Bat dang thuc vecto va ung dung.doc

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2
I. Cơ sở lý thuyết.
1. Độ dài véctơ.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ
1 1
( ; )x x y=
r
có độ dài là
2 2
1 1
| |x x y
= +
r
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ
1 1 1
( ; ; )x x y z=
r
có độ dài
2 2 2
1 1 1
| |x x y z= + +
r
2. Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ
1 1 2 2
( ; ); ( ; )u x y v x y= =
r r
Khi đó ta có
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1

1 2 1 2
( ; )
( ; )
( ; ) ( )
. | | .| | cos( , )
. . .
u v x x y y
u v x x y y
ku kx ky k
u v u v u v
u v x x y y
+ = + +
=
=
=
= +
r r
r r
r
Ă
r r r r r r
r r
Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tơng tự nh trong mặt phẳng.
3. Bất đẳng thức véctơ.
Cho hai véctơ
,a b
r r
(Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có
| | | | | | (1)a b a b+ +
r r r ur

Dấu = xảy ra
*
:a b k a kb
+
=
r r r r
Z Z Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
Tổng quát:
*
1 1
| | | | ( )
n n
i i
i i
a a n
+
= =


ur ur
Â
| | | | | | (2)a b a b +
r r r ur
Dấu = xảy ra
*
:a b k a kb

=
r r r r
Z [ Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
| | .| | . | |.| | (3)u v u v u v
r r r r r r
Dấu = thứ nhất xảy ra
*
:a b k a kb

=
r r r r
Z [ Ă
hoặc một trong hai véctơ
bằng
0
r
. Dấu = thứ hai xảy ra
*
:a b k a kb
+
=
r r r r
Z Z Ă
hoặc một trong hai
véctơ bằng

0
r
.
II. ứng dụng của bất đẳng thức véctơ.
1. ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình.
1.1.Phơng pháp: Ta biến đổi phơng trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích
hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để đa ra
nghiệm của phơng trình đã cho.
Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng
1
Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2
1.2. Ví dụ.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau
2
1 3 2 1 0 (1.1)x x x x+ + + =
Giải
ĐK:
1 3x
Khi đó ta có
2
(1.1) 1 3 2 1x x x x + + = +
xét hai véctơ
( ;1); ( 1; 3 )u x v x x= = +
r r
Ta có
2
. 1 3 ; | |.| | 2 1u v x x x u v x= + + = +
r r r r
Mà theo BĐT (3 ) ta có
2

. | |.| | 1 3 2 1u v u v x x x x + + +
r r r r
Vì cả ha véctơ đều khác véctơ
0
r
nên dấu = xảy ra
2
0
1
1
0
1
0
1 2
1
(3 ) 1
3
1 2
1 2
x
x
x
x
x x
u v
x
x x x
x
x
x

=

=



+

=



=
= +

= +






= +


r r
Z Z

Cả hai nghiệm trên đều thoả mãn phơng trình đã cho. Vậy phơng trình (1.1) có hai
nghiệm phân biệt
1; 1 2x = +
.
Ví dụ 2: Giải phơng trình sau
2 2
2 5 2 10 29 (1.2)x x x x + + + + =
Giải
Phơng trình đã cho xác định với mọi x.
Ta có
2 2
(1.2) ( 1) 4 ( 1) 9 29 x x
+ + + + =
xét hai véctơ
( 1;2); ( 1;3)u x v x= =
r r
Khi đó
2 2
( 2;5);| | 2 5;| | 2 10;| | 29u v u x x v x x u v+ = = + = + + + =
r r r r r r
Mà theo BĐT (1 ) ta có
2 2
| | | | | | 2 5 2 10 29u v u v x x x x+ + + + + +
r r r r
Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ
0
r
nên dấu = xảy ra
1 2 1
1 3 5

x
u v x
x

= =

r r
Z Z
Ta thấy
1
5
x =
thoả mãn phơng trình đã cho. Vậy phơng trình (1.2) có một nghiệm duy
nhât
1
5
x =
.
Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
2 4 (1.3)x x m + =
Giải
Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng
2
Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2
ĐK:
2 4x
Xét hai véctơ
( 2; 4 ); (1;1)u x x v= =
r r
Ta có

| | 2;| | 2; . 2 4u v u v x x= = = +
r r r r
Mà theo BĐT (3) ta có
. | | .| | 2 4 2u v u v x x +
r r r r
từ đây và phơng trình đã cho
ta suy ra phơng trình (1.3) có nghiệm
0 2x <
.
Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình sau
2 2 2
3 3 3
3
3 (1.4)
3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

