GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ KÈM ĐÁP ÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.08 MB, 55 trang )
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề 5
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước
Dạng 1: Tìm m để max y = f ( x ) + m = a
;
( a 0) .
Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
min f ( x ) = k ( K k ) .
;
;
Kiểm tra max m + K , m + k
TH1:
TH2:
m+ K + m+k
2
m+ K −m−k
2
=
K −k
2
.
K −k
m + k = −a
m = −a − k
m −a − k ; a − K .
a. Để max y = a
;
2
m + K = a
m = a − K
K −k
2
a m .
Cách 2: Xét trường hợp
m+ K = a
TH1: Max = m + K
m+ K m+k
m+k = a
TH2: Max = m + k
m+k m+ K
Dạng 2: Tìm m để min y = f ( x ) + m = a
;
( a 0) .
Phương pháp:
Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
min f ( x ) = k ( K k ) .
;
;
m + k = a m + K = −a
m = a − k m = −a − K
. Vậy m S1 S2 .
Để min y = a
;
m + k 0 m + K 0
m −k
m − K
Dạng 3: Tìm m để max y = f ( x ) + m không vượt quá giá trị M cho trước.
;
Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
;
min f ( x ) = k ( K k ) .
;
T
m + k − M
−M − k m M − K .
Để max y M
;
m + K M
E
Dạng 4: Tìm m để min y = f ( x ) + m không vượt quá giá trị a cho trước.
;
H
min f ( x ) = k ( K k ) .
;
N
T
Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
I.
N
;
O
Để
T
Dang 5: Tìm m để max y = f ( x ) + m đạt min.
A
IL
IE
U
m + k a m + K −a
m a − k m − a − K
min y a
( m + K )( m + k ) 0
− K m −k .
;
m + k 0 m + K 0
m −k
m − K
a;b
Trang 1
Tài Liệu Ơn Thi Group
Phương pháp:
Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
min f ( x ) = k ( K k ) .
a ;b
a ;b
Đề hỏi tìm m m = −
K −k
K +k
.
. Đề hỏi tìm min của max y giá trị này là
a ;b
2
2
Dạng 6: Tìm m để min y = f ( x ) + m đạt min.
a;b
Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
min f ( x ) = k ( K k ) .
a ;b
a ;b
Đề hỏi tìm m ( m + K )( m + k ) 0 −K m −k . Đề hỏi tìm min của min y giá trị này là 0.
a ;b
Dạng 7: Cho hàm số y = f ( x ) + m .Tìm m để max y h.min y ( h 0 ) hoặc Min + max =
a ;b
a ;b
Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
min f ( x ) = k ( K k ) .
a ;b
a ;b
K +m k +m
TH1: K + m h k + m ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ m S1.
K + m cung dau k + m
k +m K +m
→ m S2 .
TH2: k + m h K + m ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
K + m cung dau k + m
Vậy m S1 S2 .
Dạng 8: Cho hàm số y = f ( x ) + m .
Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;
min f ( x ) = k ( K k ) .
a ;b
a ;b
BT1: Tìm m để min y + max y = m + K + m + k = .
a ;b
a ;b
BT2: Tìm m để min y * max y = m + K * m + k = .
a ;b
Câu 1.
a ;b
(Đề Tham Khảo 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số y = x 3 − 3x + m trên đoạn 0;2 bằng 3. Số phần tử của S là
A. 0
B. 6
C. 1
Lời giải
D. 2
Chọn D
2
3
Xét hàm số f ( x ) = x − 3x + m , ta có f ( x ) = 3x − 3 . Ta có bảng biến thiên của f ( x ) :
TH 1 : 2 + m 0 m − 2 . Khi đó max f ( x ) = − ( − 2 + m ) = 2 − m
0;2
N
T
H
I.
N
E
T
2 − m = 3 m = −1 (loại).
2 + m 0
− 2 m 0 . Khi đó : m − 2 = 2 − m 2 2 + m
TH 2 :
m 0
max f ( x ) = − ( − 2 + m ) = 2 − m
U
O
0;2
T
A
IL
IE
2 − m = 3 m = −1 (thỏa mãn).
m 0
0 m 2 . Khi đó : m − 2 = 2 − m 2 2 + m max f ( x ) = 2 + m
TH 3 :
0;2
− 2 + m 0
Trang 2
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2 + m = 3 m =1 (thỏa mãn).
TH 4: − 2 + m 0 m 2 . Khi đó max f ( x ) = 2 + m
0;2
2 + m = 3 m =1 (loại).
Câu 2.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị
lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m trên đoạn 0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là:
A. −16 .
C. −12 .
Lời giải
B. 16 .
D. −2 .
Chọn A
Xét u = x3 - 3x + m trên đoạn [0;3]có u ¢= 0 Û 3x2 - 3 = 0 Û x = 1 Ỵ [0;3].
ìï max u = max {u (0), u (1), u (3)}= max {m, m- 2, m+ 18}= m + 18
ï [0;3]
Khi đó ïí
.
ïï min u = min {u (0), u (1), u (3)}= min {m, m- 2, m+ 18}= m - 2
ïïỵ [0;3]
éìï
êï
êíï
êï
Suy ra M ax f (x) = max {m - 2 , m + 18 }= 16 Û êỵ
[0;3]
êìï
êïí
êï
êëïỵ
m + 18 = 16
m + 18 ³ m - 2
m - 2 = 16
ém = - 2
.
Û ê
êëm = - 14
m - 2 ³ m + 18
Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng - 16 .
x+m
( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp
x +1
tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x ) + min f ( x ) = 2 . Số phần tử của S là
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) =
0;1
0;1
A. 6 .
C. 1 .
Lời giải
B. 2 .
D. 4 .
Chọn B
x+m
liên tục trên 0;1
x +1
.
Khi m = 1 hàm số là hàm hằng nên max f ( x ) = min f ( x ) = 1
Do hàm số f ( x ) =
0;1
0;1
Khi m 1 hàm số đơn điệu trên đoạn 0;1 nên
+ Khi f ( 0) ; f (1) cùng dấu thì max f ( x ) + min f ( x ) = f ( 0 ) + f (1) = m +
0;1
0;1
m +1
.
2
+ Khi f ( 0) ; f (1) trái dấu thì
m +1
min f ( x ) = 0 , max f ( x ) = max f ( 0 ) ; f (1) = max m ;
.
