ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 18 docx

Nguoithay.vn TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC

Nguoithay.vn


Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC NH ( tit 2 )
TÍCH PHÂN CHA CÁC HÀM S LNG GIÁC
I. KIN THC
1. Thuc các nguyên hàm :
a/
 
 
1
sin ax+b os ax+bdx c
a






b/
 
 
 
sin ax+b
ln os ax+b
os ax+b
dx c
c








c /
 
 
1
os ax+b sin ax+bc dx
a






d/
 
 
 
os ax+b
ln sin ax+b
sin ax+b
c
dx








2. i vi :
()I f x dx





a/ Nu f(x)=
 
n
sin ; os
m
R x c x
thì ta chú ý :
- Nu m l , n chn : đt cosx=t ( Gi tt là l sin )
- Nu n l , m chn : đt sinx=t ( Gi tt là l cos )
- Nu m,n đu l thì : đt cosx=t hoc sinx =t đu đc ( gi tt l sin hoc l cos )
- Nu m,n đ chn : đt tanx=t ( gi tt là chn sinx , cosx )
b/ Phi thuc các công thc lng giác và các công thc bin đi lng giác , các
hng đng thc lng giác , công thc h bc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc
chia đôi
3. Nói chung đ tính đc mt tích phân cha các hàm s lng giác , hc sinh đòi
hi phi có mt s yu t sau :
- Bin đi lng giác thun thc
- Có k nng khéo léo nhn dng đc cách bin đi đa v dng đã bit trong
nguyên hàm .

II. MT S VÍ D MINH HA
Ví d 1. Tính các tích phân sau :
a. (H, C Khi A – 2005)




2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx
I

b H, C Khi B – 2005 .
dx
x
xx
I



2
0
cos1
cos2sin


KQ:
2ln2 1

Gii
a.
 
 
22
00
2cos 1 sinx
sin2 sin
1
1 3cos 1 3cos
x
xx
I dx dx
xx







t :
2
t 1 2
osx= ;sinxdx=-
33
1 3cos

0 2; 1
2
c tdt
tx
x t x t





  


     



Khi đó :
2
12
2
3
21
1
21
2
3
2 2 1 2 1 34
2
1

3 9 9 3 27
t
t
I tdt dt t t
t





   

     


   


TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 2

b.
 
22
2 2 2
0 0 0
sin2 cos 2sin cos os
2 sinxdx 1
1 cos 1 cos osx+1

x x x x c x
I dx dx
x x c
  
  

  

t :
 
2
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1
2
1 osx
1
1
( ) 2
t
tc
t
f x dx dt t dt
tt


  


  





   





Do đó :
1
2
2
02
2
11
2 ( ) 2 2 2 2 ln 2ln2 1
1
2
I f x dx t dt t t t
t

   
         
   
   


Ví d 2. Tính các tích phân sau
a. H- C Khi A – 2006 .
2

22
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x




KQ:
2
3


b. C Bn Tre – 2005 .



2
0
1sin
3cos

dx
x
x
I
KQ:
2 3ln2

Gii
a.
2
22
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x




. t :
2 2 2 2 2
os 4sin os 4sint c x x t c x x    

Do đó :
 
2
2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin 2
3
0 1; 2
2
tdt x x x x dx xdx xdx tdt
x t x t


     





     



Vy :
22
2
0 1 1
2
2 2 2 2
()
1
3 3 3 3
tdt
I f x dx dt t
t

    
  

b.



2
0
1sin
3cos


dx
x
x
I
.
Ta có :
     
3 2 2 2
os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin osxc x x x c x c x c   

Cho nên :
 
 
2
1 4sin
os3x
( ) osxdx 1
1+sinx 1 sinx
x
c
f x dx dx c




t :
 
2
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2

2
1 sinx
1 4 1
3
( ) 8 4
t
t
t
f x dx dt t dt
tt


  


  






   





Vy :
 

2
2
2
01
2
3
( ) 8 4 8 2 3ln 2 3ln2
1
I f x dx t dt t t t
t


        




Ví d 3. Tính các tích phân sau
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 3

a. CSP Sóc Trng Khi A – 2005 .
2
22
0
sin
sin 2cos .cos
2
xdx

I
x
xx





b. C Y T – 2006 .
2
4
sinx cosx
I dx
1 sin2x






KQ:
ln 2

Gii
a.
 
