ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 14 pdf

Nguoithay.vn

1
Bài 1. Cho hàm s y =
2
5
3
2
2
4
 x
x

1. Kho sát s bin thiên và v đ thi (C) ca hàm s.
2. Cho đim M thuc (C) có hoành đ x
M
= a. Vit phng trình tip tuyn ca (C) ti M, vi giá tr
nào ca a thì tip tuyn ca (C) ti M ct (C) ti hai đim phân bit khác M.
Gii.
2/ + Vì









2
5

3
2
;)(
2
4
a
a
aMCM
.
Ta có: y’ = 2x
3
– 6x
aaay 62)('
3


Vy tip tuyn ca (C) ti M có phng trình :
2
5
3
2
))(63(
2
4
3
 a
a
axaay
.
+ Xét pt :

0)632()(
2
5
3
2
))(63(
2
5
3
2
2222
4
32
4
 aaxxaxa
a
axaax
x








0632)(
22
aaxxxg
ax

YCBT khi pt g(x) = 0 có 2 nghim phân bit khác a




















1
3||
1
03
0)(
0'
2
2

a
a
a
a
ag

Bài 2. Cho hàm s
1

x
x
y
(C).
1. Kho sát s bin thiên và v đ thi (C) ca hàm s.
2. Vit phng trình tip tuyn vi đ th (C), bit rng khong cách t tâm đi xng ca đ th (C)
đn tip tuyn là ln nht.
Gii.
2/ Gi s
)()
1
;(
0
0
0
C
x
x
xM 

mà tip tuyn vi đ th ti đó có khong cách t tâm đi xng đn tip

tuyn là ln nht.
Phng trình tip tuyn ti M có dng :
0
0
2
00
1
()
( 1) 1
x
y x x
xx
   


2
0
22
00
1
0
( 1) ( 1)
x
xy
xx
    


Ta có d(I ;tt) =
4

0
0
)1(
1
1
1
2



x
x
.t t =
1
1
0
x
> 0
Xét hàm s f(t)
4
2
( 0)
1
t
t
t



ta có f’(t) =

2
44
(1 )(1 )(1 )
(1 ) 1
ttt
tt
  

t 0 1


f’(t) = 0 khi t = 1 f’(t) + 0 -
Bng bin thiên
t bng bin thiên ta có f(t)
2

d(I ;tt) ln nht khi và
ch khi t = 1 hay
Nguoithay.vn

2
0
0
0
2
11
0
x
x
x

+ Vi x
0
= 0 ta cú tip tuyn l y = -x
+ Vi x
0
= 2 ta cú tip tuyn l y = -x+4
Bi 3. Cho hm s
24

1
x
y
x



.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2. Tỡm trờn th (C) hai im i xng nhau qua ng thng MN bit M(-3; 0) v N(-1; -1).
Gii.
2. Gi 2 im cn tỡm l A, B cú
66
;2 ; ;2 ; , 1

11
A a B b a b
ab






Trung im I ca AB: I
22
;
2 1 1
a b a b
ab







Pt ng thng MN: x + 2y +3= 0
Cú :
.0ABMN
I MN

=>
0 (0; 4)
2 (2;0)
aA
bB







Bi 4. Cho hm s
34
24
xxy
.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th
)(
C
ca hm s ó cho.
2. Bin lun theo tham s
k
s nghim ca phng trỡnh
k
xx 334
24

.
Gii.
2. th hm s
34
24
xxy
gm phn nm phớa trờn Ox v i xng ca phn nm phớa di Ox
qua Ox ca th (C);
k
y 3
l ng thng song song vi Ox. T ú ta cú kt qu:
*
013 k
k
: phng trỡnh cú 8 nghim,
*
013 k
k
: phng trỡnh cú 6 nghim,
*
10331 k
k
: phng trỡnh cú 4 nghim,
*
133 k
k
: phng trỡnh cú 3 nghim,
*
133 k

k
: phng trỡnh cú 2 nghim.
Bi 5. Cho hàm số
1
12



x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
)2;1(
I
tới tiếp tuyến
của (C) tại M là lớn nhất .
Gii.
2. Nếu
)(
1
3
2;
0
0
C
x
xM

thì tiếp tuyến tại M có ph-ơng trình
)(
)1(
3
1
3
2
0
2
00
xx
xx
y




hay
0)1(3)2()1()(3
0
2

00
xyxxx

. Khoảng cách từ
)2;1(I
tới tiếp tuyến là

2
0
2
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
9
6
)1(9
16
19
)1(3)1(3

x
x
x
x
x
xx
d
. Theo bất đẳng thức Côsi
692)1(
)1(
9
2
0
2
0


x
x
, vây
6d
. Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
x
y

O
1

3

1

1

1

Nguoithay.vn

3

3131)1(
)1(
9
0
2
0
2
0
2
0


xxx
x
.

