Su dung bieu thuc lien hop trong giai toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (535.08 KB, 8 trang )
Date
BIỂU THỨC LIÊN HỢP
“tailieumontoan.com”
I. Lý thuyêt
II. Bài tâp
Các dạng liên hợp thường được sử dụng:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
A −B
A− B =
A+ B
Căn bậc 2:
Bài 1. Tính giá trị biểu thức:
A2 − B
Căn bậc 3:
3
3
A− B =
3
A
3
( )
A+3B =
3
A
( )
A −B
2
+3A3B +
A +B
2
−3A3B +
( )
3
B
( B)
3
1
=
S
( B)
3
( )
1
+ ... +
2+ 3
2017 + 2018
Lời giải
.
2
1
+
1
+ ... +
1+ 2
2+ 3
2017 + 2018
2− 1
3− 2
4− 3
2018 − 2017
+
+
+ ... +
1
1
1
1
2018 − 1.
=
=
A3 − B
A−3B =
A2 + A 3 B + 3 B
Bài 2. Tính giá trị biểu thức:
2
1
=
S
2 1 +1 2
1
+
Ta có:
(k + 1)
+ ...+
3 2 +2 3
Lời giải
2
Chú ý: - Liên hợp với căn bậc 3 mẫu số luôn là đại lượng
khơng âm
1+ 2
1
+
Ta có:
2
A3 + B
A+ B =
A2 − A 3 B +
3
1
=
S
A− B =
A+ B
1
1
2025 2024 + 2024 2025
1
=
k +k k +1
1
−
k
(*)
k +1
Thật vậy với mỗi k nguyên dương ta có:
(k + 1)
=
1
k +k k +1
(k + 1)
(k + 1) k − k k + 1
( k + 1 ) k − k k + 1
=
2
k −k k +1
1
=
k (k + 1)
k
−
2
1
k +1
Áp dụng đẳng thức (*) lần lượt với k bằng 1, 2, 3, 4,…, 2024 ta được:
S=
1
1
=1 −
1
−
1
2
2025
+
1
2
=1 −
−
1
3
+ ... +
1 44
=
45 45
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
1
2024
−
1
2025
Bài 3, Nếu a , b , c là các số khơng âm thoả mãn điều
a +c
kiện: b =
thì ta có:
2
1
1
2
+
=
a + b
b+ c
c + a
( 2x − 3 ) − x = x − 3
Nhận thấy
nên ta có lời giải.
−
=
−
x
x
2
6
2
3
)
(
1
c + a
−
(*) ⇔
b− c
=
a + b ( c + a )( a + b )
1
b −c
=
⇔ (x
( 1)
( c + a )( a + b )( b + c )
1
1
Tương tự
−
b+ c
c + a
a −b
=
(2)
( c + a )( a + b )( b + c )
a +c
Mà b =
⇒ a − b = b − c (3)
2
Từ (1) (2) (3) suy ra:
1
1
1
1
−
=
−
b+ c
c + a
c + a
a + b
1
1
2
hay
+
=
a + b
b+ c
c + a
Bài 4, Cho các số thực x, y thỏa mãn:
(x +
2018 + x
2
)( y +
2018 + y
2
⇔
Ta có:
(
Suy ra
(
)(
3
3
⇒ 2x − 3 + x >
=
1
2
2
1
1
⇒
<1⇒
=
2
2x − 3 + x
2x − 3 + x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 6. Giải phương trình:
x + 1 + 1= 4x 2 + 3x
= 2018
(
2018 + x 2 − x
2
⇒ y + 2018 + y=
( * ) ⇔ ( 4x
)
)
)( y +
2018 + x 2 − x
2
Tương tự: x + 2018 + x =
2018 + y 2
(2)
2018 + y 2 − y
Cộng theo vế (1) và (2) ta được: x + y = 0
⇒ x =−y ⇒ x 2017 =−y 2017 ⇒ x 2017 + y 2017 =0
Vậy Q = 1
Dạng 2: Giải phương trình
a) Nhân liên hợp để có nhân tử chung
Bài 5. Giải phương trình
2x − 3 − x = 2x − 6
(*)
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0
2018
y + 2018 + y 2 =
)(
(VN )
( 3x ) − ( x + 1 ) = 2x − 1
Nhận thấy 2
nên ta có lời
4x − 1= ( 2x − 1 )( 2x + 1 )
giải như sau:
2018
)=
Lời giải
2018 + x 2 − x x + 2018 + x 2
