Bất đẳng thức xoay vòng phần 6 doc

Chương 2
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng
Quy ước trong bài viết
Để thống nhất ký hiệu trong bài viết thì ta quy ước cách viết như sau:
a
1
, ··· , a
n
⇔ a
1
, a
2
, ··· , a
i
, ··· , a
n
; i ∈ (1, n)
a
1
a
2
+ ··· + a
1
a
n
⇔ a
1
a
2
+ ··· + a
1

a
i
+ ··· + a
1
a
n
; i ∈ (1, n)
a
1
a
2
+ ··· + a
n−1
a
n
⇔ a
1
a
2
+ ··· + a
1
a
n
+ ··· + a
i
a
i+1
+ ··· + a
i
a

n
+ ··· + a
n−1
a
n
a
2
1
+ ··· + a
2
n
⇔ a
2
1
+ a
2
2
+ ··· + a
2
i
··· + a
2
n
; (i ∈
1, n)
(a
2
1
+ a
2

2
) + ··· + (a
2
n−1
+ a
2
n
) ⇔ (a
2
1
+ a
2
2
) + ··· + (a
2
1
+ a
2
n
) + ··· + (a
2
i
+ a
i+1
) + ··· +
(a
2
i
+ a
2

n
) + ··· + (a
n−1
+ a
2
n
)
(a
1
+ ··· + a
n
)
2
⇔ (a
1
+ a
2
+ ··· + a
i
+ ··· + a
n
)
2
; (i ∈
1, n)
2.1 Các trường hợp đơn giản
2.1.1 Trường hợp 3 số n = 3
Bài 1
Cho 3 số không âm a
1

, a
2
, a
3
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
A =
a
1
a
1
+ αa
2
+
a
2
a
2
+ αa
3
+
a
3
a
3
+ αa
1
≥
3
1 + α
Chứng minh.

Ta có: A =
a
1
a
1
+ αa
2
+
a
2
a
2
+ αa
3
+
a
3
a
3
+ αa
1
41
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
⇔ A =
a
2
1
a
2

1
+ αa
1
a
2
+
a
2
2
a
2
2
+ αa
2
a
3
+
a
2
3
a
2
3
+ αa
1
a
3
⇒ I[(a
2
1

+ αa
1
a
2
) + (a
2
2
+ αa
2
a
3
) + (a
2
3
+ αa
1
a
3
)] ≥ (a
1
+ a
2
+ a
3
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki đối với 3 cặp số)
⇒ A ≥
(a
1

+ a
2
+ a
3
)
2
a
2
1
+ αa
1
a
2
+ a
2
2
+ αa
2
a
3
+ a
2
3
+ αa
1
a
3
⇔ A ≥
(a
1

+ a
2
+ a
3
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
)
2
+ (α − 2)(a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
1
a
3
)
⇔ A ≥
(a
1

+ a
2
+ a
3
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
)
2
+ (α − 2)
1
3
(a
1
+ a
2
+ a
3
)
2
⇔ A ≥
1
1 +
1
3

(α − 2)
=
3
3 + (α − 2)
=
3
1 + α
Dấu ” = ” xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
2.1.2 Trường hợp 4 số n = 4
Bài 2
Cho 4 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
B =
a
1
a
1
+ α(2a

2
+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a

1
+ a
2
)
≥
4
1 + 3α
Chứng minh.
Ta có:
B =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
)
+

a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
1
+ a
2
)
⇔ B =
a
2
1
a
2
1
+ α(2a
1
a
2

+ a
1
a
3
)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(2a
2
a
3
+ a
2
a
4
)
+
a
2
3
a
2
3
+ α(2a
3

a
4
+ a
3
a
1
)
+
a
2
4
a
2
4
+ α(2a
4
a
1
+ a
4
a
2
)
⇒ B{[a
2
1
+ α(2a
1
a
2

+ a
1
a
3
)] + [a
2
2
+ α(2a
2
a
3
+ a
2
a
4
)]
+[a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ a
3
a
1
)] + [a
2
4

+ α(2a
4
a
1
+ a
4
a
2
)]} ≥ (a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki đối với 4 cặp số)
⇒ B ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
2