Vậy có hai điểm M :

32;31 M
hoặc

32;31 M

Bi 6. Cho hàm số
1x
2x
y



(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến
tới (C) sao cho hai tiếp điểm t-ơng ứng nằm về hai phía trục ox.
Gii.
2. Ph-ơng trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:

)3(k
)1x(
3
)2(akx
1x
2x
2
có nghiệm
1x

Thay (3) vào (2) và rút gọn ta đ-ợc:
)4(02ax)2a(2x)1a(
2


Để (4) có 2 nghiệm
1x
là:

2a
1a
06a3'
03)1(f
1a

Hoành độ tiếp điểm
21
x;x
là nghiệm của (4)
Tung độ tiếp điểm là
1x
2x
y
1
1
1



,
1x
2x
y

2
2
2




Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox
là:
0
)2x)(1x(
)2x)(2x(
0y.y
21
21
21





3
2
a0
3
6a9
0
1)xx(xx
4)xx(2xx
2121

2121






Vậy
1a
3
2

thoả mãn đkiện bài
toán.
Bi 7. Cho hm s
1
.
1
x
y
x




1.Kho sỏt s bin thiờn v v th

C
ca hm s.
2.Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh

1
.
1
x
m
x




Gii.
2. Hc sinh lp lun suy t th (C) sang th

1
'
1
x
yC
x



.Hc sinh t v hỡnh
Suy ra ỏp s
1; 1:mm
phng trỡnh cú 2 nghim
1:m
phng trỡnh cú 1 nghim
1 1:m
phng trỡnh vụ nghim

Bi 8. Cho hm s
2x 3
y
x2



cú th (C).
Nguoithay.vn

4
1.Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (C)
2.Tìm trên (C) nhng đim M sao cho tip tuyn ti M ca (C) ct hai tim cn ca (C) ti A, B sao
cho AB ngn nht .
Gii.
Vy đim M cn tìm có ta đ là : (2; 2)
Bài 9. Cho hàm s y = x
3
– 3x
2
+2 (1)
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (1).
2. Tìm đim M thuc đng thng y=3x-2 sao tng khong cách t M ti hai đim cc tr nh nht.
Gii.
2. Gi ta đ đim cc đi là A(0;2), đim cc tiu B(2;-2)
Xét biu thc P=3x-y-2
Thay ta đ đim A(0;2)=>P=-4<0, thay ta đ đim B(2;-2)=>P=6>0
Vy 2 đim cc đi và cc tiu nm v hai phía ca đng thng y=3x-2, đ MA+MB nh nht => 3
đim A, M, B thng hàng
Phng trình đng thng AB: y= - 2x+2

Ta đ đim M là nghim ca h:
4
32
5
2 2 2
5
x
yx
yx
y








  





=>
42
;
55
M





Bài 10. Cho hàm s
2


x
xm
y
có đ th là
)(
m
H
, vi
m
là tham s thc.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s đã cho khi
1m
.
2. Tìm m đ đng thng
0122:  yxd
ct
)(
m
H
ti hai đim cùng vi gc ta đ to thành
mt tam giác có din tích là
.
8

3
S

Gii.
2. Hoành đ giao đim A, B ca d và
)(
m
H
là các nghim ca phng trình
2
1
2



x
x
mx


2,0)1(22
2
 xmxx
(1)
Pt (1) có 2 nghim
21
, xx
phân bit khác
2















2
16
17
0)1(22)2.(2
01617
2
m
m
m
m
.
Ta có
2. Ly đim
1
M m;2
m2






 
C
. Ta có :
 
 
2
1
y' m
m2


.
Tip tuyn (d) ti M có phng trình :

 
 
2
11
y x m 2
m2
m2
    



Giao đim ca (d) vi tim cn đng là :
2
A 2;2
m2






Giao đim ca (d) vi tim cn ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có :
 
 
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m2

   




. Du “=” xy ra khi m = 2
Nguoithay.vn

5

.1617.
2
2
4)(.2)(.2)()(
21
2
12
2
12
2
12
2
12
mxxxxxxyyxxAB 

Khong cách t gc ta đ O đn d là
.
22
1
h

Suy ra
,
2
1
8
3
1617.
2
2

.
22
1
.
2
1

2
1


mmABhS
OAB
tha mãn.
Bài 11. Cho hàm s
3
5
)23()1(
3
2
23
 xmxmxy
có đ th
),(
m
C
m là tham s.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s đã cho khi
.2m