− 2 (x − 3 ) =
0
2x − 3 + x
1
− 3)
− 2 =
0
2x − 3 + x
x=
3
1
( 1)
2x − 3 + x
x≥
Tính giá trị biểu thức:
Q = x 2017 + y 2017 + 2018 ( x + y ) + 1
Vì x + 2018 + x 2
3
2
x −3
Điều kiện: x ≥
Lời giải
Ta có
Lời giải
(2)
)
2
) (
−1 +
)
3x − x + 1 =
0
⇔ ( 2x − 1 )( 2x + 1 ) +
2x − 1
=
0
3x + x + 1
1
⇔ ( 2x − 1 ) 2x + 1 +
=0
3x + x + 1
1
1
=
⇔x
> 0 ∀x ≥ 0
do 2x + 1 +
2
3x + x + 1
1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
b) Nhẩm được nghiệm, thay nghiệm vào căn tìm liên hợp
Bài 7. Giải phương trình:
3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 =
0
(*)
Nhận thấy x = 5 là nghiệm của Pt khi đó để xuất hiện
(*)
nhân tử chung (x – 5) ta ghép
nên ta có lời giải.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
(
)(
3x + 1 − 4 , 1 − 6 − x
)
Lời giải
c) Dùng hệ số bất định
Bài 9. Giải phương trình
1
Điều kiện − ≤ x ≤ 6
3
(x + 1)
Phương trình đã cho tương đương:
(
⇔
) (
)
3x + 1 − 4 + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 5 =
0
3 (x − 5 )
3x + 1 + 4
+
x −5
+ ( x − 5 )( 3x + 1 ) =
0
6−x +1
x=
5
⇔
1
1
+
+ 3x + 1 =
0
6−x +1
3x + 1 + 4
Ta có:
1
3x + 1 + 4
1
1
+ 3x + 1 > 0 ∀x ∈ − ;6
6−x +1
3
+
Bài 8. Giải phương trình:
(*)
( * ) ⇔ 2x
⇔3
⇔
3
(
3
(
3
)
4x − 4 − 2 nên ta có
− 11x + 21= 3 3 4x − 4
) (
)
4x − 4 − 2 − 2x 2 − 11x + 15 =
0
3 ( 4x − 4 − 8 )
( 4x − 4 )
2
+ 2 4x − 4 + 4
3
Vì x = -1 khơng là nghiệm phương trình nên với x ≠ −1 ta được
x2 +1
x +1
( * ) ⇔ x 2 − 2x + 3 =
⇔ x 2 − 2x + 3 − ( x − =
1)
(x
⇔
) (
− 2x + 3 − x 2 − 2x + 1
2
x 2 − 2x + 3 + ( x − 1 )
x2 +1
− (x − 1)
x +1
)=
x +1−x +1
2
2
x +1
2
2
=
x − 2x + 3 + ( x − 1 ) x + 1
⇔
2
⇔ x =1 ± 2
lời giải.
2
Lời giải
⇔ x 2 − 2x − 1 =
0
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của Pt khi đó để xuất hiện
nhân tử chung (x – 3) ta ghép
(*)
⇔ x 2 − 2x + 3 + ( x − 1 ) = x + 1
Do đó PT có nghiệm duy nhất x = 5.
2x 2 − 11x + 21= 3 3 4x − 4
x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1
− ( 2x − 5 )( x − 3 ) =
0
Vậy PT có nghiệm x = 1 ± 2
Nhận xét: Vấn đề tại sao chúng tôi điền số (x – 1) vào hai vế ???
Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số α , β sao cho
x2 +1
x − 2x + 3 − (α x + β )=
− (α x + β ) (α > 0 )
x +1
2
x 2 − 2x + 3 − (α x + β ) x 2 + 1 − ( x + 1 )(α x + β )
⇔
=
x +1
x 2 − 2 x + 3 + (α x + β )
2
(
)
(1 − α ) x
⇔
2
2
(
− 2 ( 1 + αβ ) x + 3 − β 2
)
12
x 2 − 2 x + 3 + (α x + β )
⇔ (x − 3 )
− ( 2x − 5 ) =
0
2
3
1 − α ) x 2 − (α + β ) x + ( 1 − β )
3 ( 4x − 4 ) + 2 4x − 4 + 4
(
=
x +1
x=
3
Cần xác định α , β sao cho
12
⇔ 2x − 5 −
=
0 ( 1)
2
3
1 − α 2 =−
1 α
( 4x − 4 ) + 2 3 4x − 4 + 4
−1.
