Bất đẳng thức xoay vòng phần 5 doc

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
1.4 Bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Bài 1
Với a, b > 1, chứng minh rằng:
1
1 + a
+
1
1 + b
≥
2
1 +
√
ab
Chứng minh
Bất đẳng thức tương với:
(a + b) + 2
1 + (a + b) + ab
≥
2
1 +
√
ab
⇔ (a + b) + 2 + (a + b)
√
ab + 2
√
ab ≥ 2 + 2(a + b) + 2ab
⇔ (a + b)(
√
ab − 1) + 2

√
ab(1 −
√
ab) ≥ 0
⇔ (
√
ab − 1)(
√
a −
√
b)
2
≥ 0 (Hiển nhiên vì
√
ab > 1 )
Bài 2
Với 0 < a, b < 1, chứng minh rằng:
1
1 + a
+
1
1 + b
≤
2
1 +
√
ab
Chứng minh
Bất đẳng thức tương đương với:
(a + b) + 2

1 + (a + b) + ab
≤
2
1 +
√
ab
⇔ (a + b) + 2 + (a + b)
√
ab + 2
√
ab ≤ 2 + 2(a + b) + 2ab
⇔ (
√
ab − 1)(
√
a −
√
b)
2
(Hiển nhiên đúng vì
√
ab < 1 )
Bài 3
Với a, b > 1, chứng minh rằng:
1
(1 + a)
n
+
1
(1 + b)

n
≥
2
(1 +
√
ab)
n
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức:
a
n
+ b
n
2
≥ (
a + b
2
)
n
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 32 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Ta thu được:
1
(1 + a)
n
+
1
(1 + b)
n

≥ 2(
1
1+a
+
1
1+b
2
)
n
Áp dụng kết quả bài 1 ta thu được.
1
(1 + a)
n
+
1
(1 + b)
n
≥ 2(
1
1 +
√
ab
)
n
=
2
(1 + ab)
n
Bài 4
Với 0 < a, b < 1, chứng minh rằng:

1
n
√
1 + a
+
1
n
√
1 + b
≤
2
n

1 +
√
ab
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức
n
√
a +
n
√
b
2
≤
n

a + b
2

Với a, b > 0
Ta thu được
1
n
√
1 + a
+
1
n
√
1 + b
≤
n

1
1+a
+
1
1+b
2
Áp dụng kết quả ở ví dụ 2 ta thu được
1
n
√
1 + a
+
1
n
√
1 + b

≤ 2
n

1
1 +
√
ab
=
2
n

1 +
√
ab
Bài 5
Với a, b > 1. chứng minh rằng
a
1 + b
+
b
1 + a
≥
2
√
ab
1 +
√
ab
Chứng minh
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

a
1 + b
+ 1 +
b
1 + a
+ 1 ≥
2
√
ab
1 +
√
ab
+ 2
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 33 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
⇔ (a + b + 1)(
1
1 + b
+
1
1 + a
) ≥ (1 + 2
√
ab)
2
1 +
√
ab
Ta có

a + b + 1 ≥ 1 + 2
√
ab
1
1 + b
+
1
1 + a
≥
2
1 +
√
ab
Nhân hai vế hai bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 6
Với a, b, c > 0, chứng minh rằng
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
≥
3
1 +
3
√
abc

Chứng minh
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
P =
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
+
1
1 +
3
√
abc
≥
4
1 +
3
√
abc
Ta có
P ≥
2
1 +
√
ab
+

2
1 +

c
3
√
abc
≥
4
1 +
4

abc
3
√
abc
=
4
1 +
3
√
abc
Bài 7
Với a, b, c > 1, chứng minh rằng
2 + b + c
1 + a
+
2 + c + a
1 + b
+

1 + a + b
1 + c
≥ 6
Chứng minh
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
2 + b + c
1 + a
+ 1 +
2 + c + a
1 + b
+ 1 +
1 + a + b
1 + c
+ 1 ≥ 9
⇔ (3 + a + b + c)(
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
) ≥ 9
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 34 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Ta có
3 + a + b + c ≥ 3(1 +
3

√
abc)
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
≥
3
1 +
3
√
abc
Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần
chứng minh.
Bài 8
Với a, b, c > 1, chứng minh rằng
1
(1 + a)
3
+
1
(1 + b)
3
+
1
(1 + c)

3
≥
3
(1 +
3
√
abc)
3
Chứng minh
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
P =
1
(1 + a)
3
+
1
(1 + b)
3
+
1
(1 + c)
3
+
1
(1 +
3
√
abc)
3
≥

4
(1 +
3
√
abc)
3
Áp dụng kết quả bài 3 ta có
P ≥
2
(1 +
√
ab)
3
+
2
(1 +

c
3
√
abc)
3
≥
4
(1 +
4

abc
3
√

abc)
3
≥
4
(1 +
3
√
abc)
3
Bài 9
Với 0 < a, b, c < 1, chứng minh rằng
1
√
1 + a
+
1
√
1 + b
+
1
√
1 + c
≤
3

1 +
3
√
abc
Chứng minh

Bất đẳng thức đã cho tương đương với
P =
1
√
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
+
1

