Giáo trình sức bền vật liệu 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG
KHOA XÂY DỰNG
------- @& ? -------

Người biên soạn: Phan Xuân Bình


Sức Bền Vật Liệu 1

CHƯƠNG MỞ ĐẦU : NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
0.1) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - NHIỆM VỤ VÀ ĐẶC ĐIỂM:
0.1.1) Đối tượng nghiên cứu:
Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng.

a)

d)

b)

c)

d’)
e)
e’)
Hình 0.1: Đối tượng nghiên cứu của SBVL
a- Khối; b,c- Tấm,vỏ; d-d’, e-e’ – Thanh và cách biểu diễn thanh

Phân loại:
- Vật thể hình khối: kích thước theo 3 phương gần như nhau.(Hình 0.1a)
- Vật thể tấm, vỏ: kích thước theo 2 phương lớn hơn kích thước phương cịn lại

rất nhiều.(Hình 0.1b,c)
- Vật thể dạng thanh: kích thước theo 1 phương lớn hơn kích thước 2 phương
kia rất nhiều.(Hình 0.1d,e).Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh.
Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động sao cho trọng tâm O trượt
trên một đường cong (C) và thẳng góc (C), thì F sẽ qt trong khơng gian một hình
khối gọi là thanh có diện tích mặt cắt ngang là F
F

O

(C)

Trong đó : (C) - trục thanh; F- diện tích mặt cắt ngang.
- Các loại thanh: Thanh có trục thanh (C) là thẳng thì ta gọi là thanh thẳng, khi
trục thanh (C) là cong thì ta gọi là thanh cong.Mặt cắt thanh có thể thay đổi hoặc
không thay đổi suốt chiều dài thanh.
- Khung: hệ gồm nhiều thanh ghép lại, có 2 loại: khung phẳng và khung khơng
gian.(Hình 0.1)

Trang : 1


Sức Bền Vật Liệu 1

a) Khung phẳng

b) Khung khơng gian
Hình 0.2: Khung

0.1.2) Nhiệm vụ:

Sức bền vật liệu là môn học kỹ thuật cơ sở, nghiên cứu tính chất chịu lực của
vật liệu để đề ra các phương pháp tính các vật thể chịu tác dụng của các nghuyên
nhân ngoài, nhằm thoả mãn yêu cầu về an toàn và tiết kiệm vật liệu.
Vật thể làm việc được an toàn khi thoả mãn các điều kiện:
- Điều kiện bền: không bị phá hoại ( nứt gãy, sụp đổ…).
- Điều kiện cứng: biến dạng và chuyển vị nằm trong một giới hạn cho phép.
- Điều kiện ổn định: bảo đảm hình thức biến dạng ban đầu.
Thường, kích thước của vật thể lớn thì khả năng chịu lực cũng tăng và do đó độ
an toàn cũng được nâng cao; tuy nhiên vật liệu phải dùng nhiều hơn nên nặng nề
hơn và tốn kém hơn.Kiến thức của SBVL sẽ giúp giải quyết hợp lý mâu thuẫn giữa
2 yêu cầu an toàn và tiết kiệm vật liệu.
Ba bài toán cơ bản của SBVL:
- Kiểm tra độ bền, độ cứng, độ ổn định dưới các tác nhân bên ngoài.
- Xác định tải trọng cho phép để đảm bảo độ bền, độ cứng, độ ổn định.
- Chọn kích thước và hình dáng hợp lý mặt cắt ngang để đảm bảo độ bền, độ
cứng, độ ổn định.
0.1.3) Đặc điểm:
Môn sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm với phương pháp nghiên
cứu như sau:
- Quan sát thực tế.
- Đề ra các giả thuyết và phương pháp tính tốn.
- Thí nghiệm kiểm tra.
Mơn sức bền vật liệu khảo sát nội lực và biến dạng của vật thể thực, nhưng vẫn
áp dụng các kết quả của cơ học lý thuyết ( cho phép sử dụng các phương trình cân
bằng).
0.2) CÁC NGUYÊN NHÂN NGOÀI TÁC DỤNG LÊN VẬT THỂ:
0.2.1) Ngoại lực:
Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các
vật thể khác lên vật thể đang xét.
Phân loại:

- Tải trọng: đã biết trước ( vị trí, phương, độ lớn ), thường được quy định bởi
các quy phạm thiết kế hoặc tính tốn theo trạng thái chịu lực của vật thể.Tải trọng
gồm:
+ Lực phân bố: tác dụng trên một thể tích, một diện tích của vật thể.(trọng
lượng bản thân, áp lực nước lên thành bể…)
· Lực phân bố theo thể tích có thứ ngun là lực/thể tích, hay [F/L3].
Trang : 2


Sức Bền Vật Liệu 1
· Lực phân bố theo diện tích có thứ ngun là lực/diện tích, hay [F/L2].
· Lực phân bố theo chiều dài có thứ nguyên là lực/chiều dài, hay [F/L].
+ Lực tập trung: tác dụng tại 1 điểm của vật thể, thứ nguyên [F].
+ Momen(ngẫu lực) có thứ nguyên là lực x chiều dài hay [FxL].
- Phản lực: lực phát sinh nơi tiếp xúc giữa vật thể đang xét với vật thể khác tuỳ
thuộc vào tải trọng.
Tính chất của tải trọng:
- Tải trọng tĩnh: giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính.
- Tải trọng động: giá trị của lực tăng đột ngột ( va chạm ) hay kể đến lực qn
tính (dao động, chuyển động có gia tốc).
0.2.2) Các ngun nhân khác:
Do sự thay đổi nhiệt độ.
Do chế tạo không chính xác.
Do sự lún của các gối tựa trong cơng trình.
0.2.3) Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết:
a) Gối di động: (khớp di động, con lăn) (Hình 0.3a)
Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm và chuyển động tịnh tiến
theo một phương nào đó.Liên kết hạn chế sự di chuyển của thanh theo phương
vng góc với phương
V

