Hä vµ tªn: §iÓm

Kiểm tra hoc kỳ II
Môn Toán 11 Ban cơ bản

(Đề chẵn)
Câu 1 : Tìm các giới hạn sau:
a)

( 2n
lim

n →+∞

)

+ 1 ( n − 3)

2

( 3n + 2 ) ( 1 − 2n )

3

2

b) lim

3

x →1

x+7 −2

x2 −1

C©u 2: Xét tính liên tục của hàm số:
x+1 1

f ( x) =  2 x
 x +1
 x + 2

: x>0
: x≤0

4
3
2
C©u 3: Cho f ( x ) = 2 x − 4 x − x + 3x + 5 ( 1)
,,
a) Giải bất phơng trình f ( x ) < 0 .
,
b) CMR phơng trình f ( x ) = 0 cã nghiƯm ph©n biƯt.

c) ViÕt PTTT cđa đồ thị hàm số ( 1) biết rằng tiếp điểm có
hoành độ là -1.
Câu 4: Cho f(x)= cosx . CMR:

3


6

6

2. f '( x + ). f '( x − ) + f ( 2 x + ) = f '( 0 ) ( x )
Câu 5: Cho hình chóp SABCD cã SA ⊥ ( ABCD ) vµ SA = a đáy ABCD là
hình thang vuông có đờng cao AB = a; BC = a; AD = 2a.
a) Chøng minh r»ng: SD AB
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD )
c) Tính khoảng cách từ AB đến CD
d) Tính góc giữa ( SAD ) và ( SCD ) .


Kiểm tra học kỳ II
Môn Toán 11 Ban cơ bản

(Đề lẻ)
Câu 1 : Tìm các giới hạn sau:

( n + 5 ) ( 3 − 2n )
lim
( 2n − 1) ( 1 + n )
3

a)

2

n →+∞

2

x 2 − 3x + 2
b) lim
x →1 3 x + 6 − 2

3

C©u 2: Xét tính liên tục của hàm số
x 1
x − 4
f ( x) = 
 3 − x −1
 x − 2

:x≥2
: x<2

4
3
2
C©u 3: Cho f ( x ) = x − 3x − 3x − 4 x + 5 ( 1)
,,
a) Giải bất phơng trình f ( x ) > 0
,
b) CMR Phơng trình f ( x ) = 0 cã 3 nghiƯm

c) ViÕt PTTT cđa ®å thị hàm số ( 1) biết rằng tiếp điểm có
hoành độ là 1.
Câu 4: Cho f(x)= cosx . CMR:

3


6


6

2. f '( x + ). f '( x − ) + f ( 2 x + ) = f '( 0 ) ( x )
Câu 5: Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ ( ABCD ) vµ SA = a 2 đáy ABCD là
hình thang vuông có đờng cao AB = a; BC = a; AD = 2a.
a) Chøng minh r»ng: SCD vuông.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
c) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AB đến đờng thẳng SD .
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SCD ) .


Đáp án và biểu điểm
Câu 1: (1,5 đ)
a)

=

(x

x 1

lim
x →1

(0,75®)
x −1

lim

b)

=

1
12

2
− 1  3 ( x + 7 ) + 2 3 ( x + 7 ) + 4 ữ (0,25đ)



)

2

1

( x + 1) 3 ( x + 7 )


2

(0,25đ)

+ 2 3 x + 7 + 4 ữ


1
24

(0,25đ)

Câu 2: (1,5đ)

TXĐ: D = Ă \ { 3}

(0,25đ)

x +1 1
Xác định với x > 0 Hàm số liên tục ∀x > 0
x

+ x > 0 : f ( x) =

(0,25®)
+ x < 0 : f ( x) =

x2 + 1
Xác định với 2 x < 0 Hàm số liên tục x : 2 x < 0
x+2

Hàm số gián đoạn tại
x=-2

(0,25đ)

+ Tại x = 0 : lim

x →0−

lim+ f ( x ) = lim+

x →0

x →0

x2 + 1 1
=
x+2 2

x +1 −1 1
=
x
2

(0,25®)
⇒ lim f ( x ) =
x 0

1
= f ( 0 ) (0,25đ)
2

Hàm số liên tục tại x=0

Kết luận: Hàm số liên tục tại x 2 ; Hàm số gián đoạn tại x = 2 ;
(0,25đ)
Câu 3: (2.5đ)

f , ( x ) = 8 x 3 − 12 x 2 − 2 x + 3


f ,, ( x ) = 24 x 2 − 24 x − 2

a) f , ( x ) < 0 ⇔ 24 x 2 − 24 x − 2 < 0 ⇔

(0,5®)
6 − 48
6 + 48
12
12

(0,5®)

,
3
2
b) f ( x ) = 8 x − 12 x − 2 x + 3 liªn tơc víi mäi x ∈ ¡ . (0.25®)

f , ( −1) . f , ( 0 ) < 0

(0,25®)

f , ( 0 ) . f , ( 1) < 0

(0,25®)

f , ( 1) . f , ( 2 ) < 0

(0,25đ)

Vậy phơng trình f , ( x ) = 0 cã 3 nghiÖm.
,
c) k = f ( −1) = −15 ; f ( -1) = 7

(0,25®)

PTTT: y = 15 x 8

(0,25đ)

Câu 4(1đ) : f(x) = -sin x .

f’(0)= 0

( 0.25®)

π
π
π
).sin( x − ) + cos( 2 x + )
( 0.25d )
3

6
6
VT= 2sin(x+
π
π
π
= cos − cos( 2 x + ) + cos( 2 x + ) = 0 = f '( 0 ) ( 0.5d )
2
6
6

C©u 5 (3.5đ) : Vẽ hình rõ ràng

(0,25đ)

a) AB AD
(0,5đ)

AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ SD

b) SA ⊥ CD
AC ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SAC )

(0,25®)

Trong ∆SAC dùng AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ ( SCD )

(0,25®)

d ( A; ( SCD ) ) = AH .

