ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 15 docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.52 KB, 25 trang )
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
1
KIN THC CN NH
I.CÁC CÔNG THC BIN I LNG GIÁC
1.CÔNG THC CNG 2.CÔNG THC NHÂN ÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos
2
a – sin
2
a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos
2
a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin
2
a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) =
tana + tanb
1 - tana.tanb
tan2a =
2.tana
1 - tan
2
a
tan(a - b) =
tana - tanb
1 + tana.tanb
3.CÔNG THC H BC cos
2
a =
12
2
cos a
sin
2
a =
1 - cos2a
2
4.CÔNG THC BIN I TNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos
a + b
2
.cos
a - b
2
cosa - cosb = -2.sin
a + b
2
.sin
a - b
2
sina + sinb = 2.sin
a + b
2
.cos
a - b
2
sina - sinb = 2.cos
a + b
2
.sin
a - b
2
sin( )
tan tan
osacosb
ab
ab
c
sin( )
tan tan
osacosb
ab
ab
c
5.CÔNG THC BIN I TÍCH THÀNH TNG
cosa.cosb =
1
2
[cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a – b) - cos(a + b)]
1
sin osb= sin( ) sin( )
2
ac a b a b
1
os sinb= sin( ) sin( )
2
c a a b a b
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
2
6.BNG GIÁ TR LNG GIÁC CA CÁC CUNG C BIT
x
ra
d
-
-
5
6
-
3
4
-
2
3
-
2
-
3
-
4
-
6
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
đ
-180
o
-150
o
-
135
o
-
120
o
-
90
o
-60
o
-45
o
-30
o
0
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin
0
-
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
-
3
2
-
2
2
-
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
-1
-
3
2
-
2
2
-
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
Error
2
2
1
2
0
-
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
tan
0
1
3
1
3
||
-
3
-1
-
1
3
0
Error
1
3
||
-
3
-1
-
1
3
0
cot
||
3
1
1
3
0
-
1
3
-1
-
3
||
3
1
1
3
0
-
1
3
-1
-
3
||
II.CÁC PHNG TRÌNH LNG GIÁC THNG GP
1.Phng trình sinx=a.( -1
a 1)
sinx = a
arcsina+k2
arcsina+k2
x
x
; k Z +sinx = sin
+k2
+k2
x
x
; k Z ( a = sin)
sinx = 0 x = k; k Z
sinx = 1 x =
2
+ k2; k Z
sinx = -1 x = -
2
+ k2; k Z
2.Phng trình cosx=a.( -1
a 1)
cosx = a
arccosa+k2
arccosa+k2
x
x
; k Z +cosx = cos
+k2
+k2
x
x
; k Z ( a = cos)
cosx = 0 x =
2
+ k; k Z
cosx = 1 x = k2; k Z
cosx = -1 x = + k2; k Z
3.Phng trình tanx=a.
TX:
\,
2
kk
+
tanx=a x=arctana+k ,k
+
tanx=tan x= +k ,k
tanx=1 x= ,
4
tanx=-1 x=- ,
4
tanx=0 x= ,
kk
kk
kk
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
3
4.Phng trình cotx=a.
TX:
\,kk
+
t x=a x=arccota+k ,kco
+
cotx=cot x= +k ,k
cotx=1 x= ,
4
cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2
kk
kk
co k k
III.CÁC PHNG TRÌNH LNG GIÁC THNG GP.
1.Phng trình a.sinx+bcosx=c (
22
0ab
)
2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b
đt:
22
22
os =
sin
a
c
ab
b
ab
phng trình tr thành:
22
sinx os osxsin
c
cc
ab
22
sin( )
c
x
ab
*Chú ý
+Phng trình có nghim khi
2 2 2
c a b
+Nu
. 0, 0a b c
thì:
sin cos 0 tan
b
a x b x x
a
2.Phng trình :
22
asin sinxcosx+ccos 0x b x
(1)
+Nu a = 0:
2
sinxcosx+ccos 0bx
osx(bsinx+ccosx)=0c
osx=0
bsinx+ccosx=0
c
+Nu c = 0:
2
asin sinxcosx=0xb
sinx(asinx+bcosx)=0
sinx=0
asinx+bcosx=0
+Nu
0, 0,cos 0a c x
:
22
2 2 2
sin sinxcosx cos
(1) 0
cos cos cos
xx
a b c
x x x
2
tan tanx+c=0a x b
BÀI TP.
Bài 1.Gii các phng trình:
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
b)
2
2cos 3cos 0xx
c)
3sin3 cos3 2xx
d)
22
sin sin2 2cos 2x x x
Gii.