V
V
H
chuyển động tịnh tiến, nên
M
H
theo phương này liên kết sẽ
phát sinh một phản lực V.
a) Gối di động

b) Gối cố định

c) Ngàm

Hình 0.3: Liên kết và phản lực liên kết
b) Gối cố định: (khớp, bản lề) (Hình 0.3b)
Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm và chuyển động tịnh tiến
trong mặt phẳng.Liên kết này phát sinh phản lực theo một phương bất kỳ trong mặt
phẳng.Trong tính tốn ta thường phân lực này thành 2 thành phần vuông góc nhau H và V

c) Ngàm: (Hình 0.3c) Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng.Tại
ngàm phát sinh một momen phản lực M và một phản lực theo phương bất kỳ, phản
lực này thường được phân ra 2 thành phần vng góc nhau H và V.
0.3) CÁC GIẢ THUYẾT CƠ BẢN:
Giả thuyết I: Vật liệu có tính liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.
- Vật liệu liên tục nghĩa là vật liệu chiếm đầy không gian vật thể.
- Vật liệu đồng nhất khi tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống nhau.
- Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ lý xung quanh một điểm bất kỳ và theo
hướng bất kỳ như nhau.
Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke.

- Dưới tác dụng của nguyên nhân bên ngồi, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích
thước ban đầu.Tuy nhiên khi bỏ các nguyên nhân này đi thì vật thể có khuynh
hướng trở về hình dạng và kích thước ban đầu. Đó là tính đàn hồi của vật liệu và
vật thể tương ứng gọi là vật thể đàn hồi.Nếu vật thể có khả năng trở về ngun hình
dạng và kích thước ban đầu gọi là vật thể đàn hồi tuyệt đối.Vật liệu làm việc tuân
theo định luật Hooke khi tương quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc 1.
- Vật liệu thoả mãn giả thuyết II gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính.

Trang : 3


Sức Bền Vật Liệu 1
Giả thuyết III: Vật thể có biến dạng bé.
Hệ quả:
- Cho phép áp dụng phép vi phân, tích phân để xác định cho một phân tố sau đó
mở rộng cho tồn bộ vật thể.
- Cho phép sử dụng sơ đồ khơng biến dạng để tính tốn, tức là xem điểm đặt
của ngoại lực không đổi trong khi vật thể bị biến dạng.
- Áp dụng được nguyên lý độc lập tác dụng (hay còn gọi là nguyên lý cộng tác
dụng): “Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố bằng tổng tác dụng do từng yếu
tố riêng rẽ gây ra”.

Trang : 4


Sức Bền Vật Liệu 1

CHƯƠNG 1 : LÝ THUYẾT NỘI LỰC
1.1) NỘI LỰC – PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT
1.1.1) Định nghĩa nội lực:

Trong vật thể, giữa các phân tử có các lực liên kết để giữ cho vật có một hình dạng
nhất định.Khi có ngoại lực tác dụng, vật thể bị biến dạng, lực liên kết đó sẽ thay đổi để
chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra.Lượng thay đổi của lực liên kết gọi là nội lực.
1.1.2) Phương pháp mặt cắt:
Ðể xác định nội lực tại một điểm bất kỳ trong vật thể ta dùng phương pháp mặt cắt.
Xét một vật thể ( S) ở trạng thái cân bằng đàn hồi dưới tác dụng của các lực như hình
vẽ (Hình 1.1).

Hình 1.1: Vật thể (S) chịu lực

Giả sử cần xác định nội lực tại điểm K thuộc vật thể.
Tưởng tượng một mặt phẳng p qua K và vng góc với trục thanh.Mặt phẳng p
cắt vật thể (S) ra làm 2 phần A và B.(Hình 1.2)

Hình 1.2: Phương pháp mặt cắt

Xét cân bằng phần A: (Hình 1.3)

Hình 1.3: Sự cân bằng lực của phần A

Phần A được cân bằng nhờ nội lực của phần B tác dụng lên A.
Nội lực này phân bố trên diện tích mặt cắt của phần A và hợp lực của chúng cân
bằng với ngoại lực tác dụng lên phần A đang xét.
Ngược lại nếu xét sự cân bằng của phần B thì phần A cũng tác dụng lên B các nội
lực tương tự.

Trang : 5


Sức Bền Vật Liệu 1

1.1.3) Khái niệm về ứng suất:
Xét phần A của vật thể (S):
Tại K, ta lấy 1 phân tố diện tích vơ cùng bé DF , hợp
uv
lực của nội lực tác dụng lên DF là D P (Hình 1.4)
Từ đó, ta định nghĩa : Ứng suất tại 1 điểm là cường độ
của nội lực tác dụng tại điểm đó.
ur
ur
DP
P = lim
DF ®0 DF
Hình 1.4: Hợp lực của nội lực

Thứ nguyên của ứng suất là: (lực)/(chiều dài)2.Đơn vị thường dùng là kN/m2,N/cm2
Thường người ta phân ứng suất ra 2 thành phần: (Hình 1.5 )

Hình 1.5: Ứng suất

ur

s.
Thành phần vng góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, kí hiệu
r
Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu t .
Như vậy: p = s 2 + t 2 ( p: là độ lớn ứng suất tại K )
Quy ước dấu:

Hình 1.6: Quy ước dấu ứng suất

v

Ứng suất pháp : được gọi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngồi n của
mặt cắt (ứng suất kéo) và ngược lại là âm (gọi là ứng suất nén ).(Hình 1.6)
v
Ứng suất tiếp : được coi là dương khi quay pháp tuyến ngoài n của mặt cắt một
góc 900 theo thuận chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng của pháp tuyến và ứng suất
tiếp) thì chiều của pháp tuyến trùng với chiều của ứng suất tiếp.Ngược lại ứng suất
được coi là âm.(Hình 1.6)
Nhận xét :
· Ứng suất là đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu lực của vật liệu tại một
điểm; ứng suất vượt q một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại.Do đó, việc
xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá độ bền của vật liệu, và chính là một nội
dung quan trọng của bộ mơn SBVL.
· Ứng suất pháp s chỉ gây ra biến dạng dài.
· Ứng suất tiếp t chỉ gây ra biến dạng góc xoay hay biến dạng trượt.

