Hình Học Họa Hình

 


 


 



 

 
! "#" $
#" $%&'(
)*+(&,-"#" $
! "#$%
"&$'()*
+,'-. /$0%'&1
"*
*Ta có các định nghĩa sau:
23",.4
25%,.64
25'-,.4786/
$'.4"
250%',.4/$'

.
Hình 0.1 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm
/

П
 
4'9.$ :$;64%4786/<.$ :
'-9-*
4!=.$0$;64%!->=-*?@4A84B?@C*D*B
@4786/$0A A <.$0$E;8*
?@C*D*B

.
Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm
/
.


0
.10.
2*34 5"#" $
/
.
.
.
0.
6.
7’
T’
a)
b)


7

6
0

8
П
 
9#" $:;:;
)*+(&,-"#" $
! "#$0A
A A "&
$'() *
F'G$0HHA*'-. 
/$0&1"*
<3) = ! >?):)@
23",.
4
250A,.4
25'-,.4A A 
/$'.4"
I 4A
250,.4/
$'

.
Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu
xuyên tâm
:
П
)
 

A
A’
Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song
s
B’
B
C
D
C’=D’
2*34 5"#" $
4$0'9A A 
&14A4A A 
/<.$0'-9-
4!=A A &14A
4A A /<.$
!->=-
43$ :'93-'-9-
2JKAL$/M$$NO
43HHFPO
4QRHH"O
)*
2*
П
M
M’
M
s
N’
N
Q

P’
Q’
П
M’
P
K’
I’
I
K





=
PF
3
FSPS
S3S
FSHHPSS3S



= QRRSQS
HHQRRSQS
39
'3
9S3S
3S'S
=

 
A#" $B=
PT4&<0U$
V/T4A A 
4&<&1
4*
PT4&<<$W8$/X
(/T4A A # 
<X(AO
2!Y<4A8
(
2+AZ'9: &1[<\O
'-9->'9* A\
'-9-]'9
%$68.^_/T
4&<,.
4<

.
Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc
:
8
)

.
:
8

.
φ

)*
2*
 

C
 
DEF  G)HC
DI)J"KL $
)*+(&,-EF
J .(8
&<[
`
&

[
D
*
3[
`
<&aX$*
3[
D
<&aXb*
+,7. $/[
`
&

[
D
?7>[

`
c[
D
B
!4&<$'.
[
`
&

[
D
d$U4'
`
&'
D
!L$a[
`
#;8
[
D
;$07I e;8
$UY@`*`* $4[
D

f&1[
`
*Jd$U$E/$
' V4?@`*`*B
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu

)*
2*
A
A
1
A
2
A
x
7
''
`
"
`
7
'
7
"
`
"
D
'
D
"
D
 
2*! >?)B4 5
- Mặt phẳng П
1
:4$

- Mặt phẳng П
2
:4b
- Đường thẳng x :_4
- A
1
:4$/$'
- A
2
:4b/$'
+,A
x
. /_7&
?''
`
'
D
B
J$E#'
`
#'
7
#'
D
fb
$0&<&1_7,.
$0<$*
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
)*

2*
A
A
1
A
2
A
x
7
''
`
"
`
7
'
7
"
`
"
D
'
D
"
D
 
* Độ cao của một điểm
J<O ,.$ /
$'
M&N @
+ Độ cao dương :$'b

X[
D
+ Độ cao âm:$'bX
1[
D
*
05IO2$P'EF O
+ Độ cao dương:'
`
bX
_7
+ Độ cao âm:'
`
bX1_7
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A
1
A
2
A
x
7
''
`
"
`

7
'
7
Π
`
"
D
'
D
"
D
'''' D`7 =
 
* Độ xa của một điểm
J<O ,.$7/$'
M&N @
+ Độ xa dương :$'b
X1[
`
+ Độ xa âm:$'bX
A[
`
*
05IO2$P'EF @
+ Độ xa dương:'
D
bX1
_7
+ Độ xa âm:'
D

bX_7
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có
đồ thức là một cặp hình chiếu A
1
, A
2
.
Ngược lại cho đồ thức A
1
A
2
, ta có thể xây
dựng lại điểm A duy nhất trong không
gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có
tính phản chuyển
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một
điểm trên hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu
7
'
7
'
D
"
D
'''' `D7 =
)*
A
A
1

A
2
A
x
7
"
`
"
D
2*
A
1
 
9DI2)J"KL $
)*+(&,-EF
J #.(8
[
`-
[
D
#[
M
&<&1g$
h
*
2+,7. $/[
`
&

[

D
?8>[
`
c[
D
B
2+,8. $/[
D
&

[
M
?8>[
D
c[
M
B
2+,i. $/[
`
&

[
M
?i>[
`
c[
M
B
!4&<$'.[
`

#

[
D
&

[
M
d$U4'
`
#'
D
&

'
M
!L$a[
`
#;8[
D
;$07#;8[
M
;
_iI e;8$UY@
`*D* $4[
D
f&1[
`
#[
M

f&1[
`
*
Jd$U$E/$' V
4?@`*D*B
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu
2*
'
A
1
x
A
x
A
2
)*
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3
A

2
A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O

 
2*! >?)B4 5
9N7$aj
&X(AO
- Mặt phẳng П
3
:4:
- Đường thẳng x, y, z :_4
- A
3
:4:/$'
+,
3P'EF @
2'
`
#'
7
#'
D
fb$0
&<&1_7,.$0
<$
2'
`
#'
i
#'
M
fb$0
A A &1_7,.$0