[a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ a
1
a
3
)] + ··· + [a
2
4
+ α(2a
4
a
1
+ a
4
a
2
)]
⇔ B ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3

+ a
4
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
2
+ (2α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
3
a
4
)
⇔ B ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3

+ a
4
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
2
+ (2α − 2)
3
8
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
2
⇔ B ≥
1
1 +

3
8
(2α − 2)
=
8
8 + 3(2α − 2)
=
8
2 + 6α
=
4
1 + 3α
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 42 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Dấu ” = ” xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
Bài 2.1 Cho a
4
= 0 ta được:
B
1
=
a

1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ 2αa
3
+
a
3
a
3
+ αa
1
≥
4
1 + 3α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a

3
2.1.3 Trường hợp 5 số n = 5
Bài toán tổng quát 5 số
Cho 5 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
và số thực α > 2, . Chứng minh rằng:
Bài 3
Cho 5 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
C =
a
1
a

1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ +a
5
+ a

1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
1
+ a
2
)
+
a
5
a
5
+ α(2a
1
+ a
2
+ a
3
)
≥
5
1 + 4α
Chứng minh.

Ta có:
C =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3

+ α(2a
4
+ a
5
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
1
+ a
2
)
+
a
5
a
5
+ α(2a
1
+ a
2
+ a
3

)
⇔ C =
a
2
1
a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ a
1
a
3
+ a
1
a
4
)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(2a
2

a
3
+ a
2
a
4
+ a
2
a
5
)
+
a
2
3
a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ a
3
a
5
+ a
3
a
1

)
+
a
2
4
a
2
4
+ α(2a
4
a
5
+ a
4
a
1
+ a
4
a
2
)
+
a
2
5
a
2
5
+ α(2a
5

a
1
+ a
5
a
2
+ a
5
a
3
)
⇒ C{[a
2
1
+α(2a
1
a
2
+a
1
a
3
+a
1
a
4
)]+[a
2
2
+(2a

2
a
3
+a
2
a
4
+a
2
a
5
)]+[a
2
3
+α(2a
3
a
4
+a
3
a
5
+
a
3
a
1
)]+[a
2
4

+(2a
4
a
5
+a
4
a
1
+a
4
a
2
)]+[a
2
5
+α(2a
5
a
1
+a
5
a
2
+a
5
a
3
)]} ≥ (a
1
+a

2
+a
3
+a
4
+a
5
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 5 cặp số)
⇒ C ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
[a
2
1
+ α(2a
1
a
2

+ a
1
a
3
+ a
1
a
4
)] + ··· + [a
2
5
+ α(2a
5
a
1
+ a
5
a
2
+ a
5
a
3
)]
⇔ C ≥
(a
1
+ a
2
+ a

3
+ a
4
+ a
5
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
+ (2α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
4
a
5
)
⇔ C ≥
(a

1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
+ (2α − 2)
2
5
(a
1
+ a
2

+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
⇔ C ≥
1
1 +
2
5
(2α − 2)
=
5
5 + 2(2α − 2)
=
5
1 + 4α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5

Bài 3.1
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 43 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Cho a
5
= 0 ta được:
C
1
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4

)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(a
1
+ a
2
)
≥
5
1 + 4α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3

= a
4
Bài 3.2
Cho a
5
= a
4
= 0 ta được:
C
2
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
)
+
a − 2
a
2
+ 2αa
3
+
a
3
a

3
+ αa
1
≥
5
1 + 4α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
Bài 4
Cho 5 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
D =
a
1
a
1
+ α(a

2
+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ α(a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ α(a
4
+ a
5
)
+
a
4
a
4
+ α(a