Trang : 6


Sức Bền Vật Liệu 1

1.2) CÁC
THÀNH PHẦN NỘI LỰC:
uv
uv
Gọi R là hợp lực của các nội lực phân bố trên mặt cắt ngang của thanh. R có điểm
đặt và phương chiều chưa biết.

Hình 1.7: Các thành phần nội lực

Đặt một hệ trục tọa độ Descartes vng góc tại trọng tâm O của mặt cắt ngang
Oxyz.
Với : Oz trùng với trục thanh.
Ox,Oy nằm trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống. ur uur
ur
trọng tâm O của mặt cắt ngang sẽ có 2 thành phần ( R , M )
Dời R về
ur uur
Chiếu ( R , M ) lên Oxyz ta sẽ có 6 thành phần nội lực.
Trong
đó:
ur
R được phân tích thành 3 thành phần nội lực theo 3 trục:
Thành phần nằm trên trục z gọi là lực dọc, ký hiệu Nz
Thành
phần nằm trên trục x,y gọi là lực cắt, ký hiệu Qx , Qy
uur
M được phân tích thành 3 thành phần nội lực:
Thành phần quay quanh trục z gọi là momen xoắn, ký hiệu Mz
Các thành quay quanh trên trục x,y gọi là các momen uốn, ký hiệu Mx , My
Như vậy, 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang gồm: Nz , Qx , Qy , Mz , Mx ,
My.(Hình 1.7)
Cách xác định:
Để xác định 6 thành phần nội lực ta áp dụng 6 phương trình cân bằng tĩnh học:
n

Qx + å Pix = 0
i =1
n

Qy + å Piy = 0
i =1
n

N z + å Piz = 0
i =1

n

M x + å mx ( Pi ) = 0
i =1
n

M y + å my ( Pi ) = 0
i =1
n

M z + å mz ( Pi ) = 0
i =1

Trang : 7


Sức Bền Vật Liệu 1
Trong đó:

n

n

n

i =1

i =1

i =1

å Pix , å Piy , å Piz là tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực thuộc phần

đang xét lên các trục x,y,z.
n

n

n

i =1

i =1

i =1

å mx ( Pi ) , å my ( Pi ) , å mz ( Pi ) là tổng momen các ngoại lực thuộc phần đang xét quanh
các trục x,y,z.
1.3) BÀI TOÁN PHẲNG – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC:
1.3.1) Bài toán phẳng:
Nếu tất cả các ngoại lực đều nằm trong cùng 1 mặt phẳng chứa trục thanh thì ta sẽ
có bài tốn phẳng và khi đó nội lực cũng thuộc mặt phẳng đó.

Ví dụ : (Pi) Î Oyz , ta chỉ có 3 thành phần nội lực là Nz , Qy , Mx
(Pi) Ỵ Oxz, ta có 3 thành phần nội lực là Nz , Qx , My
Xét bài tốn phẳng thuộc mặt phẳng Oyz :(Hình 1.8)

Hình 1.8: Vật thể chịu lực trong mp Oyz

Chỉ có ba thành phần nội lực Nz , Qy , Mx nằm trong mặt phẳng Oyz.
Quy ước dấu: Quy ước dấu dương của nội lực trong bài tốn phẳng như hình vẽ 1.9
và 1.10

Hình 1.9: Các thành phần nội lực và chiều dương
ở phần bên trái của mặt cắt m-n

Hình 1.10: Các thành phần nội lực và chiều dương
ở phần bên phải của mặt cắt m-n

Nz > 0 khi có chiều hướng ra mặt cắt
Qy > 0 khi có khuynh hướng quay mặt cắt đang xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc
dấu của Qy giống dấu của t )
Mx > 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).
Ngược lại là các nội lực âm.
1.3.2) Biểu đồ nội lực:
* Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh.
* Ý nghĩa của biểu đồ nội lực:
· Xác định mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có nội lực
lớn nhất (Nz , Qy , Mx đạt cực trị).
* Chú ý khi vẽ biểu đồ nội lực:
· Với biểu đồ lực cắt (Nz), (Qy) thì tung độ dương của biểu đồ được biểu
diễn về phía trên của trục hồnh và có ghi dấu trên biểu đồ.
Trang : 8

Sức Bền Vật Liệu 1

· Với biểu đồ(Mx):Tung độ dương (Mx > 0) đặt phía y > 0 (phía dưới)
Tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0 (phía trên)
* Cách vẽ biểu đồ nội lực: gồm các bước sau:
Bước 1: Xác định phản lực liên kết.
Bước 2: Kiểm tra các phản lực vừa tìm được.
Bước 3: Chia đoạn :Ranh giới giữa các đoạn thường là điểm có:
o Tải trọng tập trung.
o Sự thay đổi cường độ tải trọng phân bố.
o Sự thay đổi mặt cắt ngang.
Bước 4: Xác định nội lực trong từng đoạn
Áp dụng phương pháp mặt cắt.
Bước 5: Vẽ biểu đồ (Nz), (Qy), (Mx )
Bước 6: Kiểm tra lại biểu đồ đã vẽ.
Ví dụ: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ: (Hình 1.11)
Vẽ biểu đồ nội lực Nz , Qy , Mx

