Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Phú Yên năm 2012 môn Toán doc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011-2012


Môn: Toán (Chuyên)
Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)


Câu 1. (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3
P           .
b) Cho
3 3
1 65 65 1
x
   
. Tính
3
12 2009
Q x x   .

Câu 2. (3,5 điểm) Cho phương trình a(a+3)x
2
- 2x - (a+1)(a+2) = 0
(a là tham số, nguyên).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ.
b) Xác định a để phương trình có các nghiệm đều nguyên.

Câu 3. (5,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)


13 2 3x+2 3 42 0
x x
   
;
b)
2
2
9 9
9 9
x y
y x

  



  

.

Câu 4. (2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 :
2 2
2 1
x 2y 3 xy y 1

   

.
b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
M
a b b c c a
  
     
.

Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G là trọng tâm
và BD, CE là các đường phân giác trong. Chứng minh rằng 3 điểm D, E, G thẳng hàng.

Câu 6. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm D di
động trên cung nhỏ AC. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Tìm tập hợp
các trung điểm M của đoạn thẳng BE khi D di chuyển trên cung nhỏ AC.


= Hết=

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……… …………………. Số báo danh:……………………………………


Chữ ký của giám thị 1:………………………. Chữ ký của giám thị 2:………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011-2012


Môn: Toán (chuyên)



HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Gồm có 05 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- Đáp án và thang điểm:

Câu Đáp án Điểm
1

3,00 đ
a) Rút gọn biểu thức:
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3
P          
Ta có:
2 2 2 3 . 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
  
            
  

  


4 2 2 3 2 2 3
      
Do đó:

2 3. 2 2 3 . 2 2 3
P      

2 3. 4 2 3 2 3. 2 3
4 3 1.
      
  


Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức
2 2
( )( )
a b a b a b
   
, ta có:
 


2
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3
P
  
         

  
  








2 3 2 2 3 2 2 3
     





2 3 2 3
  

= 4 – 2 = 1
Vì P > 0 nên P = 1
1,50 đ



0,25 đ


0,25 đ

0,50 đ

0,25 đ
0,25 đ



0,25 đ


0,50 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

b) Tính
3
12 2009
Q x x   , với
3 3
1 65 65 1
x
   
:
Ta có :



3
3
3 3
1 65 65 1
x    
1,50 đ


ĐỀ CHÍNH THỨC











3 3
3
1 65 65 1 3 1 65 65 1 1 65 65 1
         





3 3
2 12 1 65 65 1 2 12
x
       .
Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011.


0,50 đ

0,50 đ

0,50 đ

2 Phương trình: a(a+3)x
2
- 2x - (a+1)(a+2) = 0 3,50 đ
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ:
- Với a(a+3) = 0 hay a = 0 hoặc a = -3:
Phương trình trở thành: -2x -2 = 0 có nghiệm là x = -1
- Với a(a+3)  0 hay a  0 và a  -3 thì p/t cho là phương trình bậc hai.
Ta có:
2 2 2
( 3) 2 ( 1)( 2) 3 2 3 2 0
a a a a a a a a
           

Nên phương trình cho có 2 nghiệm:

1
2

1
( 1)( 2) 2
1
( 3) ( 3)
x
a a
x
a a a a
 
 
  
 

Vì a nguyên nên suy ra phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ.

Ghi chú : Nếu thí sinh tính
2 2
' ( 3 1) 0,
a a a
     

Vì a nguyên nên
2
' 3 1
a a
   
là số nguyên
Vậy phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ.

1,50 đ

0,50 đ

0,25 đ




0,25 đ


0,25 đ

0,25 đ

0,50 đ

0,25 đ

0,25 đ



b) Xác định a để các nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên:

(1) Nếu a = 0 hoặc a = -3: phương trình có 1 nghiệm nguyên x = -1.
(2) Nếu a  0, a  -3: Theo câu a), phương trình có nghiệm x
1
= -1 nguyên nên để
p/trình có các nghiệm đều nguyên thì x

2
cũng phải là nghiệm nguyên.
Nghĩa là: 2 phải chia hết cho
( 3)
a a

.
Khi đó ta có các khả năng xảy ra :
2
2
2
2
3 2 0
( 3) 2
( 3) 1 3 1 0
( 3) 2
3 2 0
( 3) 1
3 1 0
a a
a a
a a a a
a a
a a
a a
a a

  
  




     





 
  


 


  


Vì a nguyên nên chỉ có phương trình
2
3 2 0
a a
  
có hai nghiệm nguyên
a = -1 hoặc a = -2 .
Vậy:


3; 2; 1;0
a    thì phương trình cho có các nghiệm đều nguyên.