0;1
0;1
2
m −1
TH1: f ( 0 ) . f (1) 0 m(m + 1) 0
.
m 0
H
N
T
O
A
IL
IE
m = 1
m +1
max f ( x ) + min f ( x ) = 2 m +
=2
(thoả mãn).
0;1
0;1
m = − 5
2
3
I.
N
E
T
U
T
Câu 3.
Trang 3
Tài Liệu Ôn Thi Group
TH2: f ( 0) . f (1) 0 m(m + 1) 0 −1 m 0
m =2
m = 2
max f ( x ) + min f ( x ) = 2 m + 1
m = −5 (không thoả mãn).
0;1
0;1
=2
2
m = 3
Số phần tử của S là 2 .
Câu 4.
(THPT Đơng Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số
y = x3 − 3x + 2m − 1 trên đoạn 0;2 là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?
3
A. − ; − 1 .
2
2
B. ; 2 .
3
C. −1;0 .
D. ( 0;1) .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x + 2m −1 trên đoạn 0;2 .
x = −1 0; 2
Ta có f ' ( x ) = 3x 2 − 3 = 0
.
x = 1
Ta có f ( 0) = 2m −1 , f (1) = 2m − 3 và f ( 2) = 2m + 1
Suy ra max f ( x ) = max 2m − 1 ; 2m − 3 ; 2m + 1 = max 2m − 3 ; 2m + 1 = P .
0;2
Trường hợp 1: Xét 2m − 3 2m + 1 −4 ( 4m − 2 ) 0 m
Khi đó P = 2m − 3 2 , m
1
1
. Suy ra Pmin = 2 m = .
2
2
Trường hợp 2: Xét 2m − 3 2m + 1 −4 ( 4m − 2 ) 0 m
Khi đó P = 2m + 1 2 , m
1
.
2
1
.
2
1
. Suy ra Pmin khơng tồn tại.
2
1
.
2
(Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm
số y = x 2 − 2 x + m trên đoạn −1;2 bằng 5 .
Vậy m =
Câu 5.
A. −1 .
Ta có y =
B. 2 .
2x − 2
, y = 0 x = 1 .
x − 2x + m
C. −2 .
Lời giải
D. 1 .
2
Do đó u cầu bài tốn tương đương max y ( −1) , y ( 2 ) , y (1) = 5 .
max 3 + m , m , m − 1 = 5 .
I.
N
E
T
+ Trường hợp m −1 , ta có max 3 + m , m , m − 1 = 5 3 + m = 5 m = 2 .
H
+ Trường hợp m −1 ta có max 3 + m , m , m − 1 = 5 m − 1 = 5 m = −4 .
O
A. a = 1 .
B. a = 3 .
C. a = 2 .
Lời giải
Trang 4
A
lớn nhất của hàm số trên đoạn −2;1 đạt giá trị nhỏ nhất
IL
IE
U
(THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị
D. a = 5 .
T
Câu 6.
N
T
Vậy tổng các giá trị m bằng −2 .
Tài Liệu Ôn Thi Group
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn −2;1 .
Ta có: y = x2 + 2 x + a − 4 = ( x + 1) + a − 5
2
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
( )
Đặt t = ( x + 1) , x −2;1 a 0; 4 .
2
Lúc đó hàm số trở thành: f ( t ) = t + a − 5 với t 0;4 .
Nên max y = max f ( t ) = max
x −2;1
t0;4
a −1 + a − 5
t0;4
f (0); f (4) = tmax
a − 5 ; a −1
0;4
a −1 + 5 − a
=2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi a −1 = a − 5 = 2 a = 3 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của max f ( t ) là 2 khi a = 3 .
t 0;4
(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị
x 2 + mx + m
lớn nhất của hàm số y =
trên 1;2 bằng 2 . Số phần tử của tập S
x +1
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Xét y =
x = 0 1;2
x2 + 2 x
x 2 + mx + m
. Ta có: f ( x ) =
,
.
f
x
=
0
(
)
2
x +1
( x + 1)
x = −2 1;2
Mà f (1) =
2m + 1
3m + 4
2m + 1 3m + 4
,f ( 2 ) =
max y =
;
.
x1;2
2
3
3
2
3
m=
2m + 1
2
=2
Trường hợp 1: max y =
.
x1;2
5
2
m = −
2
• Với m =
3
3m + 4 17
=
2 (loại)
2
3
6
5
3m + 4 7
= 2 (thỏa mãn)
• Với m = −
2
3
6
2
m=
3
m
+
4
=
6
3m + 4
3
=2
Trường hợp 2: max y =
.
x1;2
3
3m + 4 = −6
m = − 10
3
E
I.
N
H
N
T
10
2m + 1 17
=
2 (loại)
3
2
6
IL
IE
U
• Với m = −
T
2
2m + 1 7
= 2 (thỏa mãn)
3
2
6
O
• Với m =
A
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
T
Câu 7.
Trang 5
Tài Liệu Ôn Thi Group
Câu 8.
(HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f ( x ) = x 2 + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị
lớn nhất của hàm số trên −1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b .
A. 2 .
B. 4 .
C. −4 .
D. 3 .
Lời giải
2
Xét hàm số f ( x ) = x + ax + b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên −1;3 .
M 1− a + b
M f ( −1)
Suy ra M f ( 3) M 9 + 3a + b 4M 1 − a + b + 9 + 3a + b + 2 −1 − a − b
M f (1)
M 1+ a + b
1 − a + b + 9 + 3a + b + 2(−1 − a − b) 4M 8 M 2 .
Nếu M = 2 thì điều kiện cần là 1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = 2 và 1 − a + b , 9 + 3a + b ,
1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = 2
a = −2
.
−1 − a − b cùng dấu
1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = −2
b = −1
a = −2
Ngược lại, khi
ta có, hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 trên −1;3 .
b
=
−
1
Xét hàm số g ( x ) = x2 − 2 x − 1 xác định và liên tục trên −1;3 .
g ( x ) = 2 x − 2 ; g ( x ) = 0 x = 1 −1;3
M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên −1;3 M = max g ( −1) ; g ( 3) ; g (1)
=2 .
a = −2
Vậy
. Ta có: a + 2b = −4 .
b = −1
Câu 9.
