Luận văn một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Mở đầu đại số tổ hợp và lý thuyết đồ thị . . . . . . . . .

3

1.1. Đại số tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Công thức đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Mở đầu lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Bài toán đếm trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. Cây và các bài toán đếm cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Cơng thức tính số cây khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3. Đánh giá số cạnh của một đồ thị phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4. Số tam giác trong đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

i


Mở đầu
Cùng với sự phát triển với tốc độ nhanh của công nghệ thông tin, lý
thuyết tổ hợp và đồ thị đã trờ thành các lĩnh vực toán học quan trọng và
cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng. Lý thuyết tổ hợp là chiếc
cầu nối giữa các bài tốn cần được giải quyết với cơng cụ tính tốn, cịn đồ
thị là mơ hình trực quan để mô tả các quan hệ hai ngôi.
Trong những thập kỷ gần đâỵ, người ta đã quan tâm nhiều tới đồ thị
và các ứng dụng của nó. Đó là do đồ thị đã chứng tỏ được là một mơ hình
hữu hiệu cho tính tốn và tối ưu. Ngày nay khái niệm đồ thị đã xâm nhập

không chỉ vào các lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống như toán học,
vật lý học hay hố học, mà cịn vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã
hội khác.
Có nhiều bài tốn tốn về lý thuyết đồ thị cần được tìm hiểu như bài
tốn tối ưu trên đồ thị, bài tốn tơ màu đồ thị, cấu trúc đồ thị, ... Các bài
toán về đồ thị cũng thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp.
Luận văn tìm hiểu về một số bài toán đếm trên lý thuyết đồ thị như bài tốn
đếm cây; tính số cây khung; tìm mối liên hệ giữa một số yếu tố trong đồ thị
như cạnh, đỉnh; đếm số tam giác trên đồ thị.
Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến
thức chuẩn bị về đại số tổ hợp, công thức đa thức và mở đầu về lý thuyết đồ
thị. Tuy là kiến thức chuẩn bị cho Chương 2 nhưng đối với tác giả nhiều kiến
thức của chương là kiến thức mới và có nhiều ứng dụng trong giải tốn phổ
thông. Chương này chủ yếu tham khảo theo các tài liệu [1, 2, 4]. Chương 2
trình bày về một số bài toán đếm cơ bản trong lý thuyết đồ thị. Bắt đầu là
bài toán đếm về cây. Việc đếm số đỉnh, số cảnh của cây cũng cho ta một số
đặc trưng của cây (Định lý móc xích kiểu hoa cúc). Tiếp theo luận văn tìm
hiểu về số cây trên tập đỉnh cho trước, số cây có n đỉnh cho trước, với n là
1


một số nguyên dương. Luận văn cũng tìm hiểu cách tính số cây khung bằng
ma trận Laplacian. Việc đánh giá số đỉnh, số cạnh của đồ thị phẳng cũng
được xem là bài tốn đếm. Cuối cùng luận văn trình bày một số đánh giá
về việc đếm số tam giác trong đồ thị, bài toán này cũng thường xuất hiện
trong các đề thi học sinh giỏi. Chương 2 tham khảo chính theo các tài liệu
[4, 6, 7, 8, 9]].
Trong quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ
tận tình của TS. Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Tôi xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cơ giảng dạy lớp Cao
học khóa Cao học Tốn khóa 11E (2017-2019) - trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học.
Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ và gia đình vì đã
chia sẻ những khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập của mình.
Thái Ngun, ngày 30 tháng 01 năm 2019
Tác giả

Ninh Thị Nụ

2


Chương 1

Mở đầu đại số tổ hợp và lý thuyết đồ
thị
1.1. Đại số tổ hợp
Mục này nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị về Đại số tổ hợp như các
quy tắc đếm cơ bản, các công thức tổ hợp. Tài liệu tham khảo chính của mục

1.1 và 1.2 là
1. Trần Nguyên An và Nguyễn Văn Hoàng (2016), Tập hợp và logic Tốn,
NXB Đại học Thái Ngun.
2. Ngơ Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội.
Người ta thường phân biệt nhiều mức độ trong việc giải các bài toán
tổ hợp. Mức độ đầu tiên là tìm ít nhất một cách bố trí những đối tượng có
tính chất đã cho. Nếu bài tốn tổ hợp có nhiều lời giải thì vẫn đề đặt ra là

đếm số lời giải, và mô tả tất cả các lời giải của các bài toán đã cho. Cuối
cùng, nếu các lời giải khác nhau được phân biệt với nhau bởi những tham số
nào đó, thì vấn đề đặt ra là tìm lời giải tối ưu của bài tốn đã cho. Ở đây
chúng ta sẽ chỉ giới hạn vào việc đếm số lời giải của bài toán tổ hợp.
Để làm việc này, người ta thường áp dụng những công thức thiết lập
cho từng loại bài toán. Tất cả các công thức ấy, xét cho cùng, đều dựa trên
hai quy tắc đơn giản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng). Nếu một công việc nào đó có thể thực
hiện theo n phương án khác nhau, trong đó: phương án 1 có m1 cách thực
hiện, phương án 2 có m2 cách thực hiện, ..., phương án thứ n có mn cách
thực hiện. Khi đó, có: m1 + m2 + ... + mn cách để hoàn thành công việc đã
3


cho.
Ta phát biểu quy tắc cộng theo ngôn ngữ tập hợp: Gọi A1 là tập hợp
các đối tượng x1 , A2 là tập hợp các đối tượng x2 , ..., An là tập hợp các đối
tượng xn . Mỗi cách chọn đối tượng xi ứng với một phần tử của Ai và đảo
lại. Điều kiện "cách chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ đối tượng xj ,

