Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán 3 doc

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên
Bµi 1. a) Cho f(x) = ax
2
+ bx + c có tính chất f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên
hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là các số nguyên hay không ? Tại sao ?
b) Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức :
2 2
1x y y
= + −
Bµi 2. Giải phương trình
2
4 1 5 14x x x
+ = − +
Bµi 3. Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ :
2 2
3 3
4 4
3
5
9
17
ax by
ax by
ax by
ax by
+ =


+ =

+ =


+ =

Tính giá trị của các biểu thức
5 5
A ax by
= +
và
2001 2001
B ax by
= +
Bµi 4. Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm là O. Gọi d, d’ là các đường thẳng vuông góc
với AB tương ứng tại A, B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d ở M, còn cạnh kia
cắt d’ ở N. kẻ OH ⊥ MN. Vòng tròn ngoại tiếp ∆ MHB cắt d ở điểm thứ hai là E khác M.
MB cắt NA tại I, đường thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một đường
tròn cố đinh khi góc vuông uqay quanh đỉnh O.
Bµi 5. Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền được sơn một mặt màu đỏ và một mặt màu
xanh. Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất cả các đồng tiền đều có mặt
xanh ngửa lên phía trên. Cho phép mỗi lần đổi mặt đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh
nhau. Hỏi với cánh làm như thế sau một số hữu hạn lần ta có thể làm cho tất cả các đồng
tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phía trên được hay không ? Tại sao ?
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học sư phạm HN
Bµi 1. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x
3 6
4
2 3 7 4 3
9 4 5 2 5
.
.
x

A x
x
− + −
= +
− + +
Bµi 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt P
n
= 1.2.3….n. Chứng minh rằng
a) 1 + 1.P
1
+ 2.P
2
+ 3.P
3
+….+ n.P
n
= P
n+1
.
b)
1 2 3
1 2 3 1
1
n
n
P P P P
−
+ + + + <
Bµi 3. Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những
số chình phương.

Bµi 4. Xét phương trình ẩn x :
2 2
2 4 5 2 1 1 0( )( )( )x x a x x a x a
− + + − + − − − =
a) Giải phương trình ứng với a = -1.
b) Tìm a để phương trình trên có đúng ba nghiệm phân biệt.
Bµi 5. Qua một điểm M tùy ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các đường
thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng song song này cắt hai
cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J tương ứng.
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cùng là trung điểm của EF.
b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho EJ = JI
= IF.