2 2 2
2
22
0 0 0

sin sin sinx
ln 1 osx ln2
2
sin cos . 1 osx 1+cosx
sin 2cos .cos
0
2
xdx xdx
I dx c
x
x x c
xx
  

      


  

b.
 
 
  
  

  

  
2 2 2
2

4 4 4
sinx cosx sinx cosx sinx cosx
I dx dx dx 1
sinx+cosx
1 sin2x
sinx+cosx

Vì :
sinx+cosx= 2sin ; 3 sin 0
4 4 2 2 4 4 4
x x x x
      
   
         
   
   

Do đó :
sinx+cosx sinx+cosx

Mt khác :
   
sinx+cosx osx-sinxd c dx

Cho nên :
 
2
4
sinx+cosx
1

2
ln sinx+cosx ln1 ln 2 ln2
sinx+cosx 2
4
d
I





       



Ví d 4. Tính các tích phân sau
a. C S Phm Hi Dng – 2006 .
 
2
3
0
cos2x
I dx
sinx cosx 3




KQ:
1

32

b. C KTKT ông Du – 2006 .
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x




KQ:
1
ln3
4

Gii
a.
 
2
3
0
cos2x
I dx
sinx cosx 3





. Vì :
  
22
cos2 os sin osx+sinx osx-sinxx c x x c c  

Cho nên :
 
 
 
 
33
osx-sinx
os2x
( ) osx+sinx
sinx-cosx+3 sinx-cosx+3
c
c
f x dx dx c dx

t :
 
3 2 3
dt= cosx+sinx ; 0 2, 4
2
sinx-cosx+3
3 1 1
( ) 3
dx x t x t
t
t

f x dx dt dt
t t t


     







  





Vy :
4
2
2 3 2
02
4
1 1 1 3 1 1
( ) 3
2
4 32
I f x dx dt
t t t t


   
      
   
   


TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 4

b.
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x




. t :
1
4cos2 os2xdx=
4
1 2sin2
0 1; 3
4
dt xdx c dt
tx

x t x t





  


     



Vy :

   


3
4
01
3
cos2x 1 dt 1 1
I dx ln t ln3
1 2sin2x 4 t 4 1 4

Ví d 5. Tính các tích phân sau :
a. C S Phm Qung Ngưi – 2006 .
3
2

0
4sin x
I dx
1 cosx




KQ: 2

b. C Bn Tre – 2006 .
3
6
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x






Gii
a.
 
 
 
  



    

  
2
3
2 2 2
2
0 0 0
1 cos x
4sin x 1
I dx 4 sinxdx=4 1 cosx sinxdx=4. 1 cosx 2
2
1 cosx 1 cosx 2
0

b.
3
6
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x





.
Ta có :

 
3 2 2
sin3 sin 3 sin3 1 sin 3 sin3 . os 3x x x x xc x   
.
t :
1
dt=-3sin3xdx sin3xdx=-
3
1 os3x
0 2; 1
6
dt
tc
x t x t





  


     



Vy :
 
2
12

6
2
0 2 1
2
1
1 1 1 1 1 1 1
( ) 2 2 ln ln2
1
3 3 3 2 6 3
t
f x dx dt t dt t t t
tt


   
          
   
   
  

Ví d 6. Tính các tích phân sau
a. I =
3
3
2
3
sin x sin x
cotgxdx
sin x





b. I =
2
2
sin( x)
4
dx
sin( x)
4








c. I =
2
4
0
sin xdx


d. I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2

0




Gii
a. I =
3
3
3
2
22
33
1
sinx 1
sin x sinx
sin x
cotgxdx cotxdx
sin x sinx










TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC

Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 5

22
3
2
3
2
33
1
1 cot xdx cot x cotxdx
sin x



   




b. I =
22
22
sin( x)
cosx-sinx
4
dx dx
cosx+sinx
sin( x)
4


 








 
2
2
d cosx+sinx
2
ln cosx+sinx 0
cosx+sinx
2




  




c. I =
2
2 2 2

4
0 0 0
1 cos2x 1 1 cos4x
sin xdx dx 1 2cos2x dx
2 4 2
  

   
   
   
   
  