Cho hàm số y = x3 + x 2 + ( m2 + 1) x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn −3; −1 có giá trị
nhỏ nhất bằng
A. 26 .
B. 18 .
C. 28 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn B
Xét u = x3 + x 2 + ( m 2 + 1) x + 27 trên đoạn −3; −1 ta có: u = 3x 2 + 2 x + m2 + 1 0, x .
Do đó A = max u = u ( −1) = 26 − m 2 ; a = min u = u ( −3) = 6 − 3m 2 .
−3;−1
−3;−1
2
2
Do M = max y = max 26 − m , 6 − 3m
−3;−1
và 4M 3 26 − m
2
+ 6 − 3m 2 72 .
Vậy M 18 .
Dấu bằng xảy ra khi 26 − m 2 = 6 − 3m 2 = 18 m = 2 2 .
(Sở Quảng Nam - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn −2;1 bằng 4 ?
E
T
Câu 10.
B. 2 .
H
N
T
O
max x2 + 2 x + m − 4 = max m − 1 ; m − 4 ; m − 5 .
I.
N
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
f ( x ) = x2 + 2 x + m − 4 có f ( x ) = 2 x + 2 , f ( x ) = 0 x = −1. Do đó
A. 1 .
IL
IE
U
−2;1
Ta thấy m − 5 m − 4 m −1 với mọi m , suy ra max y chỉ có thể là m − 5 hoặc m − 1 .
T
A
−2;1
Trang 6
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
m − 5 = 4
Nếu max y = m − 5 thì
m = 1.
−2;1
m − 5 m − 1
m − 1 = 4
Nếu max y = m − 1 thì
m=5.
−2;1
m − 1 m − 5
Vậy m1; 5 .
Câu 11.
(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3 x 2 − 9 x + m trên đoạn −2;4 bằng 16 .
Số phần tử của S là
A. 0 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Xét hàm số f ( x ) = x3 − 3x2 − 9x + m trên đoạn −2;4 .
x = −1
(thỏa mãn).
f = 3x 2 − 6 x − 9 ; f ( x ) = 0
x = 3
f ( −2) = −2 + m; f ( −1) = 5 + m; f (3) = −27 + m; f ( 4 ) = −20 + m
min f ( x ) = m − 27; max f ( x ) = m + 5 max f ( x ) = max m − 27 ; m + 5 .
−2;4
−2;4
−2;4
+) Trường hợp 1: Nếu m − 27 m + 5 (*)
m = 11
. Đối chiếu điều kiện (*) m = 11 .
max f ( x ) = m + 5 m + 5 = 16
−2;4
m = −21
+) Trường hợp 1: Nếu m − 27 m + 5 (**)
m = 43
(Không thỏa mãn điều kiện (**) ).
max f ( x ) = m − 27 m − 27 = 16
−
2;4
m = 11
Vậy S = 11 S có 1 phần tử.
(Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn
1
19
nhất của hàm số y = x 4 − x 2 + 30 x + m − 20 trên đoạn 0;2 không vượt quá 20 . Tổng các
4
2
phần tử của S bằng
A. 210 .
B. −195 .
C. 105 .
D. 300 .
Lời giải
Xét hàm số g ( x ) =
1 4 19 2
x − x + 30 x + m − 20 trên đoạn 0;2
4
2
T
x = −5 0; 2
Ta có g ( x ) = x3 −19x + 30 ; g ( x ) = 0 x = 2
x = 3 0; 2
g ( 0 ) = m − 20 ; g ( 2 ) = m + 6 .
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
Bảng biến thiên
T
Câu 12.
Trang 7
Tài Liệu Ôn Thi Group
g ( 0 ) 20
m − 20 20
Để max g ( x ) 20 thì
0 m 14 .
0;2
m
+
6
20
g ( 2 ) 20
Mà m
nên m0;1;2;...;14 .
Vậy tổng các phần tử của S là 105 .
Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y = sin 2 x − 2sin x + m bằng 1 . Số phần tử của S là
A. 0
B. 1
B. 4
D. 3
Lời giải
Chọn A
Đặt sin x = t ( t −1;1) y = t 2 − 2t + m
Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t + m có f ' ( t ) = 2t − 2 = 0 t = 1 −1;1
max f ( x ) = max m + 3; m − 1 = m + 3
−1;1
Có f ( −1) = m + 3, f (1) = m −1 . Khi đó
min f ( x ) = min m + 3; m − 1 = m − 1
−1;1
TH1: m + 3 m − 1 m −1
m = −2 ( l )
max f ( x ) = m + 3 = 1
m = −4 ( l )
TH1: m + 3 m − 1 m −1
m = 2 ( l )
max f ( x ) = m − 1 = 1
m = 0 ( l )
Không tồn tại m thỏa mãn
Câu 14.
(Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y =
x 4 + ax + a
, với a là tham số thực. Gọi M , m lần
x +1
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;2 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số a để M 2m ?
A. 10 .
B. 14 .
C. 5 .
Lời giải
D. 20 .
Chọn B
x 4 + ax + a
x4
=
+a.
x +1
x +1
4
x=−
3x 4 + 4 x3
Ta có y =
y = 0
3.
2
( x + 1)
x = 0
T
Xét hàm số y =
T
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
Bảng biến thiên
Trang 8
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
1
16
16
Dựa vào bảng biến thiên suy ra M = max a + ; a + và m = min a + ; a + .
2
2
3
3
16
16
M = a+
=a+
3
3
1
1
Trường hợp 1. a + 0 a −
.
2
2
1
1
m = a + = a +
2
2
16
1
13
2 a + a .
3
2
3
1
13
Kết hợp điều kiện, ta có − a
có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện.
2
3
1
1
M = a + 2 = −a − 2
16
16
Trường hợp 2. a + 0 a −
.
3
3
16
16
m = a +
= −a −
3
3
Khi đó M 2m a +
1
16
61
2 −a − a − .
2
3
6
61
16
Kết hợp điều kiện ta có − a − . Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn.
6
3
1
a + 2 0
16
1
− a− .
Trường hợp 3.
3
2
a + 16 0
3
1
16
1
16
35
Nếu a + a +
thì
−a − a + a −
2
3
2
3
12
M 2m − a −
B. 210 .
C. 108 .
Lời giải
Chọn D
U
IL
IE
A. 120 .
S bằng bao nhiêu?
D. 136 .
A
0;2 không vượt quá 30 . Tổng giá trị các phần tử của tập hợp
O
N
T
H
(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
1
tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn
4
T
Câu 15.
