Một số bài toán mở trong lý thuyết phương trình diophantine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM QUANG HƯNG

MỘT SỐ BÀI TỐN MỞ TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE

Chun ngành: Phương pháp Toán Sơ Cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN- 2014


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Một số bài toán mở về sự tồn tại nghiệm

4

1.1

Phương trình Diophantine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Phương trình mũ Diophantine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Phương trình Markoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Xấp xỉ Diophantine và tính siêu việt

11

2.1

Giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Định lý Thue–Siegel–Roth–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Vô tỷ và Độ đo độc lập tuyến tính

. . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4

Siêu việt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Hàm Zeta, Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
GS.TSKH Hà Huy Khối. Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc
đến Thầy.
Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo của trường Đại
Học Khoa Học- Đại Học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy, giúp
đỡ tơi trong q trình học tập.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi
để tơi có thể hồn thành khóa học này.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Tác giả

Phạm Quang Hưng

2


Mở đầu

Phương trình Diophantine là một chủ đề rất quan trọng trong chương trình
tốn phổ thơng. Trong thực tế, ta thường gặp nó trong các đề thi học sinh giỏi
quốc gia, quốc tế. Xuyên suốt lịch sử phát triển toán học đã có rất nhiều các
nhà tốn học nghiên cứu về chủ đề này. Tuy nhiên số lượng các vấn đề chưa
được giải quyết là vô cùng lớn.

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo. Trong đó
Chương 1: Trình bày một số bài toán mở về sự tồn tại nghiệm của phương
trình Diophantine.
Chương 2: Trình bày lý thuyết phép xấp xỉ Diophantine (giả thuyết abc) và
lý thuyết số siêu việt (ví dụ giả thuyết Schanuel).
Phần kết luận tổng kết lại toàn bộ các kết quả đã đạt được.

3


Chương 1

Một số bài toán mở về sự tồn tại
nghiệm

1.1.

Phương trình Diophantine.

Trong số 23 bài tốn đưa ra bởi Hilbert, bài tốn thứ 10 có phát biểu ngắn
nhất.
Có hay khơng một thuật tốn để giải các phương trình Diophantine ?
Phương trình có dạng f (x) = 0, trong đó f ∈ Q[X1 , . . . , Xn ] là một đa thức
cho trước, các ẩn x = (x1 , . . . , xn ) có giá trị nguyên hữu tỷ, là một phương trình
Diophantine. Để giải phương trình này chung quy là xác định các điểm nguyên
trên siêu mặt tương ứng của khơng gian afin. Bài tốn thứ mười của Hilbert
địi hỏi tìm một thuật tốn cho chúng ta biết một phương trình Diophantine
như thế có nghiệm hay khơng?
Cịn có nhiều loại phương trình Diophantine khác. Trước hết ta có thể quan

tâm đến các nghiệm hữu tỷ thay vì nghiệm nguyên. Trong trường hợp này, ta
quan tâm đến những điểm hữu tỷ trên một siêu mặt. Tiếp theo, ta có thể lưu
ý đến những điểm nguyên hay điểm hữu tỷ trên một trường số, hay ta xét các
phương trình có liên quan đến tập các số ngun tố. Ví dụ như phương trình
Thue-Mahler
F (x, y) = pz1 . . . pzk
1
k
trong đó F là đa thức thuần nhất với hệ số nguyên và p1 , . . . , pk là các số
nguyên tố cố định (ẩn là x, y, z1 , . . . , zk và có giá trị nguyên với zi ≥ 0) và
4


phương trình Ramanujan - Nagell tổng quát x2 + D = pn , trong đó D là số
nguyên cố định, p là số nguyên tố cố định, ẩn là x, n là số nguyên dương .
Lời giải cuối cùng cho bài toán Hilbert thứ 10 ban đầu được đưa ra năm
1970 bởi Matiyasevich dựa theo cơng trình của Davis, Putnam và Robison. Câu
trả lời là khơng, khơng có hy vọng đưa ra lý thuyết trọn vẹn cho chủ đề này.
Nhưng ta vẫn có thể hy vọng rằng có đáp án xác thực nếu ta giới hạn câu hỏi
Hilbert ban đầu thành một phương trình với số biến hữu hạn, ví dụ n = 2, có
nghĩa là khảo sát một điểm nguyên trên một mặt. Trong trường hợp này, nhiều
kết quả sâu sắc đã đạt được trong thế kỷ 20 và nhiều kết quả đến bây giờ đã
được công bố nhưng vẫn còn lại rất nhiều để khám phá.
Các kết quả cốt yếu nhất là của Siegel (1929) và Faltings (1983). Định lý
Siegel nói về các điểm nguyên và tạo ra một thuật toán để kiểm tra xem tập
nghiệm là tập hữu hạn hay vô hạn. Kết quả của Falting, trả lời phỏng đoán
của Mordell, làm tương tự cho trường hợp nghiệm hữu tỷ, nghĩa là các điểm
hữu tỷ trên đường cong. Cùng với hai thành tích xuất sắc trong thế kỷ 20 này,
ta có thể đưa thêm đóng góp của Wiles, cơng trình mà khơng những giải quyết
Định lý Fermat cuối cùng mà còn cung cấp một số kết quả tương tự cho các

đường cong khác.
Một số câu hỏi tự nhiên đặt ra.
(a) Trả lời bài toán thứ mười của Hilbert trong trường hợp đặc biệt của
mặt cong, có nghĩa là tìm một thuật tốn để kiểm tra xem một phương trình
Diophantine f (x, y) = 0 có một nghiệm trong Z (và bài tốn tương tự trong
Q) hay khơng?
(b) Tìm chặn trên của số các điểm nguyên hoặc điểm hữu tỷ trên một đường
cong.
(c) Tìm một thuật tốn để giải một cách tường minh phương trình Diophantine hai ẩn số.
Có thể đặt thêm các câu hỏi khác. Ví dụ trong câu hỏi b) ta có thể u cầu
chính xác có bao nhiêu nghiệm, hoặc tổng quát hơn khi xét số điểm trên 1 một
trường số bất kỳ. Số các bài tốn mở là vơ tận.
5