2. Tìm m đ trên
)(
m
C
có hai đim phân bit
);(),;(
222111
yxMyxM
tha mãn
0.
21

xx
và tip
tuyn ca
)(
m
C
ti mi đim đó vuông góc vi đng thng
.013: 
yxd

Gii.
2. Ta có h s góc ca
013: 
yxd
là
3
1


d
k
. Do đó
21
, xx
là các nghim ca phng trình
3' y
,
hay

323)1(22
2
 mxmx


013)1(22
2
 mxmx
(1)
Yêu cu bài toán

phng trình (1) có hai nghim
21
, xx
tha mãn
0.
21

xx


















.
3
1
1
3
0
2
13
0)13(2)1('
2
m
m

m
mm

Vy kt qu ca bài toán là
3m
và
.
3
1
1  m

Bài 12. Cho hàm s
.
2
3
42
24
 xxy

1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s đã cho.
2. Tìm m đ phng trình sau có đúng 8 nghim thc phân bit
.
2
1
|
2
3
42|
224
 mmxx

Gii.
2. Phng trình
2
1
|
2
3
42|
224
 mmxx
có 8 nghim phân bit

ng thng
2
1
2
 mmy

ct đ th hàm s
|
2
3
42|
24
 xxy
ti 8 đim phân bit.
 th
|
2

3
42|
24
 xxy
gm phn (C)  phía trên trc Ox và đi xng phn (C)  phía di trc Ox
qua Ox.
T đ th suy ra yêu cu bài toán
2
1
2
1
0
2
 mm

.100
2
 mmm

Bài 13. Cho hàm s
mxxmxy  9)1(3
23
, vi
m
là tham s thc.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s đã cho ng vi
1m
.
2. Xác đnh
m

đ hàm s đã cho đt cc tr ti
21
, xx
sao cho
2
21
 xx
.
Gii.
2. Ta cã
.9)1(63'
2
 xmxy

+) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i
21
, xx

O
1

1


y
2
1


2

3

2
1

x
Nguoithay.vn

6


ph-ơng trình
0'y
có hai nghiệm pb là
21
, xx



Pt
03)1(2
2
xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.

31
31
03)1('
2
m
m
m

)1(

+) Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
xxmxx
Khi đó

41214442
2
21
2
2121
mxxxxxx


)2(134)1(

2
mm

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
313 m
và
.131 m

Bi 14. Cho hm s
2)2()21(
23
mxmxmxy
(1) m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) vi m=2.
2. Tỡm tham s m th ca hm s (1) cú tip tuyn to vi ng thng d:
07 yx
gúc

, bit
26
1
cos

.
Gii.
2. Gi k l h s gúc ca tip tuyn

tip tuyn cú vộct phỏp
)1;(
1

kn

d: cú vộct phỏp
)1;1(
2
n

Ta cú












3
2
2
3
0122612
12
1
26
1
.

cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn


Yờu cu ca bi toỏn tha món ớt nht mt trong hai phng trỡnh:
1
/
ky
(1) v
2
/
ky
(2) cú
nghim x

3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx







0
0
2
/
1
/

034
0128
2
2
mm
mm









1;
4
3
2
1
;
4
1
mm

mm

4
1
m
hoc
2
1
m

Bi 15. Cho hm s y =
2
2
x
x
(C)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C).
2. Tỡm m ng thng (d ): y = x + m ct th (C) ti 2 im phõn bit thuc 2 nhỏnh khỏc
nhau ca th sao cho khong cỏch gia 2 im ú l nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht ú.
Gii.
2. (d) ct (C) ti 2 im phõn bit thỡ pt
2
2
x
xm
x


hay x
2

+ (m - 4)x -2x = 0 (1) cú 2 nghim phõn
bit khỏc 2. Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 2 khi v ch khi
2
16
40
m
m






(2).
cú nghim
cú nghim
Nguoithay.vn

7
Gi s A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
) là 2 giao đim khi đó x
1
, x

2
là 2 nghim phng trình (1). Theo đnh lí viet ta
có
12
12
4
(3)
2
x x m
x x m
  




, y
1
=x
1
+m, y
2
=x
2
+m
 A, B thuc 2 nhánh khác nhau ca đ th thì A, B nm khác phía đi vi đt x – 2 = 0. A, B nm khác
phía đi vi đt x – 2 = 0 khi và ch khi (x
1
- 2)(x
2
- 2) < 0 hay

x
1
x
2
– 2(x
1
+ x
2
) +4 < 0 (4) thay (3) vào 4 ta đc – 4 < 0 luôn đúng (5)
mt khác ta li có AB =
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2( ) 8x x y y x x x x     
(6)
thay (3) vào (6) ta đc AB =
2
2 32 32m 
vy AB =
32
nh nht khi m = 0 (7). T (1), (5), (7)
ta có m = 0 tho mãn .
Bài 16.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s
21
1
x
y
x





