Chinh phục VDC Hình học năm 2023 - Phan Nhật Linh

PHAN NHẬT LINH

CHINH PHỤC VDC
HÌNH HỌC 2023
(Biên soạn mới nhất dành cho học sinh luyện thi THPT năm 2023)

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ



LỜI NĨI ĐẦU
Các em học sinh, q thầy cơ và bạn đọc thân mến!
Cuốn sách “Chinh phục Vận dụng – Vận dụng cao Hình học 2023” này được nhóm tác giả
biên soạn với mục đích giúp các em học sinh khá giỏi trên tồn quốc chinh phục được các câu
khó trong đề thi của Bộ giáo dục trong các năm gần đây. Trong mỗi cuốn sách, chúng tơi trình
bày một cách rõ ràng và khoa học, tạo sự thuận lợi nhất cho các em học tập và tham khảo. Tất
cả các bài tập trong sách chúng tơi đều tóm tắt lý thuyết và tiến hành giải chi tiết 100% để các
em tiện lợi cho việc ôn tập, so sánh đáp án và tra cứu thơng tin.
Để có thể biên soạn đầy đủ và hồn thiện bộ sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo
một số bài tốn trích từ đề thi của các Sở, trường Chuyên trên các nước và một số thầy cơ trên
tồn quốc. Chân thành cảm ơn quý thầy cô đã sáng tạo ra các bài toán hay và các phương pháp
giải toán hiệu quả nhất. Mặc dù nhóm tác giả đã tiến hành biên soạn và phản biện kĩ lưỡng
nhất nhưng vẫn không tránh khỏi sai sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến phản
hồi và đóng góp từ q thầy cơ, các em học sinh và bạn đọc để cuốn sách trở nên hồn thiện
hơn. Mọi đóng góp vui lịng liên hệ:
• Tác giả: Phan Nhật Linh
• Số điện thoại/Zalo: 0817.098.716
• Gmail:
• Facebook: fb.com/nhatlinh.phan.1401/
Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, các em học sinh và quý
bạn đọc. Chúc quý vị có thể khai thác hiệu quả nhất các kiến thức khi cầm trên tay cuốn sách

này!

Trân trọng./

Phan Nhật Linh


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Trang

Chủ đề 01. Khoảng cách trong khơng gian..………..………………….………………….……………

1

Chủ đề 02. Góc trong khơng gian.…………………..…………...…………………………………………

58

CHƯƠNG 2: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 03. Thể tích khối chóp…………………………………………….…………………………………

112

Chủ đề 04. Thể tích khối lăng trụ………………….……………………...…………………...…...………

159

Chủ đề 05. Tỷ lệ thể tích khối đa diện.…………………...……………...…………………….…………

190

Chủ đề 06. Cực trị hình học khơng gian……………….…………...……………………….……………

241

CHƯƠNG 3: KHỐI TRỊN XOAY VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
Chủ đề 07. Khối nón - trụ - cầu……………….…………………….…...…………………..………………

290

Chủ đề 08. Khối cầu ngoại tiếp khối đa diện...….……...……………….……………..………………

322

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 09. Phương trình mặt phẳng……………………….……...….……...…………..………………

363

Chủ đề 10. Phương trình đường thẳng...………………….……...….……...…………..………………

387

Chủ đề 11. Phương trình mặt cầu…..……………………….……...….……...…………..………………

426

Chủ đề 12. Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian..….……….……..………………

477


1

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ
A

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

TRONG KHÔNG GIAN

1

KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ một điểm đến một đường thẳng
•

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng ( P ) (hoặc đến đường thẳng  ) là khoảng cách
giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( P ) (hoặc đến
đường thẳng  ).
Kí hiệu khoảng cách từ M đến ( P ) là d ( M ; ( P ) )

Kí hiệu khoảng cách từ M đến ( P ) là d ( M ;  )

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
•

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với a là khoảng cách từ một điểm
bất kì của a tới mặt phẳng ( ) , cụ thể: d ( a; ( ) ) = d ( A; ( ) ) với A thuộc a
Ta có: d ( a; ( ) ) = d ( A; ( ) ) = AH
Với A thuộc a và H là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( ) .

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


Chủ đề 01: Khoảng cách trong khơng gian

•

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này
tới mặt phẳng kia, cụ thể: d ( ( ) ; (  ) ) = d ( M ; (  ) ) với M thuộc mặt phẳng ( )

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
•

Đường thẳng MN cắt và vng góc với cả a và b gọi là đường vng góc chung của a và b

•

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vng góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau đó, cụ thể: d ( a; b ) = MN .

Chinh phục các bài toán VD - VDC: Khoảng cách trong không gian | 2


Phan Nhật Linh

B

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

VÍ DỤ MINH HỌA

CÂU 1. Cho hình chóp đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các
cạnh SA và SC ; P là điểm trên cạnh SD sao cho SP = 2 PD . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng ( MNP ) .
A.

a 34
.
34

B.

a 17
.
34

C.