<b*
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu
b)
'
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3
A
2
A
y
A

z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O
B''?'i'i
B''?'8'8
B''?'7'7
M`

MD
D`
∩=
∩=
∩=
 
2*! >?)B4 5Q$"R;*
* Độ xa cạnh của một điểm
J<O

,.$7:/$'
M&N @
+ Độ xa cạnh dương :$'b
X[
M
2Độ xa cạnh âm:$'b
X[
M
*
05IO2$P'EF @
+ Độ xa cạnh dương:'
M
bX
_i
+ Độ xa cạnh âm:'
M
bX
_i
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu

b)
'
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3
A
y
A
z
Π
1
Π
3

z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O
AAOAAAAA
3x2y1z
===
A
2
 
DH:>?)S!
DT= "
@4[

`
#[
D
&<&1L
W#kW$U,.<W*
2PWX1[
`
#[
D
$U,.<W(*?QB
2PWXA[
`
#[
D
$U,.<W*?QQB
2PWXA[
`
#1[
D
$U,.<W*?QQQB
2PWX1[
`
#1[
D
$U,.<W*?QlB
Ví dụ:Jm $E/$'#9#!#=.W.U<WQ#QQ#QQQ#Ql
Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV
A
2
Π

1
Π
2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A
2
A
1
Π
2
Π
1
Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các
góc phần tư I, II, III, IV
B
2
B
1
C
1
C
2
D
2
D
1

 
9DJ"K"(!
!<6
23$;_7<aVW?QB&<W?QQQB
Wb,.6Q*?P`B
23$;_7<aVW?QQB&<W?QlB
Wb,.6QQ*?PDB
Ví dụ:ln$E/$'#96Qo!#=6QQ#'<
W?QB#9?QQQB#!?QQB#=?QlB
Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II
A
2
Π
1
Π
2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A
2
A
1
Π
2
Π
1
Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc

mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)
(Pg1)
(Pg2)
B
1
B
2
C
1
=D
2
D
1
=C
2
x
A
x
B
x
C
x
D
x
 
UUVL $F2) G)HCP'EF
Bài toán:! 4$&4b/$#4:/$$<$E*
Ví dụ: ln4:/$'#9#!#=#p$U $E
x(+)
A

x
A
2
A
3
z(+)
y(+)
O
A
z
A
y
A
y
A
1
Δ
Δ’
y(+)
x(+)
B
x
B
2
B
3
z(+)
y(+)
O
B

z
B
y
B
y
B
1
Δ
Δ’
x(+)
C
x
C
1
C
3
z(+)
y(+)
O
C
z
C
y
C
y
C
2
Δ
Δ’
x(+)

D
x
D
2
D
3
z(+)
y(+)
O
D
z
D
y
D
y
D
1
Δ
Δ’
y(+)
x(+)
E
x
=E
2
E
3
z(+)
y(+)
O

E
z
=E
y
E
1
Δ
Δ’
a)
d)
c)
e)
b)
y(+)
y(+)
y(+)
B
y
E
y
 
9
WK
 
I- Đồ thức của một đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

- l
1
đi qua A
1
B
1
gọi là hình chiếu đứng
của đường thẳng l
- l
2
đi qua A
2
B
2
gọi là hình chiếu bằng
của đường thẳng l
Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng
A
1
B
1
l
1
l
2
B
2
A
2
)B,B(B

)A,A(A
B AAB
21
21
≠∈ ,l
9
'
`
9
D
"
`
"
D
'
7
'
D
9
`
l
1
l
2
l
Chú ý: 






 !"#$%
&'()*!%!"+
 ,)-.*/0
 
II- Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)
1- Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)
1234
52678 Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
9
'
`
"
`
'
7
9
`
9
D
7
'
`
9
`
h
1
h

'
D
h
1
h
2
α
α
59&8
-Hình chiếu đứng h
1
//x
- Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A
2
B
2
=AB
- Góc h
2
,x = h, П
1
= α
Hình 2.2. Đường bằng
"
D
'
D
h
2
α

9
D
 
312-:
52678 Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ: CD// П
1
59&8
-Hình chiếu bằng f
2
//x
- Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C
1
D
1
=CD
- Góc f
1
,x = f, П
2
= β

Hình 2.3. Đường mặt
=
!
`
"
`

7
=
`
=
D
7
!
`
=
`
f
1
f
!
D
f
1
f
2
β
"
D
!
D
f
2
β
=
D
β

!
 
12
52678 Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
.
59&8
-p
1
và p
2
cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x
- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E
3
F
3
=EF
- Góc p
3
,z = p, П
1
= α
- Góc p
3
,y = p, П
2
= β

Hình 2.4. Đường cạnh
A

2
Π
2
x
E
F
2
F
1
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
α
β
x
F
2
E
3
z
y

F
3
E
1
y
p
1
p
p
2
E
2
E
1
A
x
O
F
1
p
1
p
2
E
2
α
β
p
3
p

3
α
β
 
Hình 2.4. Đường cạnh
A
2
x
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
α
β
x
F
2
E
3
z
y
F

3
E
1
y
A
x
O
F
1
p
1
p
2
E2
1
α
β
p
3
p
3
Π
2
E
F
2
F
1
p
1

p
p
2
E
2
E
1
Chú ý:;<'*3,'

*'

!",6=
' !">? %'( #$)-'3@>
Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất.
(Hình 2.4)