2. Vit phng trình tip tuyn ca (C), bit khong cách t đim I(1;2) đn tip tuyn bng
2
.
Gii.
2. Tip tuyn ca (C) ti đim
00
( ; ( )) ( )M x f x C
có phng trình

0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x  

Hay
22
0 0 0
( 1) 2 2 1 0x x y x x     
(*)
*Khong cách t đim I(1;2) đn tip tuyn (*) bng
2


0
4
0
22
2
1 ( 1)
x

x




gii đc nghim
0
0x 
và
0
2x 


*Các tip tuyn cn tìm :
10xy  
và
50xy  

Bài 17. Cho hàm s y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s khi m = 1.
2. Tìm các giá tr ca m đ hàm s có cc đi, cc tiu. Vi giá tr nào ca m thì đ th hàm s có
đim cc đi, đim cc tiu đi xng vi nhau qua đng thng d: x + 8y – 74 = 0.
Gii.
2. Ta có y’ = - 3x
2
+ 6mx ; y’ = 0  x = 0 v x = 2m.

Hàm s có cc đi , cc tiu  phng trình y’ = 0 có hai nghim phân bit  m  0.
Hai đim cc tr là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung đim I ca đon thng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vect
3
(2 ;4 )AB m m
; Mt vect ch phng ca đng thng d là
(8; 1)u 
.
Hai đim cc đi , cc tiu A và B đi xng vi nhau qua đng thng d 
Id
AB d







3
8(2 3 1) 74 0
.0
m m m
ABu

    






 m = 2
Bài 18. Cho hàm s
13
3
 xxy
(1)
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s (1).
2. nh m đ phng trình sau có 4 nghim thc phân bit:

mmxx 33
3
3


Gii.
2. Phng trình đã cho là phng trình hoành đ giao đim gia đ th
(C’) ca hàm s:
13
3
 xxy
và đng thng (d):
13
3
 mmy

x
y
0
1
2
1
2
1



3

(d)
Nguoithay.vn

8
((d) cùng phng vi trc hồnh)
Xét hàm s:
13
3
 xxy
, ta có:
+ Hàm s là mt hàm chn nên (C’) nhn trc Oy làm trc đi xng,
đng thi
0x
thì
3
3
3 1 3 1y x x x x     

+ Da vào đ th (C’) ta suy ra điu kin ca m đ phng trình đã cho có 4 nghim phân bit là:
3
3
3
23
30
1 3 1 1
03
3 2 0
1
m
mm
mm
m
mm
m

   




      








  







Bài 19. Cho hµm sè
3
1
x
y
x



cã ®å thÞ lµ (C)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®å thÞ hµm sè, biÕt tiÕp
tun ®ã c¾t trơc hoµnh t¹i A, c¾t trơc tung t¹i B sao cho OA = 4OB
Gii.
2. OA =4OB nªn

OAB cã
1
tan
4
OB

A
OA


TiÕp tun AB cã hƯ sè gãc k =
1
4


Ph¬ng tr×nh y’ = k
2
3
41

5
( 1) 4
x
x
x


   





+) x = 3

y=0, tiÕp tun cã ph-¬ng tr×nh

1
( 3)
4
yx

+) x= -5

y= 2, tiÕp tun cã ph-¬ng tr×nh
1 1 13
( 5) 2
4 4 4
y x y x     

Bài 20. Cho hàm số
1
1
x
y
x



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Tìm a và b để đường thẳng (d):
y ax b
cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối
xứng nhau qua đường thẳng (

):

2 3 0xy  
.
Gii.
2. Phương trình của
()
được viết lại:
13
22
yx
.
Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với
()
hay
2a 

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C):

1
2
1
x
xb
x

  




2

2 ( 3) ( 1) 0x b x b    
. (1)
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

(1) có hai nghiệm phân biệt


0



2
2 17 0bb  


b tuỳ ý.
Gọi I là trung điểm của AB, ta có

3
24
3
2
2
AB
I
II
xx
b
x
b

y x b









   


.
Nguoithay.vn

9
Vậy để thoả yêu cầu bài toán


ton tai ,
()
()
à ï A B
AB
I











2
2 3 0
II
b
a
xy






  




2
3
( 3) 3 0
4
a
b
b






   





2
1
a
b





.
Bài 21. Cho hµm sè
1
1
x
y
x




( 1 ) cã ®å thÞ
()C
.
1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè ( 1).
2. Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng
( ): 2d y x m

lu«n c¾t (C) t¹i
hai ®iĨm ph©n biƯt A, B thc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®o¹n
AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt.
Gii.
2. Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng
( ): 2d y x m
lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iĨm
ph©n biƯt A, B thc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®o¹n AB cã ®é
dµi ng¾n nhÊt .
. §Ĩ ®-êng th¼ng (d) lu«n c¾t ( C ) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt th× ph-¬ng
tr×nh.
1
2
1
x
xm
x



cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m vµ
12
1xx

1 ( 1)(2 )
1
x x x m
x
   





cã hai nghiƯm ph©n biƯt
12
1xx

2
2 ( 3) 1 0 (*)
1
x m x m
x

    




cã hai nghiƯm ph©n biƯt
12
1xx


0
(1) 0f





2
( 1) 16 0
(1) 2 ( 3) 1 2 0
mm
f m m

     