α +β ⇔α =
1, β =
2 ( 1 + αβ ) =
Với x > 3 ⇒ 2x − 5 > 1 đặt t= 3 4x − 4 > 2
3 − β 2 =−
1 β
12
⇒ t 2 + 2t + 4 > 12 ⇒ 2
< 1 tức (1) Vô nghiệm
t + 2t + 4
Bài 9. Giải phương trình
Với x < 3 ⇒ 2x − 5 < 1 đặt t= 3 4x − 4 < 2
3x + 1 ) x 2 + 3= 3x 2 + 2x + 3 ( * )
(
12
⇒ 0 < t 2 + 2t + 4 < 12 ⇒ 2
> 1 tức (1) Vơ nghiệm
Lời giải
t + 2t + 4
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3.
1
1
Vì x = − khơng là nghiệm phương trình nên với x ≠ − ta được
3
3
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
3x 2 + 2 x + 3
2
*
3
x
⇔
+
=
()
3x + 1
3x 2 + 2 x + 3
⇔ x 2=
+ 3 − 2x
− 2x
3x + 1
3x 2 + 2 x + 3 − 6 x 2 − 2 x
x 2 + 3 − 2x
⇔
=
3x + 1
x 2 + 3 + 2x
(
3 1−x2
)
(
)
3 1−x2
⇔
=
3x + 1
x 2 + 3 + 2x
1
1
0
⇔ 3 1−x2
−
=
2
3
1
x
+
3
2
x
x
+
+
x = ±1
⇔
1
1
=
( 1)
x 2 + 3 + 2x 3x + 1
(
( 1) ⇔
)
x 2 + 3 + 2 x = 3x + 1
x ≥ −1
⇔ x2 +3 = x +1 ⇔ 2
2
x + 3 = x + 2x + 1
⇔x =1
Vậy PT có nghiệm x = 1 và x = -1
Nhận xét: Để đặt được -2x vào hai vế ta xét dạng tổng quát
3x 2 + 2 x + 3
x 2 + 3 − (α =
x +β)
− (α x + β )
3x + 1
Sau đó sử dụng đồng nhất đề tìm hai số α , β như ví dụ trên
Bài 10. Giải phương trình
x 2 − 4x + 12= 4 4 − x + 3x + 16
(*)
Nhận thấy: x = 0 và x = 3 là hai nghiệm của phương
trình, do đó ta dự đốn nhân tử chung khi phân tích
phương trình thành tích là x 2 − 3x
Với căn thức
4 − x ta cần nhóm 4 − x − (ax + b ) =
0
Do x = 0 và x = 3 là hai nghiệm của phương trình nên
0
1
2 − b =
⇒ a =− , b =2
0
3
1 − ( 3a + b ) =
1
Do đó ta thực hiện phép nhóm 4 − x − − x + 2 .
3
Hoàn toàn tương tự với căn thức
phép nhóm
16 + 3x ta thực hiện
1
3x + 16 − x + 4 .
3
Lời giải
Điều kiện −
16
≤x ≤4
3
x
x
x 2 − 3=
x 4 4 − x − 2 − + 3x + 16 − + 4
3
3
(
4 3x − x
⇔
=
x 2 − 3x
2
)
3
3x − x 2
+
x
4−x +2−
3x + 16 +
x
3
+4
4
1
⇔ x 2 − 3x 1 +
+
0
=
x
x
4−x +2−
3x + 16 + + 4
3
3
(
)
4
Dễ thấy 1 +
4−x +2−
x
1
+
3
3x + 16 +
x
3
>0
+4
16
≤ x ≤ 4. .
3
Do đó từ pt trên ta có x 2 − 3x = 0 ⇔ x = 0; x = 3, (TMĐK)
với mọi −
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {0;3} .
d) truy ngược dấu các biểu thức liên hợp
Mở đầu: Để giải PT vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp,
thông thường ta biến đổi PT về dạng (ax + b).A(x) = 0 hoặc
(ax2 + bx + c).A(x) = 0 trong đó A ( x ) > 0 ∀x ∈ D hoặc
A ( x ) < 0 ∀x ∈ D . Tuy nhiên trong nhiều trường hợp để
chứng minh A ( x ) > 0 ∀x ∈ D cần kết hợp phương pháp
đánh giá để giải quyết trọn vẹn nó, nguyên nhân là sau khi
thực hiện phép biến đổi liên hợp đại lượng A(x) chứa các
biểu thức có dấu ngược nhau.