Mục tiêu ở đây là không miêu tả chi tiết các câu hỏi này. Ta chỉ cần biết
rằng
• chưa có câu trả lời trọn vẹn cho câu hỏi (a). Không có thuật tốn nào
(thậm chí là giả thuyết) để kiểm tra xem một đường cong có điểm hữu tỷ
hay khơng.
• nhiều kết quả được đưa ra cho câu hỏi (b), kết quả cuối cùng trong chủ
đề này của G. Rémond cho ra cận trên hữu hiệu cho số lượng điểm hữu tỷ
trên một đường cong có giống ≥ 2.
• câu (c) thậm chí vẫn chưa được trả lời với trường hợp điểm nguyên, và
thậm chí với trường hợp đặc biệt của đường cong có giống bằng 2.
Người ta khơng u cầu một thuật tốn thực sự, nhưng ta cần có lý thuyết
(để bắt đầu). Do vậy, vấn đề mở đầu tiên tơi trình bày là bài tốn Siegel.
Bài tốn 1.1.1. Cho f ∈ Z[X, Y ] là một đa thức sao cho phương trình
f (x, y) = 0 có hữu hạn nghiệm (x, y) ∈ Z × Z. Tìm cận trên của max{|x|, |y|}
khi (x, y) là một nghiệm, theo bậc của f và theo giá trị tuyệt đối cực đại của

hệ số của f .
Cận như thế tồn tại là một phần của giả thiết, nhưng vấn đề là phát biểu
nó ra rõ ràng.
Một vấn để mở liên quan là số Euler idoneal. Cố định một số nguyên n.
Nếu p là một số nguyên tố lẻ mà tồn tại số nguyên x ≥ 0 và y ≥ 0 sao cho
p = x2 + ny 2 thì
(i) ƯCLN(x, ny) = 1,
(ii) phương trình p = X 2 + nY 2 theo biến X ≥ 0 và Y ≥ 0 chỉ có một
nghiệm, X = x và Y = y.
Bây giờ đặt p là một số nguyên lẻ sao cho tồn tại số nguyên x ≥ 0 và y ≥ 0
với p = x2 + ny 2 và sao cho điều kiện (i) và (ii) bên trên thỏa mãn. Nếu các
tính chất này kéo theo p là số nguyên, thì số n gọi là số idoneal. Euler đã tìm
thấy 65 số n như thế

6


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37,
40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133,
165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408,
462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.
Dưới đây là một ví dụ của vấn đề mở liên quan với hệ phương trình Diophantine bậc hai. Có tồn tại một hình hộp chữ nhật ngun hồn hảo? Sự tồn tại
của một hộp chữ nhật với các cạnh nguyên x1 , x2 , x3 đường chéo mặt nguyên
y1 , y2 , y3 và đường chéo hình hộp z ngun, có nghĩa là giải hệ 4 phương trình
Diophantine đồng thời của 7 biến

 x1 2 + x2 2 = y3 2




 2
 x +x 2 =y 2
2
3
1
2
2
 x3 + x1 = y2 2



 2
 x + x 2 + x 2 = z2
1

2

3

trong Z. Chúng ta không biết có tồn tại nghiệm hay khơng, nhưng được biết
khơng có hình hộp chữ nhật ngun hồn hảo nào có cạnh nhỏ hơn ≤ 231 .
1.2.

Phương trình mũ Diophantine

Trong một phương trình Diophantine, các ẩn xuất hiện như các biến của đa
thức, trong khi trong một phương trình mũ Diophantine, một số số mũ cũng
là biến. Ta có thể xem phương trình Ramanujan - Nagell nhắc đến bên trên
x2 + D = pn là một phương trình mũ Diophantine.
Một bài tốn nổi tiếng mà mãi đến năm 2002 mới được giải quyết là bài

tốn Catalan có từ năm 1844.
Định lý 1.2.1. (Giả thuyết Catalan) Phương trình
xp − y q = 1
trong đó biến x, y, p, q có giá trị nguyên ≥ 2, chỉ có một nghiệm (x, y, p, q) =
(3, 2, 2, 3).
Nó có nghĩa là: ví dụ duy nhất của các số liên tiếp là lũy thừa hoàn hảo xp
với p ≥ 2 phải là 8 và 9. Lời giải cuối cùng của Mihailescu bao gồm kết quả
sâu sắc từ lý thuyết của trường chia vòng tròn (cyclotomic).
7


Catalan đòi hỏi nghiệm nguyên, như trong định lý Siegel, trong khi định lý
Faltings giải quyết với nghiệm hữu tỷ.
Nhận thấy vế phải trong phương trình Catalan bằng 1 là yếu tố quyết định.
Ta khơng biết được gì nếu thay nó bằng một số nguyên dương khác. Giả thuyết
tiếp theo được đề xuất bởi S. S. Pillai.
Giả thuyết 1.2.2. (Pillai) Cho k là một số nguyên dương. Phương trình
xp − y q = k,
trong đó x, y, p, và q là các số nguyên ≥ 2, chỉ có hữu hạn nghiệm (x, y, p, q).
Điều này có nghĩa là trong dãy tăng của số lũy thừa hoàn hảo xp , với
x ≥ 2 và p ≥ 2: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, ...
sự khác nhau giữa hai số hồn hảo liên tiếp dần đến vơ cùng. Thậm chí ta
khơng biết phương trình Pillai với k = 2 có có hữu hạn nghiệm hay khơng?
Một câu hỏi mở liên quan là có bao giờ số 6 là hiệu của hai số lũy thừa hồn
hảo: Có tồn tại nghiệm của phương trình Diophantine xp − y q = 6?.
Bây giờ xét các số nguyên dương là lũy thừa hoàn hảo y q với q ≥ 2 sao cho
tất cả ký tự theo cơ số x ≥ 2 là 1. Ví dụ như 121 theo cơ số 3, 400 theo cơ
số 7 và 343 theo cơ số 18. Để tìm tất cả số có nghĩa là giải phương trình mũ
Diophantine