       


VËy víi mäi gi¸ trÞ cđa m th×®-êng th¼ng
( ): 2d y x m

lu«n c¾t (C) t¹i
hai ®iĨm ph©n biƯt A, B thc hai nh¸nh kh¸c nhau.
. Gäi
1 1 2 2
( ;2 ), ( ;2 )A x x m B x x m
lµ hai ®iĨm giao gi÷a (d) vµ (C).(

12
;xx
lµ
hai nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh (*))
Ta cã
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
( ;2( )) ( ) (2( )) 5( )AB x x x x AB x x x x x x         

Theo Vi Ðt ta cã
2
1
5 ( 1) 16 2 5
2
AB m m

    

.
2 5 1AB m   

VËy víi m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. (R)
Bài 22. Cho hàm s
2
23



x
x

y
có đ th (C)
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s.
2. Gi M là đim bt k trên (C). Tip tuyn ca (C) ti M ct các đng tim cn ca (C) ti A và
B. Gi I là giao đim ca các đng tim cn. Tìm ta đ M sao cho đng tròn ngoi tip tam
giác IAB có din tích nh nht.
Gii.
2.Gi
2),()
2
23
;( 


aC
a
a
aM
Phng trình tip tuyn ca (C) ti M là:

2
23
)(
)2(
4
2






a
a
ax
a
y
()
Nguoithay.vn

10
ng thng d
1
:x+2=0 và d
2
:y-3=0 là hai tim cn ca đ th
d
1
=A(-2;
)
2
23


a
a
, d
2
=B(2a+2;3)
Tam giác IAB vuông ti I AB là đng kính ca đng tròn ngoi tip tam giác IAB din tích hình
tròn S=




8
)2(
64
)2(4
44
2
2
2









a
a
AB

Du bng xy ra khi và chi khi









4
0
)2(
16
)2(
2
2
a
a
a
a

Vy có hai đim M tha mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)
Bài 23. Cho hàm s
42
( ) 8x 9x 1y f x   

1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s.
2. Da vào đ th (C) hãy bin lun theo m s nghim ca phng trình
42
8 os 9 os 0c x c x m
  
vi
[0; ]x


.

Gii.
2. Xét phng trình
42
8 os 9 os 0c x c x m
  
vi
[0; ]x


(1)
t
osxtc
, phng trình (1) tr thành:
42
8 9 0 (2)t t m  

Vì
[0; ]x


nên
[ 1;1]t
, gia x và t có s tng ng mt đi mt, do đó s nghim ca phng trình
(1) và (2) bng nhau.
Ta có:
42
(2) 8 9 1 1 (3)t t m    

Gi (C
1

):
42
8 9 1y t t  
vi
[ 1;1]t
và (D): y = 1 – m.
Phng trình (3) là phng trình hoành đ giao đim ca (C
1
) và (D).
Chú ý rng (C
1
) ging nh đ th (C) trong min
11t  
.
Da vào đ th ta có kt lun sau:

81
32
m 
: Phng trình đã cho vô nghim.

81
32
m 
: Phng trình đã cho có 2 nghim.

81
1
32
m

: Phng trình đã cho có 4 nghim.

01m
: Phng trình đã cho có 2 nghim.

0m
: Phng trình đã cho có 1 nghim.
 m < 0 : Phng trình đã cho vô nghim.

Bài 24. Cho hàm s:
1
2( 1)
x
y
x




1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s.
2. Tìm nhng đim M trên (C) sao cho tip tuyn vi (C) ti M to vi hai trc ta đ mt tam giác
có trng tâm nm trên đng thng 4x + y = 0.
Gii.
2. Gi M(
0
0
0
1
;
2( 1)

x
x
x


)
()C
là đim cn tìm. Gi

tip tuyn vi (C) ti M ta có phng trình.
Nguoithay.vn

11

:
'
0
00
0
1
( )( )
2( 1)
x
y f x x x
x




0

0
2
0
0
1
1
()
2( 1)
1
x
y x x
x
x





Gi A =

ox

A(
2
00
21
2
xx

;0)

B =

oy

B(0;
2
00
2
0
21
2( 1)
xx
x


). Khi ú

to vi hai trc ta

OAB cú trng tõm l:
G(
22
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
;
6 6( 1)
x x x x
x

.
Do G

ng thng:4x + y = 0

22
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
4. 0
6 6( 1)
x x x x
x






2
0
1
4

1x


(vỡ A, B

O nờn
2
00
2 1 0xx
)

00
00
11
1
22
13
1
22
xx
xx

Vi
0
1 1 3
( ; )
2 2 2
xM
; vi
0
3 3 5
( ; )
2 2 2
xM
.