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
4
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
5
82
xk
5
k
x
b)
2
2cos 3cos 0xx
cos 0
2
,
3
5
cos
2
2
6
x
xk
k
x
xk
c)
3sin3 cos3 2xx
31
sin3 cos3 1
22
xx
sin
(3 )
6
x
= 1
32
62
xk
22
93
k
x
d)
22
sin sin2 2cos 2x x x
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2 arctan2
x x k
x x k
Bài 2.Gii các phng trình:
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
3
3
5
xk
53
k
x
b)
2
2sin sin 1 0xx
2
2
sin 1
2,
1
6
sin
2
7
2
6
xk
x
x k k
x
xk
c)
sin5 cos5 2xx
11
sin5 cos5 1
22
xx
sin
(5 )
4
x
= - 1
52
42
xk
32
20 5
k
x
d)
22
3sin sin2 cos 3x x x
2
2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x
2
cos 0
2
tan 1
4
xk
x
x
xk
e.
cos2 3sin 2 0xx
22
1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x
2
2
sin 1
2,
1
6
sin
2
5
2
6
xk
x
x k k
x
xk
f.
3sin cos 2xx
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
5
2
sin cos cos sin
6 6 2
xx
sin( ) sin
64
x
2
2
64
12
,
37
22
6 4 12
xk
xk
k
x k x k
g.
3sin cos 2xx
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
2
sin cos cos sin
6 6 2
xx
sin( ) sin
64
x
5
2
2
64
12
,
3 11
22
6 4 12
xk
xk
k
x k x k
h.
2cos2 3cos 1 0xx
2
4cos 3cos 1 0xx
cos 1 2
,
11
cos arccos( ) 2
44
x x k
k
x x k
i.
22
2sin 3sin cos 5cos 0x x x x
2
2 n 3 n 5 0ta x ta x
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan( )
2
2
x
xk
k
x
xk
Bài 3.Gii các phng trình:
a.
3sin sin2 0xx
b.
2 2cos 2sinx x
c.
sin sin3 sin5 0x x x
d.
sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x
e.
22
2sin 5sin cos 4cos 2x x x x
f.
22
2cos 2 3sin 2xx
g.
22
sin 2 cos 3 1xx
h.
tan .tan5 1xx
i.
5cos2 12sin2 13xx
j.
2sin 5cos 4xx
k.
2cos 3sin 2xx
Bài 4.Gii các phng trình:
a.
tan cot 2xx
b.
2
(3 cot ) 5(3 cot )xx
c.
3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x
d.
22
4sin 3 3sin2 2cos 4x x x
e.
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x
f.
42
4sin 12cos 7xx
Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
b)
2
2cos 3cos 0xx
c)
3sin3 cos3 2xx
d)
22
sin sin2 2cos 2x x x
Baøi giaûi :
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
6
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
5
82
xk
5
k
x
b)
2
2cos 3cos 0xx
cos 0
3
cos
2
x
x
2
5
2
6
xk
xk
c)
3sin3 cos3 2xx
31
sin3 cos3 1
22
xx
Sin
(3 )
6
x
= 1
32
62
xk
22
93
k
x
d)
22
sin sin2 2cos 2x x x
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2
x
x
arctan2
xk
xk
Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
3
3
5
xk
53
k
x
b)
2
2sin sin 1 0xx
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
7
2
6
xk
xk
xk
c)
sin5 cos5 2xx
11
sin5 cos5 1
22
xx
Sin
(5 )
4
x
= - 1
52
42
xk
32
20 5
k
x
d)
22
3sin sin2 cos 3x x x
cos 0
tan 1
x
x
2
4
xk
xk
Câu 3(3đ) : Gii các phng trình sau:
a.
2sin 1 0x
b.
2cos 3 0x
c.
cos2 3sin 2 0xx
d.
3sin cos 2xx
a)
sin sin
6
x
2
6
5
2
6
xk
xk
b)
cos cos
6
x
2
6
xk
0.25đ*2
0.25đ*2
2
2
2
6
5
2
6
xk
xl
xl
0.25đ*2
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
7
c)
2
2sin 3sin 1 0
xx
sin 1
1
sin
2
x
x
0.25đ
0.25đ
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
5
2
12
11
2
12
xk
xk
0.25đ
0.25đ*3
Câu 4(3đ) : Gii các phng trình sau:
a.
2sin 3 0x
b.
2cos 1 0x
c.
cos2 3sin 2 0xx
d.
