Tinh gia tri bieu thuc

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

“tailieumontoan.com”

I. BÀI TÂP

c 2019 + a 2019 =
( −a )

Date

(

Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn:

(a + b + c )  a1 + b1 + c1  =1 .


(

)(

)(

P=
a 23 + b 23 b 3 + c 3 c 2019 + a 2019

)




⇔ (a + b + c )(ab + bc + ca ) =
abc

) (
+c a ) =
abc

⇔ a 2 b + abc + ca 2 + ab 2 + b 2 c + abc

)

⇔ (a + b )( b + c )(c + a ) =
0
a =−b

⇔ b =
−c
c = −a

Do đó:

(

+b

)(

7x 2 − 13xy − 2 y 2 =
0

Tính giá trị biểu thức: B =

⇔ a 2 b + ca 2 + b 2 c + ab 2 + c 2 b + ac 2 + 2abc =
0

* Với a = - b thì: a

Thí dụ 2. Cho các số dương x, y thỏa mãn:

=
( −b ) + b
23

(1)
2x − 6 y
7x + 4 y

.

Thí dụ 3. Cho các số thực x, y thỏa mãn:
2010
 2010
+1=

y
(2)
 x
 x + 2y =
2335


2

23

Vậy ta có: P = 0

Thay x = 2y vào A ta được:
2x − 6 y
4y − 6y
−2 y −1
=
A
=
= =
7x + 4 y 14 y + 4 y 18 y
9

bc + ca 
1
(a + b + c )  ab +abc
=

23

)

(do x, y > 0)

1 1 1

Ta có: (a + b + c )  + +  =
1
a b c 

2

)(

Lời giải
Từ (1) ta có: (7x + y )(x − 2 y ) = 0 ⇔ x = 2 y

Lời giải

(
+ (abc + bc

)(

Tính giá trị biểu thức: A =



Tính giá trị biểu thức:

+ a 2019 =
0

Do đó: P = a 23 + b 23 b 3 + c 3 c 2019 + a 2019 =0

 Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích

Thí dụ 1.

2019

23

)(

=
0

)

P = a 23 + b 23 b 3 + c 3 c 2019 + a 2019 =0
* Với b = - c thì: b 3 + c 3 =−
( c ) + c 3 =0
3

x
.
y

Lời giải
2010
2010
, b
=
Đặt a =
với a, b > 0.
x

y
Từ (2) suy ra:
 =
=
 a +1
a +1 b


⇔ 1 2
 2010 2.2010
2345 =
 a +=
a + b
b


2
⇔ 7a − 11a − 6 = 0 ⇔ a = 2 (do a
Vậy:

B=

x b 3
.
= =
y a 2

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

b

1
2
7
=
7⇒ +
a a +1 6
6
> 0)suyra : b = 3.


 Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định
Thí dụ 4. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
(x − y )(x + y ) =
z2
(4)

2
2
 4 y = 5 + 7z
Tính giá trị biểu thức D =2x 2 + 10 y 2 − 23z 2 .

Lời giải
z 2 − x 2 − y 2 =
0
Ta có: (4) ⇔  2
2
5.
 4 y − 7z =
Ta tìm các số thực a, b thỏa mãn:

Thí dụ 6. Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn:

5
(1)
x 3=
y
z
 5=
2
t t t
9
 − + =
(2)
 x y z 10

t2 t2 t2
+
+ .
Tính giá trị biểu thức: C =
xy yz zx
Lời giải.

(4)

a (z 2 − x 2 − y 2 ) + b (4y 2 − 7z 2 ) = 2x 2 + 10 y 2 − 23z 2
⇔ ax 2 + (4b − a )y 2 − (7b + a )z 2 = 2x 2 + 10 y 2 − 23z 2
 a=
2
a =

2

⇔  4b − a = 10 ⇔ 
b = 3.
7b + a =
23

Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15.
Thí dụ 5. Cho các số thực x, y, z, t thỏa mãn:

t
 x + 2 y + 2z = 1
(5) .

t
1

=
 z − 3x 2

t
.
Tính giá trị biểu thức: E =
x + 8 y + 9z
Lời giải.

x
y
z
1

 + 2 + 2 =
t
t
t
Ta có: (5) ⇔ 
 z −3x =
2
 t
t
y
z
1 x
Mặt khác: = + 8 + 9 . Giả sử a, b là các
E t
t
t
số thực thỏa mãn:

Từ (1) ta có:
=
y

5
=
x , z 2x .
3

5
x , z 2x . vào (2) ta được:
=

3
t
t
t
9
−
+
=
⇒t = x.
x 5
2x 10
x
3
Vì thế:

Thay
y
=

t 2 t 2 t 2 x2 x2 x2
C =
+
+
=
+
+
xy yz zx xy yz zx
x x x x 3 3 1 1 7
= + . + = + . + = .
y y y z 5 5 2 2 5

 Dạng 3: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Thí dụ 7. Cho các số a, b, c thỏa mãn:
a +b −c a +c −b b +c −a
= =

c

Tính A =

b

a

(a + b )(b + c )(c + a )
abc
Lời giải

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a +b −c a +c −b b +c −a
= =
c
b
a
(a + b − c ) + (a + c − b ) + ( b + c − a )

x
y
y
= 1


z =
x z x
z
a  + 2. + 2.  + b  −3. +  = + 8. + 9.
a +b +c
t
t  t t t
t
t
t
c c
b 2c
a + b −=
a +=


y
y
x
z x
z
⇒ a + c − b = b ⇒ a + c = 2b
⇔ (a − 3b ) + 2a . + (2a + b ). = + 8 + 9
t
t
t t
t
t
b + c=

b=
−a a

 + c 2a
a − 3b =1
a =
4
1

+ a ) 2c .2a .2b
(a + b )(b + c )(c=
⇔  2a = 8 ⇔ 
⇒ = 4.1 + 1.2 = 6.
A
=
⇒
= 8
E
abc
abc
b = 1
2a + b =
9


Vậy E = 6
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


 Dạng 4: Sử dụng phương pháp hình học

Từ (7) suy ra x > 1 và z < 2.

Thí dụ 7. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn
x2 + y2 =
9
 2
2
16 ( * )
y + z =
 y 2 = xz


Ta viết lại hệ (7) dưới dạng:

(

)

2

25
−
+y2 =
1
x

4

2


4
Ta viết lại hệ (7) dưới dạng:  y 2 + 2 − z =
 2
 y = x − 1. 2 − z

Xét tam giác ABC vuông tại B, đường cao BD với
5
=
AB =
, BC 2.
2

(

Tính giá trị biểu thức G= xy + yz

Lời giải

A
x

D

)

Đặt BD =y , AD = x − 1,CD = 2 − z

3

z

y

Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ. Từ đó ta có:
=
H y

B

C

4

(

)

1 5
2 2

2.S =
2. . =
.2 5.
x − 1 + 2 −=
z
ABC

Vậy H = 5.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AB = 3, BC = 4
đường cao BD. Đặt AD = x, BD = y, DC = z, ta thấy x,
y,z hoàn toàn thỏa mãn hệ thức (*). Khi đó:

Câu 1. (Chun Bình Dương 2018)

G = xy + yz = y ( x + z )

Cho các số thực x, y thỏa mãn

= 2.S ABC= AB .BC
= 3.4
= 12

Thí dụ 8. Cho 3 số thực x, y, z với y > 0 thỏa mãn:

29
2
 x +y =
4

2
2
y −z =

 2
y = x − 1. 2 − z


2018 + x 2

)( y +

)

2018 + y 2 =
2018

Tính giá trị của biểu thức

Q = x 2019 + y 2019 + 2018 ( x + y ) + 2020

( 7)

H y
Tính giá trị biểu thức=

(

Câu 2. (Chuyên Nam Định 2016)

x − 1 + 2 −z

)

Lời giải

Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn các điều kiện

a +b +c =

6;

1
1
1
47
.
+
+
=
a + b b + c c + a 60

Tính giá trị của biểu thức

A

a

b +c

+

b

c +a

+

c

a +b

.