5
+ a
1
)
+
a
5
a
5
+ α(a
1
+ a
2
)
≥
5
1 + 2α
Chứng minh.
Ta có:
C =
a
1
a
1
+ α(a
2
+ a
3
)
+

a
2
a
2
+ α(a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ α(a
4
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(a
5
+ a
1
)
+

a
5
a
5
+ α(a
1
+ a
2
)
⇔ C =
a
2
1
a
2
1
+ α(a
1
a
2
+ a
1
a
3
)
+
a
2
2
a

2
2
+ α(a
2
a
3
+ a
2
a
4
)
+
a
2
3
a
2
3
+ α(a
3
a
4
+ a
3
a
5
)
+
a
2

4
a
2
4
+ α(a
4
a
5
+ a
4
a
1
)
+
a
2
5
a
2
5
+ α(a
5
a
1
+ a
5
a
2
)
⇒ C{[a

2
1
+ α(a
1
a
2
+ a
1
a
3
)] + [a
2
2
+ (a
2
a
3
+ a
2
a
4
)] + [a
2
3
+ α(a
3
a
4
+ a
3

a
5
)] + [a
2
4
+ (a
4
a
5
+
a
4
a
1
)] + [a
2
5
+ α(a
5
a
1
+ a
5
a
2
)]} ≥ (a
1
+ a
2
+ a

3
+ a
4
+ a
5
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 5 cặp số)
⇒ C ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
[a
2
1
+ α(a
1
a
2
+ a
1

a
3
)] + ··· + [a
2
5
+ α(a
5
a
1
+ a
5
a
2
)]
⇔ C ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
(a
1
+ a

2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
+ (α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
4
a
5
)
⇔ C ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)

2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
+ (α − 2)
2
5
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
2
⇔ C ≥
1

1 +
2
5
(α − 2)
=
5
5 + 2(α − 2)
=
5
1 + 2α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= 0
Bài 4.1
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 44 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Cho a
5
= 0 ta được:
D
1

=
a
1
a
1
+ α(a
2
+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ α(a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ αa
4
+
a
4

a
4
+ αa
1
≥
5
1 + 2α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
Bài 4.2
Cho a
5
= a
4
= 0 ta được:
D
2
=
a
1
a
1
+ α(a
2

+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ αa
3
+ 1 ≥
5
1 + 2α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
2.1.4 Trường hợp 6 số n = 6
Bài 5
Cho 6 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a

5
, a
6
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
E =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
+ a

6
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
6
+ a
1
+ a
2
)

+
a
5
a
5
+ α(2a
6
+ a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
6
a
6
+ α(2a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
≥
6

1 + 5α
Chứng minh.
Ta có:
E =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6

)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
6
+ a
1
+ a
2
)
+

a
5
a
5
+ α(2a
6
+ +a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
6
a
6
+ α(2a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
⇔ E =
a
2

1
a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ a
1
a
3
+ a
1
a
4
+ a
1
a
5
)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(2a
2

a
3
+ a
2
a
4
+ a
2
a
5
+ a
2
a
6
)
+
a
2
3
a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ a
3
a
5

+ a
3
a
6
+ a
3
a
1
)
+
a
2
4
a
2
4
+ α(2a
4
a
5
+ a
4
a
6
+ a
4
a
1
+ a
4

a
2
)
+
a
2
5
a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+ a
5
a
1
+ a
5
a
2
+ a
5
a
3
)
+
a
2

6
a
2
6
+ α(2a
6
a
1
+ a
6
a
2
+ a
6
a
3
+ a
6
a
4
)
⇒ E{[a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ a
1

a
3
+ a
1
a
4
+ a
1
a
5
)] + [a
2
2
+ (2a
2
a
3
+ a
2
a
4
+ a
2
a
5
+ a
2
a
6
)] + [a

2
3
+
α(2a
3
a
4
+ a
3
a
5
+ a
3
a
6
+ a
3
a
1
)] + [a
2
4
+ (2a
4
a
5
+ a
4
a
6

+ a
4
a
1
+ a
4
a
2
)] + [a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+
a
5
a
1
+a
5
a
2
+a
5
a
3
)]+[a
2

6
+α(2a
6
a
1
+a
6
a
2
+a
6
a
3
+a
6
a
4
)]} ≥ (a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
+a
6
)

2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 6 cặp số)
⇒ E ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ a
2
4
+ a

2
5
+ a
2
6
) + 2α(a
1
a
2
+ ··· + a
5
a
6
)]
⇔ E ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(a

1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
+ (2α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
5
a
6
)
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 45 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
⇔ E ≥
(a
1
+ a
2

+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(a
1
+ ··· + a
6
)
2
+ (2α − 2)
5
12
(a
1
+ ··· + a
6
)
2
⇔ E ≥
1
1 +
5
12