3sin cos 2xx
a)
sin sin
3
x
2
3
2
2
3
xk
xk
b)
cos cos
3
x
2
3
xk
c)
2
2sin 3sin 1 0
xx
sin 1
1
sin
2
x
x
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
2
2
2
6
5
2
6
xk
xk
xk
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
2
12
7
2
12
xk
xk
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 5(3đ) : Gii các phng trình sau:
a.
2sin 1 0x
b.
2cos 2 0x
c.
2 cos2x -3cosx +1 =0
d.
3sin cos 2xx
a)
sin sin
6
x
2
6
5
2
6
xk
xk
b)
cos cos
4
x
2
4
xk
c)
2
4cos 3cos 1 0 xx
cos 1
1
cos
4
x
x
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
2
1
arccos 2
4
xk
xk
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
5
2
12
11
2
12
xk
xk
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 6(3đ) : Gii Phng trình
a.
3sin cos 2xx
b.
cos2 3sin 2 0xx
c. cos
2
x + sinx +1=0
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
8
a/
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
sin sin
64
x
5
2
12
11
2
12
xk
xk
b
2
2sin 3sin 1 0 xx
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
xk
xl
xl
c.
4
6
xk
xk
Câu 7
a.
cos2 3sin 2 0xx
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
c.2 cos
2
x -3cosx +1 =0
áp án
a
2
2sin 3sin 1 0 xx
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
xk
xl
xl
b
sin cos , 2 2t x x t
2
1
sin .cos
2
t
xx
PT
2
12 11 0tt
1
11
t
t loaïi
2
2
2
xk
xk
c.
2
2
3
xk
xk
câu 8. a. Gii các Phng trình sau:
2cos x 1 0
3
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
a/
12
2cos x 1 0 cos x cos
3 3 2 3
x k2
3
x k2
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
9
b/
sin cos , 2 2t x x t
(0,25)
2
1
sin .cos
2
t
xx
(0,25)
PT
2
12 11 0tt
(0,25)
1
11
t
t loaïi
(0,25)
2
2
2
xk
xk
(0
Câu9: Gii các Phng trình sau
a.
2
2sin x 3sinx 1 0
b.
3sinx sin2x 0
c.
2sinx 2cosx 2
s a.
2
2
2
6
xk
xk
b. x=k360
0
c.
5
24
13
24
xk
xk
Câu 10.(2đ) : Gii Phng trình
a. tan(x +20
0
) =
2
1
b. sinx + sin2x = cosx + cos3x
c.4sin
2
x -5sinx cosx -6 cos
2
x= 0
DS
a. x=10
0
+k180
0
b.
2
2
63
xk
xk
c.
arctan2
1
arctan( )
2
xk
xk
Câu 11(2đ) : Gii Phng trình
a.
3sin cos 2xx
b.
cos2 3sin 2 0xx
1a)
3 1 2
sin cos
2 2 2
xx
sin sin
64
x
5
2
12
11
2
12
xk
xk
1b)
2
2sin 3sin 1 0 xx
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
10
sin 1
1
sin
2
x
x
(0,25)
2
2
2
6
5
2
6
xk
xl
xl
(0,25*2)
Câu 12(2đ) a.
2
4tan 7tan 3 0xx
b.sin(2x +
3
) = -
2
2
áp án : a.
sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 18 3
k
x x k x
b.
7
22
34
24
(0.25*4)
5 11
22
3 4 24
xk
xk
x k x k
Câu 13(2đ) a.
2
2cot 5 t 3 0x co x
b.cos(2x +
3
) = -
2
2
c. 2
22
cos 2 3sin 2x
áp án : a.
2
cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 2 18 3
k
x x k x
cos 1
4
3
3
cot
cot
2
2
x
xk
x
x arc k
b.
7
22
34
24
(0.25*4)
22
3 4 24
xk
xk
x k x k
c.
2
cos2 1
4cos 2 3cos2 1 0
1
cos2
4
22
1 1 1
2 arccos( ) 2 arccos( )
4 2 4
x
xx
x
x k x k
kZ
x k x k
5
5sin sin 0xx
h.
cos7 sin5 3(cos5 sin7 )x x x x
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
11
Phng trình asinx + bcosx = c
Bài 1.
52
84 7
cos7 3sin7 2
11 2
84 7
xk
xx
xk
Bài 2.
3(sin5 cos ) 4(sin cos5 )x x x x
3sin5 4cos5 4sin 3cosx x x x
3 4 4 3
sin5 cos5 sin cos
5 5 5 5
x x x x
sin5 cos cos5 sin sin sin cos cosx x x x
,
34
( cos , sin )
55
sin(5 ) cos( )xx
sin(5 ) sin( )
2
xx
52
12 3 3
2
52
2 8 2
xk
x x k
x x k x k
Bài 3.
