ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I (2012- 2013) - Môn: Toán - Khối A, A1,B - TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (249.73 KB, 10 trang )
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B.
www.MATHVN.com Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08/ 12/ 2012.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm).
Câu I
(2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x
(C)
1. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. T?m các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:
22 2
(2) 10
2450
yxy
xxyy m
Câu II
(2,0 điểm).
1. Giải phương tr?nh:
2
2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (2 )
4
xx x x
2. Giải phương tr?nh:
x-2 + 4-x = 2x
2
− 5x − 1
Câu III
(1,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để bất phương tr?nh:
2
(2 ) ( 2 2 1) 0xxmxx nghiệm đúng với mọi
x
thuộc đoạn 0; 1 3
.
Câu IV
(1,0 điểm). Trên mp (P) cho đường tr?n (T) đường kính AB bằng 2R. S là một điểm nằm trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại A. Đặt SA = h. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K. C là một điểm
nằm trên đường tr?n (T) sao cho
,(0 )
2
BAC
. SC cắt mp (Q) tại H. Tính thể tích tứ diện SAHK theo
h, R và
.
Câu V
(1,0 điểm). Cho các số dương
,,
xy
z
thoả m?n
3xyz
. T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
222
x
yz
P
x
yyzzx
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B)
A.Theo chương tr?nh chuẩn.
Câu VIa
(2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương tr?nh đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt
là:
2130xy
và
13 6 9 0xy
. Biết tâm đường tr?n ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1). T?m toạ độ các
đỉnh A, B, C.
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tr?n (C):
22
(4) 25xy
và M(1; - 1). Viết phương tr?nh đường
thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB.
Câu VIIa
(1,0 điểm). Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3 .
B.Theo chương tr?nh nâng cao.
Câu VIb
(2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho h?nh chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đỉnh A thuộc đường thẳng
d:
20xy
, phương tr?nh đường thẳng DM:
360xy
và đỉnh C(3; - 3). T?m toạ độ các đỉnh A, B, D
biết D có hoành độ âm.
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương tr?nh chính tắc là:
22
1
16 9
xy
và hai điểm A(4;-3),
B(- 4; 3). T?m toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Câu VIIb
(1,0 điểm). Tính tổng
0 11 1 10 10 1 11 0
20 12 20 12 20 12 20 12
SCC CC CC CC
.
…………….Hết…………
( Đề thi gồm có 01 trang)
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B.
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08/ 12/ 2012.
Câu ? Đáp án Điểm
I 1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1,0
Tập xác định D = R\1
Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên:
2
3
'0,
(1)
y
xD
x
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; 1) và ( 1 ; + ).
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
0.25
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
21 21
lim 2 ; lim 2
11
xx
xx
x
x
.
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.
11
21 21
lim ; lim
11
xx
xx
x
x
.
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
0,25
-Bảng biến thiên:
x
- 1 +
y’ - -
y
2 +
- 2
0,25
Đồ thị:
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểmhai tiệm cận I( 1; 2).
0,25
2
y
I
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2
T?m các giá trị của
m
để hệ phương tr?nh sau có đúng 4 nghiệm nguyên
22 2
(2) 10 (1)
2450(2)
yxy
xxyy m
1,0
Nhận thấy x = 1 không thỏa m?n phương tr?nh (1) dù y lấy bất k? giá trị nào
Suy ra (1)
21
(1) 21
1
x
xyx y
x
Phương tr?nh (2)
222
(1)( 2)
x
ym là phương tr?nh đường tr?n (T) có tâm
I(1;2) bán kính
m
với mọi m khác 0
Vậy hệ phương tr?nh đ? cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đồ thị (C) ở câu 1
và đường tr?n (T) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có tọa độ nguyên
0,25
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
15 -10 -5 5 10 15
1
-1
5
4
1
3
-2
I
y
x
o
D
C
B
A