2
0
3 1 1 3 1 1 3
cos2x+ cos4x dx x sin2x sin4x
2
8 2 8 8 4 32 16
0



   
     
   
   


d. I =

dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0



. Vì :
4 4 2
1
sin os 1 sin 2
2
x c x x  

Cho nên :
2 2 2
2 2 3
0 0 0
1 1 1 1
1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos2 sin2 sin 2 0
22
2 2 2 3
00
I x c c x xdx x x
  


    



  

Ví d 7. Tính các tích phân sau
a. I =
2
5
0
sin xdx


b. I =
4
2
6
1
dx
sin x cotgx




c. I =
3
22
6
tg x cotg x 2dx





d. */I =
2
33
0
( cosx sin x)dx




Gii
a. I =
 
 
2 2 2
2
5 2 2 4
0 0 0
sin xdx 1 cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx
  

   

  

35
2 1 2
cosx+ cos x cos x
2
3 5 15
0



   



TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 6

b. I =
4
2
6
1
dx
sin x cotgx



.
t :
22
2
11
22
sin sin
cot cot
3; 1
64

tdt dx dx tdt
xx
t x t x
x t x t


    


   


     



Vy :
 
13
1
3
2
3
2 2 2 3 1
1
tdt
I dt t
t
     


c. I =
 
3 3 3
2
22
6 6 6
tg x cotg x 2dx tanx-cotx dx tanx-cotx dx
  
  
   
  

Vì :
22
sinx osx sin os os2x
tanx-cotx= 2 2cot2
cosx sinx sinxcosx sin2x
c x c x c
x

     

Cho nên :
tanx-cotx<0;x ;
64
33
; 2 ;2 cot 2 ;
6 3 3 3 3 3
tanx-cotx>0;x ;

43
x x x

   








   

      

   


   








Vy :
   

33
44
6 4 6 4
os2x os2x 1
tanx-cotx tanx-cotx
sin2x sin2x 2
cc
I dx dx dx dx


   
      
   

   
1
43
ln sin 2 ln sin 2 ln2
2
6
4
xx





d. I =
2
33

0
( cosx sin x)dx



(1)
t :
, 0 ; 0
2 2 2
x t dx dt x t x t
  
          

Do đó :
 
   
 
0
22
3 3 3 3
33
00
2
os sin sin ost sin osx 2
22
I c t t dt t c dt x c dx





   
       

   

   

  

Ly (1) +(2) v vi v :
2 0 0II  

Ví d 8 . Tính các tích phân sau
a.
3
4
4
tan xdx



(Y-HN-2000) b.
 
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx



(NT-2000) c.
6
2
4
4
os
sin
cx
dx
x



(NNI-2001)
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 7

d.
2
4
6
0
sin
os
x
dx
cx



( GTVT-2000) e.
2
2
0
sin 2
4 os
x
dx
cx



f.
2
4
0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x




(KB-03)
Gii
a.
3

4
4
tan xdx



. Ta có :
 
2
2
4
4
4 4 4 2
1 os
sin 1 1
( ) tan 2 1
os os os os
cx
x
f x x
c x c x c x c x

     

Do đó :
 
 
3 3 3
2
4 2 2

4 4 4
11
3
( ) 2 1 1 tan 2tan
os os os
4
dx
I f x dx dx x x x
c x c x c x
  
  



       


  

3
1 4 2
3
tanx+ tan 2 3 2 2 3 2 3 2
3 12 3 12 3 12
4
x

  

       

          
       
       

* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
       
4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1f x x x x x x x x x x           

Vy :
   
3 3 3 3
2 2 2 2
22
4 4 4 4
tan 1 tan tan 1 1 tan .
os os
dx dx
I x x x dx x dx
c x c x
   
   

       

   

3
1 1 1 2
3

tan t anx+x 3 3 3 1
3 3 3 3 4 3 12
4
Ix

  

     
         
     
     

b.
 