Hình 1.11
Giải:
B1: Xác định phản lực liên kết:
Giải phóng liên kết tại A, tại B Þ VA, HA, VB
Áp dụng phương trình cân bằng tĩnh học:
å z = 0 Þ HA = 0

åM

A

= 0 Þ VB.2L – P.3L – q.2L.L + M = 0

Þ VB = 2qL
å y = 0 Þ - VA – VB + q.2L + P = 0
Þ VA = ql

B2: Kiểm tra

åM

D

=0

Û -VA.3L + q.2L.2L + M – VB.L = 0
Û - 3qL2 +4qL2 + qL2 – 2qL2 = 0 (đúng)

Vậy các phản lực VA,VB đã tìm ở trên đúng.
B3: Chia đoạn : 3 đoạn
B4: Xác định nội lực trong từng đoạn: Dùng phương pháp mặt cắt.
Đoạn AC : $ mặt cắt 1-1(O1), A làm gốc: 0 £ z £ L
Xét cân bằng AO1:

Trang : 9


Sức Bền Vật Liệu 1

å z = 0 Þ Nz1 – HA = 0 Þ Nz1 = HA = 0

å y = 0 Þ Qy1 + qz - VA = 0
Þ Qy1 = qL - qz
Tại A (z=0) , Qy1 = qL
Tại C (z=L) , Qy1 = 0

åM

O1

z
- VA.z = 0
2
z2
Þ Mx1 = qL.z - q.
2

= 0 Þ Mx1 + q.z.

Tại A (z=0) , Mx1 = 0
Tại C (z=L) , Mx1 =

1 2
qL
2

Đoạn CB : $ mặt cắt 2-2(O2), C làm gốc: 0 £ z £ L
Xét cân bằng AO2:

å z = 0 Þ Nz2 – HA = 0 Þ Nz2 = HA = 0
å y = 0 Þ Qy2 + q(L+z) - VA = 0

Þ Qy2 = - qz

Tại A (z=0) , Qy1 = 0
Tại C (z=L) , Qy1 = -qL

(L + z)
+ M - VA.(L+z) = 0
2
( L + z )2
Þ Mx2 = qL.z - q.
2
1 2
Tại C (z=0) , Mx2 = - qL
2

åM

O2

= 0 Þ Mx2 + q.(L+z).

Tại B (z=L) , Mx1 = qL2
Đoạn CB : $ mặt cắt 3-3(O3), D làm gốc: 0 £ z £ L
Xét cân bằng DO3:

Trang : 10


Sức Bền Vật Liệu 1

å z = 0 Þ Nz3 = 0
å y = 0 Þ Qy3 = P = qL
å M = 0 Þ -Mx3 - P.z = 0 Þ Mx3 = - qL.z
O3

Tại D (z=0) , Mx3 = 0
Tại B (z=L) , Mx1 = - qL2
B5: Vẽ biểu đồ nội lực:
1.0
A

1.0

(+)

(+)

B

C

(-)

1.0
D

-1.0

(+)

Qy (qL)
(-)

Hình 1.12:Biểu đồ lực cắt Qy
1.0
0.5
A

(+)

C

(-)

(-)

(-)
B

-0.5

D

2

Mx (qL )
(+)

Hình 1.13:Biểu đồ momen uốn Mx

B6: Kiểm tra:
Dựa vào các quy tắc sau:
a) Trên những đoạn thanh: q = 0 Þ biểu đồ Qy là đường thẳng song song với
trục honh.Biu Mx l ng bc 1.
q ạ 0 ị Qy bậc 1, Mx bậc 2.
b) Mx đạt cực trị tại những điểm Qy = 0
c) Bề lõm Mx hứng mũi tên lực phân bố q.
d) Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc momen tập trung) thì
trên biểu đồ Qy (hoặc Mx) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy bằng giá trị
của lực tập trung (hoặc momen tập trung)
1.4) LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA TẢI TRỌNG PHÂN BỐ VỚI LỰC CẮT VÀ
MOMEN UỐN TRONG THANH THẲNG:
Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kỳ q(z) và các
thành phần nội lực trên 2 mặt cắt như hình vẽ.(Hình 1.14)
Qui ước: chiều dương trục Oz hướng sang phải, q(z) > 0 khi hướng lên trên.

Trang : 11


Sức Bền Vật Liệu 1

Hình 1.14:Sơ đồ biểu diễn sự liên hệ giữa tải trọng phân bố
với lực cắt và momen

å y = 0 Þ Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0
Þ

dQy
dz

åM

O2

= q(z)

(1)

= 0 Þ - Mx + (Mx + dMx) – Qydz -

Bỏ qua lượng VCB bậc 2 Þ
Từ (1) & (2) Þ

dM x
= Qy
dz

1
q(z)(dz)2 = 0
2

(2)

d 2M x
= q(z)
dz 2

Kết luận:
· Đạo hàm của lực cắt tại một điểm bằng cường độ tải trọng phân bố theo
chiều dài tại điểm đó.Đạo hàm của momen uốn tại một điểm bằng lực cắt tại

điểm đó.Cịn đạo hàm bậc 2 của momen uốn bằng cường độ tải trọng phân
bố theo chiều dài.
· Về mặt hình học, lực cắt tại 1 tiết diện chính bằng độ dốc của tiếp tuyến với
biểu đồ momen uốn tại đó và cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài là
độ dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt.
· Nếu hàm số q(z) là 1 hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn
bậc của q(z) 1 bậc và bậc của hàm số momen uốn sẽ cao hơn bậc của hàm
lực cắt 1 bậc.
1.5) LIÊN HỆ GIỮA TẢI TRỌNG TẬP TRUNG VỚI ĐỘ LỚN BƯỚC NHẢY
TRÊN BIỂU ĐỒ LỰC CẮT, BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN TRONG THANH
THẲNG:
Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu P0 và M0, các thành phần nội lực trên 2
mặt cắt như hình vẽ.(Hình 1.15)
Qui ước: chiều dương trục Oz hướng sang phải, P0 > 0 khi hướng lên, M0 > 0 khi
có chiều quay theo chiều kim đồng hồ.