2 a 17
.

41

D.

a 2
.
16

 LỜI GIẢI
Chọn A

1
1 SM SN SP
1
Ta có VD.MNP = VS.MNP = .
.
.
VS. ACD = VS. ACD .
2
2 SA SC SD
12
Gọi O là tâm của hình vng ABCD .

Suy ra OA =

1
a 2
2a2 a 2
.
AC =

 SO = SA2 − AO2 = a2 −
=
2
2
4
2

1
1 a 2 1 2 a3 2
a3 2
Khi đó VS. ACD = .SO.SSCD = .
.
. a =
 VD.MNP =
3
3 2 2
12
144
1
a 2
Do MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN = AC =
.
2
2

Tam giác SAD và SCD đều cạnh a nên PM 2 = PN 2 = SM 2 + SP 2 − 2SM.SP.cos60 =
Do tam giác MNP cân tại P nên gọi H là trung điểm MN thì PH ⊥ MN .
Suy ra PH = PM 2 −
Vậy d ( D , ( MNP ) )

MN 2
13a2 a2 a 34
=
−
=
.
4
36
8
12

a 2
3.
3VD. MNP
a 34
144
.
=
=
=
SMNP
34
1 a 34 a 2
.
.
2 12
2

distance
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

13a2
.
36


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
CÂU 2. Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.

a 14
.
3

B.

a 14
.
4

C. a 14.

D.

a 14
.
2

 LỜI GIẢI

Chọn D
Gọi O = AC  DB .
Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABCD ) và đáy ABCD là hình vng.
Ta có:

(
) = AC = 2  d A, SCD = 2d O , SCD .
( ( )) ( ( ))
d ( O , ( SCD ) ) OC

d A , ( SCD )

Tam giác ACD vng tại D có: AC = AD 2 + CD 2 = 2a 2  OD = OC = a 2 .
Tam giác SCO vuông tại O có: SO = SC 2 − OC 2 = a 7 .

Do SO , OC , OD đôi một vng góc nên gọi h = d (O , (SCD ) ) thì
1
h

2

=

1
OS

2

+

1
OD

2

+

1
OC

2

=

8
7a

2

h=

a 14
.
4

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng

a 14
.

2
CÂU 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình vng cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB . Khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SAC ) bằng

A.

a
.
3

B.

a 2
.
6

C.

a 3
.
6

D.

a
.
6

 LỜI GIẢI

Chọn C

Chinh phục các bài tốn VD - VDC: Khoảng cách trong khơng gian | 4


Phan Nhật Linh
Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023
Tam giác SAB vuông cân tại S , H là trung điểm của AB nên SH ⊥ AB .
( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Ta có ( SAB )  ( ABCD ) = AB  SH ⊥ ( ABCD ) .

SH  ( SAB ) , SH ⊥ AB
Từ H dựng HM ⊥ AC tại M , từ H dựng HK ⊥ SM tại K . Ta có
 AC ⊥ HM
 AC ⊥ ( SHM )  AC ⊥ HK .

AC
⊥
SH
SH
⊥
ABCD
(
)
(
)

 HK ⊥ SM
 HK ⊥ ( SAC ) tại K nên d ( H , ( SAC ) ) = HK .

Khi đó 
 HK ⊥ AC

AB a
SH = 2 = 2
Ta có 
. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng SHM . Ta có
BD
a
2
 HM =
=

4
4
1
HK 2

=

1
SH 2

+

1
HM 2



1
HK 2

=

4
a2

+

8
a2

(

)

a 3
a 3
. Vậy d H , (SAC ) =
.
6
6
distance

 HK =

CÂU 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng 4a . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC )
và ( ABC ) bằng 30 o . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

( ABC ) ?

A.

a 3
.
2

B. 3a .

C. a 3 .

D.

3a
.
2

 LỜI GIẢI
Chọn A

Gọi N là trung điểm của BC .

Do ABC. ABC  là lăng trụ tam giác đều nên BC ⊥ AN , AA và AN = 2a 3 . Suy ra BC ⊥ ( AAN ) . Từ
đó ta có:

(( ABC ) ,( ABC )) = ANA = 30 .
o

Gọi H là hình chiếu của A trên AN , do BC ⊥ ( AAN ) nên: AH ⊥ AN , BC  AH ⊥ ( ABC )

(

)

 d A , ( ABC ) = AH .