(j 6= i)" được diễn tả theo ngôn ngữ tập hợp bằng điều kiện: Ai ∩ Aj = ∅,
(i 6= j); i, j = 1, 2, ..., n. Cách chọn "x1 hoặc x2 ... hoặc xn" được phiên
dịch thành cách chọn một phần tử của tập hợp A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . Các số

m1 , m2, ..., mn theo thứ tự là số phần tử của tập hợp A1, A2, ..., An, tức là,
theo cách ký hiệu quen thuộc m1 = |A1 |, m2 = |A2 |, ..., mn = |An |.
Mệnh đề 1.1.2. Nếu A1 , ..., Am là các tập hợp hữu hạn đôi một rời nhau,
khi đó:

|A1 ∪ ... ∪ Am | = |A1 | + ... + |Am−1| + |Am |.

Quy tắc cộng có thể mở rộng cho công thức |A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An |, trong
đó A1 ,..., An là các tập hợp hữu hạn tùy ý (không nhất thiết đôi một rời
nhau). Công thức này được gọi là Nguyên lý bao hàm và loại trừ.
Định lý 1.1.3 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ). Giả sử A1 , A2, ...An. Là các
tập hữu hạn bất kỳ. Khi đó:
X
|Ai1 | −
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =
1≤i1≤n

+ (−1)

k+1

+ (−1)

n+1

X

|Ai1 ∩ Ai2 | + ...

1≤i ≤i2 ≤n

X1

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik | + ...

1≤i1 ≤i2 ≤...ik ≤n

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Ain |.

Định nghĩa 1.1.4 (Quy tắc nhân). Nếu một cơng việc nào đó phải hồn
thành qua m giai đoạn liên tiếp, trong đó: giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện,
giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, ..., giai đoạn n có mn cách thực hiện. Khi
đó, có: m1 .m2 ...mn cách để hồn thành cơng việc đã cho.
Mệnh đề 1.1.5. Cho s tập hợp hữu hạn A1 , A2 , ..., An (n ≥ 2). Khi đó

|A1 × A2 × ... × An | = |A1 |.|A2|...|An|.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một tập hợp có n phần tử và k > 0 là một số
tự nhiên. Một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử là một bộ sắp thứ tự
4


k

gồm k phần tử của X . Ta kí hiệu An là số chỉnh hợp có lặp chập k của n
phần tử.
Ví dụ 1.1.7. Cho X = {a, b, c}. Khi đó (a, a, b, c) là một chỉnh hợp có lặp
chập 4 của 3 phần tử. Những bộ (b, a, a), (a, b, c) là những chỉnh hợp có lặp
chập 3 của 3 phần tử. Tất cả các chỉnh hợp có lặp chập 2 của 3 phần tử là

(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c).
2

Do đó A3 = 9.
Mệnh đề 1.1.8. Chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử được cho bởi công
thức
k

An = nk .
Định nghĩa 1.1.9. Cho X là một tập hợp có n phần tử và 0 < k ≤ n là
một số tự nhiên. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là một bộ
sắp thứ tự gồm k phần tử phân biệt của X. Ta kí hiệu Akn là số chỉnh hợp
không lặp chập k của n phần tử.
Ví dụ 1.1.10. Cho X = {a, b, c}. Khi đó (a, b, c) là một chỉnh hợp khơng lặp
chập 3 của 3 phần tử; (b, a, a) không là chỉnh hợp không lặp chập 3 của 3 phần
tử. Các chỉnh hợp không lặp chập 2 của 3 phần tử là (a, b), (a, c), (b, a), (b, c),

(c, a), (c, b). Do đó A23 = 6.
Mệnh đề 1.1.11. Số các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử được
cho bởi cơng thức

Akn =

n!
,
(n − k)!

trong đó ta quy ước 0! = 1.
Cho thuận tiện, ta quy ước rằng có đúng một chỉnh hợp khơng lặp
chập 0 của n phần tử.
Định nghĩa 1.1.12. Cho X là một tập hợp có n phần tử. Một hốn vị của

n phần tử là một bộ sắp thứ tự gồm n phần tử phân biệt của X. Ta kí hiệu
Pn là số hốn vị của n phần tử.
Ví dụ 1.1.13. Cho X = {a, b, c}. Khi đó các hốn vị của 3 phần tử là

(a, b, c), (b, c, a), (c, a, b), (a, c, b), (c, b, a)(b, a, c).
5

Do đó P3 = 6.
Mệnh đề 1.1.14. Số các hốn vị của n phần tử được cho bởi công thức

Pn = n!.
Định nghĩa 1.1.15. Cho n, k là các số tự nhiên sao cho 0 ≤ k ≤ n. Cho X
là một tập gồm n phần tử. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con
của X gồm k phần tử. Ta kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ 1.1.16. Cho k = 2 và n = 4. Cho X = {a, b, c, d}. Khi đó các tổ hợp
chập 2 của 4 phần tử trong tập X là

{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}.
Do đó C42 = 6.
Mệnh đề 1.1.17. Cơng thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử được
cho bởi cơng thức

Cnk =

n!
,
k!(n − k)!

trong đó ta quy ước 0! = 1.
Mệnh đề 1.1.18. Cho k, n là các số tự nhiên sao cho 0 ≤ k ≤ n. Khi đó ta
có
(i) Cnk = Cnn−k .
k−1
k
(ii) Cnk = Cn−1

+ Cn−1
.