xn − 1
= yq ,
x−1
trong đó ẩn x, y, n, q có giá trị dương, hữu tỉ, nguyên với x ≥ 2, y ≥ 1, n ≥ 3,
và q ≥ 2. Chỉ có 3 nghiệm được biết
(x, y, n, q) = (3, 11, 5, 2), (7, 20, 4, 2), (18, 7, 3, 3),
tương ứng với 3 ví dụ bên trên. Chúng ta khơng biết có phải chỉ có 3 nghiệm
hay khơng nhưng ta hy vọng khơng cịn nghiệm nào nữa.
Phương trình Diophantine
xp + y q = z r

8


cũng có lịch sử lâu dài trong quan hệ với Định lý Fermat cuối cùng. Nếu chúng
ta tìm nghiệm nguyên dương (x, y, z, p, q, r) thỏa mãn
1 1 1
+ + <1
p q r
và sao cho x, y, z là ngun tố cùng nhau, thì chỉ có 10 nghiệm được biết đến
1 + 23 = 32 ,

25 + 72 = 34 ,

35 + 114 = 1222 ,

73 + 132 = 29 , 27 + 173 = 712 ,

177 + 762713 = 210639282 ,

14143 + 22134592 = 657 ,
438 + 962223 = 300429072 ,

92623 + 153122832 = 1137 ,
338 + 15490342 = 156133 .

Vì điều kiện
1 1 1
1 1 1
41
+ + < 1 hàm chứa + + ≤ ,
p q r
p q r
42
giả thuyết abc dự đoán rằng tập nghiệm là hữu hạn. Trong tất cả các nghiệm
đã được tìm ra, một trong p, q, r là 2; điều này dẫn tới giả thuyết R. Tijdeman
- D. Zagier rằng không tồn tại nghiệm nếu thêm ràng buộc p, q, r ≥ 3.
Một bộ Diophantine là một bộ (a1 , . . . , an ) gồm các số nguyên dương phân
biệt sao cho ai aj + 1 là một số chính phương với 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Fermat đưa
ra ví dụ (1, 3, 8, 120 ), và Euler chỉ ra rằng bất kỳ cặp Diophantine (a1 , a2 ) có
thể được mở rộng thành một bộ 4 Diophantine (a1 , a2 , a3 , a4 ). Ta vẫn chưa biết
liệu có tồn tại bộ 5 Diophantine (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) hay khơng, nhưng A. Dujella
26

chứng minh rằng mỗi bộ Diophantine có max{a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ≤ 1010 . Ơng
cũng chứng minh rằng khơng có bộ 6 Diophantine.
1.3.

Phương trình Markoff

Phương trình Markoff ban đầu (1879) là x2 + y 2 + z 2 = 3xyz. Sau đây là
thuật tốn tìm ra tất cả các nghiệm ngun dương. Cho một nghiệm bất kỳ
(x, y, z) = (m, m1 , m2 ), ta cố định hai trong ba tọa độ, khi đó ta thu được một
phương trình bậc hai theo tọa độ thứ 3, mà chúng ta đã biết nghiệm. Theo
q trình cắt thơng thường bằng những đường thẳng thích hợp, chúng tơi tìm
được một nghiệm khác. Từ một nghiệm (m, m1 , m2 ), thu được 3 nghiệm khác
(m , m1 , m2 ), (m, m1 , m2 ), (m, m1 , m2 ),
9


trong đó
m = 3m1 m2 − m, m1 = 3mm2 − m1 , m2 = 3mm1 − m2 .
Ba nghiệm này được gọi là lân cận của nghiệm ban đầu. Ngoài trừ hai nghiệm
suy biến (1, 1, 1) và (2, 1, 1), ba số trong (m, m1 , m2 ) là từng đôi một khác
nhau, và 3 lân cận của (m, m1 , m2 ) cũng từng đôi một khác nhau. Giả sử
m > m1 > m2 , ta suy ra
m2 > m1 > m > m .
Do đó có một lân cận của (m, m1 , m2 ) với thành phần cực đại nhỏ hơn m, và
hai lân cận, cụ thể là (m1 , m, m2 ) và (m2 , m, m1 ), với thành phần cực đại lớn
hơn m. Suy ra ra một nghiệm sinh ra tất cả các nghiệm cịn lại, bắt đầu từ (1,
1, 1), tìm liên tiếp các lân cận từ các nghiệm đã biết.Dưới đây là cây Markoff,
theo khái niệm của H. Cohn, trong đó (m1 , m, m2 ) được viết ở bên phải và
(m2 , m, m1 ) được viết ở bên trái.

Bài tốn mở chính trong chủ đề này là chứng minh rằng mỗi số lớn nhất chỉ
xuất hiện một lần trong 1 bộ ba của cây.
Giả thuyết 1.3.1. Cố định số nguyên dương m sao cho phương trình
m2 + m2 + m2 = 3mm1 m2
1
2

có một nghiệm nguyên dương (m1 , m2 ) với 0 < m1 ≤ m2 ≤ m. Thì cặp (m1 , m2 )
là duy nhất.
Giả thuyết này đã được chứng minh với m ≤ 10105 .

10


Chương 2

Xấp xỉ Diophantine và tính siêu
việt
Trước hết, tơi trình bày giả thuyết abc, kết quả của D. Masser và J. Oesterle.
2.1.