Xét tam giác AHN vng tại H có: AH = AN sin ANA = a 3 . Suy ra d ( A , ( ABC ) ) = a 3 .
1
a 3
Mặt khác, M là trung điểm của cạnh AB nên d ( M , ( ABC ) ) = d ( A , ( ABC ) ) =
.
2
2

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
CÂU 5. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc với nhau. Biết khoảng cách từ
điểm O đến các đường thẳng BC , CA , AB lần lượt là a , a 2 , a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng ( ABC ) theo a
A. 2a .

B.

a 66
.
11

C.

11a
.
6

D.

2 a 33
.
11

 LỜI GIẢI
Chọn D

Kẻ OM ⊥ AC ( M  AC ) , ON ⊥ AB ( N  AB) , OP ⊥ BC ( P  BC ) .
Khi đó ta có OP = a , OM = a 2 , ON = a 3 .
Trong (OCN ) kẻ OH ⊥ CN ( H  CN ) ta có:
 AB ⊥ ON
 AB ⊥ (OCN )  AB ⊥ OH

 AB ⊥ OC
OH ⊥ AB
 OH ⊥ ( ABC )  d O , ( ABC ) = OH

OH ⊥ CN

(

)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

1
OH

2

=

1
OC

2

+

1
ON

2

=

1
OA

2

+

1
OB

2

+

1
OC 2

Lại có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
;
;
=
+
=
+
=
+
2

2
2
2
2
2
2
2
OM
OA
OC
ON
OA
OB OP
OB
OC 2
1
1
1
 1
1
1 
1
1
1
1 1
1
1 

+
+

= 2
+
+

+
+
= 
+
+

2
2
2
2
2
2 
2
2
2
2
2
2  OM
OM
ON
OP
OB
OC 
OA
OB
OC

ON
OP 2 
 OA


1
OA2

+

1
OB2

+

1
11
2a 33
1 1
1
1 
11

=

OH
=
=
+
+

=


11
OH 2 12a2
OC 2 2  2a2 3a2 a2  12a2
1

Vậy d(O ,( ABC )) =

2a 33
.distance
11

Chinh phục các bài tốn VD - VDC: Khoảng cách trong khơng gian | 6


Phan Nhật Linh
Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023
CÂU 6. Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình thang cân có góc ở đáy bằng 60 . AB = 2CD = 2a ,
mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy một góc 45 . Hình chiếu vng góc của S lên đáy trùng với giao điểm
của AC và BD . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
A.

a 6
.
6

B.

a 6
.
2

C.

a 6
.
3

D.

2a 6
.
3

 LỜI GIẢI
Chọn B

Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E , lấy I là trung điểm AB . Gọi H là hình chiếu vng góc của
S lên đáy, kẻ HK vng góc với SC tại K .
Xét tam giác ABE có ABE = BAE = 60 o nên ABE là tam giác đều và H là trực tâm

 AC ⊥ BC

  HI ⊥ AB

 HI = HC = 1 EI = 1 2a 3 = a 3

3

3
2
3

)

(

SHA = SHB  SA = SB  SI ⊥ AB  (SAB ) , ( ABCD ) = SIH = 45  SH = IH =

 BC ⊥ AC
 BC ⊥ HK , ta lại có
Ta có 
 BC ⊥ SH

 HK ⊥ SC
 HK ⊥ (SBC )

 HK ⊥ BC

Suy ra khoảng cách từ H đến ( SBC ) là HK =

HS.HC
HS + HC
2

2

=

a 3 a 3
.
3
3
2

a 3 a 3

 + 

 3   3 
AH AB
=
=2
Tam giác HAB đồng dạng với tam giác HCD và AB = 2CD nên
HC CD

Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng 3 lần khoảng cách từ H đến ( SBC ) =

nce
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

2

=

a 6
.
6

a 6
.dista
2

a 3
3


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian

CÂU 7. Cho lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy một góc 45 ,
M là điểm tùy ý thuộc cạnh BC  . Khoảng các từ điểm M đến mặt phẳng ( ABC ) bằng

A.

a 6
.
2

B.

a 6
.
4

C.

a 3
.
2

D.

a 3
.
4

 LỜI GIẢI
Chọn B

Vì ABC. ABC  là lăng trụ tam giác đều nên là lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều.
Ta có BC  ( ABC ) nên d ( M , ( ABC ) ) = d ( B, ( ABC ) ) .
Mà AB  ( ABC ) = O với O là trung điểm AB nên d ( B, ( ABC ) ) = d ( A , ( ABC ) ) .