Hình 1.15:Xét sự liên hệ giữa tải trọng tập trung
và độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt và momen

Trang : 12


Sức Bền Vật Liệu 1

å y = 0 Þ - Qy – P0 + (Qy + D Qy) = 0 Þ D Qy = P0
1
å M = 0 Þ Mx + Qydz + P0. 2 dz + M0 - (Mx + D Mx) = 0
O4

Bỏ qua lượng VCB: Qydz Þ D Mx = M0

Như vậy ta đã chứng minh nhận xét d): Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung
(hoặc momen tập trung) thì trên biểu đồ Qy (hoặc Mx) có bước nhảy và độ lớn bước
nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc momen tập trung).
* Ví dụ áp dụng: Vẽ biểu đồ nội lực M, Q của dầm chịu lực như hình vẽ:( Hình
1.16)
P=qa
M 0 =qa2
q
A

B

a

a/2

C

a/2

D

Hình 1.16
+ Đoạn AB: ta có q = const Þ Qy bậc 1
Mx bậc 2
Điểm A: Qy = 0; Mx = 0 và đạt cực trị
Điểm B: Qy = - qa; Mx = - qa.

1
1

a = - qa2
2
2

+ Đoạn BC: không có q Þ Qy = hằng số
Mx bậc 1
1
2

Điểm B: Qy = -qa - P = -qa - qa = -2qa ; Mx = - qa2
Điểm C: Qy = - 2qa; Mx = -qa.a - P.

3
1
a = - qa2
2
2

+ Đoạn CD: khơng có q Þ Qy = hằng số
Mx bậc 1
3
2

3
2

1
2

Điểm C: Qy = -2qa; Mx = - qa2 + M0 = - qa2 + qa2 = - qa2

3
2

3
2

3
2

Điểm D: Qy = - 2qa; Mx = -qa. a - P.a + M0 = - qa2 - qa2 + qa2 = - qa2
+ Biểu đồ nội lực:
Q y (qa)

A

B

C

D

(-)

-1
-2

-2
-1.5

-0.5

Mx (qa2)

A

B

-1.5

-0.5
(-)

(-)
C

D

Trang : 13


Sức Bền Vật Liệu 1
+ Kiểm tra:
Tại A: Qy = 0 nên tiếp tuyến với biểu đồ Mx tại đây nằm ngang.Ngồi ra vì đạo
hàm bậc 2 của Mx (tức là q) âm nên bề lõm của biểu đồ Mx hướng về phía Mx < 0
(hướng lên trên).
Tai B: có lực tập trung P = qa nên biểu đồ lực cắt tại B có bước nhảy và độ lớn
bằng qa.
Tại C: có momen tập trung M0 = qa2 quay theo chiều kim đồng hồ nên biểu đồ
momen uốn có bước nhảy từ trái sang phải bằng qa2.

Trang : 14

Sức Bền Vật Liệu 1

CHƯƠNG 2: THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
2.1) Khái niệm:
Định nghĩa: thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ
$ Nz.
Đ Nz>0ị thanh chu kộo.
Đ Nz<0ị thanh chu nộn.
Vớ d: dây cáp, dây ròng rọc, cột gạch, các thanh trong dàn...
m

P

(A)

P

(B)
n
m

P

N z =P >0

(A)

2.2) Ứng suất trên mặt cắt ngang:

2.2.1) Quan sát biến dạng: xét 1 thanh như hình vẽ:

n

P
a)Trước khi chịu lực

P
b) Sau khi chịu lực

Khi thanh chưa chịu lực, vạch lên mặt ngoài của thanh những đường:
Song song trục thanh Þ tượng trưng cho thớ dọc thanh.
Vng góc trục thanh Þ tượng trưng mặt cắt ngang thanh.
Giả sử thanh chịu kéo bởi lực P.
Sau khi chịu lực, quan sát các đường kẻ ta thấy:
Các đường // trục thanh sau biến dạng vẫn thẳng và // trục thanh.
Các đường ^ trục thanh tuy có thay đổi khoảng cách nhưng vẫn ^ trục
thanh.
2.2.2) Các giả thuyết:
Cho rằng biến dạng bên trong thanh cũng như bên ngồi Þ các giả thuyết:
a) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không
ép lên nhau, cũng không tách xa nhau Þ mặt cắt dọc thanh khơng có ứng suất
nào( s y= 0, t = 0)
b) Giả thuyết về mặt cắt ngang : Trong quá trình biến dạng, các mặt cắt
ngang ln phẳng và ^ trục thanhÞ mặt cắt ngang : $ sz ¹ 0, ƯS tiếp t = 0.
2.2.3) Cơng thức tính ứng suất:
Xét mặt cắt ngang bất kỳ, chọn hệ trục Oxyz với O là trọng tâm mặt cắt ngang.
Nội lực chỉ có Nz.Tại 1 điểm C bất kỳ thuộc mặt cắt ngang, tách 1 phân tố hình
hộp bé.

Trang : 15


Sức Bền Vật Liệu 1

Nz

O

z

dF

x
C

y

Phân tố tại C: theo giả thuyết I, trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ƯS pháp sz , ƯS
tiếp t = 0.
Theo giả thuyết II, trên mặt cắt dọc không tồn tại ứng suất nào.
Nội lực tác dụng lên diện tích dF bao quanh C là : sz.dF
Vậy tổng nội lực trên tồn diện tích F của mặt cắt ngang là : Nz = ò sz .dF (2.1)
(F)

Xét điều kiện biến dạng :

Xét đoạn thanh dz tách ra bởi mặt cắt 1-1 và 2-2
Khi biến dạng : giả sử cố định mc1-1, mc 2-2 sẽ di chuyển đến mc 2’-2’.
Từ giả thuyết I Þ " điểm Ỵ mc 2’-2’ thẳng góc với trục thanh nên d (dz)=const.