I.
N
E
T
1
M = −a − 2
1
16
67
M 2m − a − 2 a + a − .
2
3
18
m = a + 16
3
16
67
Kết hợp điều kiện, ta có − a − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
3
18
1
16
1
16
35
Nếu a + a +
thì
−a − a + a −
2
3
2
3
12
16
M = a + 3
16
1
19
M 2m a + 2 − a − a − .
3
2
9
m = −a − 1
2
19
1
Kết hợp điều kiện, ta có − a − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
9
2
Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
Trang 9
Tài Liệu Ôn Thi Group
1 4
x − 14 x 2 + 48 x + m − 30 là hàm số xác định và liên tục trên 0;2 .
4
Với mọi x 0;2 ta có f '( x) = 0 x3 − 28x + 48 = 0 x = 2 .
Đặt f ( x) =
Suy ra max f ( x) = max f (0) ; f (2) .
0;2
m − 30 30
m + 14 m − 30
m − 30 30
Theo đề max f ( x) 30
0;2
m + 14 30
m + 14 30
m − 30 m + 14
−30 m − 30 30
0 m 60
0 m 16 .
−30 m + 14 30
−44 m 16
Do m m S = 0;1;2;...;16. Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là 136 .
Câu 16.
(Chuyên
Lương
Văn
Tỵ
Ninh
Bình
2020)
Cho
hàm
số
f ( x ) = 3e − 4e − 24e + 48e + m . Gọi A , B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
4x
3x
2x
x
của hàm số đã cho trên 0;ln 2 .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc
−23;10) thỏa mãn
A. −33 .
A 3B . Tổng các phần tử của tập S bằng
B. 0 .
C. −111 .
Lời giải
D. −74 .
Chọn A
Đặt t = e x , x 0;ln 2 t 1;2
Xét hàm số h ( t ) =| 3t 4 − 4t 3 − 24t 2 + 48t + m | trên 1;2 .
Đặt g ( t ) = 3t 4 − 4t 3 − 24t 2 + 48t + m
t = −2 [1; 2]
g ( t ) = 12t −12t − 48t + 48 ; g ( t ) = 0 t = 2
;
t = 1
g (1) = m + 23 , g ( 2) = m + 16 .
3
2
TH1: −16 m 10 m + 23 m +16 0 A = max h ( t ) = m + 23 ; B = min h ( t ) = m + 16 .
1;2
1;2
−16 m 10
−16 m 10
−25
m 10 .
Suy ra::
−25
2
m + 23 3m + 48 m
2
Do đó: có 22 giá trị
TH2: −23 m −16 m + 23 = m + 23, | m + 16 |= −m − 16 .
O
N
T
H
I.
N
E
T
m + 23 −m − 16
−16 m −19.5
− m − 16 0
Dễ thấy B = 0 . Suy ra
(VL)
m + 23 −m − 16
−19.5 m −23
m + 23 0
Vậy S = −12; −11;...;0;1;...9 và tổng các phần tử của tập S bằng −12 + ( −11) + ( −10 ) = −33 .
U
(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y = x 4 − 2 x3 + x 2 + a . Có bao nhiêu số thực a để
IL
IE
Câu 17.
min y + max y = 10 ?
A. 3.
A
1;2
B. 5.
C. 2.
Trang 10
T
1;2
D. 1.
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải.
Chọn
C.
4
Đặt y = x − 2 x3 + x 2 + a = f ( x) .
Xét hàm số f ( x ) = x4 − 2 x3 + x2 + a
1
2
Khi đó f ( x) = 4 x 3 − 6 x 2 + 2 x = 2 x(2 x 2 − 3x + 1) = 0 x 0; ;1 .
f ( x ) 0, x 1;2 và f (1) = a; f (2) = a + 4
max y a , a + 4
Ta có x 1;2 thì
.
min y a ,0, a + 4
Xét các trường hợp
+ a 0 max y = a + 4;min y = a 2a + 4 = 10 a = 3 , nhận.
+ a −4 max y = −a;min y = −a − 4 −a − 4 − a = 10 a = −7 , nhận.
a 0
−4 a 0 min y = 0; max y a + 4; − a
a + 4 0
+
a + 4 = 10 a = 6
(Loại).
−a = 10
a = −10
Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn.
Câu 18.
(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3x 2 + m . Có bao nhiêu số
nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn 1;3 không lớn hơn 2020?
B. 4046 .
A. 4045 .
D. 4042 .
C. 4044 .
Lời giải
Chọn A
Với u = x3 − 3x 2 + m có u = 3x 2 − 6 x; u = 0 x = 0; x = 2
min u = min u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 ) = min m − 2; m; m − 4 = m − 4
1;3
Do đó
u = max u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 ) = max m − 2; m; m − 4 = m
max
1;3
* Nếu m − 4 0 m 4 min f ( x ) = m − 4 2020 m 2024 m 4,..., 2024 .
1;3
* Nếu m 0 min f ( x ) = −m 2020 −2020 m m −2020;...;0 .
1;3
* Nếu 0 m 4 khi đó min u 0; max u 0 min f ( x ) = 0 (thỏa mãn).
1;3
1;3
1;3
Vậy m−2020,..., 2024 có tất cả 4045 số nguyên thỏa mãn.
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét hàm số f ( x ) =
mx − 2 x + 4
, với m là
2x + 4
tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện 0 min f ( x ) 1 ?
E
C. 2 .
Lời giải
I.
N
D. 1 .
H
B. 8 .
N
T
A. 4 .
T
−1;1
A
IL
IE
U
mx − 2 x + 4
liên tục trên −1;1 và f ( x ) = g ( x ) .
2x + 4
m−2 5
−m − 2 3
; g ( −1) =
Ta có g ( 0 ) = −1; g (1) =
.
6
2
Xét hàm số g ( x ) =
O
Chọn B
Cách 1:
T
Câu 19.
Trang 11
Tài Liệu Ôn Thi Group
m 2 5
g ( −1) 0
- Nếu
thì min f ( x ) = 0 , khơng thỏa mãn bài tốn.
−1;1
g (1) 0
m −2 3
g ( −1) 0
- Nếu
−2 3 m 2 5
g (1) 0
Mà m nguyên nên m−3; −2; −1;0;1;2;3;4 .
Ta có g ( x ) =
2 x + 12
x+4 .