Gọi H là hình chiếu của A lên BC , I là hình chiếu của A lên AH , ta chứng minh được AI ⊥ ( ABC )
, suy ra d ( A , ( ABC ) ) = AI .
Mà

(( ABC ) ,( ABC )) = AHA = 45 nên tam giác AAH vng cân tại A , do đó

AH = AH 2 =

a 3
a 6
.
 2=
2
2

a 6

AH
a 6
= 2 =
Mặt khác, AI là đường cao của tam giác AAH nên AI =
.distance
2
2
4
CÂU 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B ; AB = BC = a; AD = 2 a ; SA

vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 . Gọi M
là trung điểm của cạnh AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD là:
a 2
a 22
a 11
a 11
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
11
11
22
2
 LỜI GIẢI
Chọn B

Chinh phục các bài toán VD - VDC: Khoảng cách trong không gian | 8


Phan Nhật Linh

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

Ta có (SC , ( ABCD ) ) = SCA = 450  SA = AC = a 2

Gọi K là trung điểm của AB , khi đó AB song song với ( SMK ) .

Do đó d ( BD , SM ) = d ( BD , (SMK ) ) = d ( B, (SMK ) ) = d ( A , (SMK ) ) .
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên MK và SI .
Khi đó MK ⊥ AI , MK ⊥ SA  MK ⊥ AJ . Do AJ ⊥ MK và

(

AJ ⊥ SI

nên

)

AJ ⊥ ( SMK )

hay

d A , ( AMK ) = AJ .

Ta có

1
AJ

2

=

1
AM

2

+

1
AI

2

+

1
SA

2

=

1
a

2

+

4
a

2

+

1
2a

2

=

11
2

 AJ =

a 22
11

2a

distance
CÂU 9. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu của

điểm A trên mặt phẳng ( ABC ) là trọng tâm G của tam giác ABC và diện tích tam giác AAB bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC  và AB .
a 2
A. 2 2a .
B.
.
C. a 2 .
4
 LỜI GIẢI
Chọn D

D.

Chọn mặt phẳng ( AABA ) chứa AB và song song với CC  .
Khi đó d ( AB, CC  ) = d (CC , ( AABB ) ) = d (C , ( AABB ) ) .

Gọi I là trung điểm của AB . Vì tam giác ABC đều nên CI ⊥ AB  GI ⊥ AB .
 AG ⊥ AB
1
a 3
 AB ⊥ ( AGI )  AB ⊥ AI . GI = CI =
Vì 
.
3
6
GI ⊥ AB
Vì diện tích tam giác AAB bằng

1
a2
a
a2
nên AI .AB =
 AI = .
2
4
2
4

a 2 3a 2 a 6
−
=
.
4 36
6
Trong mặt phẳng ( AGI ) kẻ GH ⊥ AI ( H  AI ) .

Suy ra A ' G = AI 2 − GI 2 =

GH ⊥ AI
Khi đó 
suy ra GH ⊥ ( AABB )  d (G , ( AABB ) ) = GH .

GH
⊥
AB
AB

⊥
A
GI
(
)
(
)

Xét tam giác AGI vng tại G có

9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

a 2
.
2

a2
4


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
AG.GI
GH . AI = AG.GI  d G , ( AABB ) = GH =
=
AI

(

Ta lại có

)

a 6 a 3
.
6
6 =a 2.
a
6
2

(
) = CI = 3  d C , AABB = 3.d G , AABB = a 2 .
))
)) 2
( (
( (
d ( G , ( AABB ) ) GI
d C , ( AABB )

Vậy d ( AB, CC  ) =

a 2
.distance
2

CÂU 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác vng và AB = BC = a , AA = a 2 ,
M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và BC .
a 3
a 2
a 2

a 7
A. d =
.
B. d =
.
C. d =
.
D. d =
.
3
2
2
7
 LỜI GIẢI
Chọn D

Tam giác ABC vuông và AB = BC = a nên ABC chỉ có thể vng tại B .
 AB ⊥ BC
 AB ⊥ ( BCB ) .
Ta có 
 AB ⊥ BB '
Kẻ MN // BC  BC // ( AMN )

(

) (

) (

)

 d = d ( BC , MN ) = d BC , ( AMN ) = d C , ( AMN ) = d B , ( AMN ) .

Vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông nên
1
1
1
1
1
1
1
7
a 7
=
+
+
= 2+
+
= 2 d=
.
2
2
2
2
2
2
7
d
BA
BM

BN
a
a
a
a 2
2


 
 2 
distance
CÂU 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bằng a , SA = a . Mặt phẳng
( SAB ) và ( SAD ) cùng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên
SD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SC bằng
A. a 19 .

B.

a 19
.
10

C.

a 19
.
19

D.

a 6
.
6

 LỜI GIẢI
Chọn D
Chinh phục các bài tốn VD - VDC: Khoảng cách trong khơng gian | 10


Phan Nhật Linh

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

Theo đề ra mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vng góc với mặt phẳng ( ABCD )  SA ⊥ ( ABCD ) .
Trong mặt phẳng ( SAC ) từ A kẻ đường thẳng vuông góc với SC tại K .