Câu 3. (Chuyên Khánh Hòa 2018)

D

Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn :

2

x + y + z=

y

B

(x +

C

(

1 1
1
1
1 1 1
; 2 + 2 +
= 4; + + > 0

2 x
xyz
x y z
y

)(

y 2017 + z 2017 z 2019 + x 2019
Tính Q =

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

)( x

2021

+ y 2021

)


Câu 4. (Chuyên TP. Hồ Chí Minh 2018)

Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c =
0 và a 2= 2 (a + c + 1 )(a + b − 1 ) . Tính giá trị của
biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2

Câu 5. (Chuyên TP. Hồ Chí Minh 2015)
Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ 0 . Tính giá trị của biểu thức:
=

P

1  1
1
+

(a + b )3  a 3 b 3


3  1
1
+
+

4
2
b2
 (a + b )  a


6 1 1
+ 
+
5 
 (a + b)  a b 

Câu 6. (HSG huyện Thủy Nguyên 2018)
Cho các số thực x , y , z ≠ 0 thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 +

1

x

2

+

1

y

+

2

1

=
6. Tính giá trị biểu thức

z2

P = x 2017 + y 2018 + z 2019 .
Câu 7. (HSG huyện Vĩnh Bảo 2018)
Cho ba số x , y , z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx =
1. Tính giá trị biểu thức:

( 1 + y )( 1 + z ) + y ( 1 + z )( 1 + x ) + z ( 1 + x )( 1 + y ) .
2

P =x

2

2

1+x2

2

2

1+y2

2

1+z2

Câu 8. (HSG Nam Định 2015)

18 và xyz = −1 .
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z =
2, x 2 + y 2 + z 2 =
Tính giá trị của S =

1
1
1
+
+

⋅
xy + z − 1 yz + x − 1 zx + y − 1

Câu 9. (HSG TP. Hải Phòng 2015)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xyz =
4.
Rút gọn biểu thức: B=

x (4 − y )(4 − z ) + y (4 − z )(4 − x ) + z (4 − x )(4 − y ) − xyz .

Bài 10. (HSG Hải Dương 2013)
Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và
Tính giá trị của biểu thức B =
Bài 11. (HSG huyện Yên Định 2012)

a 4 − 4b 4 .
b 4 − 4a 4

a 3 − a 2 b + ab 2 − 6b 3 =
0.

0 , tính giá trị của biểu thức: P =
Cho a + b + c =

1

b +c −a
2

2

2

+

1

a +c −b
2

2

2

+

1

a + b2 −c 2
2

Câu 12. (Chuyên Lam Sơn năm 2019-2020)

0 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A =
Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab + bc + 2ca =
Câu 13. (Chuyên Lam Sơn năm 2018-2019)
3
2
0
a − 3a + 5a − 17 =

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức  3
2
0
b − 3b + 5b + 11 =
2
Chứng minh rằng a + b =

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

bc
8a

2

+

ca ab
+
b2 c 2


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Ta có:

(x +

2018 + x 2

)( y +

)

2018 + y 2 =2018 ⇔ x + 2018 + x 2 =

2018

2
⇔ x + 2018 + x=

(

2018 + y 2 − y

2018 + y − y
2

x
Biến đổi tương tự ta có: 2018 + x 2 −=
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

2

)⇔x +

y + 2018 + y 2

2
2018 + x=

2018 + y 2 + y

2018 + x 2 =

2018

2018 + y 2 − y

(1)

(2)

2018 + y 2 ⇔ 2018 + x 2 = 2018 + y 2

x =
y
⇔ x2 = y2 ⇔ 
x = − y

+)Với x = y ta có:

x 2019 + y 2019 =
0
2
2
⇔
+
+
=
+
−

⇔
=
⇔
=
⇒
=
=
⇒
x
x
x
x
x
x
x
y
1
2018
2018
2
0
0
0
()

0
x + y =
⇒ Q= x 2019 + y 2019 + 2018(x + y ) + 2020= 2020
2019
2019

=
0
x + y
+)Với x = −y , ta có: 
⇒Q =
2020
0
x + y =
Vậy Q = 2020

6 − ( b + c ) 6 − (c + a ) 6 − (a + b )
c
+ =
+
+
b +c c +a a +b
b +c
c +a
a +b
 1
1
1 
6
6
6
47
47
17
+
+

− 3 = 6. − 3 =
−3 =
.
=
+
+
− 3= 6 

60
10
10
b +c c +a a +b
b +c c +a a +b 
x + y +z
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
=
Câu 3. Ta có: x + y + z = ⇔
⇔
+
+ =
⇔

+
+ =
2
xyz
2xyz
xy yz xz 2xyz
xy yz xz xyz
Câu 2. Do a + b + c =
6 nên

a

+

b

2

1 1 1
1 1 1
⇒ 2 + 2 + 2 +
+
+
= 2 + 2 + 2 +
=4 ⇒  + +  =4 ⇔ + + =2
xy yz xz x
xyz
x y z
x
y

z
y
z
x y z 
1

Từ đó:

1

1

x

1

1 1
+=
+

y

z

2

2

1

x + y +z

2

1

1

1

1

⇔ ( xy + yz + xz )( x + =
y + z ) xyz ⇔ ( x + y )( x + z )( y + z ) =
0

x =−y

⇔ y =
−z
z = −x

Hơn nữa các mũ của Q đều lẻ nên có ít nhất 1 thừa số bằng 0. Vậy Q = 0
Câu 4. Ta có: a + b + c =0 ⇔ b =−a − c

⇒ a 2= 2 (a + c + 1 )(a + b − 1 ) ⇔ a 2= 2 (a + c + 1 )(a − a − c − 1 )

⇔ a 2= 2 (a + c + 1 )( −c − 1 ) ⇔ a 2 + 2 (a + c + 1 )(c + 1 )= 0
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

⇔ a 2 + 2a (c + 1 ) + 2 (c + 1 ) =0 ⇔ (a + c + 1 ) + (c + 1 ) =0
2

2

2

a + c +=
1 0
=
a 0
⇔
⇔
⇒ b =−a − c =1
c
1
0
c
1
+
=
=
−



⇒ A = a 2 + b 2 + c 2 = 0 2 + 12 + ( −1 ) = 2
2

Vậy A = 2
Câu 5. Với ab = 1 , a + b ≠ 0, ta có:

a 3 + b3
a 3 + b 3 3(a 2 + b 2 ) 6(a + b )
3(a 2 + b 2 )
6(a + b )
+
+
=
+
+
P =
(a + b )3 (ab )3 (a + b )4 (ab )2 (a + b )5 (ab ) (a + b )3
(a + b )4
(a + b )5
a 2 + b 2 − 1 3(a 2 + b 2 )
6
(a 2 + b 2 − 1)(a + b )2 + 3(a 2 + b 2 ) + 6
=
+
+
=
(a + b )2
(a + b )4
(a + b )4
(a + b )4
(a 2 + b 2 − 1)(a 2 + b 2 + 2) + 3(a 2 + b 2 ) + 6 (a 2 + b 2 )2 + 4(a 2 + b 2 ) + 4 (a 2 + b 2 + 2)2
=
=

=
(a + b )4
(a + b )4
(a + b )4
2

2
(a 2 + b 2 + 2ab )2 (a + b ) 
=
= =
1
(a + b )4
(a + b )4

Vậy P = 1, với ab = 1 , a + b ≠ 0.
Câu 6.

x2 + y2 +z2 +


⇔ x


1

x

2

+

1

y

+

2

1


1
= 6 ⇔ x 2 − 2 + 2
z
x

2

  2
1
 +  y − 2 + 2
y
 

  2
1
 +  z − 2 + 2
z
 


=0



1
0
x − =
x
x =−1 x =1

2
2
2
1 
1 
1
1



−  +  y −  +  z −  =⇔
−1 ∨ y =
0
0
1
y − =⇔
y =
x 

y 
z
y

z =

−1 z =
1


1
0
z − =
 z

Do đó P = x 2017 + y 2018 + z 2019 = 3 khi x= y= z= 1
Hoặc P = x 2017 + y 2018 + z 2019 = 1 khi x = y = z = −1
Câu 7. Ta có: 1 + x 2 = xy + yz + zx + x 2 = y ( x + z ) + x ( x + z ) = ( x + y )( x + z )
Tương tự: 1 + y 2 = ( x + y )( y + z ) ; 1 + z 2 = ( x + z )(z + y )

( 1 + y )( 1 + z ) + y ( 1 + z )( 1 + x ) + z ( 1 + x )( 1 + y )
2

Do đó: P = x

2

2

1+x2

1+y2

2

2

2

1+z2

=x

( y + z )( y + x )( x + z )(z + y ) + y (z + x )(z + y )( x + y )( x + z ) + z ( x + y )( x + z )( y + x )( y + z )
( x + y )( y + z )
(z + x )(z + y )
( x + y )( x + z )

= x

(y + z )

2

+y

(z + x )

2

+z

(x + y )

2

= xy + xz + yz + xy + xz + zy

= 2 ( xy + yz + zx )
=2

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


( x − 1 )( y − 1 )
( y − 1 )(z − 1 ) và zx + y − 1 = (z − 1 )( x − 1 )