2
( 2x + 4)
4m +
TH1: m 0 .
Khi đó g ( x ) 0 x −1;1 . Do đó hàm số g ( x ) đồng biến trên −1;1 .
Mà g ( 0) = −1 g (1) −1 . Do đó −1 g (1) 0 . Vậy 0 min f ( x ) 1 hay m0;1;2;3;4
−1;1
thỏa mãn bài toán.
TH2: m 0 .
Xét hàm số h ( x ) =
x+2
2 x + 12
trên −1;1 . Ta có h ( x ) =
0 x −1;1 .
x+4
( x + 4) x + 4
10 14
Khi đó dễ thấy h ( x ) ;
.
3 5
* Khi m = −1 4m + h ( x ) 0 x −1;1 g ( x ) 0 x −1;1 hay hàm số g ( x ) đồng
biến trên −1;1 . Khi đó −1 g (1) 0 nên 0 min f ( x ) 1 . Vậy m = −1 thỏa mãn.
−1;1
* Khi m−3; −2 4m + h ( x ) 0 x −1;1 g ( x ) 0 x −1;1 hay hàm số g ( x )
nghịch biến trên −1;1 . Khi đó g ( −1) g ( 0) −1 g ( −1) 0 nên 0 min f ( x ) 1 . Vậy
−1;1
m−3; −2 thỏa mãn.
Do đó m−3; −2; −1;0;1;2;3;4 hay có 8 giá trị nguyên của m .
Cách 2
Nhận thấy f ( x ) liên tục trên −1;1 nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của f ( x ) trên đoạn −1;1 .
f ( x ) 0, x −1;1
Ta có
nên suy ra 0 min f ( x ) 1 .
x −1;1
f ( 0 ) = 1
min f ( x ) 0 (1)
x−1;1
Vậy điều kiện 0 min f ( x ) 1
.
x −1;1
f ( x ) 1 (2)
xmin
−1;1
Ta có (1) Phương trình mx − 2 x + 4 = 0 vô nghiệm trên −1;1
2 x+4
vô nghiệm trên −1;1 \ 0
x
2 x+4
, x −1;1 \ 0
Xét hàm số g ( x ) =
x
−x − 8
g / ( x) = 2
0, x −1;1 \ 0
x x+4
Bảng biến thiên
T
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
Phương trình m =
Trang 12
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phương trình
−1;1 \ 0 −2
m=
2 x+4
x
vô nghiệm trên
3m2 5.
Do m nguyên nên m−3; −2; −1;0;1;2;3;4 .
Để giải ( 2) trước hết ta đi tìm điều kiện để min f ( x ) = 1 .
x −1;1
Do f ( 0 ) = 1 nên min f ( x ) = f ( 0 ) , mà 0 ( −1;1) , suy ra x = 0 là điểm cực trị của hàm số
x −1;1
f ( x) .
3
mx − 2 x + 4
h / ( 0 ) = 0 m = − . Do đó với m ngun thì (2) chắc chắn xảy ra.
2
2x + 4
Vậy m−3; −2; −1;0;1;2;3;4 thỏa mãn điều kiện ( 2)
Kết luận: Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Đặt h ( x ) =
Câu 20.
(Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của
hàm số
f (x ) = x 3 − 12x + m trên đoạn [1; 3] bằng 12 .Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng
A. 25.
B. 4.
C. 15.
Lời giải
D. 21.
Chọn A
Xét hàm số g(x ) = x 3 − 12x + m (1 x 3) g '(x ) = 3x 2 − 12 = 0 x = 2, x = −2 .
g(1) = m − 11, g(2) = m − 16, g(3) = m − 9 .
Suy ra max f (x ) = { m − 16 ; m − 9 } .
[1;3]
Giả sử m − 16 = 12 m = 28, m = 4 thử lại ta thấy m = 4 nhận.
Giả sử m − 9 = 12 m = 21, m = −3 thử lại ta thấy m = 21 nhận.
Vậy m = 4 và m = 21 .
(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi S 0 là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao
B. 49 .
D. 73 .
C. 66 .
Lời giải
T
phần tử của S là
A. 50 .
1 4
x − 14 x 2 + 48 x + m trên đoạn 2;4 không vượt quá 30 . Số
4
E
cho giá trị lớn nhất của hàm số y =
I.
N
Chọn B
1 4
x − 14 x 2 + 48 x + m .
4
3
f ( x ) = x − 28x + 48
A
IL
IE
U
O
N
T
H
Xét hàm số f ( x ) =
T
Câu 21.
Trang 13
Tài Liệu Ôn Thi Group
x = −6 ( ktm )
f ( x ) = 0 x = 4 ( tm ) .
x = 2 tm
( )
f ( 2) = m + 44; f ( 4) = m + 32 .
min f ( x ) = m + 32; max f ( x ) = m + 4 .
2;4
2;4
max y = max m + 44 ; m + 32 .
2;4
Để giá trị lớn nhất của hàm số y =
1 4
x − 14 x 2 + 48 x + m trên đoạn 2;4 khơng vượt q 30 thì
4
m + 44 30
−74 m −14
−62 m −14 .
−62 m −2
m + 32 30
Câu 22.
(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của ham số
f ( x ) = e 2 x − 4e x + m trên đoạn 0;ln 4 bằng 6?
A. 3 .
C. 2 .
Lời giải
B. 4 .
D. 1 .
Chọn C
Đặt t = e x , vì x 0;ln 4 t 1;4 .
Khi đó yêu cầu bài tốn trở thành tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t ) = t 2 − 4t + m trên
đoạn 1;4 bằng 6.
Đặt s = t 2 − 4t , vì t 1; 4 s −4;0 .
Xét hàm số g ( s ) = s + m với s −4;0 suy ra hàm số g ( s ) đồng biến trên đoạn −4;0 .
Khi đó giá trị nhỏ nhất của f ( s ) = s + m , s −4;0 chỉ đạt tại các đầu mút.
m = 10
min f ( s ) = m − 4 = 6
−
4;0
TH1:
m = −2 m = 10 thỏa mãn.
m m − 4
m m−4
m = 6
min f ( s ) = m = 6
−4;0
TH2:
m = −6
m = −6 thỏa mãn.
m
m
−
4
m m−4
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao
1
cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 9 x + m + 10 trên đoạn 0;3 không vượt quá 12 . Tổng
3
giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu?