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x
3
(3sin3 4sin 3 ) 3cos9 1x x x
sin9 3cos9 1xx
sin(9 ) sin
36
x
2
18 9
72
54 9
xk
xk
Bài 4.
1
tan sin2 cos2 2(2cos ) 0
cos
x x x x
x
(1)
iu kin:
cos 0
2
x x k
sin 2
(1) sin2 cos2 4cos 0
cos cos
x
x x x
xx
22
sin 2sin cos cos2 cos 2(2cos 1) 0x x x x x x
2
sin (1 2cos ) cos2 cos 2cos2 0x x x x x
sin cos2 cos2 cos 2cos2 0x x x x x
cos2 (sin cos 2) 0x x x
cos2 0
sin cos 2( )
42
x
xk
x x vn
Bài 5.
31
8sin
cos sin
x
xx
(*)
iu kin:
sin2 0
2
x x k
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x
4(1 cos2 )cos 3sin cosx x x x
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
12
4cos2 cos 3sin 3cosx x x x
2(cos3 cos ) 3sin 3cosx x x x
13
cos3 cos sin
22
x x x
cos3 cos( )
3
xx
6
12 2
xk
xk
C2
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x
2
8(1 cos )cos 3sin cosx x x x
3
8cos 8cos 3sin 3cosx x x x
3
6cos 8cos 3sin cosx x x x
3
13
4cos 3cos cos sin
22
x x x x
cos3 cos( )
3
xx
6
12 2
xk
xk
Bài 6.
9sin 6cos 3sin2 cos2 8x x x x
2
6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0x x x x x
6cos (sin 1) (sin 1)(2sin 7) 0x x x x
(sin 1)(6cos 2sin 7) 0x x x
sin 1
6cos 2sin 7
x
xx
2
2
xk
Bài 7.
sin2 2cos2 1 sin 4cosx x x x
2
2sin cos 2(2cos 1) 1 sin 4cos 0x x x x x
2
sin (2cos 1) 4cos 4cos 3 0x x x x
sin (2cos 1) (2cos 1)(2cos 3) 0x x x x
(2cos 1)(2sin 2cos 3) 0x x x
1
cos
2
2sin 2cos 3,( )
x
x x vn
2
3
xk
Bài 8.
2sin2 cos2 7sin 2cos 4x x x x
2
4sin cos (1 2sin ) 7sin 2cos 4 0x x x x x
2
2cos (2sin 1) (2sin 7sin 3) 0x x x x
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0x x x x
(2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x
2sin 1 0
2cos sin 3,( )
x
x x vn
2
6
5
2
6
xk
xk
Bài 9.
sin2 cos2 3sin cos 2x x x x
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
13
2
2sin cos (1 2sin ) 3sin cos 2 0x x x x x
2
(2sin cos cos ) (2sin 3sin 1) 0x x x x x
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 1) 0x x x x
(2sin 1)(cos sin 1) 0x x x
2sin 1
cos sin 1
x
xx
2
6
2sin 1
5
2
6
xk
x
xk
2
2
cos sin 1 cos( )
42
2
2
xk
x x x
xk
Bài 10.
2
(sin2 3cos2 ) 5 cos(2 )
6
x x x
Ta có:
13
sin2 3cos2 2( sin2 cos2 ) 2cos(2 )
2 2 6
x x x x x
t:
sin2 3cos2 , 2 2t x x t
Phng trình tr thành:
2
5
2
t
t
2
2 10 0tt
2
5
2
t
t
5
:
2
t
loi
7
2:2cos(2 ) 2
6 12
t x x k
Bài 11.
3
2cos cos2 sin 0x x x
32
2cos 2cos 1 sin 0x x x
2
2cos (cos 1) (1 sin ) 0x x x
2
2(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x
2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x x
(1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0x x x
(1 sin )[1 2sin cos 2(sin cos )] 0x x x x x
sin 1
1 2sin cos 2(sin cos ) 0
x
x x x x
sin 1 2
2
x x k
1 2sin cos 2(sin cos ) 0x x x x
2
(sin cos ) 2(sin cos ) 0x x x x
(sin cos )(sin cos 2) 0x x x x
sin cos 0xx
tan 1
4
x x k
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
14
Bài 12.