(iii) Với n và k là các số nguyên dương ta có
k−1
k−1
k−1
k−1
Cnk = Cn−1
+ Cn−2
+ . . . + Ck+1
+ Ckk−1 + Ck−1
.

Mệnh đề 1.1.19. Cho số tự nhiên n > 1 và cho a, b là hai số thực. Khi đó
ta có

(a + b)n = Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an−2 b2 + . . . + Cnn−1abn−1 + Cnnbn .
Hệ quả 1.1.20. Với mỗi số tự nhiên n ta có
(i) Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn = 2n. Do đó, có 2n các tập con của một tập gồm n
phần tử.
(ii) Cn0 − Cn1 + Cn2 + . . . + (−1)k Cnk + . . . + (−1)nCnn = 0.
6


(iii) Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + . . . + (−1)k−1kCnk + . . . + (−1)n−1nCnn = 0 với
mọi n ≥ 2.
(iv) Cn1 + 2Cn2 + . . . + kCnk + . . . + nCnn = n2n−1 với mọi n ≥ 1.
Kết quả sau đây cho ta cách đếm số phân hoạch một tập hợp có m
phần tử cho trước thỏa mãn một số yêu cầu.

Định lý 1.1.21. Cho các số tự nhiên k1 , k2 , . . . , ks sao cho k1 + k2 + . . . +

ks = m. Khi đó số phân hoạch một tập hợp A gồm m phần tử khác nhau
thành hợp rời rạc của s tập con B1 , B2 , . . . , Bs, với số phần tử theo thứ tự là

k1, k2, . . . , ks, bằng

m!
.
k1 !.k2! . . . ks !

Chứng minh. Ta có thể thực hiện các phân hoạch đã mô tả trên đây của tập

A thành s tập con B1 , B2, . . . , Bs như sau: Ta lấy một tập con B1 bất kỳ
k1
cách),
chứa k1 phần tử của tập hợp A (điều này có thể thực hiện theo Cm

trong m − k1 phần tử còn lại, ta lấy một tập con B2 chứa k2 phần tử (điều
k2
cách). . . . Khi đó, theo quy tắc nhân, số tất
này có thể thực hiện theo Cm−k
1

cả các cách chọn các tập con B1 , B2 , . . . , Bs là
ks
k3
k2
k1
. . . × Cm−k

× Cm−k
×Cm−k
Cm
1 −k2 −...−ks−1
1 −k2
1
m!
(m − k1 )!
(m − k1 − k2 )!
=
×
×
k1!(m − k1)! k2 !(m − k1 − k2 )! k3!(m − k1 − k2 − k3 )!
(m − k1 − k2 − . . . − ks )!
×...×
ks !(m − k1 − k2 − . . . − ks )!
m!
.
=
k1!.k2! . . . ks !

Định nghĩa 1.1.22. Cho s phần tử khác nhau a1 , a2 , . . . , as . Một chỉnh hợp
có lặp chập m của s phần tử đã cho, trong đó có k1 phần tử thứ nhất a1 , có

k2 phần tử thứ hai a2 , . . ., và có ks phần tử as (với m = k1 + k2 + . . . + ks ),
được gọi là một hoán vị có lặp cấp m = k1 + k2 + . . . + ks kiểu (k1 , k2 , . . . , ks )
của s phần tử. Số các hốn vị có lặp cấp m kiểu (k1 , k2 , . . . , ks) của s phần
tử được kí hiệu là

Cm (k1, k2, . . . , ks).

7


Định lý sau đây cho ta cơng thức tính số các hốn vị có lặp.
Định lý 1.1.23. Số hốn vị có lặp cấp m = k1 + . . . + ks kiểu (k1 , k2 , . . . , ks )
của s phần tử, được xác định bằng công thức

Cm(k1, k2, . . . , ks ) =

m!
.
k1 !.k2! . . . ks !

Chứng minh định lý 1.1.23 cách 1. Gọi s phần tử phân biệt đã cho là a1 , a2 , . . . , as .
Ta đặt O = {O1 , O2 , . . . , Om } là tập gồm m ô chứa đánh số từ 1 đến m. Lấy

T là một hoán vị có lặp chập m kiểu (k1, k2, . . . , ks ) của s phần tử đã cho.
Nếu ta đưa T vào dãy các ô chứa từ O1 đến Om (theo đúng thứ tự từ trái
sang phải), khi đó mỗi Oi sẽ chứa một phần tử aj nào đó trong số s phần tử
đã cho. Ta kí hiệu

B1 = {Oi ∈ O | Oi chứa phần tử a1 },
B2 = {Oi ∈ O | Oi chứa phần tử a2 },
...,
Bs = {Oi ∈ O | Oi chứa phần tử as }.
Khi đó B1 có k1 phần tử, B2 có k2 phần tử a2 ,. . . , Bs chứa ks phần tử; đồng
thời

O = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bs .
Như vậy ta thấy rằng mỗi hốn vị T hồn tồn được xác định khi

biết các tập B1 , B2 , . . . , Bs. Nói cách khác số các hốn vị có lặp cấp m kiểu

(k1, k2, . . . , ks ) của s phần tử đã cho bằng số các phân hoạch tập O thành s
tập con rời nhau B1 , B2 , . . . , Bs sao cho |B1 | = k1 , |B2 | = k2 , . . . , |Bs | = ks .
Từ đó theo định lý 1.1.21 ta được

Cm(k1, k2, . . . , ks ) =

m!
.
k1 !.k2! . . . ks !