Từ đó ta nảy sinh ý tưởng truy ngược dấu các biểu thức
trong đại lượng A(x) để đưa về cùng một dấu và làm cho
đại lượng A(x) hiên nhiên dương (hoặc âm) với mọi x thuộc
tập xác định của PT.
Bài 11. Giải phương trình
2x 2 − 5x − 1=
x −2 + 4−x
(*)
Phân tích: ĐKXĐ: x ∈ 2;4
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của PT (*)
Cách giải thông thường là đưa PT(*) về dạng
0
( x − 3 ) 1 − 1 − 2x − 1 =
x −2 +1 1+ 4−x
Sau đó đánh giá
1
1
− 2x − 1
x −2 +1 1+ 4−x
là âm hay dương tuy nhiên việc này là rất khó khăn do
1
x −2 +1
−
> 0 ∀x ∈ 2; 4 ;
1
1+
−
4−x
− 2x − 1 < 0 ∀x ∈ 2; 4
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Lời giải:
ĐKXĐ: x ∈ 2;4 . PT đã cho tương đương với:
(
)
(
1− 4−x + x −2
x −3
Xét
)
x − 2 − 1 + 2 x 2 − 6x =
0
(x − 3 )
x −2
+ 2x ( x − 3 ) =
0
x −2 +1
1+ 4−x
x −2
1
⇔ (x − 3 )
+
+ 2x =
0
1+ 4−x
−
+
x
2
1
⇔x =
3
⇔
+
x −2
1
+
+ 2x > 0 ∀x ∈ 2;4
do
x −2 +1
1+ 4−x
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 12. Giải phương trình
3
x +6 + x −1 = x2 −1
(*)
43 x + 6 + 4 x − 1= 4x 2 − 4
⇔ 4 x −1
(
⇔ 4 x − 1.
⇔ (x − 2 )
⇔x =
2
do
)
x −1 −1 +3 x
+ 6 3 (x
2
+ 6)
− 4 + 4x 2
− 5x − 6 =
0
( x − 2 )( x + 14 )
x − 2 + 3 x + 6.
+ ( x − 2 )( 4x + 3 ) =
0
x −1 +1
3 ( x + 6 )4 + 16 + 43 ( x + 6 )2
4 x −1
+
x −1 +1 3
4 x −1
+
x −1 +1 3
3 x + 6. ( x + 14 )
4
2
( x + 6 ) + 16 + 43 ( x + 6 )
2
4
( x + 6 ) + 16 + 43 ( x + 6 )
+ 4x + 3 > 0 ∀x ≥ 1
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét: Ở thí dụ trên ta thay đổi cách nhóm 1 − x − 1
bằng cách nhóm
(
)
x −1
(
)
x − 1 − 1 và cách nhóm
2
2 − x + 6 bằng cách nhóm x + 6 3 ( x + 6 ) − 4
để truy ngược dấu biểu thức liên hợp
Dạng 3: Giải hệ phương trình
Bài 13. Giải hệ phương trình:
2
xy − y =
3y − 1 − x + 2 y − 1
3
2
0.
x y − 4xy + 7xy − 5x − y + 2 =
Lời giải:
1
1
x≥
y ≥
3
⇔
Điều kiện:
3
y ≥ 1 .
x + 2 y ≥ 1
3
3
3
1
x ≠ 3
Xét 3 y − 1 + x + 2 y − 1 ≠ 0 ⇔
y ≠ 1 .
3
y −x
(1) ⇔ y (x − y ) =
3y − 1 + x + 2 y − 1
x =
y
y −x
1
⇔
y+
=
0 VN do y ≥
3
3y − 1 + x + 2 y − 1
Với x = y, thay vào (2) ta được:
x 4 − 4x 3 + 7x 2 − 6x + 2 =
0
Vậy nghiệm của hệ là: (1; 1).
Bài 14. Giải hệ phương trình
2 2xy − y + 2x + y =
10
3
3 y + 4 − 2 y + 1 + 2 2x − 1 =
Lời giải:
+ 4x + 3 =
0
3 x + 6. ( x + 14 )
Thay vào (2) không thỏa mãn.