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
(*) iu kin:
sin2 0
2
x x k
2
1 cos2
(*) 1 cot2
1 cos 2
x
x
x
1
1 cot2
1 cos2
x
x
cos2 1
1
sin2 1 cos2
x
xx
sin2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin2x x x x x
sin2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0x x x x
cos2 (sin2 cos2 1) 0x x x
cos2 0
sin2 cos2 1
x
xx
cos2 0
42
x x k
sin2 cos2 1xx
sin(2 ) sin( )
44
x
4
2
xk
xk
Vy,phng trình có nghim:
42
xk
Bài 13.
44
4(sin cos ) 3sin4 2x x x
2 2 2 2 2
4[(sin cos ) 2sin cos ] 3sin4 2x x x x x
2
1
4(1 sin 2 ) 3sin4 2
2
xx
cos4 3sin4 2xx
42
12 2
xk
xk
Bài 14.
33
1
1 sin 2 cos 2 sin4
2
x x x
2 sin4 2(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 0x x x x x
(2 sin4 ) (sin2 cos2 )(2 sin4 ) 0x x x x
(2 sin4 )(sin2 cos2 1) 0x x x
sin2 cos2 1xx
2
sin(2 )
42
x
4
2
xk
xk
Bài 15.
tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x
(*) iu kin:
sin2 0
2
x x k
sin cos
(*) 3 4(sin 3cos )
cos sin
xx
xx
xx
22
sin 3cos 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x
(sin 3cos )(sin 3cos ) 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x x x
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
15
(sin 3cos )(sin 3cos 4sin cos ) 0x x x x x x
sin 3cos 0
sin 3cos 4sin cos 0
xx
x x x x
sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
sin 3cos 4sin cos 0x x x x
2sin2 sin 3cosx x x
13
sin2 sin cos
22
x x x
sin2 sin( )
3
xx
2
3
42
93
xk
xk
Vy,phng trình có nghim là:
;
3
xk
42
93
xk
Bài 16.
33
sin cos sin cosx x x x
23
sin (sin 1) cos cos 0x x x x
23
sin cos cos cos 0x x x x
2
cos ( sin cos cos 1) 0x x x x
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
cos 0
2
x x k
2
sin cos cos 1x x x
1 1 cos2
sin2 1
22
x
x
sin2 cos2 3,( )x x vn
Vy,phng trình có nghim là:
,
2
x k k
Bài 17.
44
1
cos sin ( )
44
xx
22
1 1 1
(1 cos2 ) [1 cos(2 )]
4 4 2 4
xx
22
(1 cos2 ) (1 sin2 ) 1xx
sin2 cos2 1xx
3
cos(2 ) cos
44
x
2
2
4
xk
xk
Bài 18.
33
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3x x x x x
3 3 3 3
4sin (4cos 3cos ) 4cos (3sin 4sin ) 3 3cos4 3x x x x x x x
33
12sin cos 12cos sin 3 3cos4 3x x x x x
22
4sin cos (cos sin ) 3cos4 1x x x x x
2sin2 cos2 3cos4 1x x x
sin4 3cos4 1xx
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
16
1 3 1
sin4 cos4
2 2 2
xx
sin(4 ) sin
36
x
24 2
,
82
xk
k
xk
Bài 19.Cho phng trình:
22
2sin sin cos cosx x x x m
(*)
a.Tìm m sao cho phng trình có nghim.
b.Gii phng trình khi m = -1.
Gii.
11
(*) (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 )
22
x x x m
sin2 3cos2 2 1x x m
a. (*)có nghim khi:
2 2 2
c a b
2
(1 2 ) 1 9m
2
4 4 9 0mm
1 10 1 10
22
m
b.Khi m = -1 phng trình tr thành:
sin2 3cos2 3xx
1 3 3
sin2 cos2
10 10 10
xx
sin2 cos cos2 sin sin ,xx
13
( cos , sin )
10 10
sin(2 ) sinx
22
22
xk
xk
2
xk
xk
Bài 20. Cho phng trình:
2
3
5 4sin( )
6tan
2
sin 1 tan
x
x
(*)
a.Gii phng trình khi
4
b.Tìm đ phng trình (*) có nghim
Gii.
Ta có:
3
sin( ) sin( ) cos
22
x x x
2
2
6tan
6tan cos 3sin2 ,cos 0
1 tan
5 4cos
(*) 3sin2
sin
x
x
3sin2 sin 4cos 5xx
(**)
a. khi
4
phng trình tr thành:
3sin 4cos 5xx
34
sin cos 1
55
xx
34
sin cos cos sin 1,( cos , sin )
55
xx
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
17
sin( ) 1x
2
2
xk
b.Phng trình có nghim khi:
2
cos 0
(3sin2 ) 16 25
2
cos 0
sin 2 1
2
cos 0
sin 2 1
cos2 0
42
k
Bài 21.Gii các phng trình:
a.
