Bài giảng Sai số: Chương 2.1 - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình phi
tuyến trong khơng gian một chiều

Viện Tốn ứng dụng và Tin học
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Ngày 8 tháng 10 năm 2021


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Nội dung

1

Khoảng cách li nghiệm

Sai số

2 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Nội dung

1

Khoảng cách li nghiệm

2

Phương pháp chia đôi

Sai số

2 / 17


Nội dung

1

Khoảng cách li nghiệm

2

Phương pháp chia đôi


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1]

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1] và f (x) = 3x 2 + 3 > 0.

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1] và f (x) = 3x 2 + 3 > 0.
Do đó f đồng biến trên [0, 1].

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ

Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1] và f (x) = 3x 2 + 3 > 0.
Do đó f đồng biến trên [0, 1]. Ngồi ra f (0)f (1) = −3 × 1 < 0.

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1] và f (x) = 3x 2 + 3 > 0.
Do đó f đồng biến trên [0, 1]. Ngồi ra f (0)f (1) = −3 × 1 < 0. Từ đó suy
ra phương trình có nghiệm duy nhất trên [0, 1].

Sai số

3 / 17

Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1] và f (x) = 3x 2 + 3 > 0.
Do đó f đồng biến trên [0, 1]. Ngồi ra f (0)f (1) = −3 × 1 < 0. Từ đó suy
ra phương trình có nghiệm duy nhất trên [0, 1].
Người ta gọi [0, 1] trong ví dụ trên là khoảng cách li nghiệm (hoặc khoảng
phân li nghiệm) của phương trình x 3 + 3x − 3 = 0.

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Ví dụ
Xét phương trình x 3 + 3x − 3 = 0. Trên [0, 1], phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm.

Giải
Xét f (x) = x 3 + 3x − 3 là hàm liên tục trên [0, 1] và f (x) = 3x 2 + 3 > 0.

Do đó f đồng biến trên [0, 1]. Ngồi ra f (0)f (1) = −3 × 1 < 0. Từ đó suy
ra phương trình có nghiệm duy nhất trên [0, 1].
Người ta gọi [0, 1] trong ví dụ trên là khoảng cách li nghiệm (hoặc khoảng
phân li nghiệm) của phương trình x 3 + 3x − 3 = 0.

Sai số

3 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Định nghĩa
[a, b] (hoặc (a, b)) được gọi là khoảng cách li nghiệm của phương trình
f (x) = 0 nếu nó chứa duy nhất một nghiệm của phương trình đó.

Sai số

4 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Định nghĩa
[a, b] (hoặc (a, b)) được gọi là khoảng cách li nghiệm của phương trình
f (x) = 0 nếu nó chứa duy nhất một nghiệm của phương trình đó.

Chú ý
Nếu hàm f liên tục trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm trên (a, b).

Sai số

4 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Định nghĩa
[a, b] (hoặc (a, b)) được gọi là khoảng cách li nghiệm của phương trình
f (x) = 0 nếu nó chứa duy nhất một nghiệm của phương trình đó.

Chú ý
Nếu hàm f liên tục trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm trên (a, b). Ngoài ra nếu thêm điều kiện f > 0
hoặc f < 0 trên [a, b] thì phương trình f (x) = 0 có duy nhất một nghiệm
trên (a, b).

Sai số

4 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Định nghĩa
[a, b] (hoặc (a, b)) được gọi là khoảng cách li nghiệm của phương trình
f (x) = 0 nếu nó chứa duy nhất một nghiệm của phương trình đó.

Chú ý
Nếu hàm f liên tục trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm trên (a, b). Ngoài ra nếu thêm điều kiện f > 0
hoặc f < 0 trên [a, b] thì phương trình f (x) = 0 có duy nhất một nghiệm
trên (a, b).

Ví dụ
Chứng minh rằng [1, 2] là khoảng cách li nghiệm của phương trình
x 3 − x − 1 = 0.