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx


.
Ta có :
 
 
 
  
 
22

3 3 3
os sin
osx-sinx osx+sinx
os2x
()
sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9
c x x
cc
c
fx



Do đó :
 
 
 
 
44
3
00
osx+sinx
( ) osx-sinx 1
sinx+cosx+2
c
I f x dx c dx









t :
 
3 2 3
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,
4
sinx+cosx+2
2 1 1
osx-sinx ( ) 2
t
t
t
dt c dx f x dx dt dt
t t t


   







    






Vy :
   
22
22
2 3 2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
22
2
3 9 3
22
3
2 2 2 2
I dt
t t t t




     

            
     


     






 
 
  
 
 
 
sin ost sin ost
sin ost os sin t ( )
sin ost+9 sin ost+9
t c t c
t c dt c t dt f x
t c t c

     


TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 8

c.
6
2
4
4
os

sin
cx
dx
x





Ta có :
 
3
2
6 2 4 6
2
4 4 4 4 2
1 sin
os 1 3sin 3sin sin 1 1
( ) 3 3 sin
sin sin sin sin sin
x
c x x x x
f x x
x x x x x

  
      


Vy :

 
2 2 2 2
2
22
4 4 4 4
1 os2x
1 cot 3 3
sin sin 2
dx dx c
I x dx dx
xx
   
   


    


   

3
1 1 1 5 23
2
cot 3cot 3 sin 2
3 2 4 8 12
4
x x x x x





       



d.
 
22
4 4 4 4 4
2
6 6 6 4 4 2 2
0 0 0 0 0
sin 1 os 1 1 1 1
1 tan
os os os os os os os
x c x dx
dx dx dx dx x
c x c x c x c x c x c x c x
    


     


    

 
 
 
 

 
 
4 4 4 4
2
2 2 2 4 2
22
0 0 0 0
11
1 tan 1 tan 1 2tan tan tan 1 tan tanx
os os
x dx x dx x x d x x d
c x c x
   
        
   

3 5 3 3 5
2 1 1 1 1 8
tanx+ tan tan tanx- tan tan tan
44
3 5 3 3 5 15
00
x x x x x

   
     
   
   

e.

 
2 2 2 2
2
0 0 0 0
7 os2x
sin2 sin 2 2sin2 3
ln 7 os2x ln
2
1 os2x
4 os 7 os2x 7 os2x 4
4
0
2
dc
x x x
dx dx dx c
c
c x c c
   


       

  

   

f.
 
2

4 4 4
0 0 0
1 sin 2
1 2sin os2 1 1 1
ln 1 sin2 ln2
4
1 sin 2 1 sin2 2 1 sin2 2 2
0
dx
x c x
dx dx x
x x x
  



    
  
  

Ví d 9. Tính các tích phân sau :
a.
2
34
0
sin cosx xdx


b.
2

0
sin3
1 2 os3x
x
dx
c




c.
5
22
6 6 3
00
3
2
sin os os2x
sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx cosx- 3sinx
x c x c
I dx J dx K dx
cc
  

    
  

Gii
a.
   

 
2 2 2
3 4 2 4 6 4
0 0 0
sin cos 1 os os .sinxdx os os osxx xdx c x c x c x c x d c
  
   
  

75
1 1 2
os os
2
7 5 35
0
c x c x


  



TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 9

b.
 
 
2 2 2

0 0 0
1 2cos3
sin3 1 3sin3 1 1 1
ln 1 2cos3 ln3
2
1 2 os3x 6 1 2cos3 6 1 2cos3 6 6
0
dx
xx
dx dx x
c x x
  



       
  
  

c. Ta có :
22
6 6 6
0 0 0
sin os 1 1 1 1
22
sinx+ 3 osx 1 3
sin
sinx+ osx
3
22

x c x
I J dx dx dx
c
x
c
  


   




  

Do :
2
tan
26
1 1 1 1
.
sin 2sin os x+ tan 2 os tan
3 2 6 6 2 6 2 6 2 6
x
d
x x x x
x c c

     








  
           
    
           
           

Vy :
6
0
tan
26
1 1 1 1
ln tan ln 3 ln3
6
2 2 2 6 2 4
tan
0
26
x
d
x
I
x














    







(1)
- Mt khác :
 
 
22
66
00
sin 3 os sin 3 os
sin 3 os
3

sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx
x c x x c x
x c x
I J dx dx
cc



  


Do đó :
 
 
6
0
3 sinx- 3 osx osx- 3sinx 1 3
6
0
I J c dx c


     

(2)
T (1) và (2) ta có h :
 
3 3 1
1
ln3

ln3
16 4
4
3
1 3 1
3 1 3
ln3
16 4
I
IJ
IJ
J











  





 tính K ta đt

3 3 ; 0. 5
2 2 3 6
t x dt dx x t x t
   
         

Vy :
 
66
00
os 2t+3
os2t 1 3 1
ln3
82
sint+ 3 ost
os t+3 3sin t+3
22
c
c
K dt dt I J
c
c




      
   

   

   


Ví d 10. Tính các tích phân sau .
a.
4
0
1
1 sin2
dx
x



( C-99) b.
2
0
2 sinx+cosx
dx



(H-LN-2000)
c.
 