Giả thuyết abc

Với mọi số nguyên dương n, ta ký hiệu
R(n) = Π p
p|n

là tích các ước nguyên tố phân biệt của n.
Giả thuyết 2.1.1. (Giả thuyết abc) Với mỗi số ε > 0 tồn tại một số dương
Cε có các tính chất sau: nếu a, b, và c là ba số nguyên dương, nguyên tố cùng
nhau và thỏa mãn a + b = c, thì
c < Cε R(abc)1+ε .
Nếu a, b và c là ba số nguyên tố cùng nhau dương thỏa mãn a + b = c, định
nghĩa
λ(a, b, c) =

log c

log R(abc)

(a, b, c) =

log abc
log R(abc)

và

Dưới đây là sáu giá trị lớn nhất được biết đến của λ(a, b, c).

11


a+b=c

λ(a, b, c)

tác giả

1

2 + 310 · 109 = 235

1,629912. . .

É. Reyssat

2

112 + 32 56 73 = 221 · 23

1,625991. . .

B. de Weger

3

19 · 1307 + 7 · 292 · 318 = 28 · 322 · 54

1,623490. . .

J. Browkin, J. Brzezinski

4

283 + 511 · 132 = 28 · 38 · 173

1,580756. . .

J. Browkin, J. Brzezinski
A. Nitaj

1 + 2 · 37 = 54 · 7

5

3

6

7 +3

10

11

=2

1,567887. . .
1,547075. . .

· 29

B. de Weger
B. de Weger

Dưới đây là danh sách 6 giá trị lớn nhất đã biết của (abc), và ta có thể tìm
được tồn bộ danh sách 46 bộ ba (a, b, c) đã biết với 0 < a < b < c, a + b = c
và ƯCLN(a, b) = 1 thỏa mãn (a, b, c) > 4.
a+b=c

(a, b, c)

tác giả

1

13 · 196 + 230 · 5 = 313 · 112 · 31

4,41901. . .

A. Nitaj

2

25 · 112 · 199 + 515 · 372 · 47 = 37 · 711 · 743

4,26801. . .

A. Nitaj

4,24789. . .

B. de Weger

4,23069. . .

A. Nitaj

4,22979. . .

A. Nitaj

4,22960. . .

A. Nitaj

3
4

5

2

19

· 13 · 103 + 7

11

11

=3

3

· 5 · 11

2

235 · 72 · 172 · 19 + 327 · 1072 = 515 · 372 · 2311
18

3

6

3

8

10

· 23 · 2269 + 17 · 29 · 31 = 2

2

15

·5 ·7

174 · 793 · 211 + 229 · 23 · 292 = 519

Theo nhận định của M. Langevin, hệ quả của giả thuyết abc là nghiệm của
bài toán mở sau.
Giả thuyết 2.1.2. (Erd˝s - Woods) Tồn tại một số nguyên k sao cho, với m
o
và n nguyên dương, điều kiện
R(m + i) = R(n + i) (i = 0, . . . , k − 1)
suy ra m = n.
Từ giả thuyết abc (hay có thể dạng yếu hơn với “một vài ε < 1” chứ không
phải “tất cả ε > 0”), suy ra rằng, ngoại trừ hữu hạn trường hợp ngoại lệ (m, n),
k = 3 là một giá trị chấp nhận được. Thật vậy, giả sử m > n. Dùng giả thuyết
abc với a = m(m + 2), b = 1, c = (m + 1)2 , ta thu được
m2 ≤ Cε R(m(m + 1)(m + 2))1+ε .
12


Bây giờ nếu R(m + i) = R(n + i) với i = 0, 1, 2 thì R(m + i) chia hết m − n,
và do đó số

R (m(m + 1)(m + 2)) = BCNN (R(m), R(m + 1), R(m + 2))
chia hết m − n và do đó m2 ≤ Cε m1+ε . Điều này chứng tỏ m bị chặn.
Ta nghi ngờ rằng thật ra khơng có trường hợp ngoại lệ nào với k = 3. Nghĩa
là nếu m và n có chung ước nguyên tố, m + 1 và n + 1 cũng có chung ước
nguyên tố và tương tự m + 2 và n + 2 cũng có chung ước ngun tố, thì m = n.
Dễ nhận thấy k = 2 không phải là giá trị chấp nhận được: 75 và 1215 có
ước số nguyên tố chung, 76 và 1216 cũng có ước số nguyên tố chung,
R(75) = 15 = R(1215),

R(76) = 2.19 = R(1216).

Ngồi ví dụ lẻ này, cịn có một dãy ví dụ khác nữa: với m = 2h − 2 và n =
m(m + 2) = 2h m,
R(m) = R(n) và R(m + 1) = R(n + 1)
bởi vì n + 1 = (m + 1)2 .
Tổng qt hóa bài tốn Erd˝s - Woods thành cấp số cộng được đưa ra bởi
o
T. N. Shorey.
Câu hỏi. Liệu có tồn tại một số nguyên dương k sao cho với bất kỳ số nguyên
khác không m, n, d và d thỏa mãn ƯCLN(m, d) = ƯCLN(n, d’) = 1, thì điều
kiện
R(m + id) = R(n + id )

(i = 0, . . . , k − 1)

kéo theo m = n và d = d ?
Một mặt, nếu câu trả lời là xác thực, k nhỏ nhất là 4, như trong một số ví
dụ bộ 4 (m, n, d, d ) như sau (2, 2, 1, 7), (2, 8, 79, 1) hay (4, 8, 23, 1):
R(2) = R(2),

R(2 + 1) = R(2 + 7),

R(2) = R(4) = R(8),

R(2 + 2) = R(2 + 2 · 7),

R(2 + 79) = R(4 + 23) = R(9)