Đồ thị (C) chỉ đi qua đúng 4 điểm có tọa độ nguyên là A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và
D(-2; 1)
Từng cặp AvaC, B và D đối xứng nhau qua I(1;2)
0,5
Hệ đ? cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đường tr?n (T) phải đi qua 4 điểm
A, B, C, D khi và chỉ khi (T) đi qua A khi và chỉ khi
22
10 10Rm m
0,25
II 1
. Giải phương tr?nh:
2
2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (2 )
4
xx x x
1,0
O
1 x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2
2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3cos (2 )
4
2cos3 cos 3 3sin 2 3 1 cos(4 )
2
2cos3 cos 3 3sin 2 3 3sin 4
2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0
2cos3 cos 2 3 sin 3 cos 0 2cos (cos3 3 sin3 ) 0
cos 0
xx x x
xx x x
xx x x
xx x x
xx xx x x x
x
cos 0
2
()
3
cos3 3 sin 3 0
tan3
3
18 3
x
xk
kZ
xx
x
xk
Vậy nghiệm của phương tr?nh là
;()
2183
x
kx k kZ
0,5
0,5
2
Giải phương tr?nh: x-2 + 4-x = 2x
2
− 5x − 1 (1)
1,0
2
(1) 2 1 4 1 2 5 3
x
xxx
33 1 1
(3)(21) (3)( 21)0
2141 2141
30
11
21(2)
21 4 1
xx
xx x x
xx xx
x
x
xx
0,5
*
30 3xx
*Xét phương tr?nh (2)
ĐK
24x
VP
5
VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng
1
1
21
khi x = 2 nên phương tr?nh (2)
vô nghiệm
Vậy phương tr?nh có nghiệm duy nhất x = 3
0,25
0,25
III
T?m các giá trị của tham số
m
để bất phương tr?nh:
2
(2 ) ( 2 2 1) 0xxmxx
1.0
Đặt
2
22txx . Lập BBT của hàm
2
22yx x
với x thuôc 0;1 3
ta có t
thuộc đoạn
1; 2
0,25
Bpt trở thành
2
2
2
(1) 2 (1)
1
t
mt t m
t
(do t+1>0)
Bpt đ? cho nghiệm đúng với mọi x thuôc 0;1 3
khi và chỉ Bpt (1) nghiệm đúng
với moi t thuộc đoạn
1; 2
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Xét
2
2
() , 1;2
1
t
ft t
t
2
1
'( ) 1 0,
(1)
f
tt
t
t 1 2
f’(t) +
f(t)
2
3
1
2
0,25
Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn
1; 2
khi
1
2
m
Vậy với
1
2
m
thoả m?n yêu cầu bài toán.
0,25
IV Trên mp (P) cho đường tr?n (T) đường kính AB bằng 2R. S là một điểm nằm trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A. Đặt SA = h. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông
góc với SB cắt SB tại K. C là một điểm nằm trên đường tr?n (T) sao cho
,(0 )
2
BAC
. SC cắt mp (Q) tại H. Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và
.
1.0
O
H
K
C
B
S
A
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chứng minh AH
SC.
Ta có:
()
BC AC
B
C SAC BC AH
BC SA
(1)
Lại có:
()mp Q SB SB AH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
()
A
H SBC AH SC
Suy ra
2
SA SH SC SK SB
4
22 22
. .
.
SAHK
SABC
V
SA SH SK SH SK SH SC SK SB SA
VSASCSBSCSBSCSBSCSB
0,25
0,25
2
2
22 22
22 2
11 sin2
.sinos.
36 3
4os,
4
SABC
Rh
VdtABCSHABcSA
SC h R c
SB h R
0,25
25
22222
sin 2
3( 4 )( 4 os )
SAHK
Rh
V
hRhRc
0,25
V
T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
222
x
yz
P
x
yyzzx
1,0
222 2 2 2
222 2 2 2
222
222
()()()
()
x
yz xy yz zx
Pxyz
x
yyzzx xy yz zx
xy yz zx
Pxyz
xy yz zx
0,25
Ta có
22
2
2
22 22
22
2
2
2
;
22
22
()( )
222
xy xy y x
xy yx
xy
yx
zy
y
zyz zxzxxz
yz zx
zy xz
zy
yx xz
Pxyz
0,25
Mặt khác
111
;;
22 22 22
4
31 91
()( )( )
44 44
x
xy y y yz z z xz x
yx y zy z xz x
xyzxyyzxz
Pxyz
P x y z xy yz zx xy yz zx
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2222
() 2( )3( )
91 3
3.3
44 2
x
yz x y z xyyzzx xyyzzx
xy yz zx P
Dấu = xảy ra khi
222
;;
1
1; 1; 1
1
1
3
xyyzzx
x
xyz
y
xyx
z
xyz
Vậy GTNN của P là 3/2 khi x = y = z =1.
0,25
VIa 1 1.0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
2130 3
(3;8)
13 6 9 0 8
xy x
A
xy y
0,25
Ta có IM đi qua I(-5; 1) và song song với AH .Phương tr?nh IM là
270xy
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
270 3
(3;5)
13 6 9 0 5
xy x
M
xy y
0,25
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH. Phương tr?nh BC là
2110xy
Gọi B(b;11-2b). Ta có IB = IA
222
2
( 5) (10 2 ) 85 6 8 0
4
b
bbbb
b
0,25
Với b = 2 suy ra B(2;7), C(4;3)
Với b = 4 suy ra B(4;3), C(2,7)
Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A( -3; -8), B(4;3), C(2;7)
0,25
2 1,0
Đường tr?n (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5.
A
B C
H M
I
I
A
B
H
M
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Do IM <5 nên M nằm trong đường tr?n (C)
Gọi H là h?nh chiếu của I trên AB, H là trung điểm của AB.