2
10 10 4 4
0
sin os sin cosx c x x x dx




(SPII-2000) d.
3
6
1
sinxsin x+
6
dx







(MC-2000)
Gii
a.
 
4 4 4
2
2
0 0 0
1 1 1
tan 1
4
1 sin 2 4
sinx+cosx
2cos

0
4
dx dx dx x
x
x
  




    







  

b.
2
0
2 sinx+cosx
dx



.
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC

Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 10

t :
2
2
2
1 1 2
tan 1 tan ; ; 0 0, 1
2 2 2 1 2
2cos
2
x x dt
t dt dx dx dx x t x t
x
t


            




Vy :
 
 
 
1 1 1
22
2

2
0 0 0
22
1 2 2 2
.2
21
23
1
12
2
11
dt dt
I dt
tt
tt
t
t
tt
   






  

t :
 
 

2
2
2
2
12
2 ; 0 tan ; 1 tan 2
os 2
1 2 tan
2 2 2
( ) 2
os
2 1 tan
12
dt du t u t u
cu
tu
dt
f t dt du du
cu
u
t

      


  


  






Vy :
 
2
1
2
21
1
2
2 2 2 2 arxtan arctan 2
2
u
u
u
I du u u u
u

     





c.
 
2
10 10 4 4

0
sin os sin cosx c x x x dx




Ta có :
    
10 10 4 4 2 2 4 4 6 6
sin os sin cos sin os os sin os sinx c x x x x c x c x x c x x     

   
2 2 2 2 4 4 2 2
os sin os sin os sin os sinc x x c x x c x x c x x    

2 2 2 2
1 1 1 os4x 1 os8x 15 1 1
os 2 1 sin 2 os 2 sin 4 os4x+ os8x
4 16 2 32 32 2 32
cc
c x x c x x c c


       



Vy :
2
0

15 1 1 15 1 1 15
os4x+ os8x sin4 sin8
22
32 2 32 32 2 8 32.8 64
00
I c c dx x x




     




d.
3
6
1
sinxsin x+
6
dx







.

Ta có :
 
1
sin sin osx-sinxco = *
6 6 6 6 6 2
x x x x x c x
    

       
        
       

       


Do đó :
1
sin osx-sinxco
1
66
2
( ) 2 2
sinxsin x+ sinxsin x+ sinxsin x+
6 6 6
x c x
fx

  
   


   
   
  
     
     
     

33
66
os x+ os x+
osx osx
66
3
( ) 2 2 ln sinx ln sin x+
sinx sinx 6
sin sin
66
6
cc
cc
I f x dx dx
xx









   
   



   

       


   




   

   



sinx 3 1 2 3
3
2ln ln ln . 2ln
2 2 2
3
sin x+
6
6
I




   




* Chú ý : Ta còn có cách khác
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 11

f(x)=
 
2
1 1 2
31
sin 3 cot
sinxsin x+
sinx sinx+ osx
6
22
xx
c


   







Vy :
 
 
33
2
66
2 3 cot
2 1 3
3
2ln 3 cot 2ln
sin 2
3 cot
3 cot
6
dx
I dx x
x
x
x





      





Ví d 11. Tính các tích phân sau
a.
3
2
2
0
sinxcos
1 os
x
dx
cx



(HVBCVT-99) b.
2
22
0
os cos 2c x xdx


( HVNHTPHCM-98)
c.
4
66
0
sin4

os sin
x
dx
c x x



(HNT-01) d.
4
4
0
os
dx
cx


(HTM-95)
Gii
a.
 