1
3
⇔ (x − 1)2 (x 2 − 2x + 2) =
0
⇔ x =1 ⇒ y =1
Lời giải:
ĐKXĐ: x ≥ 1
3y − 1 + x + 2 y − 1 = 0 ⇔ x = y =
Điều kiện: x ≥
(1) ⇔
(
1
; y≥0
2
2x − 1 +
y
)
2
⇔
2x − 1 +
⇔
2x − 1 = 3 − y (*)
=
9
y =3
Thay vào (2) ta được
3 y + 4 − 2 y + 1 − 2( y − 2) − 1 =
0
0
⇔ ( 3 y + 4 − 4) − ( 2 y + 1 − 3) − 2( y − 2) =
⇔
3 y + 4 − 16
3y + 1 + 4
−
2y + 1 − 9
2y + 1 + 3
− 2.
y −4
y +2
=
0
3
2
2
=
⇔ (y - 4).
0
−
−
3y + 1 + 4
2
1
3
2
y
+
+
y
+
y − 4 =
0
3
2
2
⇔
(3)
=
+
3y + 1 + 4
2
1
3
2
y
y
+
+
+
Với y = 4 ta có x = 1
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
3
Với y ≥ 0 ta có
3y + 1 + 4
≤
Dạng 4: Giải bất phương trình
Bài 17. Giải bất phương trình
1
2
2
1
Từ (*) suy ra y ≤ 9 suy ra
> .
+
2y + 1 + 3 y + 2 2
Vậy phương trình (3) vô nghiệm
Kết luận nghiệm của hệ (x;y) = (1 ; 4 )
Bài 15. Giải hệ phương trình
2x 2 − y 2 + xy − 5x + y + 2= y − 2x + 1 − 3 − 3x
2
1
4x + y + 5 − x + 2 y − 2
x − y − =
Lời giải:
Điều kiện:
y − 2x + 1 ≥ 0, 4x + y + 5 ≥ 0, x + 2 y − 2 ≥ 0, x ≤ 1
y − 2x +=
=
1 0
x 1 0 =0
TH 1
⇔
⇒
3 − 3x 0 =
1
10 − 1
=
y 1 −=
(Ko TM hệ)
TH 2. x ≠ 1, y ≠ 1 Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được
(x + y − 2)(2x − y − 1) =
x +y −2
y − 2 x + 1 + 3 − 3x
1
(x + y − 2)
0
+ y − 2x + 1 =
y − 2x + 1 + 3 − 3x
. Do y − 2x + 1 ≥ 0
1
+ y − 2x + 1 > 0
y − 2 x + 1 + 3 − 3x
⇒x +y −2 =
0
Thay y= 2 − x vào pt thứ 2 ta được:
nên
2017x − 2 − 2018x − 5 ≤ x − 3
2
x 2 + x − 3= 3x + 7 − 2 − x
⇔ x 2 + x −=
2
3x + 7 − 1 + 2 − 2 − x
3x + 6
2+x
⇔ (x + 2)(
=
x − 1)
+
3x + 7 + 1 2 + 2 − x
3
1
⇔ (x + 2)
+
+ 1 − x =0
3x + 7 + 1 2 + 2 − x
Do x ≤ 1 nên
3
1
+
+1−x > 0
3x + 7 + 1 2 + 2 − x
Vậy x + 2 =0 ⇔ x =−2 ⇒ y =4 (TMĐK)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y) = (-2; 4).
(*)
Lời giải:
5
. Khi đó:
2018
3−x
≤ x −3
(*) ⇔
2017x − 2 + 2018x − 5
ĐKXĐ: x ≥
1
⇔ (x − 3 ) 1 +
≥0
2017x − 2 + 2018x − 5
⇔ x −3 ≥ 0
⇔x ≥3
Vậy nghiệm của BPT là x ≥ 3 .
Bài 18. Giải bất phương trình
(
2x 2
3 − 9 + 2x
)
2
(*)
< x + 21
Lời giải:
9
9 + 2x ≥ 0
x ≥ −
ĐK
⇔
2
x ≠ 0
3 − 9 + 2x ≠ 0
3+
(
Khi đó ( 1 ) ⇔
9 + 2x
)
2
2
< x + 21
⇔ 9 + 2x < 4 ⇔ 0 ≤ 9 + 2x < 16
9
7
⇔− ≤x ≤
2
2
Kết hợp với ĐK ta có BPT có tập nghiệm là:
9
2
7
2
S = x ∈ R | − ≤ x ≤ ; x ≠ 0 .