Do MA= 3MB nên M là trung điểm của HB
Xét hai tam giác vuông IHM và IHB ta có
222 22
222 2 2
10 5
425
5
IH HM IM IH HM HM
IH HB IB IH HM
IH
0,5
Đường thẳng (d) đi qua M(1; - 1) có phương tr?nh
22
(1)(1)0( 0)ax by a b
22
22
2
3
(, ) 5 2 3 2 0 (2 )( 2) 0
2
ab
ab
d I d a ab b a b a b
ab
ab
Với
2ba
chon
1; 2ab
. Phương tr?nh (d): x + 2y +1 = 0
Với
2ab
chon
1; 2ba
. Phương tr?nh (d): 2x - y -3 = 0
Vậy phương tr?nh đường thẳng (d) là x + 2y +1 = 0 hoặc 2x - y -3 = 0
0,5
VIIa 1,0
Gọi số có 5 chữ số là
(0)abcde a
. Do
3abcde
nên
()3abcde
Nếu 3abcd th? e = 0 hoặc e = 3
Nếu
abcd
chia 3 dư 1 th? e = 2 hoặc e = 5
Nếu
abcd
chia 3 dư 2 th? e = 1 hoặc e = 4
Như vậy từ một số có 4 chữ sô
abcd
(các chữ số được lấy từ tập A) sẽ tạo được 2 số tự
nhiên có 5 chữ số thoả m?n yêu cầu bài toán
Từ các chữ số của tập A lập được: 5.6.6.6 = 1080 số tự nhiên có 4 chữ số
Nên từ các chữ số của tập A lập được: 2.1080 = 2160 sô chia hết cho 3 có 5 chữ số
VII
b
1 1,0
Do A thuộc d:
20xy
, gọi A
(; 2)aa
. Ta có
3
4
2.6
2 (,)2(,)
3
10 10
ADM CDM
a
a
S S d A DM d C DM
a
Với
3(3;5)aA
, trường hợp này không thoả m?n v? A, C nằm cùng phía với
đường thẳng DM.
Với
3(3;1)aA
. Gọi I là tâm của h?nh chữ nhật, I là trung điểm của AC suy ra
I(0;-1)
0,5
Điểm D thuộc DM:
360xy
, gọi D(3d+6;d) (d < -2)
A
D C
M
B
I
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
22
3
(3 6) ( 1) 13 3
4
5
d
ID IA d d d
d
Suy ra D(-3;-3), B(3;1)
Vậy A(-3;1), D(-3;-3), B(3;1)
0,5
2 1,0
Gọi
0
(; )
o
Cx y
ta có
22
22
0
00
1 9 16 144 (1)
16 9
o
xy
xy
Phương tr?nh AB là: 3x +4y = 0
0,25
00
34
1
(, ) , .(, )
52
ABC
xy
dCAB S ABdCAB
Do AB không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(C,AB) lớn nhất
0,25
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta có
222
00 0
00
(3 4 ) 2(9 16 ) 2.144
12 2
34 122 (,)
5
o
xy x y
xy dCAB
(Dấu = xảy ra khi
00
34
x
y
)
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi
00
34
x
y
0,25
Kết hợp với (1) ta có
00
22
00
00
00
3
22;
916 144
2
3
34
22;
2
xy
xy
xy
xy
Vậy toạ độ điểm C là
32
(2 2; )
2
hoặc
32
(22; )
2
0,25
VII
b
Tính tổng
0 11 1 10 10 1 11 0
20 12 20 12 20 12 20 12
SCC CC CC CC
.
1,0
Ta có
32 20 12
(1 ) (1 ) .( 1) (1)xxx
32 0 1 2 2 32 32
32 32 32 32
(1 ) VT x C Cx Cx Cx
Hệ số của
11
x
trong khai triển vế trái là
11
32
C
(2)
0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12 12
20 20 20 20 12 12 12 12
( )( )VP C C x C x C x C C x C x C x
Hệ số của
11
x
trong khai triển vế phải là
011 110 101 110
20 12 20 12 20 12 20 12
CC CC CC CC
(3)
Từ (1),(2),(3) ta có
0 11 1 10 10 1 11 0 11
20 12 20 12 20 12 20 12 32
SCC CC CC CC C
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ?: Đối với ? 2 câu 1 thí sinh có thể giải không sử dụng đồ thị mà viết phương tr?nh (1) tương đương
với
21 3
2
11
x
y
x
x
(sau khi nhận xét x = 1 không thỏa m?n phương tr?nh với mọi y)
Nhận xét y nguyên khi x nguyên th?
3
1
x
phải nguyên.
Suy ra x – 1 phải là ước của 3 hay
{ 2;0;2;4}x
thay vào t?m y tương ứng
Thay 4 cặp (x; y) nguyên vào phương tr?nh (2) t?m được m
2
= 10.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
