DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP VÀO GIẢI PT VÀ HPT VÔ TỈ

Dùng biểu thức liên hợp vào giải ph -
ơng trình và hệ ph ơng trình vô tỉ
TT Biểu thức Biểu thứ liên hợp tích
1
A


B
A


B
A-B
2
3
A
+
3
B
3
2
A
-
3
AB
+
3
2
B
A+B
3

3
A
-
3
B
3
2
A
+
3
AB
+
3
2
B
A-B
ví dụ1: Giải phơng trình
32

x
-
x
=2x-6
Lời giải.
Điều kiện x

2/3 khi đó PT đã cho tơng đơng với
(
32

x
-
x
)(
32

x
+
x
)/
32

x
+
x
=2(x+3)

xx
x
+

32
3
=2(x-3)

hoặc x=3 (thoả mãn ) hoặc
2 - 1/
32

x

+
x
=0 (1)
Từ điều kiện x

2/3 >1 suy ra 2 - 1/
32

x
+
x
>0
Do đó pt (1) vô nghiệm. Do đó pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3
ví dụ2: Giải PT x
2
+9x+20=2
103
+
x
(*)
Lời giải.
Điều kiện x

-10/3. Khi đó PT đã cho tơng đơng với
(x+3)(x+6)=2(
103
+
x
-1)(
103

+
x
+1)/
103
+
x
+1

(x+3)(x+6)=6(x+3)/
103
+
x
+1

hoặc x=-3(thoả mãn) hoặc x+6 -
1103
6
++
x
=0 (1)
Với x>-3 thì
1103
6
++
x
<3 và x+6>3 nên pt (1) vô nghiệm .
1
Với -10/3

x<-3, tơng tự ta có

1103
6
++
x
>3 và x+6<3 nên pt
(1) vô nghiệm. Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3.
ví dụ3: Giải pt:
12
2
+
x
+5=3x+
5
2
+
x
(*)
Lời giải.
Ta có: (*)

12
2
+
x
-4=3(x-2)+(
5
2
+
x
-3)

=3(x-2)+

=3(x-2)+

hoặc x=2 (thoả mãn) hoặc
=3+ =0 (1)
Do
12
2
+
x
>
5
2
+
x
, từ (*) suy ra 3x>5 dẫn đến x+2>0, từ đó suy ra
-3- <0 nên pt (1) vô nghiệm .
Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của pt (*)
ví dụ4: Giải pt: 2x
2
-11x+21=
3
44

x
Lời giải.
PT đã cho tơng đơng với
(x-3)(2x-5)=

(x-3)(2x-5)=
Hoặc x=3 hoặc 2x-5- =0 (1) với t=
3
44

x
Với x>3 thì 2x-5>1 và <1, suy ra pt (1) vô nghiệm.
Với x<3 thì 2x-5<1 và >1,suy ra pt (1) vô nghiệm.
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3.
ví dụ5: Giải pt: -2 =
Lời giải:
2
điều kiện -2

x

2. Khi đó pt đã cho tơng đơng với
=


=

hoặc x=2/3,
Hoặc +2 =
4
2
+
x

(1)
Bình phơng 2 vế của (1) ta đợc
4 +(2-x)(x+4)=0


(4 +(x+4) )=0 (2)
Dễ thấy 4 +(x+4) >0 với -2

x

2
do đó từ (2) suy ra x=2 ( thoã mãn )
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=2/3 hoặc x=2.
ví dụ6: Giải HPT





=++
=++
)2(321
)1(321
xy
yx
Lời giải:
Điều kiện x

2 và y

2 từ HPT đã cho ta suy ra
1
+
x
- = -


=
1
+
x
+ = +.
Nếu x>y

2 thì
1
+
x
+ > +;
Nếu 2

x<y thì
1
+
x
+ < +;
Do đó x=y. Thay vào PT (1) ta đợc

1
+

x
+ =3

=5-x (3)
Bình phơng 2 vế của (3) giải ra ta đợc x=3 (thoả mãn ).
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x,y)=(3,3)
ví dụ7: Giải HPT







=++
=++
)2(2
1
2
1
)1(2
1
2
1
x
y
y
x
Lời giải:
Điều kiện x>0, y>0 . Từ hệ PT đã cho ta suy ra

x
1
2
+
-
x
1
=
y
1
2
+
-
y
1



=
3
Tõ ®ã ta cã
x
1
2
+
+
x
1
=

y
1
2
+
+
y
1
(3)
NÕu x>y>0 th×
x
1
2
+
+
x
1
<
y
1
2
+
+
y
1
;
NÕu 0<x<y th×
x
1
2
+

+
x
1
>
y
1
2
+
+
y
1
;
VËy tõ (3) suy ra x=y. Thay vµo PT (1) ta cã
x
1
2
+
=2-
x
1
. B×nh ph¬ng 2 vÕ
ta ®îc 2+
x
1
=4+
x
1
-
x
4

⇔
x=4 (tho· m·n)
VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm (x,y)=(4,4).
4