Bi 25. Cho hm s y = x
3
3x
2
+ mx + 4, trong ú m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho, vi m = 0.
2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s ó cho nghch bin trờn khong (0 ; + ).
Gii.
2. Hm s ó cho nghch bin trờn khong (0 ; + ) y = 3x
2
6x + m 0, x > 0
3x
2
+ 6x m, x > 0 (*)
Ta cú bng bin thiờn ca hm s y = 3x

2
+ 6x trờn (0 ; + )
T ú ta c : (*) m 0.
Bi 26. Cho hàm số
2
12



x
x
y
có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Gii.
2. Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đ-ờng thẳng d là nghiệm của
ph-ơng trình








)1(021)4(
2
2

12
2
mxmx
x
mx
x
x

Do (1) có
mmmvam 0321)2).(4()2(01
22
nên đ-ờng thẳng d
luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có y
A
= m x
A
; y
B
= m x
B
nên AB
2
= (x
A
x
B
)
2
+ (y

A
y
B
)
2
= 2(m
2
+
12) suy ra AB ngắn nhất AB
2
nhỏ nhất m = 0. Khi đó
24AB

x
y

0

0
Nguoithay.vn

12
Bài 27. Cho hàm s y =
1
12


x
x
(1)

1/ Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (1)
2/ nh k đ đng thng d: y = kx + 3 ct đ th hàm s (1) ti hai đim M, N sao cho tam giác
OMN vuông góc ti O. ( O là gc ta đ)
Gii.
2. / Xét pt:
)(04)1()1(3
1
12
2
xgxkkxxkx
x
x




d ct đ th hs (1) ti M, N
















347347
0
0)1(
0
0
kk
k
g
k













k
xx
k
k
xx
kkk

xxkxxkkxkxxxONOMONOM
NM
NM
NMNMNMNM
4
.
1
53046
09)(3).)(1(0)3)(3(.0.
2
2


Bài 28. Cho hàm s y = x
3
+ mx + 2 (1)
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (1) khi m = -3.
2. Tìm m đ đ th hàm s (1) ct trc hòanh ti mt đim duy nht.
Gii.
.
2.Pt : x
3
+ mx + 2 = 0
x
xm
2
2

( x
)0

Xét f(x) =
2
2
2
2)('
2
x
xxf
x
x 
=
2
3
22
x
x 

Ta có x -

0 1 +



f’(x) + + 0 -

f(x) +

-3
-


-

-


 th hàm s (1) ct trc hòanh ti mt đim duy nht
3 m
.
Bài 29. Cho hàm s y = x
3
– 3x + 1 có đ th (C) và đng thng (d): y = mx + m + 3.
1/ Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s.
2/ Tìm m đ (d) ct (C) ti M(-1; 3), N, P sao cho tip tuyn ca (C) ti N và P vuông góc nhau.
Gii.
2. Phng trình hòanh đ giao đim ca (C) và (d): x
3
– (m + 3)x – m – 2 = 0
Hay : (x + 1)(x
2
– x – m – 2) = 0





(*)02
3,1
2
mxx

yx

(*) phi có hai nghim phân bit ( m >
)
4
9

, x
N
và x
P
là nghim ca (*)
Theo gi thit:
  
133
22

PN
xx













3
223
3
223
01189
2
m
m
mm

Nguoithay.vn

13
Bài 30. Cho hàm s
24
1
x
y
x



.
1) Kho sát và v đ th
 
C
ca hàm s trên.
2) Gi (d) là đng thng qua A( 1; 1 ) và có h s góc k. Tìm k sao cho (d) ct ( C ) ti hai đim M,
N và

3 10MN 
.
Gii.
2. T gi thit ta có:
( ): ( 1) 1.d y k x  
Bài toán tr thành: Tìm k đ h phng trình sau có hai
nghim
1 1 2 2
( ; ), ( ; )x y x y
phân bit sao cho
   
22
2 1 2 1
90(*)x x y y   

24
( 1) 1
()
1
( 1) 1
x
kx
I
x
y k x


  





  

. Ta có:
2
(2 3) 3 0
()
( 1) 1
kx k x k
I
y k x

    


  


D có (I) có hai nghim phân bit khi và ch khi phng trình
2
(2 3) 3 0(**)kx k x k    
có hai
nghim phân bit. Khi đó d có đc
3
0, .
8
kk