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x
b.
(2cos 1)(sin cos ) 1x x x
c.
2cos2 6(cos sin )x x x
d.
3sin 3 3cosxx
e.
2cos3 3sin cos 0x x x
f.
cos 3sin sin2 cos sinx x x x x
g.
3
cos 3sin
cos 3sin 1
xx
xx
h.
sin cos cos2x x x
i.
3
4sin 1 3sin 3cos3x x x
j.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
xx
xx
k.
cos7 cos5 3sin2 1 sin7 sin5x x x x x
l.
44
4(cos sin ) 3sin4 2x x x
m.
22
cos 3sin2 1 sinx x x
n.
4sin2 3cos2 3(4sin 1)x x x
p.
2
(2 3)cos 2sin ( )
24
1
2cos 1
x
x
x
q.
2
tan sin2 cos2 4cos
cos
x x x x
x
Bài 22. Cho phng trình:
sin 2 cos 2
2cos 2sin
m x m x
m x m x
(*)
a.Gii phng trình khi m = 1
b.Tìm đ phng trình (*) có nghim
Bài 23. Cho phng trình:
sin cos 2x m x
(*)
a.Gii phng trình khi
3m
b.Tìm đ phng trình (*) có nghim
Bài 24. Cho phng trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3
xx
m
xx
(*)
a.Gii phng trình khi
1
3
m
b.Tìm đ phng trình (*) có nghim.
PHNG TRÌNH BC HAI I VI MT HÀM S LNG GIÁC
Bài 1.
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin2
xx
xx
x
(1)
iu kin:
1
12
sin2 ,
7
2
12
xk
xk
xk
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
18
Ta có:
cos3 sin3 sin 2sin2 sin cos3 sin3
5(sin ) 5
1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x
x
xx
sin cos cos3 cos3 sin3
5
1 2sin2
x x x x x
x
(sin3 sin ) cos
5
1 2sin2
x x x
x
2sin2 cos cos
5
1 2sin2
x x x
x
(2sin 1)cos
5
1 2sin2
xx
x
5cosx
(1) 5cos cos2 3xx
2
2cos 5cos 2 0xx
1
cos
2
x
2
3
xk
Bài 2.
22
cos 3 cos2 cos 0x x x
11
(1 cos6 )cos2 (1 cos2 ) 0
22
x x x
cos6 cos2 1 0xx
(*)
Cách 1:
3
(*) (4cos 2 3cos2 )cos2 1 0x x x
42
4cos 2 2cos 2 1 0xx
2
cos 2 1x
sin2 0x
2
xk
Cách 2:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
xx
cos8 cos4 2 0xx
2
2cos 4 cos4 3 0xx
cos4 1x
2
xk
Cách 3:
cos6 cos2 1
(*)
cos6 cos2 1
xx
xx
Cách 4:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
xx
cos8 cos4 2xx
cos8 cos4 1xx
Bài 3.
44
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
2 2 2 2 2
13
(sin cos ) 2sin cos [sin(4 ) sin2 ] 0
2 2 2
x x x x x x
2
1 1 3
1 sin 2 ( cos4 sin2 ) 0
2 2 2
x x x
22
1 1 1 1
sin 2 (1 2sin 2 ) sin2 0
2 2 2 2
x x x
2
sin 2 sin2 2 0xx
sin2 1x
4
xk
Bài 4.
2
5sin 2 3(1 sin )tanx x x
(1)
iu kin:
cos 0
2
x x k
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
19
2
2
sin
(1) 5sin 2 3(1 sin )
cos
x
xx
x
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
xx
x
2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
2
2sin 3sin 2 0xx
1
sin
2
x
2
6
5
2
6
xk
xk
Bài 5.
11
2sin3 2cos3
sin cos
xx
xx
(*)
iu kin:
sin2 0
2
x x k
11
(*) 2(sin3 cos3 )
sin cos
xx
xx
33
11
2[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cos
x x x x
xx
22
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
xx
x x x x x x
xx
sin cos
2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
xx
x x x x
xx
1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
xx
2
(sin cos )(4sin2 2) 0
sin2
x x x
x
2
(sin cos )(4sin 2 2sin2 2) 0x x x x
2
sin cos 0
4sin 2 2sin2 2 0
xx
xx
tan 1
sin2 1
sin2 1/ 2
x
x
x
4
12
7
12
xk
xk
xk
Bài 6.