32
22
22
00
sinxcos 1 os
(sin2 ) 1
1 os 2 1 os
x c x
dx x dx
c x c x






t :
2
2
2sin cos sin2
1 os
os 1; 0 2; 1
2
dt x xdx xdx
t c x
c x t x t x t

   


  

       



Vy :
 
 
 
12

21
2
1
1 1 1 1 ln2 1
1 ln
1
2 2 2 2
t
I dt dt t t
tt



      




b.
2
22
0
os cos 2c x xdx


.
Ta có :
 
22
1 os2x 1 os4x 1

( ) os cos 2 . 1 os2x+cos4x+cos4x.cos2x
2 2 4
cc
f x c x x c

   

 
1 1 1 3 1 1
1 os2x+cos4x+ os6x+cos2x os2x+ os4x+ os6x
4 2 4 8 4 8
c c c c c

   



Vy :
2
0
1 3 1 1 1 3 1 1
os2x+ os4x+ os6x sin2 sin4 sin6
2
4 8 4 8 4 16 16 48 8
0
I c c c dx x x x x



   

      
   
   


c.
4
66
0
sin4
os sin
x
dx
c x x



.
Vì :
     
6 6 5 5 4 4
sin os 6sin cos 6 os sin 6sin cos sin osd x c x x x c x x dx x x x c x    

    
6 6 2 2 2 2
sin os 3sin2 sin os sin os 3sin2 cos2d x c x x x c x x c x dx x xdx      

 
66
32

sin4 sin4 sin os
23
xdx xdx d x c x     

Vy :
 
 
 
66
44
66
66
66
00
sin os
sin4 2 2 4
ln sin os ln2
4
os sin 3 3 3
sin os
0
d x c x
x
dx x c x
c x x
x c x



     





TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 12

d.
 
 
4 4 4
23
4 2 2
0 0 0
1 1 4
1 tan tanx tanx+ tan
4
os os os 3 3
0
dx dx
x d x
c x c x c x
  


    


  

Ví d 12. Tính các tích phân sau .
a.
11
0
sin xdx


( HVQHQT-96) b.
4
24
0
sin cosx xdx


(NNI-96)
c.
4
2
0
os cos4c x xdx


(NNI-98 ) d.
0
1 os2xc dx



(HTL-97 )

Gii
a.
11
0
sin xdx



Ta có :
   
5
11 10 2 2 3 4 5 6
sin sin .sinx= 1-cos sinx= 1-5cos 10cos 10cos 5cos os sinxx x x x x x x c x    

Cho nên :
 
2 3 4 5 6
0
1-5cos 10cos 10cos 5cos os sinxdxI x x x x c x

    


7 6 5 4 3
1 5 5 5 118
os os 2cos os os osx
0
7 6 2 3 21
c x c x x c x c x c




      



b.
4
24
0
sin cosx xdx



H bc :
 
 
2
2 4 2
1 os2x 1 os2x 1
sin cos 1 os2x 1 2cos2 os 2
2 2 8
cc
x x c x c x

  
    
  
  

 
2 2 3
1
1 2cos2 os 2 os2x-2cos 2 os 2
8
x c x c x c x    

 
23
1 1 1+cos4x 1+cos4x
1 os2x-cos 2 os 2 1 os2x- os2x
8 8 2 2
c x c x c c


     





 
1 1 cos6x+cos2x
1 os2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 os2x-cos4x+
16 16 2
cc

   



 
1
2 3cos2 os6x-cos4x
32
xc

Vy
 
4
0
1 1 3 1 1
2 3cos2 os6x-cos4x sin2 sin6 sin4
4
32 32 64 32.6 32.4
0
I x c dx x x x x



       




d.
2
2
0 0 0 0
2

1 os2x 2cos 2 osx 2 osxdx osxdxc dx xdx c dx c c

   



    



    

 
2 sinx sinx 2 1 1 2 2
2
0
2




    





III. MT S CHÚ ụ QUAN TRNG
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218

Trang 13

1. Trong phng pháp đi bin s dng 2.
* S dng công thc :
00
( ) ( )
bb
f x dx f b x dx


Chng minh :
 t : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,
0
0
x t b
x b t
  



  


 Do đó :
0
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b
b
f x dx f b t dt f b t dt f b x dx      