Ta bin đi (*) tr thành:

   
22
22
2 1 2 1 2 1
(1 ) 90 (1 )[ 4 ] 90(***)k x x k x x x x       

Theo đnh lí Viet cho (**) ta có:
1 2 1 2
2 3 3
,,
kk
x x x x
kk

  
th vào (***) ta có phng trình:
3 2 2
8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k        
16
413
16
413
3



 kkk
.
KL: Vy có 3 giá tr ca k tho mãn nh trên.
Bài 31. Cho hàm s

12
2



x
x
y

1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s đã cho.
2. Tìm nhng đim trên đ th (C) cách đu hai đim A(2 , 0) và B(0 , 2)
Gii.
2. Pt đng trung trc đan AB : y = x
Nhng đim thuc đ th cách đu A và B có hoàng đ là nghim ca pt :

x
x
x



12
2















2
51
2
51
01
2
x
x
xx

Hai đim trên đ th tha ycbt :



















2
51
,
2
51
;
2
51
,
2
51

Bài 32. Cho hàm s
2
32



x
x
y

1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s.
2. Cho M là đim bt kì trên (C). Tip tuyn ca (C) ti M ct các đng tim cn ca (C) ti A

và B. Gi I là giao đim ca các đng tim cn. Tìm to đ đim M sao cho đng tròn ngoi
tip tam giác IAB có din tích nh nht.
Giài.
Nguoithay.vn

14
2. Ta có:
2x,
2x
3x2
;xM
0
0
0
0











,
 
2
0

0
2x
1
)x('y




Phng trình tip tuyn vi ( C) ti M có dng:
 
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0







To đ giao đim A, B ca
 


và hai tim cn là:
 
2;2x2B;
2x
2x2
;2A
0
0
0












Ta thy
M0
0BA
xx
2
2x22
2
xx





,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy





suy ra M là trung đim ca AB.
Mt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông ti I nên đng tròn ngoi tip tam giác IAB có din tích
S =





























 2
)2x(
1
)2x(2
2x
3x2
)2x(IM
2
0
2
0

2
0
0
2
0
2

Du “=” xy ra khi








3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
2
0

Do đó có hai đim M cn tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 33. Cho hàm s

22
1
x
y
x



(C)
1. Kho sát hàm s.
2. Tìm m đ đng thng d: y = 2x + m ct đ th (C) ti 2 đim phân bit A, B sao cho AB =
5
.
Gii.
2. Phng trình hoành đ giao đim: 2x
2
+ mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)
d ct (C) ti 2 đim phân bit  PT(1) có 2 nghim phân bit khác -1  m
2
- 8m - 16 > 0 (2)
Gi A(x
1
; 2x
1
+ m) , B(x
2
; 2x
2
+ m. Ta có x
1

, x
2
là 2 nghim ca PT(1).
Theo L Viét ta có
12
12
2
2
2
m
xx
m
xx

  








.
AB
2
= 5 
22
1 2 1 2
( ) 4( ) 5x x x x   


2
1 2 1 2
( ) 4 1xx x x  
 m
2
- 8m - 20 = 0
 m = 10 , m = - 2 ( Tha mãn (2))
Bài 34. Cho hàm s
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m     
(1)
1.Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (1) ng vi m=1
2.Tìm m đ hàm s (1) có cc tr đng thi khong cách t đim cc đi ca đ th hàm s đn
góc ta đ O bng
2
ln khong cách t đim cc tiu ca đ th hàm s đn góc ta đ O.
Gii.
2. Ta có
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m   

 hàm s có cc tr thì PT
,
0y 
có 2 nghim phân bit

22
2 1 0x mx m    
có 2 nhim phân bit

1 0, m    

Cc đi ca đ th hàm s là A(m-1;2-2m) và cc tiu ca đ th hàm s là B(m+1;-2-2m)
Theo gi thit ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     

  



Vy có 2 giá tr ca m là
3 2 2m  
và
3 2 2m  
.
Bài 35. 1) Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s : y = x
3
– 3x
2
+ 2

Nguoithay.vn

15
2) Bin lun theo m s nghim ca phng trình :
2
22
1
m
xx
x
  


Gii.
2. Ta có
 
22
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó s nghim ca phng trình bng s
giao đim ca
 
 
2
2 2 1y x x x , C'   

và đng thng
1y m,x .

V
 
 
 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x



    




nên
 
C'
bao gm:
+ Gi nguyên đ th (C) bên phi đng thng
1x.