Sai số

4 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Định nghĩa
[a, b] (hoặc (a, b)) được gọi là khoảng cách li nghiệm của phương trình
f (x) = 0 nếu nó chứa duy nhất một nghiệm của phương trình đó.

Chú ý
Nếu hàm f liên tục trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm trên (a, b). Ngoài ra nếu thêm điều kiện f > 0
hoặc f < 0 trên [a, b] thì phương trình f (x) = 0 có duy nhất một nghiệm
trên (a, b).

Ví dụ
Chứng minh rằng [1, 2] là khoảng cách li nghiệm của phương trình
x 3 − x − 1 = 0.

Sai số

4 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Giải
Xét f (x) = x 3 − x − 1 = 0. là hàm liên tục trên [1, 2] và
f (x) = 3x 2 − 1 > 0 trên [1, 2]. Do đó f đồng biến trên [1, 2]. Ngoài ra
f (1)f (2) = −1 × 5 < 0. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
trên [1, 2] hay [1, 2] là khoảng cách li nghiệm của phương trình.

Sai số

5 / 17

Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Giải
Xét f (x) = x 3 − x − 1 = 0. là hàm liên tục trên [1, 2] và
f (x) = 3x 2 − 1 > 0 trên [1, 2]. Do đó f đồng biến trên [1, 2]. Ngoài ra
f (1)f (2) = −1 × 5 < 0. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
trên [1, 2] hay [1, 2] là khoảng cách li nghiệm của phương trình.

Ví dụ
Tìm những khoảng cách li nghiệm của phương trình x 4 − 4x + 2 = 0.

Sai số

5 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đôi

Giải
Xét f (x) = x 3 − x − 1 = 0. là hàm liên tục trên [1, 2] và
f (x) = 3x 2 − 1 > 0 trên [1, 2]. Do đó f đồng biến trên [1, 2]. Ngoài ra
f (1)f (2) = −1 × 5 < 0. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
trên [1, 2] hay [1, 2] là khoảng cách li nghiệm của phương trình.

Ví dụ
Tìm những khoảng cách li nghiệm của phương trình x 4 − 4x + 2 = 0.

Sai số

5 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Giải
Ta có f (x) = x 4 − 4x + 2 liên tục trên R và
f (x) = 4x 3 − 4 = 0 ⇔ x = 1.

Sai số

6 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Giải
Ta có f (x) = x 4 − 4x + 2 liên tục trên R và
f (x) = 4x 3 − 4 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên
x

−∞
−

f (x)

+∞

1
0

+∞

+
+∞

f (x)
−1

Sai số

6 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Giải
Ta có f (x) = x 4 − 4x + 2 liên tục trên R và
f (x) = 4x 3 − 4 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên
x

−∞
−

f (x)

+∞

1
0

+∞

+
+∞

f (x)
−1
Ta tính f (0) = 2, f (1) = −1, f (2) = 10, f (0)f (1) < 0 nên [0, 1] là một
khoảng cách li nghiệm.

Sai số

6 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Giải

Ta có f (x) = x 4 − 4x + 2 liên tục trên R và
f (x) = 4x 3 − 4 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên
x

−∞
−

f (x)

+∞

1
0

+∞

+
+∞

f (x)
−1
Ta tính f (0) = 2, f (1) = −1, f (2) = 10, f (0)f (1) < 0 nên [0, 1] là một
khoảng cách li nghiệm.f (1)f (2) < 0 nên [1, 2] là một khoảng cách li
nghiệm.
Sai số

6 / 17


Khoảng cách li nghiệm

Phương pháp chia đơi

Giải
Ta có f (x) = x 4 − 4x + 2 liên tục trên R và
f (x) = 4x 3 − 4 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên
x

−∞
−

f (x)

+∞

1
0

+∞

+
+∞

f (x)
−1
Ta tính f (0) = 2, f (1) = −1, f (2) = 10, f (0)f (1) < 0 nên [0, 1] là một
khoảng cách li nghiệm.f (1)f (2) < 0 nên [1, 2] là một khoảng cách li
nghiệm.
Sai số

6 / 17