A. −7 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 12 .
T
Câu 23.
I.
N
E
Lời giải
IL
IE
A
T
x = 3
Ta có g ( x ) = x2 − 9 ; g ( x ) = 0
x = −3 0;3
U
O
N
T
1
Xét hàm số g ( x ) = x 3 − 9 x + m + 10 . Dễ thấy hàm số g ( x ) liên tục trên đoạn 0;3 .
3
H
Chọn A
Trang 14
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Ta có g ( 0) = m + 10 ; g ( 3) = m − 8 .
g ( 0 ) 12
m + 10 12
Theo yêu cầu bài toán, max y = max g ( x ) 12
−4 m 2
0;3
0;3
g ( 3) 12
m − 8 12
Mà m
nên m−4; −3; −2; −1;0;1;2 .
Vậy tổng các phần tử của S là −7 .
Câu 24.
(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao
1
cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn 0;2 không vượt quá
4
30 . Tổng tất cả các giá trị của S là
A. 180 .
B. 136 .
C. 120 .
D. 210 .
Lời giải
Chọn B
1 4
x − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn 0;2 .
4
Xét u =
x = −6 0; 2
u = 0 x 3 − 28 x + 48 = 0 x = 2 0; 2 .
x = 4 0; 2
Khi đó max u = max u (0), u ( 2 ) = max m − 30, m + 14 = m + 14 .
0;2
Suy ra Max y = max m - 30 , m + 14 .
0;2
Trường hợp 1: Max y = m + 14
0;2
2
2
m + 14 m − 30
m8
88m 704
m + 14 m − 30
m + 14 30
−30 m + 14 30
−44 m 16
−44 m 16
8 m 16 , mà m .
m 8;9;10;...;16 .
Trường hợp 2: Max y = m - 30
0;2
2
2
m − 30 m + 14
88m 704
m8
m + 14 m − 30
m − 30 30
−30 m − 30 30
0 m 60
0 m 60
0 m 8 , mà m .
E
T
m 0;1;2;...;8 .
U
C. 6 .
Lời giải
Chọn C
IL
IE
B. 5 .
D. 62 .
A
thực m .
A. 48 .
O
N
T
H
(Liên trường Nghệ An - 2020) Biết giá trị lớn nhất của hàm số
y = f ( x ) = 2 x3 − 15 x + m − 5 + 9 x trên 0;3 bằng 60 . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số
T
Câu 25.
I.
N
Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: 0 +1 + 2 + ... +16 = 136 .
Trang 15
Tài Liệu Ơn Thi Group
Có max f ( x ) = 60 f ( x ) 60, x 0;3 và x0 0;3 sao cho f ( x0 ) = 60.
0;3
Có f ( x ) 60 2 x3 − 15 x + m − 5 + 9 x 60 2 x3 − 15 x + m − 5 60 − 9 x
9 x − 60 2 x3 −15x + m − 5 60 − 9 x −2 x3 + 24 x − 55 m −2x3 + 6x + 65, x 0;3.
Có −2 x3 + 6 x + 65 29, x 0;3 nên m −2 x3 + 6 x + 65, x 0;3 m 29.
Tương tự −2 x3 + 24 x − 55 −23 nên −2 x3 + 24 x − 55 m, x 0;3 m −23.
Vậy −23 m 29 thì f ( x ) 60, x 0;3.
−2 x 3 + 24 x − 55 = m
Để x0 0;3 sao cho f ( x0 ) = 60 thì
có nghiệm trên 0;3.
3
−2 x + 6 x + 65 = m
m 29
m = 29
Hay
thì max f ( x ) = 60.
. Vậy
0;3
m −23
m = −23
Khi đó tổng các giá trị của m là 29 − 23 = 6.
Câu 26.
(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao
cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x + m trên đoạn 0; 2 bằng 3 . Số phần tử của S là
A. 2.
C. 1.
Lời giải
B. 6.
D. 0.
Chọn A
x = −1 0; 2
Xét hàm số g ( x) = x3 − 3x + m , ta có g '( x) = 3x 2 − 3 = 0
.
x = 1 0; 2
g ( 0) = m , g (1) = m − 2 , g ( 2) = m + 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m bằng max của F = m ; m − 2 ; m + 2
m = 3
.
TH1: m = 3
m = −3
Với m = 3 F = 3;1;5 loại vì max bằng 5.
Với m = −3 F = 3;5;1 loại vì max bằng 5.
m = 5
.
TH2: m − 2 = 3
m = −1
Với m = 5 F = 5;3;7 loại vì max bằng 7.
Với m = −1 F = 1;3;1 có max bẳng 3. Chọn m = −1.
m = 1
.
TH3: m + 2 = 3
m = −5
Với m = 1 F = 1;1;3 có max bằng 3. Chọn m = 1.
Với m = −5 F = 5;7;3 loại vì max bẳng 7.
T
Vậy S = −1;1 có 2 giá trị m thoả mãn yêu cầu đề bài.
E
(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m ( m là tham số thực).
I.
N
Câu 27.
C. 5 .
Lời giải
N
T
T
A
Chọn A
D. 1 .
Trang 16
O
B. 3 .
U
là?
A. 2 .
−1;2
IL
IE
−1;2
H
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min f ( x ) + max f ( x ) = 10 . Số phần tử của S
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x = 0
1
Đặt g ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m g ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 2 x = 0 x =
2
x = 1
Bảng biến thiên của hàm g ( x )
Dựa vào bảng biến thiên của g ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của
f ( x ) = g ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 + m . Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: m 0 . Bảng biến thiên của f ( x ) = g ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 + m
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x ) + max f ( x ) = 10 m + m + 4 = 10 m = 3 (TM)
−1;2
Trường hợp 2: m 0 m +
−1;2
1
1
− m 0 . Bảng biến thiên:
16
16
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x ) + max f ( x ) = 10 0 + m + 4 = 10 m = 6 (Loại)
−1;2
−1;2
1
1
= 0 m = − . Tương tự ta có:
16
16
min f ( x ) + max f ( x ) = 10 0 + m + 4 = 10 m = 6 (Loại)
E
I.