(2α − 2)
=
12
12 + 5(2α − 2)
=
12
2 + 10α
=
6
1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= a
6
Bài 5.1
Cho a
6
= 0 ta được:
E
1
=
a

1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(2a

4
+ a
5
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
1
)
+
a
5
a
5
+ α(a
1
+ a
2
)
≥
6
1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a

2
= a
3
= a
4
= a
5
Bài 5.2
Cho a
6
= a
5
= 0 ta được:
E
2
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2

a
2
+ α(2a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ 2αa
4
+
a
4
a
4
+ αa
1
≥
6
1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3

= a
4
Bài 5.3
Cho a
6
= a
5
= a
4
= 0 ta được:
E
3
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a

4
)
+ 1 ≥
6
1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
Bài 6
Cho 5 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
F =
a
1
a
1

+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
+ a
6

)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ 2a
6
+ a
1
)
+
a
5
a
5
+ α(2a
6
+ 2a
1
+ a
2
)
+
a
6
a
6

+ α(2a
1
+ 2a
2
+ a
3
)
≥
6
1 + 5α
Chứng minh.
Ta có:
F =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a

3
+ 2a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
+ a
6
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ 2a
6
+ a
1
)

+
a
5
a
5
+ α(2a
6
+ +2a
1
+ a
2
)
+
a
6
a
6
+ α(2a
1
+ 2a
2
+ a
3
)
⇔ F =
a
2
1
a
2

1
+ α(2a
1
a
2
+ 2a
1
a
3
+ a
1
a
4
)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(2a
2
a
3
+ 2a
2
a
4
+ a

2
a
5
)
+
a
2
3
a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ 2a
3
a
5
+ a
3
a
6
)
+
a
2
4
a
2

4
+ α(2a
4
a
5
+ 2a
4
a
6
+ a
4
a
1
)
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 46 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
+
a
2
5
a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+ 2a
5

a
1
+ a
5
a
2
)
+
a
2
6
a
2
6
+ α(2a
6
a
1
+ 2a
6
a
2
+ a
6
a
3
)
⇒ F {[a
2
1

+ α(2a
1
a
2
+ 2a
1
a
3
+ a
1
a
4
)] + [a
2
2
+ (2a
2
a
3
+ 2a
2
a
4
+ a
2
a
5
)] + [a
2
3

+ α(2a
3
a
4
+
2a
3
a
5
+ a
3
a
6
)] + [a
2
4
+ (2a
4
a
5
+ 2a
4
a
6
+ a
4
a
1
)] + [a
2

5
+ α(2a
5
a
6
+ 2a
5
a
1
+ a
5
a
2
)] + [a
2
6
+
α(2a
6
a
1
+ 2a
6
a
2
+ a
6
a
3
)]} ≥ (a

1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 6 cặp số)
⇒ F ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(a

2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ a
2
4
+ a
2
5
+ a
2
6
) + 2α(a
1
a
2
+ ··· + a
5
a
6
)]
⇔ F ≥
(a
1
+ a

2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
+ (2α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a

5
a
6
)
⇔ F ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
2
(a
1
+ ··· + a
6
)
2
+ (2α − 2)
5
12
(a
1

+ ··· + a
6
)
2
⇔ F ≥
1
1 +
5
12
(2α − 2)
=
12
12 + 5(2α − 2)
=
12
2 + 10α
=
6
1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= a

6
Bài 6.1
Cho a
6
= 0 ta được:
F
1
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
+ a
5

)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
1
)
+
a
5
a
5
+ α(2a
1
+ a
2

)
≥
6
1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
Bài 6.2
Cho a
6
= a
5
= 0 ta được:
F
1
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a

3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
)
+
a
3
a
3
+ 2αa
4
+
a
4
a
4
+ αa
1
≥
6

1 + 5α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
2.1.5 Trường hợp 7 số n = 7
Bài 7
Cho 7 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
M =
a
1
a

1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
+
a

3
a
3
+ α(2a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
1
+ a
2
)

+
a
5
a
5
+ α(2a
6
+ a
7
+ a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
6
a
6
+ α(2a
7
+ a
1
+ a
2
+ a
3
+ a