Bài 19. Giải bất phương trình
2
x2 +x +1
2
+x2 −4 ≤
x +4
x2 +1
ĐK x > −4
Lời giải:
Khi đó
x2 +x +1
2
− 1 + x 2 − 3 ≤
−1
2
x
+4
x
1
+
BPT ⇔ 2
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
x2 +x +1
2 − x2 +1
− 1 + x 2 − 3 ≤
x +4
x2 +1
x2 +x +1
−1
4− x2 +1
x +4
⇔ 2.
+x2 −3≤
x2 +x +1
x2 +1 +2 x2 +1
+1
x +4
2 x2 −3
x2 −3
⇔
+x2 −3+
≤0
x2 +1 x2 +1 +2
(x + 4 ) x 2 + x + 1 + x + 4
BPT ⇔ 2
(
(
(
)
(
)
)
)
(
)
2
1
2
⇔ x −3
+
+ 1 ≤ 0
2
2
2
x +1 x +1+2
(x + 4 ) x + x + 1 + x + 4
A
⇔ x 2 − 3 ≤ 0 (do A > 0, ∀x > −4 )
(
)
(
)
(
)
⇔ − 3 ≤ x ≤ 3 (thỏa mãn ĐK)
Vậy nghiệm của BPT là − 3 ≤ x ≤ 3
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 20. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
x +2 −y3=
y + 2 − x 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
ĐK: x ≥ 1; y ≥ 1
Nếu x =
y =⇒
1 S =
−1.
Xét x ≥ 1; y ≥ 1 và x ≠ 1 hoặc y ≠ 1
Ta có:
⇔
(
⇔
x − 1 − y y=
y −1 −x x
) (
)
x −y
+ ( x − y )( x +
x −1 + y −1
x −1 − y −1 + x x −y y =
0
)
xy + y =
0
x+ y
⇔ x − y
+ x + xy + y =
0
x −1 + y −1
A
=
⇔ x y (do A > 0 )
(
)
Khi đó: =
P 2x 2 − 8x +=
5 2 ( x − 2 ) − 3 ≥ −3.
2
P = -3 khi x = y = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi x = y = 2.
thức: P = x 2 − 2xy + 4x − y 2 + 2017.
Lời giải:
ĐK: x ≥ −2; y ≥ −2
Nếu x =y =−2 ⇒ P =2001.
Bài 1. Tính giá trị biểu thức:
Xét x ≥ −2; y ≥ −2 và x ≥ −2 hoặc y ≥ −2
Ta có:
⇔
⇔
(
x +2 −y3=
)
=
S
y + 2 −x3
x +2 + y +2
(
)
+ ( x − y ) x 2 + xy + y 2 =
0
1
⇔ (x − y )
+ x 2 + xy + y 2 =
0
x +2 + y +2
A
=
⇔ x y (do A > 0 )
Khi đó: P = x 2 − 2xy + 4x − y 2 + 2017
=
−2x 2 + 4x + 2017 =
2019 − 2 ( x − 1 ) ≤ 2019.
2
P = 2019 khi x = y = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2019 khi x = y = 1.
Bài 21. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
x − 1 − y y=
y − 1 − x x . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: S = x 2 + 3xy − 2 y 2 − 8 y + 5.
Lời giải:
+
1
1
+ ... +
1+ 5
5+ 9
2009 + 2013
Bài 2, Cho các số thực x, y thỏa mãn:
x + 2 − y + 2 + (x 3 − y 3 ) =
0
x −y
1
(x +
2011 + x 2
)( y +
.
)
2011 + y 2 =
2011
Tính giá trị biểu thức:=
T x 2011 + y 2011
Bài 3, Giải phương trình x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5
Bài 4, Giải phương trình 3 x − 9 + 2x 2 + 3x= 5x − 1 + 1
x 2 + 91 = y − 2 + y 2
Bài 5, Giải hệ
2
2
y + 91 = x − 2 + x
8xy
x2 + y2 +
=
16
x +y
Bài 6, Giải hệ
y 2 + 12 + 5 x + y = 3x + x 2 + 5
2
(
Bài 7, Giải BPT 9 ( x + 1 ) ≤ ( 3x + 7 ) 1 − 3x + 4
2
)
2
Bài 8, Giải BPT x 2 + 2x + 92 ≥ x 2 + 2x + x − 1 + 1
Bài 9. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
x + 5 − y3=
y + 5 − x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = 4x 2 − 3xy + y 2 + x + y + 1.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