Dưới đây là một cách chứng minh khác của định lý 1.1.23.
Chứng minh định lý 1.1.23 cách 2. Giả sử có tập hợp X gồm s phần tử là

X = {a1 , a2, . . . , as }.
8


Ta lấy tùy ý một hốn vị T có lặp cấp m, kiểu (k1 , . . . , ks) của s phần tử đã
cho (chẳng hạn để tiện cho minh họa ta lấy

T = (a1, . . . , a1 , a2, . . . , a2 , . . . , as , . . . , as )
| {z }
| {z } | {z }
k1

k2

ks

là một hoán vị có các phần tử giống nhau sẽ đứng cạnh nhau; cịn nói chung
các hốn vị có lặp T1 khác thì các phần tử giống nhau có thể khơng đứng
cạnh nhau). Tiếp theo, nếu ta thay thế tất cả các phần tử giống nhau trong

T bởi những phần tử khác nhau sao cho ta được tất cả các phần tử đều khác
nhau, thì ta được một hốn vị T ′ gồm m phần tử khác nhau
(chẳng hạn với T như minh họa ở trên ta được

T ′ = (u11, . . . , u1k1 , u21, . . . , u2k2 , . . . , us1, . . . , usks )
|
|
{z
} |
{z
}
{z
}
k1

k2

ks

thực sự là một hốn vị thơng thường của m phần tử khác nhau {u11 , . . . , u1k1 ,

u21, . . . , u2k2 , . . . , us1, . . . , usks }; cịn đối với hốn vị T1 như trên thì nó sinh
ra hốn vị T1′ sẽ là một hốn vị nào đó của T ′ như trên).
Khi đó các số hoán vị khác nhau sinh ra từ T ′ là k1 !k2 ! . . . ks! (ta thấy
điều này bằng cách sử dụng quy tắc nhân). Ta sẽ làm như vậy cho bất kì

hốn vị T có lặp cấp m, kiểu (k1 , . . . , ks), từ đó ta sẽ tìm được tất cả m!
hốn vị của m phần tử khác nhau

{u11, . . . , u1k1 , u21, . . . , u2k2 , . . . , us1, . . . , usks }.
Do đó ta có đẳng thức

Cm (k1, k2, . . . , ks).k1!k2! . . . ks ! = m!.
Từ đó suy ra

Cm(k1, k2, . . . , ks ) =

m!
.
k1 !.k2! . . . ks !

(1.1)

Nhận xét 1.1.24. (i) Số Cm(k1 , k2 , . . . , ks ) ở Định lý 1.1.23 được gọi là các
hệ số đa thức (vì ta sẽ thấy ở đó là các hệ số trong sự khai triển của đa thức

(a1 + a2 + . . . + as )m khi coi các ẩn là a1 , a2 , . . . , as ).

9


(ii) Theo cơng thức (1.1), số hốn vị có lặp cấp m, kiểu (k, m − k), của 2
phần tử đã cho bằng

m!
.

k!(m − k)!
k
Số này chính là Cm
. Vậy số hốn vị có lặp của hai phần tử cấp m, kiểu

(k, m − k) bằng số tổ hợp chập k của m phần tử
k
Cm (k, m − k) = Cm
.

Ta có thể chứng minh đẳng thức này mà khơng dựa vào cơng thức (1.1). Thật
vậy, một hốn vị có lặp của hai phần tử a và b cấp m, kiểu (k, m − k) được
tạo thành bởi k phần tử a và m − k phần tử b. Nó được hồn tồn xác định
bởi cách chọn vị trí của phần tử a. Vì tổng số vị trí bằng k + (m − k) = m,
k
và phần tử a chiếm k vị trí, nên có thể chọn các vị trí đó theo Cm
cách.

Định nghĩa 1.1.25. Cho X là tập có m phần tử khác nhau, và n là số tự
nhiên (khơng nhất thiết u cầu n ≤ m). Khi đó một tổ hợp có lặp chập n
của m phần tử đã cho là một bộ gồm n phần tử (không nhất thiết phân biệt,
không phân biệt thứ tự) lấy từ tập X .
Ví dụ 1.1.26. i) Cho hai phần tử khác nhau a và b. Các tổ hợp có lặp chập
3 của hai phần tử đã cho là

aaa, aab, abb, bbb.
ii) Các tổ hợp có lặp chập 2 của 3 phần tử khác nhau a, b, c là

aa, ab, ac, bb, bc, cc.
n , nó

Định lý 1.1.27. Số tổ hợp có lặp chập n của m phần tử, kí hiệu là Cm

được xác định bằng công thức
m−1
n = Cn
Cm
n+m−1 = Cn+m−1.

