Đề 1 thanh miện 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Mơn thi: TỐN

ĐỀ GIỚI THIỆU
Câu I:
1) Cho hàm số:

. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị sao cho điểm

nằm trên đường thẳng nối 2 điểm cực trị đó.
2) Cho hàm số
(C) . Tìm m để đường thẳng d đi qua A(0,m) có hệ số góc là 1 cắt (C) tại
điểm phân biệt M,N sao cho tổng hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M và N nhỏ nhất .
Câu II: Cho khối lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh
, ,
lần lượt là các điểm thuộc các đoạn thẳng
. Gọi
Câu III : Cho hình chóp
và

,

và

. Gọi

sao cho

. Tính thể tích khối tứ diện

có đáy là hình chữ nhật,

vng góc với

minh đường thẳng

là trung điểm của

, đường cao bằng
,
và

;

. Gọi

vuông góc với mặt phẳng

.

là giao điểm của

là trung điểm của

.Chứng

.

Câu IV: Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh . Tam giác
vng tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
và mặt
phẳng

Câu V : Cho

, với

. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

.

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu VI : Tìm m để bất phương trình :

đúng với mọi

.

Câu VII : Giải hệ phương trình :
Câu VIII : Bạn

chọn ngẫu nhiên một số từ nhiên từ đến
tự nhiên từ đến
. Tính xác suất để số bạn

Câu IX:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho

, bạn
chọn ngẫu nhiên một số
chọn ln bé hơn số bạn
chọn.

có đỉnh

, đường phân giác trong của

góc A có phương trình
và tâm đường trịn ngoại tiếp
phương trình cạnh BC, biết diện tích
gấp 4 lần diện tích

Câu X: Tính

là
.

. Viết


Hướng dẫn giải
Câu Ý

Đáp án
1) Cho hàm số:

. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm

cực trị sao cho điểm

nằm trên đường thẳng nối 2 điểm cực trị đó.

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì
Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
1

Để C nằm trên AB thì
I
2) Cho hàm số
(C) . Tìm m để đường thẳng d đi qua A(0,m) có hệ số góc là 1
cắt (C) tại điểm phân biệt M,N sao cho tổng hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M và
N nhỏ nhất .
Đường thẳng d có dạng:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C):

2

Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

Gọi

với

Hệ số góc của (C) tại M là :

Hệ số góc của (C) tại N là :
Có

là nghiệm của (*)


Có

II

Cho khối lăng trụ
Gọi

,

,

có đáy là tam giác đều cạnh

lần lượt là các điểm thuộc các đoạn thẳng
. Gọi

là trung điểm của

, đường cao bằng
,

và

sao cho

. Tính thể tích khối tứ diện

.
A'

C'

P
B'

I

M

A

N
G

C
B

Q

Có
Gọi

Có G là trọng tâm của tam giác

.

mà

III

Cho hình chóp

có đáy là hình chữ nhật,

.

;

là giao điểm của


và

,

vng góc với

minh đường thẳng

và

. Gọi

vng góc với mặt phẳng

là trung điểm của

.Chứng

.

S

M

B

C

O

A

D

N

Gọi
Có

(1)

Xét tam giác

có

(2)

Từ (1) và (2) có
Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh . Tam giác
vng tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
và mặt
phẳng

, với

. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
S

.

D'

D

A
H
C

B

Gọi
IV

là đỉnh thứ tư của hình bình hành

Khi đó

mà

góc của

lên

(vì

và

là

Đặt

,

.

Do đó

,

) nên

là hình chiếu vng

.

Góc giữa

Gọi

.

là hình chiếu của

, do đó

lên

.

, theo đề ta có

đạt giá trị lớn nhất khi

lớn nhất. Vì tam giác

.
vng tại

nên


Từ đó

khi

.

Suy ra

.

V

Cho

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Có:

Mà :

Tìm m để bất phương trình :

đúng với mọi

.

Bất phương trình đã cho đúng với mọi
,
VI

.

Xét hàm sớ:
Suy

ra

. Vậy
bất

phương

trình

đã

cho

đúng

đồng biến trên
với
.

.

mọi

.


Giải hệ phương trình :

ĐK :

.

Pt (1)
Xét hàm số

;

nên hàm số

đồng biến trên

VII

Thay vào (2) được:

Xét hàm số

Mặt khác :

trên

nên (**) có nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

suy ra

,

Bạn
chọn ngẫu nhiên một số từ nhiên từ đến
, bạn
chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên từ đến
. Tính xác suất để số bạn
chọn luôn bé hơn số bạn
chọn.
Số phần tử của không gian mẫu

.

Gọi M : ‘‘ Số bạn A chọn bé hơn số bạn B chọn’’
Giả sử bạn
VIII

chọn được số tự nhiên
cách.

, thì số tự nhiên bạn

chọn có

Suy ra
.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho

có đỉnh

, đường phân giác trong của

góc A có phương trình
và tâm đường trịn ngoại tiếp
phương trình cạnh BC, biết diện tích
gấp 4 lần diện tích
.

là

. Viết

A

IX

I

B
C

D

Gọi

là giao điểm khác điểm
ngoại tiếp tam giác

Gọi

Có
Có diện tích

Vậy:
Tính

của đường phân giác trong góc

nên có

mà

nên phương trình

gấp 4 lần diện tích

hoặc

nên

với đường trịn

X