N
IL
IE
U
O
N
T
1
1
0 m + 4 −4 m − . Bảng biến thiên:
16
16
A
Trường hợp 4: m +
H
−1;2
T
−1;2
T
Trường hợp 3: m +
Trang 17
Tài Liệu Ôn Thi Group
min f ( x ) + max f ( x ) = 10
0 + m + 4 = 10
−1;2
m = 6
−1;2
Dụa vào bảng biến thiên ta có
(Loại)
min f ( x ) + max f ( x ) = 10
0 + ( − m ) = 10
m = −10
−1;2
−1;2
Trường hợp 5: m + 4 = 0 m = −4 . Ta có:
min f ( x ) + max f ( x ) = 10 0 − m = 10 m = −10 (Loại)
−1;2
−1;2
Trường hợp 6: m + 4 0 m −4 . Ta có:
min f ( x ) + max f ( x ) = 10 −m − m − 4 = 10 m = −7 (Thỏa mãn)
−1;2
−1;2
Vậy m−7;3 .
Câu 28.
(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm
số f ( x) =
2mx − 2 4 x + 8
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn −1;1 là a thỏa mãn 0 a 1.
x+2
A. 3.
B. 4.
C. 5.
Lời giải
D. 2.
Chọn
D.
Đặt t = x + 2, x −1;1 t 1; 3 ; x = t 2 − 2.
2mt 2 − 4 t − 4m
Hàm số đã cho trở thành g (t ) =
.
t
2mt 2 − 4 t − 4m
trên đoạn 1; 3 .
t
2m(t 2 + 2)
Ta có h '(t ) =
t2
Th1: m = 0 thì h(t ) = −4 g (t ) = 4t 1; 3 a = 4 (loại).
Th2: m 0 thì hàm số h(t ) đồng biến hoặc nghịch biến trên 1; 3
2m − 4 3
Ta có h(1) = −2m − 4; h( 3) =
.
3
m −2
Nếu h(1).h( 3) 0
và hàm số h(t ) liên tục trên đoạn 1; 3 suy ra đồ thị hàm số
m
2
3
h(t ) trên đoạn 1; 3 cắt trục hoành a = 0 (loại).
3
H
N
T
O
m = 3
. Suy ra
là các giá trị nguyên dương để 0 a 1 .
m = 4
U
2m − 4 3
T
A
a=
( 3) 0
IL
IE
Nếu h(1).h( 3) 0 −2 m 2 3 . Khi đó, h(1) 0; h
I.
N
E
T
Xét hàm h(t ) =
Trang 18
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 29.
(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y = x − 2 x 2 + 3m với m là tham số. Biết
4
rằng có đúng hai giá trị m1 , m2 của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên −1;2 bằng
2021. Tính giá trị m1 − m2 .
A.
1
.
3
B.
4052
.
3
C.
8
.
3
D.
4051
.
3
Lời giải
Chọn D
(
x = 0
x = 1
)
Xét hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 3m , ta có f ( x ) = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 f ( x ) = 0
Bảng biến thiên của hàm số trên −1;2 :
Vì min y = 2021 phương trình f ( x ) = 0 khơng có nghiệm thuộc −1;2 .
−1;2
2022
1
. Ta có min y = 3m − 1 = 3m − 1 = 2021 m =
−1;2
3
3
8
Trường hợp 2 : 3m + 8 0 m − . Ta có
3
2029
min y = 3m + 8 = −3m − 8 = 2021 m = −
.
−1;2
3
2022 2029 4051
+
=
Vậy m1 − m2 =
.
3
3
3
Trường hợp 1 : 3m − 1 0 m
(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x2 + m + 1 ( m là tham số thực).
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn
−2020;2020
sao cho
max f ( x ) 3min f ( x ) . Số phần tử của S là
1;4
1;4
B. 4002 .
A. 4003 .
C. 4004 .
Lời giải
D. 4001 .
Chọn B
Xét hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x2 + m + 1 y = f ( x ) = 3x2 − 6x .
x = 0 (l )
f ( x ) = 0 3x 2 − 6 x = 0
.
x = 2
I.
N
E
T
f (1) = m − 1; f ( 2) = m − 3; f ( 4) = 17 + m .
1;4
1;4
O
+Nếu m − 3 0 m 3 thì max f ( x ) = m + 17 , min f ( x ) = m − 3 . Khi đó:
U
1;4
1;4
IL
IE
max f ( x ) 3min f ( x ) 17 + m 3 ( m − 3) m 13 .
1;4
N
T
H
max f ( x ) = m + 17; min f ( x ) = m − 3 .
1;4
A
+Nếu m + 17 0 m −17 thì max f ( x ) = −m + 3 , min f ( x ) = −17 − m .
1;4
1;4
T
Câu 30.
Trang 19
Tài Liệu Ơn Thi Group
Khi đó: max f ( x ) 3min f ( x ) −m + 3 3 ( −17 − m) m −27 .
1;4
1;4
+Nếu ( m − 3)( m + 17 ) 0 −17 m 3 thì
max f ( x ) = max m + 17 , m − 3 = max m + 17,3 − m 0;min f ( x ) = 0 .
1;4
1;4
Khi đó, khơng thỏa điều kiện max f ( x ) 3min f ( x ) .
1;4
1;4
m −27
Do đó:
kết hợp với m −2020;2020 ta có m −2020; −27 13;2020
m 13
Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm.
Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp
Câu 1.
Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên
, đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn −1;2 là
A. f (1) .
B. f ( −1) .
C. f ( 2 ) .
D. f ( 0 ) .
Lời giải
x = −1
f ( x ) = 0 x = 1 .
x = 2
Từ đồ thị hàm y = f ¢(x) ta có bảng biến thiên
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên [- 1;2] là f (1).
Câu 2.
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) được cho như
hình vẽ. Biết rằng f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f ( x )
B. f ( 0 ) ; f ( 5) .
C. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .
Trang 20
D. f (1) ; f ( 5) .
T
A. f ( 2 ) ; f ( 5) .
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
trên đoạn 0;5 lần lượt là:
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Dựa vào đồ thị hàm số
f ( x)
Lời giải
ta có bảng biến thiên.
min f ( x ) = f ( 2 )
Khi đó: 0;5
,
f ( 3) f ( 2 )
mà f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) f ( 0) + f ( 2) f ( 2) + f ( 5) f ( 0) f ( 5) .
Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f ( x ) trên đoạn 0;5 lần lượt là: f ( 2 ) ; f ( 5) .
Câu 3.
Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) được cho như hình vẽ bên.