Chứng minh. Giả sử m phần tử đã cho được kí hiệu là a1 , . . . , am . Lấy T là
một tổ hợp có lặp chập n của m phần tử đã cho. Ta thấy rằng T sẽ được
hồn tồn xác định khi biết có k1 phần tử a1 trong T , có k2 phần tử a2 trong

T , . . . , có km phần tử am trong T (trong đó k1 + k2 + . . . + km = n, và
0 ≤ k1 , . . . , km ≤ n). Một tổ hợp T như vậy ta sẽ gọi tắt là một tổ hợp có
lặp chập n kiểu (k1 , . . . , km) của m phần tử.
10


Ta sẽ thiết lập một tương ứng giữa các tổ hợp có lặp chập n của m
phần tử với tập các dãy gồm các chữ số 1 và 0 như sau: Xét một tổ hợp T có
lặp chập n kiểu (k1 , . . . , km ) của m phần tử. Ta cho ứng T với dãy sau đây:
k lần

k lần

k lần

z 1}| { z 2}| {
z m}| {
11 . . . 1 0 11 . . . 1 0 . . . 0 11 . . . 1

Nếu một phần tử ai nào đó khơng có mặt trong tổ hợp, tức là ki = 0, thì ta
khơng viết nhóm chữ số 1 tương ứng
(thí dụ: nếu ta xét các tổ hợp có lặp chập 2 của 3 chữ số a, b, c là:

aa, ab, ac, bb, bc, cc
với các kiểu theo thứ tự là

(2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2),
thì ta được các dãy tương ứng của chúng là
(2,0,0) (1,1,0) (1,0,1) (0,2,0) (0,1,1) (0,0,2)
l
l
l
l
l
l
1100
1010
1001
0110
0101
0011
rõ ràng ở thí dụ này trong tất cả các dãy trên thì số các số 1 có mặt trong
dãy là 2, và số các số 0 có mặt là 1).
Như vậy, tổng quát, ta thấy rằng số chữ số 1 tham gia vào dãy ứng với
tổ hợp T kiểu (k1 , k2 , . . . , km) bằng n = k1 + k2 + . . . + km , còn số chữ số

0 tham gia vào dãy đó thì bằng m − 1 (chữ số 0 đóng vai trị phân tách m
nhóm ra nên sẽ cần m − 1 số 0).

Ta nhận thấy rằng mỗi dãy nói trên đúng là một chỉnh hợp có lặp chập

n + m − 1 của hai số 1 và 0, trong đó có n số 1 và m − 1 số 0 (nói cách khác
đó là một hốn vị có lặp cấp n + m − 1 kiểu (n, m − 1) của hai chữ số 1 và
0).
Đảo lại, ứng với mỗi chỉnh hợp có lặp chập n + m − 1 hai chữ số 0 và
1, trong đó có n chữ số 1 và m − 1 chữ số 0 (hay mỗi hoán vị có lặp cấp

n + m − 1, kiểu (n, m − 1), của hai chữ số 1 và 0), ta có một tổ hợp có lặp
chập n kiểu (k1 , . . . , km) của m phần tử, mà ta có thể viết ra một cách dễ
dàng
11


(thí dụ: Ứng với chỉnh hợp có lặp chập 12 của hai chữ 0 và 1 (gồm 9
số 1 và 3 số 0) là 011100111111; ta có thể thiết lập lại tổ hợp có lặp chập 9
kiểu (0,3,0,6) của 4 phần tử a, b, c, d là bbbdddddd).
Như vậy số tổ hợp có lặp chập n của m phần tử bằng số chỉnh hợp có
lặp chập n + m − 1 của hai chữ số 0 và 1 (trong đó có n chữ số 1 và m − 1
chữ số 0), tức là bằng số các hốn vị có lặp cấp n + m − 1, kiểu (n, m − 1),
của hai chữ số 1 và 0). Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập n của m phần tử là
n , khi đó theo Định lý 1.1.23 ta có
Cm
n
n =C
Cm
n+m−1(n, m − 1) = Cn+m−1 .

1.2. Công thức đa thức
"Công thức nhị thức Newton" là sự khai triển của biểu thức (a + b)n

trong đó a, b ∈ R và n ∈ N∗ . "Công thức đa thức" là sự khai triển của biểu
thức (a1 + a2 + . . . + am )n trong đó a1 , a2 , . . . , am ∈ R và n ∈ N∗ .
Để chứng minh công thức đa thức, trước hết ta chứng minh lại công
thức nhị thức Newton, theo một cách khác so với cách đã trình bày ở trên.
Cách này dễ dàng mở rộng ra cho trường hợp tổng quát. Theo định nghĩa,
ta có

(a + b)n = (a + b)(a + b) . . . (a + b) .
|
{z
}
n lần

Ta khai triển vế phải dựa vào tính chất phân phối của phép nhân với phép
cộng, và viết các số hạng của sự khai triển đó theo đúng thứ tự xuất hiện
của chúng.
Ví dụ 1.2.1. Ta xét các khai triển (a+b)2 = (a+b)(a+b) = aa+ba+ab+bb.

(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.
Rõ ràng các số hạng ở vế phải là tích các phần tử của tất cả các chỉnh
hợp có lặp chập n của hai chữ a và b. Các số hạng đồng dạng là tất cả các
hốn vị có lặp của a và b có cấp n và kiểu (n1 , n2 ), với n1 + n2 = n. Số tất cả
các hốn vị có lặp đó là Cn (n1 , n2 ). Sau khi rút gọn các số hạng đồng dạng

12


có kiểu (n1 , n2 ), ta tìm được số hạng tương ứng của sự khai triển là

Cn (n1, n2)an1 bn2 .