   
. Vì tích phân không
ph thuc vào bin s
Ví d : Tính các tích phân sau
a/
 
2
3
0
4sin
sinx+cosx
xdx


b/
 
2
3
0
5cos 4sin
sinx+cosx
xx
dx




c/
 
4

2
0
log 1 tanx dx



d/
6
2
66
0
sin
sin os
x
dx
x c x




e/
 
1
0
1
n
m
x x dx

f/

4
2
33
0
sin cos
sin os
xx
dx
x c x




Gii
a/
 
2
3
0
4sin
sinx+cosx
xdx
I



.(1) . t :
 
 
33

, 0 ; 0
22
4sin
4cos
2
22
( ) ( )
cost+sint
sin os
22
dt dx x t x t
t
t x x t
t
f x dx dt dt f t dt
t c t





       





     





   


   
  
   


   



Nhng tích phân không ph thuc vào bin s , cho nên :
 
 
0
2
3
0
2
4 osx
( ) 2
sinx+cosx
c
I f t dt dx






Ly (1) +(2) v vi v ta có :
 
 
 
22
32
00
4 sinx+cosx
1
22
sinx+cosx sinx+cosx
I dx I dx

  


2
2
0
1
2 tan 2
2
4
2cos
0
4
I dx x
x






    








b/
 
2
3
0
5cos 4sin
sinx+cosx
xx
I dx




. Tng t nh ví d a/ ta có kt qu sau :
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218

Trang 14

 
 
 
 
0
22
3 3 3
00
2
5cos 4sin 5sin 4cos 5sin 4 os
2
sinx+cosx ost+sint sinx+cosx
x x t t x c x
I dx dt dx
c


  
   
  

Vy :
 
22
2
2
00
1 1 1 1

2 tan 1
2
2 4 2
sinx+cosx
2cos
0
4
I dx dx x I
x





      








c/
 
4
2
0
log 1 tanx dx




. t :
 
 
22
, 0 ; 0
44
44
( ) log 1 tanx log 1 tan
4
dx dt x t x t
t x x t
f x dx dx t dt




       


     




     








Hay:
 
 
2 2 2 2
1 tan 2
( ) log 1 log log 2 log
1 tan 1 tan
t
f t dt dt t
tt


      




Vy :
0
44
2
00
4
( ) log 2
4
48

0
I f t dt dt tdt I t I




       
  

d/
6
2
66
0
sin
sin os
x
I dx
x c x




(1)
 
6
0
6
2
66

66
0
2
sin
os
2
os sin
sin os
22
t
cx
d t dx I
c x x
t c t








  

   
  
   
   

(2)

Cng (1) và (2) ta có :
66
22
66
00
os sin
2
2
os sin 2 4
0
c x x
I dx dx x I
c x x




     



e/
 
1
0
1
n
m
x x dx


. t : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
Do đó :
 
0 1 1
1 0 0
1 ( ) (1 ) (1 )
m
n n m n m
I t t dt t t dt x x dx      
  


MT S BÀI TP T LUYN

1.
2
2
0
4sin
1 osx
x
dx
c



2.
4
0
osx+2sinx

4cos 3sin
c
dx
xx



(XD-98 )
3.
3
2
2
0
sinxcos
1 os
x
dx
cx



4.
3
2
0
sinx
cos
x
dx
x




( HVNHTPHCM-2000 )
5.
 
1
6
53
0
1x x dx

(HKT-97 ) 6.
2
0
sin
2 os
xx
dx
cx



( AN-97 )
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 15

7.
4

0
sinx+2cosx
3sin osx
dx
xc



( CSPHN-2000) 8.
2
0
1 sinx
ln
1+cosx
dx






( CSPKT-2000 )
9.
2
0
sin
9 4cos
xx
dx
x




(HYDTPHCM-2000 ) 10.
4
2
33
0
sin cos
sin os
xx
dx
x c x





* Dng :
asinx+bcosx+c
'sinx+b'cosx+c'
I dx
a






Cách gii :

Ta phân tích :
 
' osx-b'sinx
asinx+bcosx+c
'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'
B a c
C
dx A
a a a


  


- Sau đó : Quy đng mu s
- ng nht hai t s , đ tìm A,B,C .
- Tính I :
 
 
' osx-b'sinx
Ax+Bln 'sinx+b'cosx+c'
'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'
B a c
C dx
I A dx a C
a a a






    




VÍ D ÁP DNG
Ví d . Tính các tích phân sau :
a.
2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
dx