+ Ly đi xng đ th (C) bên trái đng thng

1x 
qua Ox.
Da vào đ th ta có:
+
2m:
Phng trình v nghim;
+
2m:
Phng trình có 2 nghim kép;
+
20m:  
Phng trình có 4 nghim phân bit;
+
0m:
Phng trình có 2 nghim phân bit.
Bài 36.
1. kho sát s bin thiên và v đ th ( C) ca hàm s:
2
32



x
x
y

2. Tìm m đ đng thng (d): y = 2x + m ct đ th (C ) ti hai đim phân bit sao cho tip tuyn
ca (C ) ti hai đim đó song song vi nhau.
Gii.
2. Phng trình hoành đ giao đim ca (d) và (C) là:

032)6(22
2
32
2



mxmxmx
x
x
(x = 2 không là nghim ca p trình)
(d) ct (C ) ti hai đim phân bit mà tip tuyn ti đó song song vi nhau

(1) có hai nghim phân
bit x
1
; x
2
tho mãn: y’(x
1
) = y’(x
2
) hay x
1
+x
2
= 4
2
4

2
6
0)32(8)6(
2










m
m
mm

Bài 37. Cho hàm s :
3
3y x m x( – ) –
(1)
1) Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s (1) khi m = 1.
2) Tìm k đ h bt phng trình sau có nghim:
3
23
22
1 3 0
11
log log ( 1) 1

23

   


  


x x k
xx

Gii.
2. Ta có :
xk
xx
3
23
22
3 3x 0 (1)
11
log log ( 1) 1 (2)
23

   


  


. iu kin (2) có ngha: x > 1.

T (2)  x(x – 1) 2  1 < x  2.
H PT có nghim  (1) có nghim tho 1 < x  2

x k x k
xx
33
( 1) 3x 0 ( 1) 3x <
1 2 1 2

     


   


t: f(x) = (x – 1)
3
– 3x và g(x) = k (d). Da vào đ th (C)  (1) có nghim x (1;2] 
1+
3

1-
3

- 2
m
1
2
Nguoithay.vn

16

1;2
min ( ) (2) 5k f x f


   
. Vy h có nghim  k > – 5
Bài 38. Cho hàm s
32
2 3( 1) 2y x mx m x    
(1), m là tham s thc
1. Kho sát s bin thiên và v đ th hàm s khi
0m
.
2. Tìm m đ đ th hàm s ct đng thng
:2yx   
ti 3 đim phân bit
(0;2)A
; B; C sao cho
tam giác
MBC
có din tích
22
, vi
(3;1).M

Gii.
2. Phng trình hoành đ giao đim ca đ th vi
()


là:
32
2 3( 1) 2 2x mx m x x      

2
02
( ) 2 3 2 0(2)
xy
g x x mx m
  



    


ng thng
()
ct d th hàm s (1) ti ba đim phân bit A(0;2), B, C


Phng trình (2) có hai nghim phân bit khác 0
2
21
'0
3 2 0
2
(0) 0
3 2 0

3
m hoacm
mm
g
m
m




  


  
  








Gi
 
11
;B x y
và
 
22

;C x y
, trong đó
12
,xx
là nghim ca (2);
11
2yx  
và
12
2yx  

Ta có
 
3 1 2
;( )
2
h d M

  

2
2.2 2
4
2
MBC
S
BC
h
   

Mà
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 4BC x x y y x x xx

      

=
2
8( 3 2)mm

Suy ra
2
8( 3 2)mm
=16
0m
(tho mãn) hoc
3m
(tho mãn)
Bài 39. Cho hàm s
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x     
có đ th (C
m
).
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s khi m = 0.
2. Tìm m đ hàm s đng bin trên khong
 
;2

Gii.
2.
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x     
)1(6)12(66'
2
 mmxmxy

y’ có
01)(4)12(
22
 mmm







1
0'
mx
mx
y

Hàm s đng bin trên
 
;2



0'y

2x

21m

1m

Bài 40. Cho hàm s y =
1
x
x

1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s.
2. Tìm ta đ đim M thuc (C), bit rng tip tuyn ca (C) ti M vuông góc vi đng thng
đi qua đim M và đim I(1; 1). (M(0 ; 0) ; M(2 ; 2) )
Gii.
2. Vi
0
1x 
, tip tuyn (d) vi (C) ti M(x
0
;
0
0
1
x
x 
) có phng trình :
0

0
2
00
1
()
( 1) 1
x
y x x
xx
   

2
0
22
00
1
0
( 1) ( 1)
x
xy
xx
   


(d) có vec – t ch phng
2
0
1
( 1; )
( 1)

u
x


,
0
0
1
( 1; )
1
IM x
x



 (d) vuông góc IM điu kin là :
Nguoithay.vn

17

0
0
2
0
00
0
11
. 0 1.( 1) 0
2
( 1) 1

x
u IM x
x
xx


      





+ Vi x
0
= 0 ta có M(0,0)
+ Vi x
0
= 2 ta có M(2, 2)