Làm như vậy đối với tất cả các kiểu (n1 , n2 ) khác nhau, cuối cùng ta tìm
được sự khai triển của nhị thức Newton dưới dạng
X
(a + b)n =
Cn (n1, n2)an1 bn2

(1.2)

trong đó phép cộng trải trên tất cả các kiểu (n1 , n2 ) với n1 + n2 = n và

n1, n2 ∈ N.
Để chuyển từ đẳng thức 1.2 sang công thức quen thuộc, chỉ cần chú ý
n!
rằng Cn (n1 , n2 ) =
= Cnn1 = Cnn2 . Đặt n2 = k , ta có Cnn2 = Cnk . Vậy
n1!n2!
n

(a + b) =

n
X

Cnk an−k bk .

k=0

Định lý 1.2.2. Sự khai triển của (a1 + a2 + . . . + am )n được cho bởi công
thức sau đây, gọi là công thức đa thức
X

(a1 + . . . + am )n =
n1 ,...,nm ∈N,

=

Pm

ni =n

Pm

ni =n

i=1

X

n1 ,...,nm ∈N,

Cn (n1, . . . , nm ) an1 1 . . . anmm

i=1

n!
an1 1 . . . anmm .
n1 ! . . . nm !

(1.3)

Chứng minh. Xuất phát từ định nghĩa

(a1 + . . . + am )n = (a1 + . . . + am )(a1 + . . . + am ) . . . (a1 + . . . + am )
(n lần), ta mở các dấu ngoặc và viết các số hạng theo thứ tự xuất hiện của
chúng, ta sẽ được mn số hạng có dạng d1 d2 . . . dn , mỗi số hạng là một chỉnh
hợp có lặp chập n của m chữ a1 , a2 , . . . , am . Các số hạng đồng dạng là tất cả
các hốn vị có cùng một kiểu (n1 , n2 , . . . , nm). Có Cn (n1 , n2 , . . . , nm) hoán
vị như thế. Rút gọn các số hạng đồng dạng đó, ta tìm được số hạng tương
ứng của sự khai triển là

Cn (n1, n2, . . . , nm) an1 1 an2 2 . . . anmm =

n!
an1 1 an2 2 . . . anmm .
n1 !n2! . . . nm!

Làm như vậy đối với tất cả các kiểu (n1 , n2 , . . . , nm) sao cho n1 + n2 + . . . +

nm = n, cuối cùng ta tìm được sự khai triển của (a1 + a2 + . . . + am )n dưới
13


dạng:
X

(a1 + a2 + . . . + am )n =

n1 ≥0,...,nm ≥0

Pm

i=1

ni =n

n!
an1 1 an2 2 . . . anmm .
n1 !n2! . . . nm !

1.3. Mở đầu lý thuyết đồ thị
Mục này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đồ thị: đồ thị vô
hướng, đồ thị có hướng, một số dạng đồ thị đặc biệt, bậc của đỉnh, Bổ đề
bắt tay, ...
Tài liệu tham khảo chính của mục này là
Ngơ Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
Định nghĩa 1.3.1 (Đồ thị có hướng). Một đồ thị có hướng G là một cặp có
thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là một tập con của tích Đề
các V × V , tức là E là một quan hệ hai ngôi trên V.
Các phần tử của V được gọi là đỉnh, còn các phần tử của E được gọi là
các cung của đồ thị có hướng G. Cụ thể hơn, nếu (a, b) ∈ E thì (a,b) được
gọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi từ a tới b.
Để được trực quan người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G trên
mặt phẳng như sau. Các đỉnh của G được biểu diễn bằng các chấm trịn, cịn
các cung thì dược biểu diễn bằng các đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối
và có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối.
a

f

e

b

d

c

Hình 1.1: Ví dụ một đồ thị có hướng

Ví dụ 1.3.2. Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f } và

E = {(a, a), (a, b), (b, d), (d, b)(c, e), (e, a)}. Khi đó G là đồ thị có hướng
được biểu diễn bằng Hình 1.1.
14


Định nghĩa 1.3.3. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Nếu (a, b) ∈ E
thì các đỉnh a và b được gọi là liên thuộc với cung (a, b). Khi đó a và b cũng
được gọi là kề nhau. Hai cung bất kỳ của G được gọi là kề nhau nếu chúng
có đỉnh chung. Cung dạng (a,a) với a ∈ V được gọi là khuyên. Đỉnh không
liên thuộc với một cung nào được gọi là đỉnh cô lập. Số các đỉnh của G, tức
là |V |, được gọi là cấp của G, còn số các cung của G, tức là |E|, được gọi là
cỡ của G.
Trước khi định nghĩa khái niệm đồ thị vô hướng ta nhắc lại khái niệm
đa tập. Một đa tập hợp, gọi tắt là đa tập là tập các vật, trong đó có thể có
những vật khơng phân biệt được với nhau (và có thể coi như sự lặp lại của
cùng một vật). Ví dụ A = {a, b, b, c, c} là một đa tập lực lượng 6.
Định nghĩa 1.3.4 (Đồ thị vô hướng). Một đồ thị vô hướng G là một cặp có
thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là tập với các phần tử là các
đa tập lực lượng 2 trên V.

Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E
được gọi là các cạnh của đồ thị có hướng G. Nếu e = {a, b} là một cạnh của
G thì a và b được gọi là các đinh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc
với e. Ta cũng thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn là ab.
Người ta cũng thường biểu diễn đồ thị vô hướng trên mặt phẳng tương
tự như ta biểu diễn đồ thị có hướng: các đỉnh của đồ thị được biểu diễn bằng
các chấm tròn, cịn các cạnh thì được biểu diễn bằng một đường cong nối các
đỉnh của cạnh. Điểm khác biệt ở đây là khơng có mũi tên chỉ hướng trên các
đường cong đó.
Ví dụ 1.3.5. Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} và

E = {(a, a), (a, b), (b, d), (b, c)(c, d)}.

Khi đó G là đồ thị vơ hướng được biểu diễn bằng Hình 1.2.
Đồ thị G′ = (V ′ , E ′) được gọi là đồ thị con của đồ thị G = (V, E) nếu

V ′ ⊆ V và E ′ ⊆ E . Đồ thị con G′ = (V ′ , E ′) của đồ thị G = (V, E) được gọi
là đồ thị con bao trùm của G nếu V ′ = V . Nếu E’ chứa tất cả các cung hay
15


a

b

d

c
Hình 1.2: Ví dụ một đồ thị vơ hướng

cạnh của G, mà cả hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V’, thì G′ = (V ′ , E ′)
được gọi là đồ thị con của G = (V, E) cảm sinh bởi tập đỉnh V’ hay cũng
được gọi là đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E) trên tập đỉnh V’. Khi đó G’
cũng được ký hiệu là G′ = G[V ′ ].
Ta thường phải xây dựng các đồ thị mới từ các đồ thị đã cho bằng cách
xóa hay thêm một số đỉnh hoặc cạnh. Nếu W ⊆ V , thì G − W = G [V /W ],
tức là đồ thị con của G nhận được từ G bằng cách xóa đi cách đỉnh thuộc W và
mọi cung (hay cạnh) liên thuộc với các đỉnh trong W. Tương tự, nếu E ′ ⊆ E
thì G − E ′ = (V, E/E ′). Nếu W = {w} và E ′ = {(x, y)} (hay E ′ = {xy}
) thì ký hiệu ở trên được đơn giản viết thành (G − w) và G − (x, y) (hay

(G − xy) ). Tương tự, nếu x và y khơng kề nhau trong G thì G + (x, y) (hay
G + xy ) là đồ thị nhận được từ G bằng cách nối x với y bằng cung (x, y)
(tương ứng, bằng cạnh xy ).Nếu G1 = (V1 , E1 ) và G2 = (V2 , E2 ) là hai đồ thị
đã cho, thì hợp của hai đồ thị này, ký hiệu là G1 ∪ G2 , là đồ thị với tập đỉnh
là V1 ∪ V2 và tập cung (hay cạnh) E1 ∪ E2 . Nếu cả hai đồ thị G1 và G2 là đồ
thị vơ hướng, thì kết nối của hai đồ thị G1 và G2 , ký hiệu là G1 + G2 , là đồ
thị nhận được từ G1 ∪ G2 bằng cách thêm vào tất cả các cạnh dạng xy với

x 6= y và x ∈ V1 , y ∈ V2 .
Hiển nhiên là nếu một đồ thị vơ hướng khơng có khun có cấp bằng n


thì cỡ m của nó thỏa mãn 0 ≤ m ≤ n2 . Đồ thị vô hướng cấp n và cỡ m = 0

được gọi là n-đồ thị rỗng hay n-đồ thị hồn tồn rời rạc và được kí hiệu là


On hay En . Cịn đồ thị vơ hướng khơng có khuyên cấp n và cỡ m = n2 được
gọi là n-đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu là Kn.
16

Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng khơng có khun với |V | = n.
Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu là G , là đồ thị vô hướng với tập
đỉnh cũng là V, còn tập cạnh là E(Kn)\E .
Lớp đồ thị đặc biệt sau đây gọi là đồ thị m-phần cũng thường được
chú ý. Một đồ thị vơ hướng khơng có khun G = (V, E) được gọi là đồ thị

m-phần nếu ta có thể phân hoạch V thành dạng V = V1 ∪ V2 ∪ ... ∪ Vm với
Vi 6= ∅, i = 1, 2, ..., m sao cho các đỉnh trong cùng Vi , i = 1, 2, ..., m, là
không kề nhau. Nếu G là đồ thị m-phần và tồn tại cạnh nối một đỉnh bất kỳ
của Vi với một đỉnh bất kỳ của Vj cho mọi i 6= j thì G được gọi là m-phần
đầy đủ. Đồ thị 2-phần đầy đủ, trong đó các phần V1 và V2 có |V1 | = m,

|V2 | = n được ký hiệu là Km,n .
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng và v ∈ V . Ký hiệu

N + (v) = {x ∈ V |(v, x) ∈ E},
N − (v) = {y ∈ V |(y, v) ∈ E}.
Khi đó |N + (v)| được gọi là bậc đi ra, còn |N − (v)| được gọi là bậc đi vào của
v.
Bây giờ giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng và v ∈ V . Ký hiệu

