Gia tri lon nhat va gia tri nho nhat cua ham so

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Định lý: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.
a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x )  M
với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  M . Kí hiệu: M = max f ( x )
xD

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x )  m
với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  m . Kí hiệu: m = min f ( x )
xD

Hay nói cách khác:
 f ( x )  M , x  D
M = max f ( x )  
xD
x0  D , f ( x0 ) = M
 f ( x )  m , x  D
m = min f ( x )  
xD
x0  D , f ( x0 ) = m

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn  a , b 
Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài khơng cho sẵn)
Bước 2: Tính f ' ( x ) và giải phương trình f ' ( x ) = 0  x1 , x2 , x3 ,.....
Bước 3: Tính f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,.... và f ( a ) , f ( b )
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242

6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bước 4: So sánh và kết luận.
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 trên
đoạn 1,2  . Khi đó tổng M + m có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 2

B. -4

C. 0

D. -2

Hướng dẫn giải
Tập xác định D =
y = x 3 − 3x 2 + 1  y ' = 3x 2 − 6 x

x = 0
y ' = 0  3x2 − 6 x = 0  
x = 2
f ( 0 ) = 1, f ( 1) = −1, f ( 2 ) = −3

Dễ thấy M = max f ( x ) = f ( 0 ) = 1
1,2 

m = min f ( x ) = f ( 2 ) = −3
1,2 

 M + m = −2 . Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
y = f ( x ) = sin x + cos x + sin x.cos x trên đoạn 0,  

A. max f ( x ) = 2 ,min f ( x ) = −1

B. max f ( x ) = 3,min f ( x ) = −3

C. max f ( x ) = 2 +

D. max f ( x ) = 2 ,min f ( x ) = − 2

0, 

0 , 

0, 

1
,min f ( x ) = −1
2
0 , 

0, 

0, 

0, 

0, 

Hướng dẫn giải

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí



Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x + 
4

Vì x  0,    t   −1, 2 


Ta có:
t 2 = ( sin x + cos x ) = sin 2 x + cox 2 x + 2sin x.cos x = 1 + 2sin x.cos x  sin x.cos x =
2

t2 − 1
2

t2 − 1 t2
1
f ( x) = g (t ) = t +
= +t−

2
2
2
g ' ( t ) = t + 1, g ' ( t ) = 0  t = −1

g ( −1) = −1, g

( 2) =

 max f ( x ) = 2 +
0 , 

2+

1
2

1
,min f ( x ) = −1 . Chọn đáp án C
2
0 , 

3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D bất kì
Bước 1: Tìm tập xác định (Nếu đề bài khơng cho sẵn tìm trên miền nào)
Bước 2: Tính f ' ( x ) và giải phương trình f ' ( x ) = 0  x1 , x2 , x3 ,.....
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
4. Quy tắc tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn
điều kiện cho trước
Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên một đoạn  a , b 

Bước 1: Tính f ' ( x ) và giải phương trình f ' ( x ) = 0  x1 , x2 , x3 ,.....
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bước 2: Tính f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,.... và f ( a ) , f ( b )
Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn  a , b 
Bước 4: Thay điều kiện bài cho để tìm m
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

2 x 2 + 7 x + 23
x2 + 2 x + 10

Hướng dẫn giải
Dễ thấy x 2 + 2 x + 10  0x nên hàm số xác định trên toàn trục số.
Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình

2 x 2 + 7 x + 23
=m
x 2 + 2 x + 10
 2 x 2 + 7 x + 23 = m x 2 + 2 x + 10

(

)

 ( m − 2 ) x 2 + ( 2 m − 7 ) x + 10 m − 23 = 0
Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Nếu m = 2 phương trình trở thành −3 x − 3 = 0  x = −1  vậy phương trình
có nghiệm khi m = 2
TH2: Nếu m  2 khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:

 = ( 2 m − 7 ) − 4 ( m − 2 )( 10 m − 23 )  0
2

 −36 m + 144 m − 135  0
3
5
m 2
2
2
5
3
 max f ( x ) = ,min f ( x ) =
2
2


Xem thêm tài liệu tham khảo tại: Tài liệu học tập lớp 12
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188