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1
1
1 sin2
x x x
x
(*)
iu kin:
sin2 1
4
x x k
2
(*) 2sin cos 3 2cos 2cos 1 1 sin2x x x x x
2
2cos 3 2cos 2 0xx
2
cos
2
x
4
xk
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
20
i chiu điu kin phng trình có nghim:
,
4
x k k
Bài 7.
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
xx
1 1 1
cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos )
2 2 2
x x x x x x
2
cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1x x x x x x x
2
cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0x x x x x x
cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x
(sin cos )(cos2 sin ) 0x x x x
2
(sin cos )( 2sin sin 1) 0x x x x
2
sin cos 0
2sin sin 1 0
xx
xx
tan 1
sin 1
sin 1/ 2
x
x
x
4
2
2
5
22
66
xk
xk
x k x k
Bài 8.
3
4cos 3 2sin2 8cosx x x
3
4cos 6 2sin cos 8cos 0x x x x
2
2cos (2cos 3 2sin 4) 0x x x
2
2cos (2sin 3 2sin 2) 0x x x
cos 0
2
sin
2
x
x
2
2
4
3
2
4
xk
xk
xk
Bài 9.
cos(2 ) cos(2 ) 4sin 2 2(1 sin )
44
x x x x
2cos2 cos 4sin 2 2 2sin 0
4
x x x
2
2(1 2sin ) 4sin 2 2 2sin 0x x x
2
2 2sin (4 2)sin 2 0xx
1
sin
2
x
2
6
5
2
6
xk
xk
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
21
Bài 10.
22
3cot 2 2sin (2 3 2)cosx x x
(1)
iu kin:
sin 0x x k
2
42
cos cos
(1) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
xx
xx
t:
2
cos
sin
x
t
x
phng trình tr thành:
2
2
3 (2 3 2) 2 2 0
2
3
t
tt
t
2
2 cos 2
:
3 sin 3
x
t
x
2
3cos 2(1 cos )xx
2
2cos 3cos 2 0xx
1
cos
2
x
2
3
xk
2
cos
2 : 2
sin
x
t
x
2
cos 2(1 cos )xx
2
2cos cos 2 0xx
2
cos
2
x
2
4
xk
Vy,phng trình có nghim:
2 , 2
34
x k x k
Bài 11.
22
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
(*)
iu kin:
cos 0
2
x x k
2
(*) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos2 ) 9 3cos 0x x x
2
4cos 2 6cos 2 0xx
cos2 1
1
cos2
2
x
x
2
3
xk
xk
Vy,phng trình có nghim:
3
xk
Bài 12.
cos cos3 2cos5 0x x x
(cos5 cos ) (cos5 cos3 ) 0x x x x
2cos3 cos2 2cos4 cos 0x x x x
32
(4cos 3cos )cos2 (2cos 2 1)cos 0x x x x x
22
cos [(4cos 3)cos2 2cos 2 1] 0x x x x
2
cos {[2(1 cos2 ) 3]cos2 2cos 2 1} 0x x x x
2
cos (4cos 2 cos2 1) 0x x x
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
22
cos 0
1 17
cos
8
1 17
cos
8
x
x
x
2
1 17
arccos 2
8
1 17
arccos 2
8
xk
xk
xk
Bài 13.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
(*)
8 8 4 4 2 4 4
sin cos (sin cos ) 2sin cosx x x x x x
2 2 2 2 2 2 4
1
[(sin cos ) 2sin cos )] sin 2
8
x x x x x
2 2 4
11
(1 sin 2 ) sin 2
28
xx
24
1
1 sin 2 sin 2
8
xx
2 4 2
1
(*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 )
8
x x x
42
2sin 2 sin 2 1 0xx
2
1
sin 2
2
x
2
1 2sin 2 0x
cos4 0x
84
xk
Bài 14.
5
3
sin 5cos sin
22
xx
x
(*)
Ta thy:
cos 0 2 cos 1
2
x
x k x
Thay vào phng trình (*) ta đc:
5
sin( 5 ) sin( )
22
kk
không tha mãn vi mi k
Do đó
cos
2
x
không là nghim ca phng trình nên:
5
3
(*) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x
15
3
(sin3 sin2 ) cos sin
22
x x x x
33
3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0x x x x x x
23
sin (3 4sin 2cos 5cos ) 0x x x x
32
sin (5cos 4cos 2cos 1) 0x x x x
sin 0
cos 1
1 21
cos
10
1 21
cos
10
x
x
x
x
2
1 21
arccos 2
10
1 21
arccos 2
10
xk
xk
xk
xk
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
23
Vy,phng trình có nghim:
2xk
,
1 21
arccos 2
10
xk
1 21
arccos 2
10
xk
Bài 15.