R(2 + 2 · 79) = R(4 + 2 · 23) = R(10).
Mặt khác, dựa theo giả thuyết abc, người ta đã chứng minh được câu hỏi
Shorey có nghiệm xác thực với k = 5.
13


Một bài toán khác liên quan của T. S. Motzkin và E. G. Straus là xác định
cặp số nguyên m, n sao cho m và n + 1 có cùng ước số nguyên tố chung, đồng
thời n và m + 1 có cùng ước số nguyên tố chung. Một số được biết đến như
m = 2k + 1,

n = m2 − 1 (k ≥ 0)

và ví dụ lẻ m = 35 = 5 · 7, n = 4373 = 2 · 37 , kéo theo m + 1 = 22 · 32 và
n + 1 = 54 · 7.
Dưới đây là trích dẫn một giả thuyết liên quan khác của P. Erd˝s và R. E.
o
Dressler .
Giả thuyết 2.1.3. (Erd˝s - Dressler) Nếu a và b là hai số nguyên dương sao
o
cho a < b và R(a) = R(b) thì tồn tại số nguyên tố sao cho a < p < b.
Từ giả thuyết abc ta suy ra giả thuyết Hall:

Giả thuyết 2.1.4. (Hall) Cho x và y là hai số nguyên dương thỏa mãn y 2 = x3 .
Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại số Cε sao cho:
1

x3 − y 2 > Cε x 2 −ε
.
2.2.

Định lý Thue–Siegel–Roth–Schmidt

Một trong những bài tốn mở chính của phép xấp xỉ Diophantine là định lý
Thue–Siegel–Roth–Schmidt. Với bất kỳ ε > 0 và bất kỳ số đại số vô tỷ α, tồn
tại một hằng số C(α, ε) > 0 sao cho với bất kỳ số hữu tử p/q,
α−

p
C(α, ε)
>
q
q 2+ε

(2.1)

M. Langevin chỉ ra rằng giả thuyết abc kéo theo một bất đẳng thức mạnh hơn
bất đẳng thức của Roth,
α−

p
C(ε)
>

q
R(pq) q ε

Một mục tiêu khác là cải tiến ước lượng trong định lý Roth. Trong cận dưới
(2.1) ta có thể thay q −2−ε bằng q −2 (log q)−1−ε . Ta mong chờ rằng với tất cả
số đại số thực vơ tỷ có bậc lớn hơn 3, số hạng q −2−ε không thể được thay thế
14


bằng q −2 trong bất đẳng thức (2.1), nhưng tập giá trị α mà câu trả lời đã biết
là không có gì? Câu hỏi này thường được hỏi cho trường hợp đặc biệt của số
√
3
2, nhưng một ví dụ thú vị khác (do Stanislaw Ulam ) là một số đại số thực
ξ được định nghĩa
ξ=

1
1
với y =
.
ξ+y
1+y

Về cơ bản không được biết gì về khai triển liên phân số của một số đại số
thực bậc ≥ 3, người ta không biết câu trả lời cho hai câu hỏi sau đây.
Câu hỏi 2.2.1. Liệu có tồn tại một số đại số thực bậc ≥ 3 có thương riêng bị
chặn?
Câu hỏi 2.2.2. Liệu có tồn tại một số đại số thực bậc ≥ 3 có thương riêng
khơng bị chặn?

Thơng thường, mọi người hy vọng khai triển liên phân số của 1 số đại số
thực bậc ≥ 3 ln có thương riêng khơng bị chăn. Chính xác hơn ta hy vọng
rằng số đại số thực bậc ≥ 3 tương tự như các số thực.
Một khái quát có thể áp dụng rộng rãi của định lý Thue–Siegel–Roth cho
phép xấp xỉ đồng thời là định lý không gian con Schmidt. Dưới đây là hai
trường hợp đặc biệt.
• Cho các số đại số thực α1 , . . . , αn , sao cho 1, α1 , . . . , αn độc lập tuyến tính
trong Q, với bất kỳ ε > 0,
max αi −

1≤i≤n

pi
1
< 1+(1/n)+ε
q
q

chỉ có hữu hạn nghiệm (p1 , . . . , pn , q) trong Zn+1 với q > 0.
• Cho các số đại số thực α1 , . . . , αn , sao cho 1, α1 , . . . , αn độc lập tuyến tính
trong Q, với bất kỳ ε > 0,
|q1 α1 + · · ·qn αn − p| <

1
q n+ε

chỉ có hữu hạn nghiệm (q1 , . . . , qn , p) trong Zn+1 với q = max{|q1 |, . . . , |qn |} >
0.

15

Một trong những hệ quả quan trọng nhất của định lý không gian con Schmidt
là sự hữu hạn của nghiệm khơng suy biến của phương trình
x1 + . . . + xn = 1,
trong đó ẩn có giá trị nguyên trong một số trường. Ở đây, không suy biến nghĩa
là khơng có tổng riêng nào biến mất.
Bây giờ, tơi giải thích cùng với bài tốn Waring về tầm quan trọng của việc
chứng minh bất đẳng thức loại Roth hữu ích cho số đại số vô tỷ.
Trong năm 1770, một vài tháng trước khi J. L. Lagrange chứng minh rằng
tất cả số nguyên dương là tổng của nhiều nhất của 4 số nguyên bình phương,
E. Waring viết:
“Tất cả số nguyên là một lũy thừa bậc ba hay tổng của hai, ba, ..., chín lũy
thừa bậc ba; tất cả số nguyên cũng là lũy thừa bậc 4, hay tổng của tới tận 19
số lũy thừa bậc 4, và vv. Quy tắc tương tự có thể được khẳng định cho có số
xác định tương ứng với bậc bất kỳ.”
Với k ≥ 2 định nghĩa g(k) là số nguyên dương nhỏ nhất g sao cho bất kỳ số
nguyên là tổng của g số hạng có dạng xk với x ≥ 0. Nói cách khác, với mỗi số
nguyên dương n
n = xk + . . . + xk
1
m
có 1 nghiệm nếu m = g(k), và tồn tại một số n không là tổng của g(k) − 1 số
lũy thừa k.
Định lý của Lagrange, mà tìm ra lời giải cho một giả thuyết của Bachet và
Fermat, là g(2) = 4. Dưới đây là các giá trị của g(k) cho những số nguyên k
đầu tiên, cùng với tên của tác giả và ngày.
g(2) = 4