NG (v) = {x ∈ V |x 6= v, và {x, v} ∈ E}
Khi đó NG (v) được gọi là tập các láng giềng của v . Trong trường hợp đồ thị
G được hiểu ngầm, ta ký hiệu NG (v) đơn giản bằng N (v).
Định nghĩa 1.3.6. Ta định nghĩa bậc của đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu là

degG (v) hay ngắn gọn là deg(v) nếu như G được hiểu ngầm, như sau:
(
|N (v)|,

nếu {v, v} ∈
/E
deg(v) =
(1.4)
|N (v)| + 2, nếu {v, v} ∈ E .
Ta cũng kí hiệu

δ(G) = min deg(v),
v∈V

∆(G) = max deg(v),
v∈V

và gọi chúng tương ứng là bậc nhỏ nhất và bậc lớn nhất của các đỉnh của G.
Nếu δ(G) = ∆(G) = k , thì mọi đỉnh của G đều có bậc là k và G được gọi
17


là đồ thị chính qui bậc k hay ngắn gọn là k -chính qui. Một đồ thị vơ hướng
được gọi là chính qui nếu nó là k -chính qui với một k nào đấy. Đồ thị vơ
hướng k -chính qui cũng được gọi là đồ thị bậc k .
Có những đồ thị khác nhau nhưng khi đổi tên các đỉnh của các đồ
thị đó thì chúng lại có thể trùng nhau. Những đồ thị như thế được đọi là
đẳng cấu và trong lý thuyết đồ thị người ta thường đồng nhất chúng. Cụ thể
hơn, đồ thị có hướng (tương ứng, vô hướng) G = (V, E) và G′ = (V ′ , E ′)
được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh ϕ : V → V ′ sao cho

(a, b) ∈ E (tương ứng, {a, b} ∈ E ) khi và chi khi (ϕ(a), ϕ(b)) ∈ E (tương
ứng, {ϕ(a), ϕ(b)} ∈ E ). Song ánh ϕ như trên được gọi là đẳng cấu của G và
G’. Hai đồ thị đẳng cấu với nhau G và G’ được kí hiệu là G ∼

= G′ .
G′ = (V ′ , E ′ )

G = (V, E)

4

a

3

2

1

f

b

e

c

d
6
5
Hình 1.3: Ví dụ hai đồ thị vơ hướng đẳng cấu

Ví dụ 1.3.7. Giả sử G = (V, E) và G′ = (V ′ , E ′) là các đồ thị vô hướng
trong Hình 1.3. Khi đó G ∼

= G′ và ánh xạ ϕ : V → V ′ với

ϕ(1) = a, ϕ(5) = b, ϕ(2) = c,
ϕ(6) = d, ϕ(3) = e, ϕ(4) = f
là đẳng cấu của G và G’.
Định lý 1.3.8 (Bổ đề bắt tay). Trong đồ thị vô hướng G = (V, E) bất kỳ ta
ln có
X

deg(v) = 2 |E|.

v∈V

Chứng minh. Mỗi x ∈ N (v) ta tương ứng với e = {v, x} ∈ E . Dễ thấy rằng
tương ứng này là song ánh giữa N (v) và E(v) = {{v, x} ∈ E|v 6= x}.
18


Vì thế
X

|N (v)| =

v∈V

X

|Ev |.

v∈V

Vì mỗi cạnh {v, x} ∈ E với v 6= x có hai đỉnh liên thuộc với nó là v
và x, nên trong tổng ở vế phải mỗi {v, x} ∈ E với v 6= x đã được tính đúng
hai lần: một lần trong Ev và một lần trong Ex . Do đó,
X
|E(v)| = 2|E1|,
v∈V

ở đây E1 là tập tất cả các cạnh không phải là khuyên của G. Do đó
X
|N (v)| = 2|E1 |.
v∈V

Mặt khác, ta có E2 = E/E1 là tập tất cả khuyên của G. Ký hiệu

V1 = {v ∈ V |{v, v} ∈
/ E}, V2 = {v ∈ V |{v, v} ∈ E}. Khi đó, vì với mỗi
đỉnh v ∈ V2 , ta có đúng một khuyên {v, v} ∈ E , nên |V2 | = |E2 |. Vì vậy,
P
P
P
deg(v) =
deg(v) +
deg(v)
v∈V1P
v∈V P
v∈V2
=
|N (v)| +
|N (v)| + 2 |V2 |

v∈V
v∈V
2
P1
|N (v)| + 2 |V2 | = 2 |E1| + 2 |E2 | = 2 |E| .
=
v∈V

Định nghĩa 1.3.9. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Một hành
trình có hướng trong G là một dãy v0 e1 v1 e2 v2 .....envn sao cho với mọi i =

0, 1, ..., n, vi ∈ V , còn với mọi i = 1, 2, ..., n, ei ∈ E và ei = (vi−1, vi). Khi
đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn vn được gọi là
đỉnh cuối của hành trình có hướng trên. Tương tự, một hành trình vơ hướng
trong G là một dãy v0 e1 v1 e2 v2 .....envn sao cho với mọi i = 0, 1, ..., n, vi ∈ V ,
còn với mọi i = 1, 2, ..., n, ei ∈ E và hoặc ei = (vi−1, vi) hoặc ei = (vi, vi−1).
Khi đó n cũng được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh vn
được gọi là đỉnh cuối của hành trình vơ hướng trên.
Một hành trình (có hướng, vơ hướng) được gọi là khép kín nếu đỉnh
đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau.
Ví dụ 1.3.10. Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng như ở Hình 1.4. Khi
đó:
19