Bài giảng Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange

XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG
ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE


ĐA THỨC NỘI SUY
- Cho bộ điểm

xi , yi = f ( xi )i=0,n , xi  x j i  j, xi [a, b]
- Đa thức bậc không quá n, Pn ( x ) đi qua bộ
điểm trên được gọi là đa thức nội suy với các
mốc nội suy  xi 
i =0,n
- Khi đó

f ( x )  Pn ( x )


ĐA THỨC NỘI SUY
ĐỊNH LÝ:
Với bộ điểm  xi , yi i =0,n , xi  x j i  j cho
trước, đa thức nội suy tồn tại và duy nhất.


ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
• Đa thức Lagrange cơ bản
x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) ( x − xn )
(
Li ( x ) =
.
( xi − x0 )( xi − x1 ) ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 ) ( xi − xn )

( )

Li x j

1 i = j
=
0 i  j

deg Li  n

• Đa thức nội suy Lagrange
n

Pn ( x ) =  yi Li ( x )
i =0


Đánh giá sai số
f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x )
M n+1
Rn ( x ) 
w n+1 ( x )
( n + 1)!
n

w n+1 ( x ) =  ( x − xi ) , M n+1 = sup | f
i =0

x[a ,b ]

( n+1)

( x) |


VÍ DỤ
Xét hàm số

y =3

x

x

-1

0

1

y

1/3

1

3

1. Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange đi qua
các điểm trên? Tính giá trị gần đúng của hàm

số tại điểm x = 0.1
2. Hãy đánh giá sai số tại x = 0.1


x ( x − 1)
1 2 1
L0 ( x ) =
= x − x
2
( −1 − 0 )( −1 − 1) 2
x + 1)( x − 1)
(
L1 ( x ) =
= − x2 + 1
( 0 + 1)( 0 − 1)
x + 1) x
(
1 2 1
L2 ( x ) =
= x + x
2
(1 + 1)(1 − 0 ) 2
1
2 2 4
P ( x ) = L0 ( x ) + L1 ( x ) + 3L2 ( x ) = x + x + 1
3
3
3

 1  10
1
f   = 3  P   = 1.14
 10 
 10 
f (3) ( x) = 3x (ln(3))3
→ M 3 = sup | f (3) (x) | 3.9779069
x[ −1,1]

M3
| R(x) |
| ( x + 1) x( x − 1) |
3!
→| R(0.1) | 0.0656355


Ví dụ
1
• Xấp xỉ hàm f ( x ) =
2
25 x + 1
• Với 5 mốc nội suy


Ví dụ
• Với 10 và 17 mốc nội suy


Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức