng minh xong.


my( Fk ) = 0
 GHI CHÚ:
Khi khảo sát hệ lực, sự phân loại hệ lực rất là cần thiết vì khi phân loại đúng giúp
chúng ta lập được số phương trình cân bằng cần đủ cho hệ lực tránh được các trường
hợp thiết lập thừa hoặc thiếu.
2.5. Ví dụ và bài tập
Ví dụ:
Cho dầm thép chịu lực như hình 2.
Tính phản lực tại hai gối đở

M= 2qa2

q
A
B
2a

P=2qa

C

2a

Lấy mômen tại A,C ta được:
mA = 0, -R.2a + P.2qa + RC. 4a – M = 0
 - 4qa.2a + 2qa.2a + 4a.RC – 2qa2 = 0
 RC =

6qa 2 3qa
=
2
4a

mC = 0,- P.2a + R.2a –RA.4a – 2qa2 = 0
 - 2qa.2a + 4qa.2a – 2qa2 = 4a.RA
 RA =

qa
2

14

D
a


Câu hỏi ôn tập:
Câu 1: Các anh (chị) nêu định nghĩa hệ lực phẳng đồng qui.
Câu 2: Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui là gì? Giải thích và cho ví dụ

15


CHƢƠNG 3: MOMEN CỦA MỘT LỰC
ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM – NGẨU LỰC
3.1. Momen của lực đối với điểm

A

 


. m0 ( F , F ' )  m0 ( F )  m0 ( F ' ) = h.F + h’.F

d

= (h + h’)F
= d.F
 

m0 ( F , F ' ) = m

F

B

F
h

h

0

. Momen các lực của ngẫu lực đối với một điểm bất ky bằng momen của ngẫu lực
(không phụ thuộc điểm lấy momen)

B





F

A
O

B/

d





F

/

A/

3.2. NGẪU LỰC
3.2.1. ĐỊNH NGHĨA : hệ gồm hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau
thì tạo thành một ngẫu lực
 
Ký hiệu : ngẫu lực ( F1 , F ’)
 

3.2.2. CÁC YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT NGẪU LỰC ( F1 , F )
Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực : mặt phẳng chứa các lực
Chiều của ngẫu lực: Chiều quay của các lực khi nhìn vào mặt phẳng tác dụng;
ngẫu lực có chiều dương (+) khi các lực quay ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại.
Trị số momen của ngẫu lực m = F.d = F’.d:
d: là khoảng cách giữa hai lực còn gọi là cánh tay dòn của ngẫu lực.

16


Ngẫu lực cịn có thể biểu diễn bằng véctơ momen của năng lượng.
  
mr F

Hệ đơn vị : Nm
3.3.. Thu hệ lực phẳng – Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng ( Nằm trong mp Oxy)
Các lực nằm trong mp (Oxy) nên các phương trình (Xk,  m x,  m y) đương nhiên


bằng không và  m z =  m o( Fk ); do đó điều kiện cân bằng của hệ lực là:
Xk = 0
Yk= 0


 m o( Fk ) = 0
3.4. Biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định chịu lực song song:
3.4.1.Hệ lực phẳng song song (//Oy)
- Các lực song song Oy nên phương trình Xk đương nhiên bằng khơng do đó
điều kiện cân bằng của hệ lực là:
Yk= 0


 m o( Fk ) = 0.
3.4.2. Hệ lực phân bố
- Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ lực song song phân bố theo qui luật
như hình vẽ

q(x)
R

F

O

Fk

X

x /k

d
l

 xk

Xét phân tố x k , hệ lực phân bố trên độ dài này tương đương: Fk=q(x/k). x k
đặt tại x/k

17


l

Hợp lực R  = F=  Fk=  q( x)dx . (cơng thức tổng qt tính lực phân bố).
0

Mơ men chính của hệ lực đối với một điểm O đầu mút dầm:
Và

cách

đầu

mút

dầm

một

khoảng

là

d




l





M   mO ( FK )   q ( x) xdx  R .d  M O
o

l



M
d  O 

R

 q( x) xdx
o
l

 q( x)dx
o

Xét hai trường hợp riêng sau:

a ) - Cường độ phân bố lực đều:
Ta có: q(x) = qo = hằng số.

qo

Trị số của hợp lực tính theo cơng thức:
l

R   qo dx  qo .l
o

Và hợp lực cách đầu mút dầm một đoạn d:

l

l

d

q

o

xdx


o

qo l

1
2

Vậy: Hợp lực đặt tại điểm giữa của dầm và có trị số bằng diện tích của hình chữ
nhật phân bố lực.
b) - Cường độ phân bố lực tuyến tính:

Giả sử lực phân bố dọc dầm theo luật tam giác có đáy là qo: dễ dàng ta tính được
q( x)  q o

x
l



Trị số của hợp lực R :
l

x

1
R   qo dx  qo l
l
2
o

Và hợp lực cách đầu mút dầm một đoạn d:

18


l

d

q
o

o

x
xdx
l

1
qo l
2



2
l
3

Vậy: hệ lực phân bố tam giác có hợp lực có trị số bằng:
R=1/2qol (diện tích tam giác phân bố lực)
Và cách đỉnh của tam giác phân bố lực một đoạn bằng 2/3 l (tức là đi qua trọng
tâm của tam giác phân bố lực.
 GHI CHÚ:
Khi khảo sát hệ lực, sự phân loại hệ lực rất là cần thiết vì khi phân loại đúng giúp
chúng ta lập được số phương trình cân bằng cần đủ cho hệ lực tránh được các trường
hợp thiết lập thừa hoặc thiếu.
Câu hỏi ôn tập :
Câu 1 : thế nào là Momen của lực đối với điểm? cho ví dụ cụ thể
Câu 2: Nêu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng.

19


CHƢƠNG 4:
TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN – TÍNH ỔN ĐỊNH CÂN BẰNG
NỘI DUNG
- Trong chương này đưa ra các dạng và cách xác định trọng tâm của vật rắn và để
từ đó ta mới có thể tính được mơment tĩnh và mơment qn tính của mặt cắt ngang
trong phần sức bền.
HƢỚNG DẪN CÁCH HỌC CỦA CHƢƠNG TRÊN NHƢ SAU
Học viên phải đọc trước ở nhà các phần :
- Trọng tâm của vật rắn
- Trọng tâm của vật rắn có hình dạng đối xứng
Học viên lên lớp cần phải trao đổi các vấn đề mà mình đọc ở nhà chưa hiểu

Giảng viên cần giảng rõ cách tìm trọng tâm của vật rắn có hình dạng đối xứng và
giải bài tập mẫu có trong giáo trình và cho bài tập về nhà và phải dặn dò sinh viên phải
làm bài tập.
YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƢỢC SAU KHI HỌC CHƢƠNG NÀY
Học viên phải hiểu rõ cách tìm trọng tâm của vật rắn có hình dạng đối xứng, hiểu
được bài tập mẫu giảng viên đã giảng và giải các bài tập về nhà.
4.1. TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN
4.1.1. Định nghĩa:
Trọng tâm của vật rắn là điểm đặt trọng lượng của vật rắn .Nếu gọi P là
trọng lượng của vật ,C là điểm đặt của P thì C là trọng tâm của vật .
4.1.2 Tọa độ trọng tâm của hình phẳng
- Vật rắn có n chất điểm, mỗi chất điểm thứ k có trọng lượng pk , thì ta có hệ lực
tác dụng lên chất điểm là : (p1 ,p2,……….pN ) là các lực song song cùng chiều .
Từ kết quả thu của hệ lực song song cùng chiều, ta có :


 ( P k ) ~ P ; P =  pk
Và trọng tâm C của vật được xác định như sau :



 Pk rk
rc 
P

(dạng vectơ )

Dạng tọa độ Decac :

P x

P y
P z
Xc =  k k ; Y c =  k k ; Z c =  k k
P

P

P

4.1.3.Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm hình phẳng
a) - Vật rắn là tấm phẳng đồng chất có n phân tử :

20


S x
S y
S z
X c =  k k ; Y c =  k k ; Zc =  k k ;
S

S

S

S: là diện tích tấm phẳng.
Sk : là phần tử thứ k.
Xk, Yk, ZK: là tọa độ của các tấm ghép
b) - Vật rắn là thanh đồng chất có n phần tử .

L x
L y
L z
Xc =  k k ; Y c =  k k ; Z c =  k k .
L

L: chiều dài thanh .
lk: chiều dài phần tử thứ k.

L

L

4.2. TRỌNG TÂM VẬT RẮN CĨ HÌNH DẠNG ĐỐI XỨNG
4.2.1 Khái niệm chung
Vật rắn có hình dạng đối xứng qua một mặt phẳng, một đường thẳng hay một
điểm thì trọng tâm của vật rắn trên mặt phẳng, đường thẳng, điểm đối xứng đó.
4.2.2 Điều kiện cân bằng ổn định của vật tựa trên mặt phẳng nằm ngang
Vật rắn có hình dạng phức tạp nhưng gồm các phần có hình dạng đối xứng thì ta
xem các phần đó là các phần tử của vật rắn mà ta cần xác định trọng tâm.
Vật rắn có hình dạng đối xứng nhưng trở thành phức tạp do bị khóet mất đi
những phần có hình dạng đối xứng thì ta xem các phần bị khoét là những phần tử có
trọng lượng âm; cơng thức xác định trọng tâm có dạng.
Xc =

S X c   S k X k
S   S k

Xc : tọa độ vật phải tìm.
S’, Xc’ : diện tích và tọa độ của vật chưa bị khoét.