Ta có: AH ⊥ SC , AK ⊥ SC  SC ⊥ HK .
Lại có: CD ⊥ AD , SA ⊥ CD  CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ AH ; CD ⊥ SD mà AH ⊥ SD
 AH ⊥ (SCD )  AH ⊥ HK hay d ( AH ; SC ) = HK .

Xét tam giác ABC vng tại B có: AC = AB2 + BC 2 = a 2 .
Xét tam giác SAC vng tại A có: SC = SA2 + AC 2 = a 3 .
Xét tam giác SAD vng cân tại A có: SD = SA2 + AD 2 = a 2 và H là trung điểm của
SD  SH =

a 2
.
2

a 2

.a
SC DC
SH .DC
a 6
a 6
SDC SKH 
=
 HK =
= 2
=
 d ( SC ; AH ) =
.distance
SH HK
SC
6
6
a 3
CÂU 12. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. ABC  có đáy là một tam giác vng cân tại B ,
AB = AA = 2 a , M là trung điểm BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC bằng

A.

a
.
2

B.

2a
.

3

C.
 LỜI GIẢI

Chọn B

11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

a 7
.
7

D. a 3 .


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
Gọi N là trung điểm BB  MN / / BC  BC / / ( AMN ) .
Khi đó d ( AM , BC ) = d ( BC , ( AMN ) ) = d (C , ( AMN ) ) .

Ta có BC  ( AMN ) = M và MB = MC nên d ( C , ( ABM ) ) = d ( B , ( ABM ) ) .

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ABM ) . Tứ diện BAMN có BA , BM , BN đơi một vng góc
nên:

1
2

=

1
2

=

1
2

+

1
2

+

1

h
BH
BA
BM
BN 2
AB = 2 a = BC .
1
1
2a
BN = BB = AA =
= a.
2
2

2
1
1
1
1
1
9
4 a2
2a
.
BM = BC = a . Suy ra 2 = 2 + 2 + 2 = 2  h2 =
h=
2
9
3
h
4a
a
a
4a

Chinh phục các bài toán VD - VDC: Khoảng cách trong không gian | 12


Phan Nhật Linh

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

C
Câu 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
distance
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , AA = a 3 , M là
trung điểm của CC  . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABM ) .
A.

Câu 2:

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 21
.
3

D.

a 21
.
6

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 8 . Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng CD . Biết góc giữa SB và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 và SA = SB = SI . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
A.

Câu 3:

5 2
.
2

B. 4 2 .

C.

25 2
.
16

D. 8 2 .

Cho lăng tụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là tam giác vuông tại A , có AB = 2 a , AC = a 3 và
AA ' = 4 a . Gọi I , K lần lượt là trung điểm BB ' , CC ' . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng

( A ' BK ) .
A.
Câu 4:

2 a 93

.
31

B.

4 a 57
.
19

C.

4 a 93
.
31

D.

2 a 57
.
19

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc BCD = 60 , SA = a 3 và SA vng
góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.

Câu 5:

3
a.
7

B.

4
a.
5

C.

2
a.
3

3
a.
5

D.

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Biết SA = 6a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.

Câu 6:

6 7a
.
7

B.

7a
.
2

C.

3 7a
.
7

7a .

D.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a , BC = a 3 . Tam giác
SAO cân tại S , mặt phẳng ( SAD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc giữa SD và

( ABCD ) bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB
A.
Câu 7:

a
.
2

B.

3a
.

4

C.

a 3
.
2

và AC .
D.

3a
.
2

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt phẳng ( SBC ) với mặt
phẳng đáy ( ABC ) bằng 60 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.

Câu 8:

a
.
4

B.

a
.
8

C.

3a
.
4

D.

3a
.
8

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi có ABC = 60, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm các cạnh

13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
AB, SA , SD và G là trọng tâm tam giác SBC . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( HMN )
biết khối chóp S. ABCD có thể tích V =
A.
Câu 9:

a 15
.
15

B.

a 15
.
30

a3
4

C.

a 15
.
20

D.

a 15
.
10

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a , hình chiếu vng góc của S lên đáy là
trung điểm cạnh AB , ASB = 90 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) bằng
A.

2 6a
.
3

B.

6a
.
3

C.

3a
.
3

D.

2 3a
.
3

Câu 10: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1 . Các cạnh bên có độ dài bằng
nhau và bằng 2 . Cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o . Khoảng cách từ B đến mặt
phẳng ( SAC ) bằng
A.

33
.
6

B.

2
.
2

C.

3
.
2

D. 1 .

Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Gọi O là
tâm của đáy ABC , d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) và d2 là khoảng cách từ O
đến mặt phẳng ( SBC ) . Khi đó d = d1 + d2 có giá trị là.
A.

8a 2
.
11

B.

8a 2
.
33

C.

