Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2013 môn toán 12 GDTX pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.31 KB, 4 trang )
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - BT THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (5,0 điểm).
1. Cho hàm số
4 2
y x mx m
, với
m
là tham số.
Tìm các giá trị của
m
để hàm số có ba điểm cực trị.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f x x 1 x
trên đoạn
0;1
.
Câu II (5,0 điểm).
1. Giải bất phương trình
2
2x 5x 3 x 1 x
.
2. Giải hệ phương trình
2 2
x y 4xy 3
x,y
x y xy 1
.
Câu III (5,0 điểm).
1. Tìm hệ số của
15
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
5
2
1
x , x 0
x
.
Biết
0 1 n 1 n
n n n n
C C C C 1024
(với
*
n
,
k
n
C
là số các tổ hợp chập
k
của
n
)
2. Giải phương trình :
2sin x 1 sin x 2cosx sin2x cosx
.
Câu IV (5,0 điểm).
Cho hình chóp
S.ABC
có đường cao
SA
, đáy là tam giác vuông tại
B
. Gọi
B'
là hình
chiếu vuông góc của điểm
A
lên đường thẳng
SB
. Qua điểm
B'
kẻ đường thẳng song song
với đường thẳng
BC
cắt
SC
tại
C'
.
1. Chứng minh rằng:
SB
vuông góc với mặt phẳng
AB'C'
.
2. Tính theo
a
thể tích khối chóp
S.AB'C'
, biết
SA AB a
và
BC 2a
.
- - Hết - -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đ
ề thi chính thức
1
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - BT THPT
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu Nội dung Điểm
I.
1,
(2,5đ)
TXĐ:
D
Ta có
3
y' 4x 2mx
0,5
3 2
y' 0 4x 2mx 0 x 2x m 0
0,5
2
x 0
2x m 0 1
0,5
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
1
có hai nghiệm
phân biệt khác
0
0,5
m 0
m 0
m 0
. Vậy giá trị cần tìm là:
m 0
0,5
I.
2,
(2,5đ)
Hàm số
2
f x x 1 x
liên tục trên đoạn
0;1
Ta có
2 2
2
2 2
x 1 2x
f ' x 1 x
1 x 1 x
0,5
2
2
2
1 2x
f ' x 0 0 1 2x 0
1 x
0,5
2
x 0;1
2
2
x 0;1
2
0,5
Ta có
2 1
f 0 0, f 1 0, f
2 2
0,5
Vậy
0;1
Minf x f 0 f 1 0
,
0;1
2 1
Maxf x f
2 2
0,5
II.
1,
(2,5đ)
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
x 1 0
1
2x 5x 3 0
x 1 0
2
2x 5x 3 x 1
0,5
2
Hệ BPT
x 1
x 1
1 x 1
3
x
2
0,5
Hệ BPT
2
x 1
2
x 3x 2 0
0,5
x 1
x 2
x 1
x 2
0,5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S ;1 2;
0,5
II.
2,
(2,5đ)
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
x y 6xy 3
x y xy 1
0,5
2
x y 6xy 3 0
xy x y 1
0,5
2
x y 3
x y 6 x y 9 0
xy 2
xy x y 1
0,5
x 1
y 2
x 2
y 1
0,5
Vậy nghiệm
x; y
của hệ phương trình đã cho là:
1; 2 , 2;1
0,5
III.
1,
(2,5đ)
Ta có
n
0 1 n 1 n
n n n n
1 1 C C C C
0 1 n 1 n n
n n n n
C C C C 2
0,5
Từ giả thiết ta suy ra
n n 10
2 1024 2 2 n 10
0,5
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của
10
5
2
1
x
x
là
2 10 k
k 5k k 7k 20
10 10
C .x .x C .x
0,5
Suy ra
15
x
ứng với
7k 20 15 k 5
0,5
Vậy hệ số của
15
x
là
5
10
C 252
0,5
III.
2,
(2,5đ)
PT
2sin x 1 sinx+2cosx 2sinxcosx cosx
0,5
2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0
0,5
2sinx 1 0 (1)
2sin x 1 sinx+cosx 0
sinx+cosx=0 (2)
0,5
3
x k2
1
6
PT 1 sinx= k
52
x k2
6
0,5
PT 2 2sin x+ 0 x+ k x= k k
4 4 4
Vậy nghiệm của phương trình là
5
x k2 , x k2 , x k k
6 6 4
0,5
IV.
1,
(2,5đ)
Ta có
SA ABC SA BC (1)
Mặt khác
BC AB (2)
0,5
Từ
1
và
2
suy ra
BC SAB
0,5
Do đó
BC SB B'C' SB 3
(vì
B'C'//BC
)
0,5
Theo giả thiết ta có
SB AB' (4)
0,5
Từ
3
và
4
suy ra
SB AB'C'
0,5
IV.
2,
(2,5đ)
Ta thấy tam giác
SAB
cân tại
A
suy ra
B'
là trung điểm của
SB
, do đó
1
SB' SB
2
0,5
2 2
a 2
SB SA AB a 2 SB'
2
Vì
SAB
vuông tại
A
nên ta có
a 2
AB' SB'
2
0,5
Do
BC SAB B'C' SAB B'C' AB'
0,5
Ta có
B'C'
là đường trung bình của tam giác
SBC
suy ra
1
B'C' BC a
2
0,5
Thể tích của khối chóp
S.AB'C'
là
3
1 a
V SB'.AB'.B'C'
6 12
.
0,5
Hết
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
B’
B
A
C
C’
S