1 +
3
√
abc
≤
4

1 +
3
√
abc
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 35 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Áp dụng kết quả bài 4 ta thu được
P ≤

2

1 +
√
ab
+
2

1 +

c
3
√
abc
≤
4

1 +
4

abc
3
√
abc
=
4

1 +
3
√

abc
Bài 10
Với a, b, c > 1, chứng minh rằng
P = (
2 + b + c
1 + a
)
2
+ (
2 + c + a
1 + b
)
2
+ (
2 + a + b
1 + c
)
2
≥ 12
Ta có
P ≥ (
2+b+c
1+a
+
2+c+a
1+b
+
2+a+b
1+c
3

)
2
≥ 3(
6
3
)
2
= 12
Áp dụng ví dụ 7
Bài 11
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
≥ a
3
+ b
3
+ c

3
Chứng minh
Ta có
a
5
b
2
+ ab
2
≥ 2a
3
b
5
c
2
+ bc
2
≥ 2b
3
c
5
a
2
+ ca
2
≥ 2c
3
a
3
+ b

3
+ c
3
≥ ab
2
+ bc
2
+ ca
2
Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 12
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
5
bc
+
b
5
ca
+
c
5
ab
≥ a
3
+ b
3
+ c
3
Chứng minh

Ta có:
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 36 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
a
5
bc
+ abc ≥ 2a
3
b
5
ca
+ abc ≥ 2b
3
c
5
ab
+ abc ≥ 2c
3
a
3
+ b
3
+ c
3
≥ 3abc
Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 13
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a

5
b
3
+
b
5
c
3
+
c
5
a
3
≥
a
3
b
+
b
3
c
+
c
3
a
Chứng minh
Ta có:
a
5
b

3
+ ab ≥ 2
a
3
b
Suy ra:
a
5
b
5
+ 2ab ≥
a
3
b
+
a
3
b
+ ab ≥
a
3
b
+ 2a
2
Tương tự:
b
5
c
3
+ 2bc ≥

b
3
c
+ 2b
2
c
5
a
3
+ 2ca ≥
c
3
a
+ 2c
2
mà 2(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 2(ab + bc + ca)
Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 14
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
3
a + 2b
+
b

3
b + 2c
+
c
3
c + 2a
≥
1
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
Chứng minh
Ta có:
9a
3
a + 2b
+ a(a + 2b) ≥ 6a
2
9b
3
b + 2c
+ b(b + 2c) ≥ 6b
2
9c
3

c + 2a
+ c(c + 2a) ≥ 6c
2
mà 2(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 2(ab + bc + ca)
Cộng 4 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 37 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Bài 15
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
3
(b + c)
2
+
b
3
(c + a)
2
+
c
3
(a + b)
2

≥
1
4
(a + b + c)
Chứng minh
Ta có:
8a
3
(b + c)
2
+ (b + c) + (b + c) ≥ 6a
8b
3
(c + a)
2
+ (c + a) + (c + a) ≥ 6b
8c
3
(a + b)
2
+ (a + b) + (a + b) ≥ 6c
Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 16
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
3
b(c + a)
+
b
3

c(a + b)
+
c
3
a(b + c)
≥
1
2
(a + b + c)
Chứng minh
Ta có:
4a
3
b(c + a)
+ 2b + (c + a) ≥ 6a
4b
3
c(a + b)
+ 2c + (a + b) ≥ 6b
4c
3
a(b + c)
+ 2a + (b + c) ≥ 6c
Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 17
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
4
bc
2

+
b
4
ca
2
+
c
4
ab
2
≥ a + b + c
Chứng minh
Ta có:
a
4
bc
2
+ b + c + c ≥ 4a
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 38 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
b
4
ca
2
+ c + a + a ≥ 4b
c
4
ab
2

+ a + b + b ≥ 4c
Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 18
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
3
(a + b)(b + c)
+
b
3
(b + c)(c + a)
+
c
3
(c + a)(a + b)
≥
1
4
(a + b + c)
Chứng minh
Ta có:
8a
3
(a + b)(b + c)
+ (a + b) + (b + c) ≥ 6a
8b
3
(b + c)(c + a)
+ (b + c) + (c + a) ≥ 6b
8c

3
(c + a)(a + b)
+ (c + a) + (a + b) ≥ 6c
Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 19
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
2
b
3
+
b
2
c
3
+
c
2
a
3
≥
9
a + b + c
Chứng minh
Ta có bất đẳng thức
b
3
a
2
+

c
3
b
2
+
a
3
c
2
≥ a + b + c
Suy ra:
a
2
b
3
+
b
2
c
3
+
c
2
a
3
=
(
1
b
)

3
(
1
a
)
2
+
(
1
c
)
3
(
1
b
)
2
+
(
1
a
)
3
(
1
c
)
2
≥
1

a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a + b + c
Bài 20
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
≥ ab
2
+ bc
2

+ ca
2
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 39 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Chứng minh
Ta có:
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
≥ a
3
+ b
3
+ c
3
≥ ab
2
+ bc

2
+ ca
2
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 40 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com