Þ biến dạng dọc tỷ đối : ez =

d(dz)
= const (2.2)
dz

Theo giả thuyết về tính đàn hồi của vật liệu, ứng suất pháp theo phương trục
thanh tỉ lệ với biến dạng dọc tỉ đối theo phương đó :
ez =

sz
E

(2.3)

(2.3) là cơng thức Định luật Hooke khi kéo-nén
Trong đó:
+ E: Môđun đàn hồi khi kéo (nén) của vật liệu, phụ thuộc vào tính chất vật
liệu Þ được xác định từ thực nghiệm.
+ ez : biến dạng dài tỉ đối theo phương z.
Từ (2.2) và (2.3) Þ sz = e z .E = const đối với " điểm Ỵ mặt cắt ngang
Từ (2.1) Þ Nz = sz ị dF = sz .F Þ sz =
(F)

Nz
F

(2.4)

Với kéo nén đúng tâm, sz phân bố đều trên mặt cắt ngang

Trang : 16


Sức Bền Vật Liệu 1
Bảng giá trị E của một số vật liệu
Vật liệu
E (N/m2)
10
Thép (0,15 ¸ 0,20%) C
20.10
Thép lị xo
22.1010
Thép niken
19.1010
Gang xám
11,5.1010
Đồng
12.1010
Nhơm
(7 ¸ 8).1010
Gỗ thớ dọc
(0,8 ¸ 1,2).1010
2.3) Biến dạng – Hệ số Poisson µ :
2.3.1) Biến dạng dọc trục :
Từ (2.2) ta có : biến dạng của dz là d (dz)= ez.dz
Þ độ biến dạng dài tuyệt đối của đoạn l là : Dl = ò d (dz ) = ị e z .dz
l

Þ Dl = ị

l

sz
N
dz = ò z dz
E
EF
l

l

(2.5)

+ EF : độ cứng của thanh (thanh càng cứng thì biến dạng càng nhỏ).
Nz
Nl
= const Þ Dl = z .
EF
EF
n
N
Ø Khi chia thanh ra n đoạn: l = å li ; zi = const
E i Fi
i =1
n
n
N .l
thì:
Dl = å Dli = å zi i
i =1

i =1 E i Fi

Ø Đặc biệt : khi

Ø Khi Ni, Ei, Fi là hàm liên tục trong từng đoạn
thì:

n

Dl = å ò
i =1 li

N zi
.dz
E i Fi

2.3.2) Biến dạng ngang :
Khi thanh chịu nén thì chiều dài nó co lại, chiều ngang phình ra.Ngược lại, nếu
thanh chịu kéo thì chiều dài nó giãn ra, cịn chiều ngang co lại.
Như vậy, khi chịu kéo, nén thì phương ngang cũng biến dạng.Biến dạng ngang
tỷ đối eng = -µed.
Trong đó :
+ µ : hệ số Poison, phụ thuộc vật liệu (0£µ£0.5).
Hệ số Poisson µ:
Vật liệu
µ
Vật liệu
µ
Thép
0,25-0,3

Đá
0,2-0,34
Gang
0,23-0,27
Bêtơng
0,16-0,18
Đồng
0,31-0,34
Cao su
0,47
Nhơm
0,32-0,36
Đất sét
0,2-0,4
Thủy tinh
0,25

Trang : 17


20kN
40kN

3

N3

3

å z = 0 Þ N3 = 30 kN

(3)

400

Giải :
a) Xác định và vẽ biểu đồ lực dọc Nz: dùng phương pháp
(3)
mặt cắt
Đoạn 3: $ mc 3-3

400

Ví dụ : Vẽ biểu đồ lực dọc Nz và tímh ứng suất, biến
(1)
dạng tồn phần của thanh.(hình vẽ).
Biết E = 2.104 kN/cm2. Mặt cắt ngang có diện tích
F=1 cm2.
(2)

200

Sức Bền Vật Liệu 1

30kN
z

30kN
z

Đoạn 2: $ mc 2-2
2

(2)

N2

2

40kN

å z = 0 Þ N2 = 30 – 40= –10 kN

(3)
30kN
z

Đoạn 1: $ mc 1-1
1

N1

1

(1)
20kN

(2)

40kN

å z = 0 Þ N1 = 20 + 30 – 40= 10kN

(3)
30kN
z

Như vậy, ta có: N1= 10 kN, N2= -10 kN, N3= 30 kN

Trang : 18


Sức Bền Vật Liệu 1
* Biểu đồ nội lực Nz:

b) Ứng suất:
Đoạn 1: s z1 = N1 = 10 = 10 (kN/cm2)
Đoạn 2:

s z2

Đoạn 3:

s z3

F
1
N
-10
2

= 2 =
= -10 (kN/cm )
F
1
N
30
2
= 3 =
= 30 (kN/cm )
F
1

c) Biến dạng toàn phần:
3

Dl = å
i =1

N zi .li 10.20 (-10.)40 30.40
=
+
+
= 0, 05 (cm)
E i Fi
2.104.1 2.104.1 2.104.1

2.4) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng:
Xét thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm.
Tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng ( a ) bất kỳ có pháp tuyến hợp với trục thanh
3