g(3) = 9

g(4) = 19

g(5) = 37

g(6) = 73

g(7) = 143

J. Chen

S.S. Pillai

L.E. Dickson

1964

1940

1936

R.Balasubramanian.
J.L. Lagrange

A. Wieferich

J-M. Deshouillers,
F. Dress

1770

1909

1986

Với mỗi số nguyên k ≥ 2, định nghĩa
I(k) = 2k + [(3/2)k ] − 2.
16


L. E. Dickson và S. S. Pillai độc lập với nhau chứng minh trong năm 1936
rằng g(k) = I(k), miễn là r = 3k − 2k q thỏa mãn
r ≤ 2k − q − 2.
Nếu ngược lại sẽ tồn tại một công thức khác của g(k).
Người ta đã chứng minh rằng điều kiện r ≤ 2k − q − 2 thỏa mãn với 3 ≤ k ≤
471600000, và K. Mahler đã chứng minh rằng điều này cũng đúng với bất kỳ
k đủ lớn. Do đó g(k) = I(k) với tất cả các giá trị này của k. Vấn đề là chứng
minh của Mahler dựa trên phiên bản p-adic của định lý Thue - Siegel - Roth,
và do đó khơng hữu hiệu. Như vậy có một sơ hở và chúng ta thậm chí khơng
biết quy mơ của nó. Quay trở lại năm 1853, giả thuyết là g(k) = I(k) với bất
kỳ k ≥ 2, và điều này đúng miễn là
3
2

k

≥

3
4

k

trong đó · biểu thị khoảng cách đến số nguyên gần nhất. Như nhận xét của
S. David, ước lượng như trên (với k đủ lớn) được rút ra không những từ ước
lượng Mahler, mà cịn từ giả thuyết abc!
2.3.

Vơ tỷ và Độ đo độc lập tuyến tính

Cho một số thực θ, câu hỏi Diophantine đầu tiên là kiểm tra liệu θ là hữu
tỷ hay không. Đây là câu hỏi định lượng, và chú ý rằng một câu trả lời cần
dựa theo tính chất định lượng của θ. Nó phụ thuộc chủ yếu vào chất lượng của
phép xấp xỉ Diophantine hữu tỷ cho θ. Thật vậy, một mặt nếu θ hữu tỷ, thì
tồn tại một hằng số dương c = c(θ) sao cho
θ−

p
c
>
q
q

với bất kỳ p/q ∈ Q. Giá trị chấp nhận được của c là 1/b khi θ = a/b. Mặt khác
nếu θ vơ tỷ, thì có vố số số hữu tỷ p/q sao cho
0< θ−

p
1
< 2.

q
q

17


Do đó, để chứng minh θ là vơ tỷ, chỉ cần chứng minh với bất kỳ ε > 0 tồn tại
số hữu tỷ p/q sao cho
p
ε
<
q
q

0< θ−

Đây là một điều kiện khá yếu. Có một xấp xỉ hữu tỷ trong 1/q 2 và ta chỉ cần
tìm phép xấp xỉ tốt hơn phép xấp xỉ thông thường trong c/q. Mặc dù vậy, lớp
số thực “thú vị” mà được cho là vô tỷ lại khơng lớn như ta mong đợi. Ví dụ
chưa có chứng minh tính vơ tỷ của hằng số Euler được đưa ra
γ = lim

n→∞

1+

1 1
1
+ + · · · + − log n
2 3

n

= 0.577215...

hay hằng số Catalan
n

(−1)

G=
n≥0

hay cho

(2n + 1)

2

= 0.915965...,

∞

e−t t−4/5 dt = 4.590843...

Γ(1/5) =
0

hay những số như
eγ = .781072...,

e + π = 5.859874... ,

ς(3)/π 3 = 0.038768...

ς(5) = 1.036927...,
và
n≥1

σk (n)
(k = 1, 2) trong đó σk (n) =
n!

dk
d|n

Sau đây là bài tốn về tính vơ tỷ khác được đưa ra bởi P. Erdos và E. Straus
trong năm 1975. Định nghĩa một dãy vô tỷ là một dãy tăng (nk )k≥1 các số
nguyên dương sao cho với bất kỳ dãy (tk )k≥1 các số nguyên dương, số thực

k≥1

1
nk tk
k

là vô tỷ. Một mặt, Erd˝s chứng minh rằng (22 )k≥1 là một dãy vô tỷ. Mặt khác,
o
dãy (k!)k≥1 thì khơng, vì
k≥1