8 a 22
.
33

Câu 12: Cho hình chóp S. ABCD , đáy là hình thang cân,

D.
AD

2a 2
.
11

là cạnh đáy ngắn;

AD = a , bc = 2a , ABC = 600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi SC và

mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) .
A.

a
37

.

B.

2a
37

.

C.

3a
37

.

D.

6a
37

.

Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD , đáy tâm O và cạnh đáy bằng a , SA = SB = SC = SD = a 3
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh CD , AB . Tính khoảng cách giữa AM và SN .

A.

a 510
.
102

B.

a 5
.
10

C.

a 510

.
204

D.

a 510
.
51

Chinh phục các bài toán VD - VDC: Khoảng cách trong không gian | 14


Phan Nhật Linh

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

Câu 14: Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác cân đỉnh A , AB = 2a và BAC = 1200 . Biết
SA = a và SA ⊥ ( ABC ) . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) theo a

A.

a 3
.
3

B. a 2 .

C.

a 2

.
2

D. a .

Câu 15: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân tại A biết BC = a 3 . Tam giác SAB đều cạnh
bằng a và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi G , G lần lượt là trọng tâm tam giác
SAB và SBC , Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SAG ) theo a

A.

15
a.
15

B.

2 15
a.
15

C.

3
a.
5

D.

2 5

a.
3

Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  . Cạnh bên AA = a , ABC là tam giác vng tại A có
BC = 2 a , AB = a 3 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( ABC )

A.

a 7
.
21

B.

a 21
.
21

C.

a 21
.
7

D.

a 3
.
7

Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A với AC = a . Biết hình
chiếu vng góc của B lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC . Mặt phẳng ( ABBA )
tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác BCC  . Tính khoảng cách
từ G đến mặt phẳng ( ABBA ) .
A.

3 3a
.
4

B.

3a
.
4

C.

3a
.
2

D.

3a
.
3

Câu 18: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vng tại A , AB = 4 a , AC = 3a , mặt phẳng

(SAB )

vng góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết tam giác SAB vuông tại S và SBA = 30o . Tính

khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) theo a .
A. d =

3a 7
.
14

B. d =

9a 13
.
13

C. d =

6a 13
.
13

D. d =

6a 7
.
7

Câu 19: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 3a , AB = 10 a , BC = 14 a , AC = 6 a . Gọi M là

3
trung điểm AC , N là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AN = AB . Tính theo a khoảng
5
cách giữa hai đường thẳng SM và CN .

15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
3a 3
3a 2
A.
.
B.
.
2
3

C.

3a
.
2

D.

3a 5
.
5

Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng
cách d từ A đến mặt phẳng ( SCD ) theo a .
A. d =

2a 2
.
3

B. d = a 3 .

C. d =

4a 5
.
3

D. d = a 5 .

Câu 21: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B , AD = a , AB = 2a , BC = 3a , mặt
bên SAB là tam giác đều và vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Tính khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng ( SCD ) .

A.

a 30
.
6

B.

a 66
.
22

C.

a 30
.
10

D.

a 2
.
2

Câu 22: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh AB = b , BC = b 3 , SA vng góc với
mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng đáy bằng 45 . Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng ( SBD ) tính theo b bằng
A.

2b 5
.
5

B.

2b 57
.
3

C.

2b 5
.
3

D.

2b 57
.
19

Câu 23: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a , AB = 2a và SA = 3a . Biết
rằng mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
( ABCD ) . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC ) bằng
A.

2 82 a
.
41

B.

4 82 a
.
41

C.

82 a
.
41

D.

82a
.
82

a 17
, hình chiếu vng
2
góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của đoạn AB . Tính chiều cao hạ từ đỉnh

Câu 24: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SD =

H của khối chóp H .SBD theo a .

A.

3a
.
5

B.

a 21
.
5

C.

a 3
.
5

D.

a 3
.
7

Câu 25: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc với nhau. Biết khoảng cách từ
điểm O đến các đường thẳng BC , CA , AB lần lượt là a , a 2 , a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng ( ABC ) theo a .
A.

2 a 33
.
11

B.

a 66
.
11

C.

11a
.
6

D. 2a .

Câu 26: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng a và BAA ' = DAA ' = BAD = 600 .
Gọi G là trọng tâm của tam giác AB ' C . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( DA ' C ' ) bằng
A.

a 22
.
66

B.

4 a 11
.
11

C.

2 a 11
.
11

D.

a 22
.

11

Chinh phục các bài toán VD - VDC: Khoảng cách trong không gian | 16


Phan Nhật Linh

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

Câu 27: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a , AD = 3 . Cạnh bên SA vng
góc với đáy và SA = 2 a . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng ( SBD ) :
A. d =

2a 57
.
19

B. d =

2a
5

.

C. d =

a 5
.
2

D. d =

a 57
.
19

Câu 28: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD = 600 , SB = a và mặt phẳng

(SBA ) và (SBC )

cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD )

bằng
A.