1 góc a .
1
Tách ra khỏi thanh 1 phân tố bằng các mặt cắt
1-1,2-2 và 3-3 (hình 2.1a)
2
2
P
P
Þ các ứng suất tác dụng lên các mặt cắt của
3
1
phân tố là: (hình 2.1b)
· Trên mặt cắt AB: s z
· Trên mặt cắt BC: s u ; t uv
Gọi dF: diện tích mặt cắt ngang AB
Þ diện tích mặt cắt nghiêng BC:

dF
cosa

Þ nội lực tác dụng lên các mặt của các phân tố

(hình 2.1c)

å u=0 Þ s

u

.

dF
- s z dFcosa = 0 Þ s u = s z cos 2a
cosa

sz
.(1+cos2a ) ( s a )
(2.6)
2
dF
å v=0 Þ t uv . cosa - s z dFsina = 0 Þ t uv = s zsina .cosa
suất
s
Þ t uv = z .sin 2a ( t a )
(2.7)
2
Þ su =

Hình 2.1: Tính ứng

Trang : 19


Sức Bền Vật Liệu 1
Từ (2.6) Þ (s u ) max , khi a = 0 Þ mặt cắt ngang là mặt cắt có ứng suất pháp lớn
nhất Þ (s u )max = s z
Từ (2.7) Þ (t uv )max , khi a = 450 Þ ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt có pháp
tuyến ngồi nghiêng 1 góc a = 450 so với trục thanh Þ (t uv ) max =

sz
2

Tiếp theo, ta sẽ xác định ứng suất trên mặt cắt ngang ( b ) ^ mặt cắt ( a )
b = a + 900

Thay vào (2.6) & (2.7), ta có:

sz
s
. éë1+cos2(a + 900 ) ùû = z .(1-cos2a )
2
2
s
s
t b = z .sin 2(a + 900 ) = - z .sin 2a
2
2
sb =

Suy ra:
sa + s b =

sz
s
.(1+cos2a ) + z .(1-cos2a ) = s z = const
2
2

Þ tổng ứng suất pháp trên 2 mặt cắt vng góc nhau là 1 hằng số. Đây là

định luật bất biến của ứng suất pháp.

tb = -

sz
.sin 2a = t a
2

Þ ứng suất tiếp trên 2 mặt cắt vng góc nhau thì bằng nhau về giá trị
nhưng ngược chiều nhau. Đây được gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp.
2.5) Các đặc trưng cơ học của vật liệu:
Căn cứ vào biến dạng và sự phá hỏng, khả năng chịu kéo, nén khác nhau, ta phân
loại vật liệu thành 2 loại cơ bản:
Vật liệu dẻo: bị phá hủy khi biến dạng khá lớn (thép, đồng, nhơm…)
Vật liệu giịn: bị phá hủy khi biến dạng còn khá bé (gang, đá, bê tơng…)
2.5.1) Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo:

d0

F0
l0

d1

F0
l1

Hình 2.2 : Mẫu thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

· Mẫu thí nghiệm: theo TCVN
d0 = 3 ¸ 25 mm
l0 = (5 ¸ 10)d0

· Tiến hành thí nghiệm:
Tăng lực P từ 0 đến khi mẫu bị đứt.
· Kết quả thí nghiệm:

Trang : 20


Sức Bền Vật Liệu 1
Khi thí nghiệm, trên bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận được đồ thị quan
hệ giữa lực P và biến dạng dài Dl của mẫu.Ngoài ra sau khi mẫu đứt, ta chắp mẫu
lại để biết chiều dài khi đứt và diện tích ở chỗ bị đứt.
* Đặc trưng tính bền:
Đồ thị P- Dl chia làm 3 giai đoạn:

- Giai đoạn tỷ lệ (đàn hồi) : đoạn thẳng OA , P- Dl quan hệ bậc nhất.
Lực kéo lớn nhất: Ptl (lực tỷ lệ)
Giới hạn tỷ lệ: s tl =

Ptl
với F0 là diện tích mặt cắt ngang ban đầu.
F0

- Giai đoạn chảy: đoạn nằm ngang BC
Lực không tăng nhưng biến dạng tăng, giá trị lực là Pch (lực chảy).Đoạn BC
gọi là diện chảy.Vật liệu càng dẻo thì diện chảy càng lớn.
Giới hạn chảy: s ch =

Pch
F0

- Giai đoạn củng cố (tái bền) : đoạn cong CDE
Lực lớn nhất: Pb (lực bền)
Giới hạn bền: s b =

Pb
F0

3 đại lượng σtl, σch, σb là các đại lượng đặc trưng về tính bền của vật liệu.
*Đặc trưng tính dẻo:
Độ giãn dài tương đối : d =
Độ thắt tỷ đối : y =

l1 - l0
´ 100% với l1: chiều dài mẫu sau khi đứt.
l0

F0 - F1
´100% với F1: diện tích mặt cắt ngang mẫu, chỗ đứt.
F0

*Biểu đồ quy ước: ( biểu đồ σ–ε )
Biểu đồ P- Dl không chỉ rõ các đặc trưng tính bền
của vật liệu nên ta lập thêm biểu đồ quan hệ giữa σ–ε
gọi là biểu đồ quy ước.Với s =

P
Dl
và e =
F0
l0

Biểu đồ σ–ε cho thấy rõ các giới hạn σtl, σch, σb và cả
môđum đàn hồi.
2.5.2) Thí nghiệm nén vật liệu dẻo:
· Mẫu thí nghiệm: mẫu hình trụ trịn (h £ 2d).