1
1
=
k!(k + 2) 2
18


Bây giờ giả sử rằng bước đầu tiên được hoàn thành và chúng ta biết θ là vơ
tỷ. Khi đó tồn tại (ít nhất) hai hướng nghiên cứu thêm.
(1) Xét một vài số thực θ1 , . . . , θn , một câu hỏi thông thường là kiểm tra
liệu chúng có độc lập tuyến tính trong Q hay khơng. Một ví dụ chính là bắt
đầu với các lũy thừa liên tiếp của một số, 1, θ, θ2 , . . . , θn−1 . Mục đích là xem θ
có là số đại số với bậc < n. Nếu n không cố định, câu hỏi là liệu θ là siêu việt.
Cũng chú ý rằng vấn đề của độc lập số đại số được bao hàm ở đây. Nó rốt cuộc
là sự độc lập tuyến tính của những đơn thức.
(2) Một hướng nghiên cứu là khảo sát một cải tiến định lượng của phát biểu
vô tỷ, cụ thể là độ đo vô tỷ. Chúng ta muốn lấy chặn dưới của số khác không
|θ − (p/q)| khi p/q là số hữu tỷ bất kỳ, chặn dưới này sẽ phụ thuộc vào θ cũng
như là mẫu số q của phép xấp xỉ hữu tỷ. Trường hợp trong một phát biểu yếu
hơn kết quả vô tỷ được biết đến , cụ thể là nếu người ta có thể chứng minh
rằng ít nhất một trong n số θ1 , . . . , θn là vơ tỷ , khi đó cải tiến định lượng sẽ
là một chặn dưới nhỏ hơn (xét theo q) của
max

θ1 −

p1
pn
, ..., θn −
q

q

khi p1 /q, . . . , pn /q là n số hữu tỷ và q > 0 là mẫu số chung. Một mặt, nghiên
cứu về xấp xỉ hữu tỷ của số thực đã đạt được một cách thỏa đáng cho những
số có khai triển liên phân "chính quy", ví dụ như
e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ...] = 2, 1, 2m − 1

m≥1

e2 = [7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, ...]
= 7, 3m − 1, 1, 1, 3m, 12m + 6

m≥1

và
e1/n == [1, n − 1, 1, 1, 3n − 1, 1, 1, 5n − 1, 1, 1, ...]
1, (2m − 1) n − 1, 1

=

m≥1

với n > 1. Mặt khác, ngay cả đối với số thực x có khai triển liên phân “khơng
chính quy” đã biết, như
log 2 =

1 1 4 9
n2
···
1+ 1+ 1+ 1+

1+
19


hay
2

(2n + 1)
π
1 9 25 49
=
···
· ··
4
1+ 2+ 2+ 2+
2+
ta vẫn chưa biết x có thể được xấp xỉ bằng một số hữu tỷ tốt đến mức nào.
Chưa có mơ hình nào được quan sát thấy hay được hy vọng từ khai triển liên
phân chính quy của π
π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84,
2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 6, 1, ...],
hay từ bất kỳ số dễ hơn liên quan đến π.
Hy vọng rằng đối với bất kỳ ε > 0 tồn tại hằng số C(ε) > 0 và C (ε) > 0
sao cho
log2 −

C(ε)
C (ε)
p
p

> 2+ε và π −
> 2+ε
q
q
q
q

đúng với bất kỳ p/q ∈ Q, nhưng điều này mới chỉ biết đến với những hệ số mũ
lớn hơn, cụ thể tương ứng là 3,8913 . . . và 8,0161 . . .(Rukhadze và Hata). Số
mũ sắc nét nhất được biết đến cho độ đo vô tỷ của
ς(3) =
n≥1

1
= 1.202056...
n3

là 5.513891..., trong khi cho π 2 (hoặc cho ς(2) = π 2 /6) là 5,441243 . . . (cả hai
kết quả là của Rhin và Viola ). Đối với số Γ(1/4), sự tồn tại của hằng số dương
tuyệt đối C và κ sao cho
Γ(1/4) −

p
C
> κ
q
q

chỉ được chứng minh gần đây. Các vấn đề tương tự cho eπ vẫn chưa được giải
quyết. Nói cách khác, cho đến bây giờ khơng có bằng chứng nào rằng eπ khơng

phải là số Liouville.
Với những lớp số siêu việt cụ thể, A. I. Galochkin, A. N. Koroboc và gần
đây P. Ivankov chứng minh độ đo vơ cùng chính xác tính độc lập tuyến tính.
Một bài tốn tổng qt và quan trọng là cải tiến các độ đo đã biết của độc
lập tuyến tính cho hàm logarit của số đại số, cũng như hàm logarit elip, Abel

20


logarit, và nói chung hàm logarit của các điểm đại số trên nhóm đại số giao
hốn.
Bài tốn Mahler là bài tốn liên quan đến đến tổ hợp tuyến tính của hàm
logarit |b − log a|.
Giả thuyết 2.3.1. (Mahler) Tồn tại hằng số tuyệt đối c > 0 sao cho
log a > a−c
với mọi số nguyên a ≥ 2.
Một cách tương đương,
|a − eb | > a−c
với hằng số tuyệt đối c > 0 và với mọi số nguyên a, b > 1.
Một giả thuyết mạnh hơn được đề xuất ,
log a > (log a)−c
với hằng số tuyệt đối c > 0 và với mọi số nguyên a ≥ 3, hoặc một cách tương
đương
a − eb > b−c
với hằng số tuyệt đối c > 0 và với mọi số nguyên a, b > 1. Cho đến bây giờ ước
lượng tốt nhất được biết đến là
a − eb > e−c(log a) (log b)
do đó vấn đề là thay tích (log a)(log b) bằng tổng log a + log b.
Giới hạn dưới như chi tiết như vậy có ý nghĩa trong lý thuyết khoa học máy
tính.

2.4.

Siêu việt

Xét hàm lũy thừa cổ điển ez = exp(z) và giả thuyết của Schanuel.
Giả thuyết 2.4.1. (Schanuel) Cho x1 , . . . , xn là các số phức Q - độc lập tuyến
tính. Khi đó bậc siêu việt trong Q của trường Q(x1 , . . . , xn , ex1 , . . . , exn ) nhỏ
nhất là n.
21


Theo S. Lang: “Từ phát biểu này, ta có thể thu được gần hết phát biểu khác
về sự độc lập đại số của giá trị của et và log t mà ta cảm thấy đúng”. Ví dụ các
phát biểu sau đây là hệ quả của giả thuyết 2.4.1.
Bài toán. Cho β1 , . . . , βn là các số đại số Q - độc lập tuyến tính và gọi
log α1 , . . . , log αm là hàm logarit Q - độc lập tuyến tính của số đại số. Khi
đó các số
eβ1 , ..., eβn , log α1 , ..., log αm
là độc lập đại số trong Q.
Bài toán. Cho β1 , . . . , βn là các số đại số với β1 = 0 và gọi log α1 , . . . , log αm
là hàm logarit của các số đại số với log α1 = 0 và log α2 = 0. Khi đó các số
e

β
eβn
. n−1
..
β1 eβ2

và α1

α2 .