21a
.
7

B.

5a
.
7

C.

21a
.
3

15a
.
3

D.

Câu 29: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh AB = 2 a . Tam giác SAB vuông tại
S , mặt phẳng ( SAB ) vng góc với ( ABCD ) . Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng

(SBC )
A.

bằng  ,sin  =

2a
.
3

1
. Tính khoảng cách từ C đến ( SBD ) theo a .
3

C. 2a .

B. a .

D.

a

.
3

Câu 30: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng, BD = 2 a , tam giác SAC vng tại S và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, SC = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng ( SAD ) .
A.

a 30
.
5

B. a 3 .

C. 2a .

D.

2 21a
.
7

Câu 31: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Gọi O là
tâm của đáy ABC , d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) và d2 là khoảng cách từ O
đến mặt phẳng ( SBC ) . Tính d = d1 + d2 .
A. d =

8a 22
.
33

B. d =

2a 22
.
33

C. d =

8a 22
.
11

D. d =

2a 22
.
11

Câu 32: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng
A.

21a
.
28

B.

21a

.
7

C.

2a
.
2

21a
.
14

D.

Câu 33: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD = 60 , SA ⊥ ( ABCD ) ,

(SC , ( ABCD ) ) = 45 . Gọi I
A.

a 15
.
10

B.

là trung điểm SC . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBD )
a 15
.
5

C.

2 a 15
.
5

D.

a 15
.
15

Câu 34: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , H là trung điểm của AB, SH ⊥ ( ABCD )
Biết SC =

a 13
, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) tính theo a bằng
2

17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
a 2
A.
.
B. a 2 .
2

C.

a 6
.
3

D.

a
.
2

Câu 35: Cho hình chóp S. ABC trong đó SA , AB , BC vng góc với nhau từng đôi một. Biết
SA = a 3 , AB = a 3 . Khoảng cách từ A đến (SBC ) bằng:

A.

2a 5
.
5

B.

a 6
.
2

C.

a 3

.
2

D.

a 2
.
3

Câu 36: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = a , AB = a 3 . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA = 2 a . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng ( SBD ) .
A. d =

2a
5

B. d =

.

Câu 37: Cho tứ diện

ABCD

a 57
.
19

2a 57
.

19

D. d =

có AC = AD = BC = BD = 1 , mặt phẳng

( ACD ) ⊥ ( BCD) . Khoảng cách từ
A. 2 6 .

C. d =

6

B.

3

a 5
.
2

( ABC ) ⊥ ( ABD)

và

A đến mặt phẳng ( BCD ) là:

.

C.

6
.
2

D.

6
.
3

Câu 38: Cho hình chóp S. ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật.
Biết rằng SA = a , AB = a , AD = 2a . Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SBD )
A.

2a
.
3

B.

a
.
2

C.

a
.
3

D.

4a
.
3

Câu 39: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc với nhau. Biết khoảng cách từ
điểm O đến các đường thẳng BC , CA , AB lần lượt là a , a 2 , a 3 . Tính khoảng cách từ điểm
O đến mặt phẳng ( ABC ) theo a .

A.

2 a 33
.
11

B.

a 66
.
11

C.

11a
.
6

D. 2a .

Câu 40: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết SB = a 5 , khoảng
cách từ trung điểm của SA đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.

2 a 57
.
19

B.

a 3
.
4

C.

a 57
.
19

D.

a 57
.
38

Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . O là giao điểm của AC và
BD . Gọi M là trung điểm của AO . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) theo a
A. d = a 6.

B. d =

a 6
.
2

C. d =

a 6
.
4

D. d =

a 6
.
6

Câu 42: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A với AC = a . Biết hình chiếu
vng góc của B lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC . Mặt phẳng ( ABBA ) tạo
với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác BCC  . Tính khoảng cách từ
G đến mặt phẳng ( ABBA ) .

Chinh phục các bài toán VD - VDC: Khoảng cách trong không gian | 18


Phan Nhật Linh
A.

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

3 3a
.
4

B.

3a
.
4

C.

3a
.
2

D.

3a
.
3

Câu 43: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a , AD = 3 . Cạnh bên SA vng
góc với đáy và SA = 2 a . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng ( SBD ) :
A. d =

2a 57
.

19

B. d =

2a
5

.

C. d =

a 5
.
2

D. d =

a 57
.
19

Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng
cách d từ A đến mặt phẳng ( SCD ) theo a .
A. d =

2a 2
.
3

B. d = a 3 .

C. d =

4a 5
.
3

D. d = a 5 .

Câu 45: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B . Biết AB = BC = 1 ,
AD = 2 . Các mặt chéo ( SAC ) và ( SBD ) cùng vng góc với mặt đáy ( ABCD ) . Biết góc giữa
hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 60 . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAB ) là
A. 2 3 .