2,00 đ

0,50 đ


0,50 đ



0,25 đ



0,25 đ

0,50 đ

3 Giải các phương trình và hệ phương trình: 5,00 đ

a) Giải phương trình:


13 2 3x+2 3 42 0
x x
   

Điều kiện :

3
x
 
(*).
Đặt
3, 0
t x t
  
, suy ra
2
3
x t
 


3,00 đ

0,25 đ
0,25 đ

Phương trình trở thành: 6t
3
+13t
2
-14t +3 = 0
Giải ra ta được:
1 1
; ; 3
2 3
t t t

   
(loại).
Với
1
2
t

, ta có:
1 11
3
2 4
x x
    
;
Với
1
3
t

, ta có:
1 26
3
3 9
x x     .
Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện (*).
Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là:
11 26
;
4 9
S

 
  
 
 
.

0,50 đ

0,50 đ

0,50 đ

0,50 đ



0,50 đ
b) Giải hệ phương trình:
2
2
9 9
9 9
x y
y x

  



  



Với điều kiện
, 9
x y

, hệ đã cho là:
2 2
2 2
9 (9 ) (1)
9 (9 ) (2)
x y
y x

  


  



Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:
( )( 9) 0
9
x y
x y x y
y x


    


 

.
+ Với x = y, thế vào (1) ta được: 18x -72 = 0
4
x y
  
.
+ Với y = 9 – x, thế vào (2) thì phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)= (4;4).





2,00 đ


0,50 đ


0,50 đ

0,50 đ


0,50 đ

4

2,50 đ
a) Chứng minh :
2 2
2 1
x 2y 3 xy y 1

   
(x, y > 0)
Vì x, y > 0 nên
2 2
x 2y 3 0; xy y 1 0
     

Do đó :
2 2
2 1
x 2y 3 xy y 1

   

2 2
2xy 2y 2 x 2y 3
     


2 2
(x y) (y 1) 0
    

Bất đẳng thức sau cùng đúng nên bất đẳng thức đầu đúng .
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1.







1,00 đ



0,25 đ


0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ


b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
M
a b b c c a
  
     
(a,b,c >0; abc = 1)

Áp dung bất đẳng thức ở câu a) ta có:

1,50 đ






2 2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 1
2 3 2 3
ab b
a b a b
 
 
   


2 2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 1
2 3 2 3
bc c
b c b c
 
 
   

2 2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 1
2 3 2 3
ca a
c a c a
 
 
   


1 1 1 1
2 1 1 1
M
ab b bc c ca a
 
   
 
     
 

Do abc = 1 nên:

1 1 1
1 1 1
ab b bc c ca a
 
     

=
2
1
1
ca a
abc ac a ca a
ca b abc ca
 
   
 

=
1
1 1 1
ca a
ca a ca a ca a
 
     
=1.
Do đó
1
2
M

. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1. Vậy
1
ax(M) =
2
M .

0,25 đ




0,25 đ




0,25 đ



0,25 đ

0,50 đ
5

2,50 đ
Gọi M là trung điểm của BC (1).
Nối GD, GE. Gọi P, Q là các điểm
trên tia GM sao cho:
BP //GE, CQ //GD (2) .
Theo định lý Ta-lét và tính chất
đường phân giác:

;
GP EB CB

GA EA CA
 

GQ DC BC
GA DA BA
 
Suy ra:
GP GQ CB BC
GA GA CA BA
  

( )
1
.
GP GQ BC AB AC
GA AB AC
 
  
(vì
( ) .
BC AB AC AB AC
 
).
 GP+GQ = GA = 2GM .
Do đó M là trung điểm của PQ (3).
Kết hợp (1) và (3) suy ra tứ giác BPCQ là hình bình hành  BP//CQ (4).
Từ (2) và (4) suy ra G, D, E thẳng hàng.

0,50 đ





0,50 đ

0,25 đ


0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
6

3,50 đ
B
A
a) Phần thuận:
ABC cân 




ABC ACB ADB
 




ADE ADC

(vì cùng bù với

ABC
).
Xét ADC và ADE có:
AD: chung ; DC = DE (giả thiết)



ADC ADE

(cmt)
Suy ra ADC = ADE (c.g.c)
Do đó AC=AE=AB ABE cân tại A.
Vì M là trung điểm BE nên

0
90
AMB 
.

Hơn nữa do AB cố định nên M lưu động trên đường tròn đường kính AB.

b) Giới hạn: Khi D  A thì M  A; D  C thì M  H (AH là đ/cao của ABC).

c) Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ trên

AH
. Gọi D là giao điểm thứ 2 của BM và đường tròn
(O). Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC.
Ta sẽ chứng minh M là trung điểm của BE.
Xét ADC và ADE có:
AD: chung ; DC = DE (giả thiết)



ADC ADE

(cùng bù với

ABC
)
Suy ra ADC = ADE (c.g.c)  AC=AE=AB (1)
Lại có AM  BE (M nằm trên đường tròn đường kính AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của BE.

d) Kết luận: Khi D di động trên cung nhỏ

AC
thì quĩ tích của M là cung nhỏ


AH
của đường tròn đường kính AB.







0,50 đ



0,50 đ

0,25 đ

0,25 đ


0,50 đ




0,50 đ

0,25 đ

0,25 đ


0,50 đ