Giải
Ta xét hai véctơ
( ; ; ); (1;1;1)u x y z v= =
r r

Khi đó ta có
2 2 2
| | 3;| | 3; . 3u x y z v u v x y z
= + + = = = + + =
r r r r
Từ trên ta thấy
. | | .| | 0 0
1 1 1
x y z
u v u v u v x y z= = = > = = >
r r r r r r
Z Z
Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là x =y =z=1.
Ví dụ 5: Giải bất phơng trình sau
2
1 3 2( 3) 2 2 (1.5)x x x x + +
Giải
ĐK:
1x
Xét hai véctơ
( 3; 1); (1;1)u x x v= =
r r
Khi đó ta có
2
| | ( 3) 1;| | 2; . 1 3u x x v u v x x= + = = +
r r r r
Từ trên và bất phơng trình (1.5) ta thấy
. | | .| | (*)u v u v
r r r r
Mà theo BĐT (3) ta có

. | | .| | (2*)u v u v
r r r r
Từ (*) và (2*) suy ra
2
7 10 0
. | | .| | 3 1 5
3
x x
u v u v u v x x x
x

+ =
= = =



r r r r r r
Z Z

(Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ
0
r
).
Vậy x =5 là nghiệm duy nhất của bất phơng trình (1.5).
1.3. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Giải phơng trình sau
2 2 2
2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x + + + + = + +
Bài 2. Giải phơng trình sau
2 2

cos 2 cos cos 2 cos 3x x x x+ + =
Bài 3. Giải phơng trình sau
Bài 4. Giải phơng trình sau
Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng
3
Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2
Bài 5. Giải bất phơng trình sau
1 2 3 50 3 12x x x+ + +
Bài 6. Giải bất phơng trình sau
5 4 5 4 4x x + +
Bài 7. Giải hệ phơng trình sau
2
( ) 1 3 2 ( ) 1
2
2 1
x y x y x y x y
x y
x y

+ + + + = + +


+


=


Bài 8. Chứng minh rằng hệ phơng trình sau vô nghiệm
4 4 4

2 2 2
1
2 7
x y z
x y z

+ + =


+ + =


Bài 9. Giải hệ phơng trình sau
2 2 2
2009 2009 2009
3
3
3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

Bài 10. Giải hệ phơng trình sau

1 2 2008
1 2 2008
2009
1 1 ... 1 2008
2008
2007
1 1 ... 1 2008
2008
x x x
x x x

+ + + + + + =




+ + + =


2. ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2.1. Phơng pháp: Ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi
áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh
BĐT đã cho.
2.2. Ví dụ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
,x y Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2 (2.1)x y x y x y x y+ + +
Giải

Xét hai véctơ
(2cos cos ;sin( )); (2sin sin ;sin( ))u x y x y u x y x y= =
r r
Khi đó ta có
2 2 2 2 2 2
| | 4cos cos sin ( );| | 4sin sin sin ( )u x y x y v x y x y= + = +
r r
(2cos( );2sin( ));| | 2u v x y x y u v+ = + =
r r r r
Mà theo BĐT (1) ta có
2 2 2 2 2 2
| | || | | 4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2u u v x y x y x y x y
+ + + + +
r r r
Vậy BĐT (2.1) đợc chứng minh.
Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng
4
Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
, ,x y z Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
(2.2)x xy y x xz z y yz z
+ + + + + + +
Giải
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 3 1 3
(2.2) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2

x y y x z z y yz z + + + + + + +
xét hai véctơ
1 3 1 3
; ; ;
2 2 2 2
u x y y v x z z

= + =
ữ ữ

r r
Khi đó ta có
2 2 2 2
| | ;| |u x xy y v x xz z
= + + = + +
uur r
2 2
1 1 3 3
; ;| |
2 2 2 2
u v y z y z u v y yz z

+ = + + = + +
ữ

r r r r
Mà theo BĐT (1) ta có
2 2 2 2 2 2
| | | | | | u v u v x xy y x xz z y yz z+ + + + + + + + +
r r r r

Vậy BĐT (2.2) đợc chứng minh.
Ví dụ 3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a b b c c a
ab bc ca
+ + +
+ +
Giải
Ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2
3 3
a b b c c a
ab bc ca b a c b a c
+ + +
+ + + + + + +
xét ba véctơ
1 2 1 2 1 2
; ; ; ; ;u v w
b a c b a c

= = =
ữ ữ ữ

r r ur
Khi đó ta có

2 2 2 2 2 2
2 2 2
| | ;| | ;| |
a b b c c a
u v w
ab bc ca
+ + +
= = =
r r ur
2
1 1 1 2 2 2 1 1 1
; ;| | 3 3u v w u v w
a b c a b c a b c


+ + = + + + + + + = + + =
ữ
ữ


r r ur r r ur
Vì
1 1 1
1ab bc ca abc
a b c
+ + = + + =
Mà theo BĐT (1) ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2
| | | | | | | | 3

a b b c c a
u v w u v w
ab bc ca
+ + +
+ + + + + +
r r ur r r ur
Vì ba véctơ ta xét đều khác véctơ
0
r
nên dấu = xảy ra
u v w a b c = =
r r ur
Z Z Z Z
mà ab + bc + ca =abc suy ra a = b = c =3.
Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng
5