B.

2 3
.
3

C.

3.

D.

3
.
3

Câu 46: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 . Cạnh bên SA vng góc với
đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45 . Gọi E là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng DE và SC .
A.

2 a 19
.
19

B.

a 10
.
19

Câu 47: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có chiều cao 9

C.

a 10
.
5

D.

2 a 19
.
5

3

a . Biết rằng tam giác A ' BC là tam giác nhọn
35

và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Hai mặt phẳng ( ABB ' A ' ) và ( ACC ' A ' ) cùng
tạo với đáy các góc bằng nhau. Góc BAC = 600 , AC = 3 AB = 3a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB ' và A ' C bằng
2a
a
A.
.
B. .
3
3

C. a .

D.

3a
.
2

Câu 48: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vng, AB = BC = a , cạnh
bên AA = a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AM , BC .
A. h =

a 2
.
7

B. h =

a 7
.
7

C. h =

a
.
7

D. h =

a 3
.
7

Câu 49: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai đáy là AB và CD . Biết khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
a
a
, khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) bằng . Biết hình chiếu vng góc của đỉnh S lên
3
2
mặt phẳng đáy là điểm H nằm bên trong hình thang đáy ABCD . Khoảng cách SH bằng.

19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chủ đề 01: Khoảng cách trong không gian
a
a
A.
.
B.
.
2+ 3
2 2+ 3

C.

a
4− 2

.

D.

2a
2+ 3

.

Câu 50: Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 6 . Khoảng cách từ B đến mặt
phẳng ( SAC ) bằng 3 ; khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là 2 . Khoảng cách từ S
đến mặt phẳng ( ABC ) nằm trong khoảng nào dưới đây?
 5 11 
A.  ;  .

4 8 

 11 3 
B.  ;  .
 8 2

7 5
C.  ;  .
8 4

 3 13 
D.  ;  .
2 8 

Câu 51: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác cân tại C . Gọi G là trong tâm tam giác
ABC , E là điểm thỏa mãn EA = 3GA. Biết rằng AA = AB và AB = 2 a. Khoảng cách
giữa hai đường thẳng AG và BE là

B. a 3 .

A. a .

C. 2a .

D. 5a .

Câu 52: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Tam giác SAB cân
tại S và mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ( ABCD ) bằng 450 . Khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng SD đến mặt phẳng
(SAC ) bằng

A.

2a 1377
.
81

B.

2a 1513
.
89

C.

a 1513
.
89

D.

2a 1377
.
81

Câu 53: Cho hình lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và góc BAD
bằng 1200 . Góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy bằng 600 . Đỉnh A ' cách đều các điểm A; C ; D .
Tính khoảng cách từ D đến ( A ' BC ) .
A.

3
a.
5

B.

4
a.
3

C.

3
a.
4

D.

5
a.
3

Câu 54: Cho hình hộp ABCD.ABC D có I , K lần lượt thỏa ID + 2 IA = 0 , KA + 3KD = 0 . Gọi E là
giao điểm của CD và C D ; G , G lần lượt là trọng tâm tứ diện MBBA và EIA ; M là trung
điểm của CD . Biết rằng ABC đều cạnh a và ( IBD ) ⊥ ( ABCD ) , SIBD = 6 a2 3. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng GG và CK bằng
A. 4a .
B. 6a .

C. 8a .

D. 12a .

Câu 55: Cho hình chóp S. ABCD đáy là nửa lục giác đều với AD = 2 a , BC = a . SA vng góc với đáy,
SA = 2 a . O , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC , SB . d(O ,( MND)) bằng.
A.

4 a 561
.
187

B.

4 a 75
.
187

C.

a 935
.
187

D.

4 a 150
.
187

Câu 56: Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại C và cạnh AC = 2 a . Hình chiếu

của A trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của AC . Biết góc giữa hai mặt phẳng

( AABB )

và ( AAC C ) bằng 30 ; góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng AH và BC .
A.

a 2
.
2

B.

a 3
.
3

C.

a 2
.
3

D.

a
.
2

Chinh phục các bài tốn VD - VDC: Khoảng cách trong khơng gian | 20


Phan Nhật Linh

Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023

Câu 57: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a 3 , AC = a
Điểm A ' cách đều ba điểm A , B , C . Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng
60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng

A.

a 21
.
29

B. a 3 .

C.

a 21

.

D.

29

a 3
.
2

Câu 58: Cho hình lăng trụ ABCD.ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2 a , tam
giác AAB cân tại A và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Khoảng
cách từ D đến ( ABC ) bằng
A.

a 26
.
26

B.

2a
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và AC là :
5

2a 26
.
13

C.

21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

a 26
.
13

D.

a 13
.
26