4
)
+
a
7
a
7
+ α(2a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
≥
7
1 + 6α
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 47 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Chứng minh.
Ta có:
M =
a
1
a

1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
+
a

3
a
3
+ α(2a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
1
+ a
2
)

+
a
5
a
5
+ α(2a
6
+ +a
7
+ a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
6
a
6
+ α(2a
7
+ a
1
+ a
2
+ a
3
+ a

4
)
+
a
7
a
7
+ α(2a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
⇔ M =
a
2
1
a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ a

1
a
3
··· + a
1
a
6
)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(2a
2
a
3
+ a
2
a
4
··· + a
2
a
7
)
+
a

2
3
a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ a
3
a
5
+ ··· + a
3
a
1
)
+
a
2
4
a
2
4
+ α(2a
4
a
5
+ a

4
a
6
+ ··· + a
4
a
2
)
+
a
2
5
a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+ a
5
a
7
+ ··· + a
5
a
3
)
+
a

2
6
a
2
6
+ α(2a
6
a
7
+ a
6
a
1
+ ··· + a
6
a
4
)
⇒ M{[a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ a
1
a
3
+ ··· + a

1
a
6
)] + [a
2
2
+ (2a
2
a
3
+ a
2
a
4
+ ··· + a
2
a
7
)]
+ [a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ a
3
a
5

+ ··· + a
3
a
1
)] + [a
2
4
+ (2a
4
a
5
+ a
4
a
6
+ ··· + a
4
a
2
)]
+ [a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+ a
5
a

7
+ ··· + a
5
a
3
)] + [a
2
6
+ α(2a
6
a
7
+ a
6
a
1
+ ··· + a
6
a
4
)]
+ [a
2
7
+ α(2a
7
a
1
+ a
7

a
2
+ ··· + a
7
a
4
)} ≥ (a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 7 cặp số)
⇒ M ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3

+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ a
2
4
+ a
2
5
+ a
2
6
+ a
2

7
) + 2α(a
1
a
2
+ ··· + a
6
a
7
)]
⇔ M ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
1
+ a

2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
+ (2α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
6
a
7
)
⇔ M ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a

4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
1
+ ··· + a
7
)
2
+ (2α − 2)
3
7
(a
1
+ ··· + a
7
)
2
⇔ M ≥
1
1 +
3
7
(2α − 2)

=
7
7 + 3(2α − 2)
=
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= a
6
= a
7
Bài 7.1
Cho a
7
= 0 ta được:
M
1
=
a
1
a

1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
)
+
a
3
a

3
+ α(2a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
6
+ a
1
+ a
2
)
+
a
5
a
5
+ α(2a

6
+ a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
6
a
6
+ α(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
)
≥
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a

3
= a
4
= a
5
= a
6
Bài 7.2
Cho a
7
= a
6
= 0 ta được:
M
2
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
)
+

a
2
a
2
+ α(2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
5
+ a
1
)
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 48 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
+
a
4
a

4
+ α(2a
5
+ a
1
+ a
2
)
+
a
5
a
5
+ α(a
1
+ a
2
+ a
3
)
≥
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a

4
= a
5
Bài 7.3
Cho a
7
= a
6
= a
5
= 0 ta được:
M
3
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2

+ α(2a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ a
1
)
+
a
4
a
4
+ α(a
1
+ a
2
)
≥
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1

= a
2
= a
3
= a
4
Bài 8
Cho 7 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
L =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a

3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
+ a
5
+ a
6
)
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
+ a
6

+ a
7
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ 2a
6
+ a
7
+ a
1
)
a
5
a
5
+ α(2a
6
+ 2a
7
+ a
1
+ a
2
)

+
a
6
a
6
+ α(2a
7
+ 2a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
7
a
7
+ α(2a
1
+ 2a
2
+ a
3
+ a
4
)
≥
7

1 + 6α
Chứng minh.
Ta có:
L =
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
+ a
5
+ a
6