Sk, Xk : diện tích và tọa độ phần tử k bị kht.
Ví dụ: Tìm trọng tâm của tấm đồng chất hình chữ L có kích thước như hình vẽ
sau:

2cm

G1
10cm
G

G2

2cm

2cm

Bài giải:
Chia tấm chữ L thành 2 tấm chữ nhật có trọng tâm G1 và G2 có các tọa độ X1=1,
Y1=5; X2=3, Y2=1.
Diện tích các tấm chữ nhật là S1= 20cm2, S2=4cm2. Vì tấm đồng chất nên cơng
thức là

21


XG=

S1 x1  S 2 x2 4
 cm
S1  S 2

3

YG=

S1Y1  S 2Y2
 4,3cm
S1  S 2

Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của tấm trịn đồng chất tâm O, bán kính R, bị khuyết một
mảnh trịn tâm A bán kính r, biết OA=a, a + r
Bài Giải:
Ta xem tấm bị khuyết là hiệu của tấm nguyên có khoét một lỗ trịn, tấm ngun
có bán kính là R và trọng tâm O(0,0), diện tích là S1=  R2, và tấm kht nhỏ có bán
kính là r và trọng tâm A(a,0), với diện tích là S2= -  r2.
Do tấm có trục OX đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục này và tấm đồng chất
nên ta áp dụng công thức:
S x  S 2 x2 R 2 .0  r 2 .a
ar 2



XG= 1 1
S1  S 2
R2  r 2
R 2  r 2
Vậy chứng tỏ trọng tâm G nằm phía bên trái tâm O.
a) - Tọa độ trọng tâm hình trịn

Xc =

b) - Tọa độ trọng tâm hình rẽ quạt.

R sin 

Xc =



22

2. R sin 
3


Câu hỏi ơn tập:
Câu 1: Nêu cơng thức tính tọa độ trọng tâm của hình phẳng?
Câu 2: Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm hình phẳng?

23


CHƢƠNG 5: MA SÁT
5.1.MA SÁT TRƢỢT:fms
5..1.1. Định nghĩa : Ma sát trượt là hiện tượng cản khi một vật trượt hay có
khuynh hướng trượt trên bề mặt của một vật khác.
Khi vật có khuynh hướng trượt thì có ma sát trượt tĩnh ; khi vật trượt thì có
ma sát trượt động . trong giáo trình này chỉ khảo sát ma sát trượt tĩnh.
5.1.2. Các định luật về ma sát trượt
a) - Do tính chất xuất hiện để làmcản trở chuyển động hay xu hướng

chuyển động trượt của vật nên lực ma sát trượt F m hướng theo tiếp tuyến với mặt tựa
và ngược chiều với chuyển động . Có điểm đặt tại vị trí tiếp xúc giữa hai vật thể .
b) - Lực ma sát trượt là một lực có trị số giới hạn, nghĩa là :
0  Fms 
Fmax
Hai định luật trên là định luật Culông về ma sát trượt và được chứng tỏ bằng thí
nghiệm: Cho kéo một vật nặng P bằng tải trọng Q thay đổi .


Khi lực Q khá nhỏ thì vật A cân bằng khi đó vì có lực ma sát trượt F ms xuất
 
hiện để cân bằng với lực kéo T : F ms = T = Q .
Nhưng cho Q tăng đến một giá trị Q1 thì vật bắt đầu trượt.
Có nghĩa là Fms chỉ tăng đến giá trị đó ; Vậy :
Q1 = Fmax
0  Fms

Bằng thực nghiệm người ta chứng tỏ rằng giá trị cực đai này phụ thuộc
vào phản lực pháp tuyến của mặt tựa và bản chất của bề mặt tiếp xúc của hai vật thể ;
tức là :
Fmax = F. N
f : là hệ số ma sát trượt phụ thuộc bản chất bề mặt tiếp xúc ; như :
+Tính chất của bề mặt : cứng, mềm .
+Trạng thái của bề mặt : trơn, nhám, : khô, ướt .
f : Khơng phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc, và là hư số (khơng có thứ
ngun)
Vậy khi 0  Fms  F.N thì vật bắt đầu trượt
5.1.3. Bài tốn cân bằng khi có ma sát trượt
Lực ma sát là một lực thật sự có tác dụng lên vật . Vậy muốn vật cân bằng thì
tồn thể các lực tác dụng lên vật ( lực cho, phản lực liên kết và lực ma sát ) phải thỏa

mãn điều kiện cân bằng . Ngồi ra lực ma sát cịn phải thỏa mãn giới hạn của nó :
Fms  F.N
5.2. MA SÁT LĂN ML
5.2.1. Định nghĩa : Ma sát lăn là hiện tượng cản khi một vật lăn hay có xu hướng
lăn trên bề mặt của một vật khác .
5.2.2. Các định luật ma sát lăn : Tương tự như ma sát trượt người ta rút ra được
kết luận :
a* Khi có ma sát lăn, tại liên kết xuất hiện một ngẫu lực cản, gọi là ngẫu lực
ma sát lăn nằm mặt phẳng chuyển động của vật .
b* Moment ML của ngẫu lực ma sát lăn có một giá trị giới hạn, phụ thuộc
phản lực pháp tuyến mặt tựa và bản chất của hai bề mặt tiếp xúc, nghĩa là :

24