( B đ ) b.
4
0
osx+2sinx
4cos 3sin
c
dx
xx



( XD-98 )
c.
2

0
sinx+7cosx+6
4sin 3cos 5
dx
xx



d. I =
2
0
4cosx 3sinx 1
dx
4sin x 3cosx 5





Gii
a.
2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
dx


. Ta có :
 

 
osx-2sinx
sinx-cosx+1
( ) 1
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
Bc
C
f x A   

Quy đng mu s và đng nht h s hai t s :
   
1
5
21
2 sinx+ 2A+B osx+3A+C
3
( ) 2 1
sinx+2cosx+3 5
31
4
5
A
AB
A B c
f x A B B
AC
C









        








. Thay vào (1)
 
2 2 2
0 0 0
sinx+2cosx+3
1 3 4 1 3 4
ln sinx+2cosx+3
2
5 5 sinx+2cosx+3 5 sinx+2cosx+3 10 5 5
0
d
I dx dx J
  




       


  

 
3 4 4
ln 2
10 5 5 5
IJ

   

- Tính tích phân J :
TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 16

t :
 
2
1
2
0
2
22
22
1
; 0 0, 1
22

os
2
2
tan
1 2 2
2
12
()
21
1 2 3
23
11
dx
dt x t x t
x
c
x dt
tJ
dt dt
t
f x dx
tt
t t t
tt


      




   






  





. (3)
Tính (3) : t :
12
2
2
2
2
2 . 0 tan ; 1 tan 2
os 2
1 2 tan
1 2 2
()
2
os 2
os
du
dt t u u t u u

cu
tu
du
f t dt du
cu
cu

        


  






Vy :
 
 
2
1
2 1 2 1
u
2
2
tan
2 2 3 4 4 2
j= ln
2

2 2 10 5 5 5 2
tan 2
u
u
du u u I I u u
u




        







b.
 
 
4
0
3cos 4sin
osx+2sinx osx+2sinx
; ( ) 1
4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin
B x x
c c C
dx f x A

x x x x x x x x


    
   


Ging nh phàn a. Ta có :
21
;
55
AB  
;C=0
Vy :
 
4
0
3cos 4sin
2 1 2 1 1 4 2
ln 4cos 3sin ln
4
5 5 4cos 3sin 5 5 10 5 7
0
xx
I dx x x x
xx







      







Hc sinh t áp dng hai phn gii trên đ t luyn .

BÀI TP
1.
3
3
2
3
3
sin sinx cot
sin
xx
dx
x




2.
2

22
0
3 os 4sin
3sin 4cos
c x x
dx
xx





3.
 
2
55
0
os sinc x x dx



4.
2
2
6
1 sin 2 sin
sin
xx
dx
x






5.
4
0
sinx-cosx
1 sin2
dx
x



6.
2
4
2
15sin 3 cos3x xdx





7.
 
2
2 2 2 2
0

sinxcosx
,0
os sin
dx a b
a c x b x




8.
3
6
0
tan xdx



9.
 
3
2
6
ln sinx
os
dx
cx



10.

0
2
os4x.cos2x.sin2xdxc




TÍCH PHÂN CÁC HÀM S LNG GIÁC
Su tm và biên son : Nguyn ình S-T: 0985.270.218
Trang 17

11.
4
6
0
tan
os2x
x
dx
c


. ( KA-08) 12.
 
4
0
sin
4
sin2 2 1 sinx+cosx
x

dx
x








. (KB-08)
13.
 
2
22
0
os 1 osc x c xdx



. (KA-09 ) 14.
 
4
0
sin 1 osx
sin osx
x x x c
dx
x x c





. (KA-2011 )
15.
3
2
0
1 sin
os
xx
dx
cx



. (KB-2011) 16.
2
22
0
sin2
os 4sin
x
dx
c x x



. (KA-06)
17.

2
3
2
0
sin
sin 2 cos
xx
dx
xx


. CST-05) 18.
2004
2
2004 2004
0
sin
sin os
x
dx
x c x



.( CSPHN-05)
19.
3
6
0
sin3 sin

1 os3x
xx
dx
c




. ( CHY-06) 20.
3
6
sinxsin x+
3
dx







. CSPHN-06)
21.
 
2
3
2
0
sin2 1 sinx x dx




. ( CKT-06)