)
+
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
+ a
6
+ a
7
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ 2a
6
+ a
7
+ a
1
)
+

a
5
a
5
+ α(2a
6
+ +2a
7
+ a
1
+ a
2
)
+
a
6
a
6
+ α(2a
7
+ 2a
1
+ a
2
+ a
3
)
+
a
7

a
7
+ α(2a
1
+ 2a
2
+ a
3
+ a
4
)
⇔ L =
a
2
1
a
2
1
+ α(2a
1
a
2
+ 2a
1
a
3
+ a
1
a
4

)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(2a
2
a
3
+ 2a
2
a
4
+ a
2
a
5
+ a
2
a
6
)
+
a
2
3
a

2
3
+ α(2a
3
a
4
+ 2a
3
a
5
+ a
3
a
6
+ a
3
a
7
)
+
a
2
4
a
2
4
+ α(2a
4
a
5

+ 2a
4
a
6
+ a
4
a
7
+ a
4
a
1
)
+
a
2
5
a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+ 2a
5
a
7
+ a
5

a
1
+ a
5
a
2
)
+
a
2
6
a
2
6
+ α(2a
6
a
7
+ 2a
6
a
1
+ a
6
a
2
+ a
6
a
3

)
+
a
2
7
a
2
7
+ α(2a
7
a
1
+ 2a
7
a
2
+ a
7
a
3
+ a
7
a
4
)
⇒ L{[a
2
1
+ α(2a
1

a
2
+ 2a
1
a
3
+ a
1
a
4
+ a
1
a
5
)] + [a
2
2
+ (2a
2
a
3
+ 2a
2
a
4
+ a
2
a
5
+ a

2
a
6
)]
+ [a
2
3
+ α(2a
3
a
4
+ 2a
3
a
5
+ a
3
a
6
+ a
3
a
7
)] + [a
2
4
+ (2a
4
a
5

+ 2a
4
a
6
+ a
4
a
7
+ a
4
a
1
)]
+ [a
2
5
+ α(2a
5
a
6
+ 2a
5
a
7
+ a
5
a
1
+ a
5

a
2
)] + [a
2
6
+ α(2a
6
a
7
+ 2a
6
a
1
+ a
6
a
2
+ a
6
a
3
)]
+ [a
2
7
+ α(2a
7
a
1
+ 2a

7
a
2
+ a
7
a
3
+ a
7
a
4
)]} ≥ (a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 7 cặp số)
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 49 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
⇒ L ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ a
2
4

+ a
2
5
+ a
2
6
+ a
2
7
) + 2α(a
1
a
2
+ ··· + a
6
a
7
)]
⇔ L ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a

6
+ a
7
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
+ (2α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
6
a
7
)

⇔ L ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
1
+ ··· + a
7
)
2
+ (2α − 2)
3
7
(a
1
+ ··· + a
7

)
2
⇔ L ≥
1
1 +
3
7
(2α − 2)
=
7
7 + 3(2α − 2)
=
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= a
6
= a
7
Bài 8.1
Cho a

7
= 0 ta được:
L
1
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
+ a
5
+ a

6
)
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
+ a
6
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ 2a
6
+ a
1
)
a
5
a
5
+ α(2a

6
+ a
1
+ a
2
)
+
a
6
2a
1
+ a
2
+ a
3
≥
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= a
6

Bài 8.2
Cho a
7
= a
6
= 0 ta được:
L
2
=
a
1
a
1
+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a

4
+ a
5
)
a
3
a
3
+ α(2a
4
+ 2a
5
)
+
a
4
a
4
+ α(2a
5
+ a
1
)
+
a
5
a
5
+ α(a
1

+ a
2
)
≥
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
Bài 8.3
Cho a
7
= a
6
= a
5
= 0 ta được:
L
3
=
a
1
a

1
+ α(2a
2
+ 2a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(2a
3
+ 2a
4
)
+
a
3
a
3
+ 2αa
4
+
a
4
a
4

+ αa
1
≥
7
1 + 6α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
Bài 9
Cho 7 số không âm a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
và số thực α > 2. Chứng minh rằng:
O =

a
1
a
1
+ α(a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(a
4

+ a
5
+ a
6
)
+
a
4
a
4
+ α(a
5
+ a
6
+ a
7
)
+
a
5
a
5
+ α(a
6
+ a
7
+ a
1
)
+

a
6
a
6
+ α(a
7
+ a
1
+ a
2
)
+
a
7
a
7
+ α(a
1
+ a
2
+ a
3
)
≥
7
1 + 3α
Chứng minh.
Ta có:
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 50 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
O =
a
1
a
1
+ α(a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3