Trang : 21


h

Sức Bền Vật Liệu 1

d
Hình 2.3 : Mẫu thí nghiệm nén vật liệu dẻo

· Tiến hành thí nghiệm: tăng lực P từ 0 đến 50% công suất của máy.
· Kết quả thí nghiệm: ta nhận được biểu đồ P- Dl và cũng chia thành 3 giai đoạn.
- Giai đoạn tỷ lệ:
Lực tỷ lệ: Ptl
Giới hạn tỷ lệ: s tl =

Ptl
F0

- Giai đoạn chảy:
Lực chảy: Pch
Giới hạn chảy: s ch =

Pch

F0

- Giai đoạn củng cố: không xác định được lực bền vì lúc này mẫu phình ra dạng
ống, diện tích mặt cắt ngang tăng và sức chịu đựng tăng lên.
2.5.3) Thí nghiệm kéo vật liệu giịn:
· Mẫu thí nghiệm: giống mẫu vật liệu dẻo trong thí nghiệm kéo.
· Tiến hành thí nghiệm: tăng lực P từ 0 đến khi mẫu bị đứt.
· Kết quả thí nghiệm:
Mẫu bị đứt khi biến dạng bé.
Đồ thị P- Dl là một đường cong, độ cong này rất bé nên
xem như là đường thẳng.
Vật liệu chỉ có giới hạn bền: s b =

Pb
.Giới hạn bền này
F0

thấp
hơn so với vật liệu dẻo.
2.5.4) Thí nghiệm nén vật liệu giịn:
· Mẫu thí nghiệm: giống mẫu vật liệu dẻo trong thí nghiệm nén.
· Tiến hành thí nghiệm: tăng lực P từ 0 đến khi mẫu bị vỡ.
· Kết quả thí nghiệm:
Đồ thị P- Dl giống như khi kéo và cũng có giới hạn
bền: s b =

Pb
F0

Giới hạn bền này khá lớn so với giới hạn bền khi kéo vật

liệu giịn.
Ví dụ: gang xám có σbk » 250 MN/m2 nhưng σbn » 1000

Trang : 22


Sức Bền Vật Liệu 1
MN/m2
* Nhận xét:
Vật liệu giòn khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo.
Vật liệu dẻo khả năng chịu kéo và nén là như nhau.
2.6) Ứng suất cho phép – Hệ số an toàn – Ba bài tốn cơ bản:
Khi tính độ bền của cấu kiện hoặc chi tiết máy, cần phải đảm bảo chúng không
phát sinh vết nứt hoặc là bị gãy đứt.Tức là ứng suất trong hệ phải nhỏ hơn giới hạn
nguy hiểm σ0 quy định cho từng loại vật liệu: max s z £ s 0
2.6.1) Ứng suất cho phép – Hệ số an toàn:
Vật liệu dẻo: giai đoạn chảy (giai đoạn mà lực không tăng nhưng biến dạng
tăng) là giai đoạn nguy hiểm nhất. Khi đó: σ0 = σkch = σnch = σch
Vật liệu giòn: các cấu kiện bị phá hoại khi biến dạng còn bé, nên ta chọn:
σ0k = σbk
σ0n = σbn
Thực tế, trong tính tốn để đảm bảo an tồn người ta không dùng trực tiếp σ0
mà dùng một đại lượng khác bé hơn gọi là ứng suất cho phép, ký hiệu [s ] .
s0
với n > 1 là hệ số an tồn và ta có:
n
s
Vật liệu dẻo: [s ]k = [s ]n = [s ] = ch
n
k

s
sn
Vật liệu giòn: [s ]k = b ; [s ]n = b
n
n
max s z £ [s ] =

Hệ số an toàn n phụ thuộc vào:
· Tiêu chuẩn vật liệu: vật liệu càng tốt thì n càng nhỏ.
· Điều kiện làm việc, các nguyên nhân ngồi chưa xác định.
· Tầm quan trọng, tính lâu dài của cơng trình.
· Phương pháp và cơng cụ tính tốn.
· Trình độ của người thiết kế, thi cơng.
Như vậy, để đảm bảo điều kiện bền ta cần có:
max s z =

max N z
£ [s ] (2.5)
F

2.6.2) Các bài toán cơ bản:
Từ (2.5) ta có 3 bài tốn cơ bản như sau:
a) Kiểm tra bền:
Biết Nz , F , [s ] ® Kiểm tra bất phương trình (2.5)
max s z =

max N z
£ [s ] (±5%)
F

b) Xác định tải trọng cho phép:
Biết F , [s ] , xác định [ P ]
Ta xác định [ P ] từ: max N z £ [s ] F
c) Chọn kích thước mặt cắt ngang (thiết kế):

Trang : 23


Sức Bền Vật Liệu 1
Biết Nz , [s ] , xác định [ F]
Ta xác định [ F] từ: F ³

max N z

[s ]

Ví dụ 1: Cho 1 trục bậc chịu lực như hình vẽ: (Hình 2.4)

Hình 2.4

Tính tốn theo các trường hợp sau:
a) Trục làm bằng gang (vật liệu giịn) có [s ]k = 8 kN/cm2; [s ]n = 15 kN/cm2; P=
30 kN;F1= 10 cm2; F2= 4 cm2.Kiểm tra bền của trục.
b) Trục làm bằng vật liệu dẻo có [s ] = 16 kN/cm2; P= 30 kN.Chọn F1, F2= ?
c) Trục làm bằng vật liệu dẻo có [s ] = 16 kN/cm2; F1= 10 cm2; F2= 4 cm2.Xác
định tải trọng cho phép [ P ] = ?
Giải:
• Xác định và vẽ biểu đồ lực dọc: dùng phương pháp mặt cắt
Đoạn 3: $ mc 3-3
3

N3

3

å z = 0 Þ Nz3 = P3 = P > 0 (kéo đúng tâm)

(3)
P3=P

Đoạn 2: $ mc 2-2
2

(2)

N2

2

P2=3P

(3)

å z = 0 Þ Nz2 = P3 – P2 = -2P < 0 (nén đúng tâm)

P3=P

Đoạn 1: $ mc 1-1
1

N1

1

(1)
(2)

P1=6P
P2=3P

å z = 0 Þ Nz1 = P3 – P2 + P1 = 4P > 0 (kéo đúng tâm)

(3)
P3=P

Trang : 24