Biết rằng f ( 0) + f (1) − 2 f ( 3) = f ( 5) − f ( 4) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của
f ( x ) trên đoạn 0;5 .
A. m = f ( 5) , M = f ( 3) B. m = f ( 5) , M = f (1)
C. m = f ( 0) , M = f ( 3) D. m = f (1) , M = f ( 3)
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f ( x ) trên đoạn 0;5
M = f ( 3) và f (1) f ( 3) , f ( 4) f ( 3)
f ( 5) − f ( 0) = f (1) − f (3) + f ( 4 ) − f (3) 0 f (5) f ( 0 ) m = f (5) .
T
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
1
1
g ( x ) = f ( 4 x − x 2 ) + x 3 − 3x 2 + 8 x + trên đoạn 1;3 .
3
3
T
Câu 4.
Trang 21
Tài Liệu Ôn Thi Group
19
.
D. 12.
3
Lời giải
2
2
g ( x ) = ( 4 − 2 x ) f ( 4 x − x ) + x − 6 x + 8 = ( 2 − x ) 2 f 4 x − x 2 + 4 − x .
Với x 1;3 thì 4 − x 0 ; 3 4 x − x 2 4 nên f ( 4 x − x 2 ) 0 .
A. 15.
B.
25
.
3
C.
(
)
Suy ra 2 f ( 4 x − x 2 ) + 4 − x 0 , x 1;3 .
Bảng biến thiên
Suy ra max g ( x ) = g ( 2 ) = f ( 4) + 7 = 12 .
1;3
Câu 5.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình bên. Đặt
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề dưới đây đúng.
2
A. max g ( x ) = g ( 3) .
−3;3
B. min g ( x ) = g (1) .
−3;3
C. max g ( x ) = g ( 0 ) . D. max g ( x ) = g (1) .
−3;3
−3;3
Lời giải
Chọn D
2
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) g ( x ) = 2 f ( x ) − 2 ( x + 1)
Dựa vào đồ thị ta thấy
x = −3
g ( x ) = 0 f ( x ) = x + 1 x = 1
x = 3
Và
với x ( −; −3) : f ( x ) x + 1 g ( x ) 0
với x ( −3;1) : f ( x ) x + 1 g ( x ) 0 ,
với x (1;3) : f ( x ) x + 1 g ( x ) 0
Trang 22
A
−3;3
T
Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) = g (1) .
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
với x ( 3; + ) : f ( x ) x + 1 g ( x ) 0
Bảng biến thiên
Tài Liệu Ôn Thi Group
Câu 6.
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên
f ( x )
dấu của
như sau:
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
. Biết f ( 0) = 3 , f ( 2) = −2018 và bảng xét
Hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?
B. ( 2017; + )
C. ( 0; 2 )
D. ( −2017;0 )
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu của f ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm sồ f ( x )
A. ( −; − 2017 )
Đặt t = x + 2017 .
Ta có y = f ( x + 2017 ) + 2018x = f (t ) + 2018t − 2017.2018 = g (t ) .
g ( t ) = f ( t ) + 2018 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) suy ra phương trình g ( t ) có một nghiệm đơn
( −;0) và một nghiệm kép t = 2 .
Ta có bảng biến thiên g ( t )
Hàm số g ( t ) đạt giá trị nhỏ nhất tại t0 = ( −;0) .
Suy ra hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 mà
x0 + 2017 ( −;0) x0 ( −; −2017 ) .
O
N
T
H
I.
N
E
T
Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) được cho như hình vẽ
dưới đây:
trên đoạn −1; 2 lần lượt là:
A. f (1) ; f ( 2 ) .
B. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .
C. f ( 0 ) ; f ( 2 ) .
A
IL
IE
U
Biết rằng f ( −1) + f ( 0) f (1) + f ( 2) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x )
T
Câu 7.
D. f (1) ; f ( −1) .
Trang 23
Tài Liệu Ôn Thi Group
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên đoạn −1; 2
như sau
Nhận thấy
min f ( x ) = f (1)
−1;2
.
Để tìm max f ( x ) ta so sánh
−1;2
f ( −1)
và
f ( 2)
.
Theo giả thiết, f ( −1) + f ( 0) f (1) + f ( 2) f ( 2) − f ( −1) f ( 0) − f (1) .
Từ bảng biến thiên, ta có f ( 0) − f (1) 0 . Do đó f ( 2) − f ( −1) 0 f ( 2) f ( −1) .
Hay max f ( x ) = f ( 2 ) .
−1;2
Câu 8.
7
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn 0; có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ.
2
T
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
7
Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; tại điểm x0 nào dưới đây?
2
7
A. x0 = 0 .
B. x0 = .
C. x0 = 1 .
D. x0 = 3 .
2
Lời giải
Chọn D
7
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên trên đoạn 0; như sau:
2
Trang 24
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 = 3 .
Câu 9.
Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm y = f ( x ) như hình vẽ
y
2
x
O
-
1
-1
Đặt h ( x ) = 3 f ( x ) − x3 + 3x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. max h( x) = 3 f (1) .
[ − 3; 3]
C. max h( x) = 3 f
(
)
B. max h( x) = 3 f − 3 .
[ − 3; 3]
( 3 ) . D. max h( x) = 3 f ( 0) .
[ − 3; 3]
[ − 3; 3]
Lời giải
Chọn B
Ta có: h ( x ) = 3 f ( x ) − 3x2 + 3 h ( x ) = 3 f ( x ) − x 2 − 1 .
Đồ thị hàm số y = x 2 − 1 là một parabol có toạ độ đỉnh C ( 0; − 1) , đi qua A − 3 ; 2 , B
(
)
(
) (
)
3;2 .
Từ đồ thị hai hàm số y = f ¢(x ) và y = x 2 − 1 ta có bảng biến thiên của hàm số y = h ( x ) .
x
0
-
h'(x)
0
h(x)
(
)
) ( 3) = 3 f ( 3) .
(
Với h − 3 = 3 f − 3 , h
( 3 ).
Vậy max h(x ) = 3 f hàm
số
y = f ( x)
có
đồ
thị
y = f ( x)
ở
hình
vẽ
bên.
Xét
hàm
T
Câu 10. Cho
3; 3 ]
số
E
[-
T
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
1
3
3
g ( x ) = f ( x ) − x3 − x 2 + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng?
3
4
2
Trang 25