+ α(a
4
+ a
5
+ a
6
)
+
a
4
a
4
+ α(a
5
+ a
6
+ a
7
)
+
a
5
a
5
+ α(a
6
+ +a
7
+ a
1

)
+
a
6
a
6
+ α(a
7
+ a
1
+ a
2
)
+
a
7
a
7
+ α(a
1
+ a
2
+ a
3
)
⇔ O =
a
2
1
a

2
1
+ α(a
1
a
2
+ a
1
a
3
+ a
1
a
4
)
+
a
2
2
a
2
2
+ α(a
2
a
3
+ a
2
a
4

+ a
2
a
5
)
+
a
2
3
a
2
3
+ α(a
3
a
4
+ a
3
a
5
+ a
3
a
6
)
+
a
2
4
a

2
4
+ α(a
4
a
5
+ a
4
a
6
+ a
4
a
7
)
+
a
2
5
a
2
5
+ α(a
5
a
6
+ a
5
a
7

+ a
5
a
1
)
+
a
2
6
a
2
6
+ α(a
6
a
7
+ a
6
a
1
+ a
6
a
2
)
+
a
2
7
a

2
7
+ α(a
7
a
1
+ a
7
a
2
+ a
7
a
3
)
⇒ O{[a
2
1
+ α(a
1
a
2
+ a
1
a
3
+ a
1
a
4

)] + [a
2
2
+ (a
2
a
3
+ a
2
a
4
+ a
2
a
5
)]
+ [a
2
3
+ α(a
3
a
4
+ a
3
a
5
+ a
3
a

6
)] + [a
2
4
+ (a
4
a
5
+ a
4
a
6
+ a
4
a
7
)]
+ [a
2
5
+ α(a
5
a
6
+ a
5
a
7
+ a
5

a
1
)] + [a
2
6
+ α(a
6
a
7
+ a
6
a
1
+ a
6
a
2
)]
+ [a
2
7
+ α(a
7
a
1
+ a
7
a
2
+ a

7
a
3
)]} ≥ (a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 7 cặp số)
⇒ O ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a

5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ a
2
4
+ a
2
5
+ a
2
6
+ a
2
7
) + α(a
1

a
2
+ ··· + a
6
a
7
)]
⇔ O ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
(a
1
+ a
2
+ a
3

+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
)
2
+ (α − 2)(a
1
a
2
+ ··· + a
6
a
7
)
⇔ O ≥
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5

+ a
6
+ a
7
)
2
(a
1
+ ··· + a
7
)
2
+ (α − 2)
3
7
(a
1
+ ··· + a
7
)
2
⇔ O ≥
1
1 +
3
7
(α − 2)
=
7
7 + 3(α − 2)

=
7
1 + 3α
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= a
6
= a
7
Bài 9.1
Cho a
7
= 0 ta được:
O
1
=
a
1
a
1
+ α(a
2

+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(a
3
+ a
4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(a
4
+ a
5
+ a
6
)
+

a
4
a
4
+ α(a
5
+ a
6
)
+
a
5
a
5
+ α(a
6
+ a
1
)
+
a
6
a
6
+ α(a
1
+ a
2
)
≥

7
1 + 3α
Bài 9.2
Cho a
7
= a
6
= 0 ta được:
O
2
=
a
1
a
1
+ α(a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a
2
+ α(a
3
+ a

4
+ a
5
)
+
a
3
a
3
+ α(a
4
+ a
5
)
+
a
4
a
4
+ αa
5
+
a
5
a
5
+ αa
1
+ ≥
7

1 + 3α
Bài 9.3
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 51 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com
Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
Cho a
7
= a
6
= a
5
= 0 ta được:
O
3
=
a
1
a
1
+ α(a
2
+ a
3
+ a
4
)
+
a
2
a

2
+ α(a
3
+ a
4
)
+
a
3
a
3
+ αa
4
+ 1 ≥
7
1 + 3α
GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 52 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương
www.VNMATH.com