Câu 8. Ta có xy + z − 1 = xy − x − y + 1 =
Tương tự yz + x − 1 =
Suy ra S =

1

+

1

+

1

( x − 1 )( y − 1 ) ( y − 1 )(z − 1 ) (z − 1 )( x − 1 )

=

x + y +z −3
( x − 1 )( y − 1 ) (z − 1 )

−1
1
=
xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − 1 xy + yz + zx

x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx =
−7
Ta có ( x + y + z ) =
2

1
7

Suy ra S = −

Câu 9. Ta có x + y + z + xyz = 4 ⇔ 4(x + y + z ) + 4 xyz = 16
Khi đó ta có:

x (16 − 4y − 4z + yz ) = x (yz + 4 xyz + 4x )

x (4 − y )(4 − z=
)

= x . ( yz + 2 x )2 = xyz + 2x (1)

y (4 − z )(4 − x )=

Tương tự

z (4 − x )(4 − y )=

xyz + 2 y (2)

xyz + 2z (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra B = 2(x + y + z + xyz ) = 2.4 = 8 .
Câu 10. Ta có: a 3 − a 2 b + ab 2 − 6b 3 =0 ⇔ (a − 2b )(a 2 + ab + 3b 2 ) =0 (*)
Vì a > b > 0 ⇒ a 2 + ab + 3b 2 > 0 nên từ (*) ta có a = 2 b
Biểu =
thức B

−4
12b 4
a 4 − 4b 4 16b 4 − 4b 4
.
Vậy:
=
=
B
=
4
4

4
4
4
21
−63b
b − 4a
b − 64b

0  y + z =
−x ⇔  ( y + z ) =
Câu 11. Ta có: x + y + z =⇒
( −x )
2

−2 yz . Do đó:
Suy ra: y 2 + z 2 – x 2 =

2

x2
x2
=
y 2 + z 2 − x 2 −2 yz

y2
y2
z2
z2
Tương tự =
ta có: 2

=
;
z + x 2 − y 2 −2xz x 2 + y 2 − z 2 −2xy

y2
y2
x3 + y3 +z3
x2
z2
x2
z2
Do đó: P = 2
+
+
=
+
+
=
−2xyz
y + z 2 − x 2 z 2 + x 2 − y 2 x 2 + y 2 − z 2 −2 yz −2xz −2xy
=

(x + y + z )

Vậy P = −

3

− 3 ( x + y )( y + z )(z + x )
−2xyz

=

0 − 3. ( −z ) . ( −x ) . ( −y )
−2xyz

=

3xyz
3
= −
2
−2xyz

3
2
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


Câu 12. Đặt x = 2 a, y = b, z = c ta được xy + yz + zx = 0 ⇒

Khi đó 2 A =

1

x

+

1

y

+

1

z

=0

 1
bc 2ac 2ab yz zx xy
1
1 
+ 2 + 2 = 2 + 2 +=
xyz  3 + 3 + 3 
2
2
4a
b
c
x
y
z
y
z 
x

 1 1 1  1

1
1
1
1
1 
=
+
+
+
+
−
−
−

 = 0 ta có


x 3 y 3 z 3 xyz  x y z   x 2 y 2 z 2 xy yz 2x 
1
1
1
3
3
3
+ 3 + 3 = ⇒ 2 A = xyz ⋅
= 3 . Vậy A = .
3
xyz
xyz
2

x
y
z

Mặt khác từ hằng đẳng thức

1

+

1

+

1

3

−

Câu 13.
3

0(1)
a 3 − 3a 2 + 5a − 17 =
0
(a − 1 ) + 2a − 16 =
⇔
 3


2
3
0
0(2)
( b − 1 ) + 2b + 12 =
b − 3b + 5b + 11 =

⇒ ( 1 ) + ( 2 ) ⇔ (a − 1 ) + 2a − 16 + ( b − 1 ) + 2b + 12 =
0
3

3

2
2
⇔ (a − 1 + b − 1 ) (a − 1 ) − (a − 1 )( b − 1 ) + ( b − 1 )  + 2 (a + b − 2 ) =
0


2
 a − 1

2
 3
⇔ ( a + b − 2 ) 
+ b − 1  + (b − 1) + 2  =
0
4
 2



2
 a −1

2
 3
=
⇔ a + b 2  do 
+ b − 1  + ( b − 1 ) + 2 > 0∀a , b 
  2

4



Vậy ta có điều phải chứng minh

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