AC = a 2
SA = a

⇒ AH =

a 6
3

(0,25®)

c) Trong ∆SAD dùng AK ⊥ SD v× AB ⊥ ( SAD ) ⇒ AK ⊥ AB
AK là đờng chung của SD và AB
d ( SD, AB ) = AK =

2a
5

(0,5®)
(0,5®)


d) ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) I lµ tiêu điểm của AD
CI AD CI ( SAD ) kỴ IJ ⊥ SD

( J ∈ SD ) CJ SD

ẳ là góc giữa 2 mp ( SAD ) và ( SCD )
CIJ

( 0,5đ)

DIJ

DSA

IJ DI
a
=
IJ =
SA DS
5

(0,5đ)

ẳ = IC = a 5 = 5 CIJ
ẳ = 65054 ,
Trong CIJ : tan CIJ
IJ

a

Đáp án và biểu điểm

(Lẻ)

Câu 1: (1,5 đ)
a) 2
b) lim

(0,75đ)

( x 1) ( x − 2 ) ( 3 x + 6 + 2 3 x + 6 + 4 )

(0,25®)

x−2

x →2

( x − 1)
= lim
x →2

(

3

( x + 6) + 2 3 x + 6 + 4)

(0,25đ)

=12

(0,25đ)

Câu 2: (1,5đ)
+ x > 2 : f ( x) =

TX§: D = R\ { 4}

(0,25đ)

x 1
Xác định với x 4 Hàm số liên tục x : 2 < x 4
x4

(0,25đ)
+ x < 2 : f ( x) =

3 − x 1
Xác định với x < 2 Hàm số liên tục x < 2
x2

(0,25đ)
+ Tại x = 2 : xlim
2



3 x −1
2− x
1
= lim−
=−
x→ 2
x−2
2
( x − 2) 3 − x + 1

(

)

(0,25®)
lim+ f ( x ) = lim+

x →2

x→2

x 1
1
=
x4
2

lim f ( x ) =

(0,25đ)
Hàm số liên tục tại x=2

x2

1
= f ( 2)
2


Kết luận: Hàm số liên tục tại x 4 ; Hàm số gián đoạn tại x = 4 ;
(0,25đ)
Câu 3: (2,5®)

f , ( x ) = 4 x3 + 9 x 2 − 6 x − 4
f ,, ( x ) = 12 x 2 − 18 x − 6

(0,5®)


−3 − 17
x <
2
,,
2
a) f ( x ) < 0 ⇔ 12 x + 18 x − 6 > 0 ⇔ 

−3 + 17
x >
2


(0,5®)

,
3
2
b) f ( x ) = 0 ⇔ 4 x + 9 x − 6 x − 4 = 0

f , ( x ) = 4 x3 + 9 x 2 − 6 x − 4

liªn tơc víi mäi x ∈ ¡ .

(0.25®)

f , ( −3) . f , ( −1) < 0

(0,25®)

f , ( −1) . f , ( 1) < 0

(0,25®)

f , ( 0 ) . f , ( 1) < 0
⇒ VËy ph¬ng tr×nh f , ( x ) = 0 cã 3 nghiƯm.

(0,25®)

,
c) k = f ( −1) = 3 ; f ( 1) = 2

PTTT: y = 3 ( x − 1) + 2

(0,25đ)

; y = 3x 1

(0,25đ)

Câu 4(1đ) : f’(x) = -sin x .

f’(0)= 0

( 0.25®)

π
π
π
).sin( x − ) + cos( 2 x + )
( 0.25d )
3
6
6
VT= 2sin(x+
π
π
π
= cos − cos( 2 x + ) + cos( 2 x + ) = 0 = f '( 0 ) ( 0.5d )
2
6
6

Câu 5 (3.5đ): Vẽ hình rõ ràng
(0,25đ)
a) CD SA
CD AC CD SC

SCD vuông tại C

(0,5®)

b) BC ⊥ AB
BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB )

⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

Trong ∆SAB dùng AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ SBC

(0,5®)


⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH =

a 6
.
3

( 0,25®)

c) AB ⊥ AD
AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ ( SAD )

Trong ∆SAD dùng AK ⊥ SD ⇒ AK là đờng vuông góc chung của AB và
SD (0,5đ)
d ( SD, AB ) = AK =

2a
3

(0.5đ)
d) Gọi I là tiêu điểm của AD
CI ( SAD ) từ I kỴ IJ ⊥ SD

( J ∈ SD ) ⇒ CJ SD

ẳ là góc giữa 2 mp ( SAD ) và ( SCD )
CIJ

(0.5đ)
DIJ : DSA

IJ DI
a
=
IJ =
SA DS
3

¼ = IC = a 3 = 3 CIJ
ẳ = 600
Trong CIJ : tan CIJ
IJ

a

(0.5đ).