αm
..

là siêu việt, và khơng có quan hệ đại số tầm thường giữa những số này.
Trường hợp đặc biệt quan trọng nhất của giả thuyết Schanuel là giả thuyết
độc lập đại số của hàm logarit của số đại số.
Giả thuyết 2.4.2. (Độc lập đại số của hàm logarit của số đại số) Cho λ1 , . . . , λn
là tổ hợp các số Q - độc lập tuyến tính. Giả sử rằng các số eλ1 , ..., eλn là các số
đại số. Khi đó các số λ1 , . . . , λn độc lập đại số trên Q.
Giả thuyết 2.4.2 có nhiều hệ quả. Ký hiệu L là tập các số phức λ sao cho eλ
cũng là số đại số. Khi đó L là Q không gian vectơ của C.
˜
˜
Xét Q - không gian vectơ L được căng bởi 1 và L. Nói cách khác, L là tập
các số phức mà có thể viết dưới dạng
β0 + β1 log α1 + · · · + βn log αn
trong đó β0 , β1 , ..., βn là các số đại số, α0 , α1 , ..., αn là các số đại số khác không,
và cuối cùng log α1 , ..., log αn tương ứng là các hàm logarit của α0 , α1 , ..., αn .
¯
Giả thuyết 2.4.3. (Giả thuyết 5 số mũ mạnh) Gọi x1 , x2 là hai số phức Q ¯
độc lập tuyến tính và y1 , y2 cũng là hai số phức Q - độc lập tuyến tính. Ngồi

22


ra, đặt βij (i = 1, 2, j = 1, 2), γ1 và γ2 là sáu số đại số với γ1 = 0. Giả sử năm
số

ex1 y1 −β11 , ex1 y2 −β12 , ex2 y1 −β21 , ex2 y2 −β22 , eγ1 x1 −γ2
là đại số. Khi đó tất cả 5 số mũ triệt tiêu,
xi yj = βij (i = 1, 2, j = 1, 2 ) và γ1 x1 = γ2 x2 .
Một hệ quả của giả thuyết 2.4.3 đó là lời giải của bài tốn mở của tính siêu
2

2

việt của số eπ , và tổng quát hơn là của số αlog α = eλ khi α là một số đại số
khác không và λ = log α là logarit khác không của α.
Giả thuyết tiếp theo là giả thuyết 4 số mũ nổi tiếng của Schneider, S. Lang
và K. Ramachandra.
Giả thuyết 2.4.4. (Giả thuyết 4 số mũ) Đặt x1 , x2 là hai số phức Q - độc lập
tuyến tính và y1 , y2 là hai số phức Q - độc lập tuyến tính. Khi đó ít nhất một
trong 4 số
exp(xi yi ) (i = 1, 2, j = 1, 2)
là siêu việt.
Một bài toán cổ điển về sự độc lập đại số của số mũ đại số của số đại số
đưa ra bởi A. O. Gelfond và Th. Schneider. Dữ kiện là một số đại số vô tỷ β
có bậc d và một số đại số khác khơng α có logarit khác khơng log α. Bài tốn
Gelfond là
Giả thuyết 2.4.5. (Gelfond) Hai số
log α và αβ
là độc lập đại số trong Q.
Câu hỏi của Schneider là
Giả thuyết 2.4.6. (Schneider) d − 1 số
2

αβ , αβ , ..., αβ
là độc lập đại số trong Q.

23

d−1


Kết hợp cả hai câu hỏi 2.4.5 và 2.4.6 thu được một giả thuyết mạnh hơn
Giả thuyết 2.4.7. (Gelfond - Schneider). d số
2

log α, αβ , αβ , ..., αβ

d−1

là độc lập đại số trong Q.
2.5.

Hàm Zeta, Fibonacci

Xét hàm Zeta

∞

n−s

ζ(s) =
n=1

Giả thuyết 2.5.1. Các số π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1), . . . độc lập đại số trong
trường Q.
Cho tới bây giờ, kết quả đã biết duy nhất của chủ đề này là:

• ζ(2n) là siêu việt với n ≥ 1 (bởi vì π là siêu việt và ζ(2n)π −2n ∈ Q),
• ζ(3) là vơ tỷ (Apéry, 1978),
Ví dụ vơ số trong các số ζ(2n + 1) (n ≥ 1) là vô tỷ. W. Zudilin chứng minh
rằng ít nhất một trong 4 số ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) là vô tỷ.
Hơn nữa, các quả gần đây hơn là của T. Rivoal và W. Zudilin. Họ đã chứng
minh rằng nhiều vô hạn số trong
n

(−1)
n≥1

(2n + 1)

2s

(s ∈ Z,

s ≥ 1)

là vô tỷ, nhưng như đã chỉ ra trước đây, tính vơ tỷ của hằng số Catalan G vẫn là bài toán bỏ ngỏ.
Theo như P. Bundschuh, sự siêu việt của số
∞

n=2

1
ns − 1

với s ≥ 4 chẵn là hệ quả của giả thuyết Schanuel 2.4.1. Với s = 2 tổng là 3/4,
với s = 4, tổng là (7/8) − (π/4) coth π, là một số siêu việt vì π và eπ là độc lập

đại số trong Q (Yu. V. Nesterenko).
24