2
sin2 (cot tan2 ) 4cosx x x x
(1)
iu kin:
sin 0
cos2 0
42
xk
x
x
xk
Ta có:
cos sin2
cot tan2
sin cos2
xx
xx
xx
cos2 cos sin2 sin
sin cos2
x x x x
xx
cos
sin cos2
x
xx
cos
2
(1) 2sin cos 4cos
sin cos2
x
x x x
xx
2
cos
2
2cos
cos2
x
x
x
2
cos (1 2cos2 ) 0xx
cos 0
cos2 1/ 2
x
x
2
6
xk
xk
Vy,phng trình có nghim:
2
xk
,
6
xk
Bài 16.
68
2
2cos 1 3cos
55
xx
12 4
2
(1 cos ) 1 2(2cos 1)
55
xx
4 4 4
32
2 4cos 3cos 2(2cos 1)
5 5 5
x x x
t:
4
cos , 1 1
5
x
tt
phng trình tr thành:
32
4 6 3 5 0t t t
1
1 21
4
t
t
45
cos 1
52
x
xk
4 1 21 5 1 21 5
cos arccos
5 4 4 4 2
x
xk
Vy,phng trình có nghim:
5
2
xk
,
5 1 21 5
arccos
4 4 2
xk
Bài 17.
3
tan ( ) tan 1
4
xx
(1)
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
24
iu kin:
cos 0
2
3
cos( ) 0
4
4
x
xk
x
xk
3
(tan 1)
(1) tan 1
3
(1 tan )
x
x
x
33
(tan 1) (tan 1)(1 tan )x x x
32
(tan 1)[(1 tan ) (tan 1) ] 0x x x
32
(tan 1)(tan 2tan 5tan ) 0x x x x
2
tan (tan 1)(tan 2tan 5) 0x x x x
tan 0
tan 1
x
x
4
xk
xk
C2: t:
4
tx
Bài 18.
44
sin 2 cos 2
4
cos 4
tan( )tan( )
44
xx
x
xx
(1)
iu kin:
sin( )cos( ) 0
44
sin( )cos( ) 0
44
xx
xx
sin( 2 ) 0
4
cos2 0
sin( 2 ) 0
4
x
x
x
1 tan 1 tan
tan( )tan( ) . 1
4 4 1 tan 1 tan
xx
xx
xx
4 4 4
(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x
2 2 4
1 2sin 2 cos 2 cos 4x x x
1
24
1 sin 4 cos 4
2
xx
1
24
1 (1 cos 4 ) cos 4
2
xx
42
2cos 4 cos 4 1 0xx
2
cos 4 1x
2
1 cos 4 0x
sin4 0x
4
xk
Vy,phng trình có nghim:
2
xk
Bài 19.
12
48 (1 cot2 cot ) 0
42
cos sin
xx
xx
(*)
iu kin:
sin2 0
2
x x k
Ta có:
cos2 cos
1 cot2 cot 1
sin2 sin
xx
xx
xx
cos2 sin sin2 sin
sin2 cos
x x x x
xx
Nguoithay.vn Phng trình lng giác
Nguoithay.vn
25
cos
2
2sin cos
x
xx
1
2
2sin x
11
(*) 48 0
44
cos sinxx
11
48
44
cos sinxx
4 4 4 4
48sin cos sin cosx x x x
1
42
3sin 2 1 sin 2
2
xx
42
6sin 2 sin 2 2 0xx
1
2
sin 2
2
x
2
1 2sin 2 0x
cos4 0x
84
xk
Vy,phng trình có nghim:
84
xk
Bài 20.
5
8 8 10 10
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x
5
8 2 8 2
sin (1 2sin ) cos (2cos 1) cos2
4
x x x x x
5
88
sin cos2 cos cos2 cos2
4
x x x x x
88
4cos2 (cos sin ) 5cos2 0x x x x
4 4 4 4
4cos2 (cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x
2 2 2 2 4 4
4cos2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x x x
1
2 2 2
4cos2 (cos sin )(1 sin 2 ) 5cos2 0
2
x x x x x
1
22
4cos 2 (1 sin 2 ) 5cos2 0
2
x x x
2
4cos2 (4cos2 2cos2 sin 2 5) 0x x x x
2
4cos2 [4cos2 2cos2 (1 cos 2 ) 5] 0x x x x
3
4cos2 (2cos 2 2cos2 5) 0x x x
cos2 0x
42
xk
