100 bài toán khảo sát hàm số có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (961.38 KB, 37 trang )
www.VNMATH.com
TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Naêm 2011
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 1
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Cho hàm số
ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=-++- (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m
2
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
·
Tập xác định: D = R. ymxmxm
2
(1)232
¢
=-++-
.
(1) đồng biến trên R
Û
yx
0,
¢
³"
Û
m
2
³
Câu 2. Cho hàm số
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
1
=-
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
-¥
.
·
Tập xác định: D = R \ {–m}.
m
y
xm
2
2
4
()
-
¢
=
+
.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Û
ym
022
¢
<Û-<<
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
-¥
thì ta phải có
mm
11
-³Û£-
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m
21
-<£-
.
Câu 3. Cho hàm số yxxmx
32
34
=+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
0
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(;0)
-¥
.
·
m
3
£-
Câu 4. Cho hàm số
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=-++++
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2;)
+¥
·
yxmxmm
2
'66(21)6(1)
=-+++
có mmm
22
(21)4()10
D
=+-+=>
xm
y
xm
'0
1
é
=
=Û
ê
=+
ë
. Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm
(;),(1;)
-¥++¥
Do đó: hàm số đồng biến trên
(2;)
+¥
Û
m
12
+£
Û
m
1
£
Câu 5. Cho hàm số
42
231
yxmxm
= +
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
·
Ta có
32
'444()
yxmxxxm
=-=-
+
0
m
£
,
0,
¢
³"
yx
Þ
0
m
£
thoả mãn.
+
0
m
>
,
0
¢
=
y
có 3 nghiệm phân biệt:
, 0,
mm
-
.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi
1 01
£Û<£
mm. Vậy
(
]
;1
m
Î-¥
.
Câu 6. Cho hàm số
32
(12)(2)2
yxmxmxm
=+-+-++
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
(
)
0;
+¥
.
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 2
ã
Hm ng bin trờn
(0;)
+Ơ
yxmxm
2
3(12)(22
)0
Â
+
=-+-
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơ
x
fxm
x
x
2
23
()
41
2+
=
+
+
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơ
Ta cú:
x
fxx
x
xx
x
2
2
2
2(6
()0
3)173
36
(41
0
12
)
+
+-==
Â
==
+
Lp bng bin thiờn ca hm
fx
()
trờn
(0;)
+Ơ
, t ú ta i n kt lun:
fmm
173373
128
ổử
-++
ỗữ
ỗữ
ốứ
KSHS 02: CC TR CA HM S
Cõu 7. Cho hm s yxxmxm
32
32
=+++ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.
ã
PT honh giao im ca (C) v trc honh:
xxmxm
32
320(1)
+++=
x
gxxxm
2
1
()220(2)
ộ
=-
ờ
=++-=
ở
(C
m
) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc 0x
PT (1) cú 3 nghim phõn bit
(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1
m
gm
30
(1)30
D
ỡ
Â
=->
ớ
-=-ạ
ợ
m
3
<
Cõu 8. Cho hm s yxmxmmx
322
(21)(32)4
=-++ +-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.
ã
yxmxmm
22
32(21)(32)
Â
=-++ +
.
(C
m
) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung
PT y
0
Â
=
cú 2 nghim trỏi
du
mm
2
3(32)0
-+<
m
12
<<
.
Cõu 9. Cho hm s
32
1
(21)3
3
yxmxmx
=-+
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.
ã
TX: D = R ; yxmxm
2
221
Â
=+.
th (C
m
) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn
bit cựng du
2
210
210
ỡ
Â
ù
D=-+>
ớ
->
ù
ợ
mm
m
1
1
2
m
m
ạ
ỡ
ù
ớ
>
ù
ợ
Cõu 10. Cho hm s
32
32
yxxmx
= +
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng
yx
1
=-
.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 3
ã
Ta cú:
2
'36
=
yxxm
.
Hm s cú C, CT
2
'360
yxxm
= =
cú 2 nghim phõn bit
12
;
xx
'9303
mm
D=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
12
12
;;;
ABx
yy
x
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
112
'22
3333
mm
yxyx
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
ị
( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
2
22
33
mm
yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
Cỏc im cc tr cỏch u ng thng
yx
1
=-
xy ra 1 trong 2 trng hp:
TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng
yx
1
=-
23
21
32
m
m
ổử
-+=
ỗ
=-
ữ
ốứ
(tha món)
TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng
yx
1
=-
( ) ( )
2
121
121
2
2
2211
22
22
33
22
3.260
33
ổửổử
-+++-=+-
ỗữỗữ
ốứốứ
ổử
+=-
++
=-=-
=
ỗữ
ốứ
II
x mm
xxxx
x
mm
y
y
m
y
x
Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l:
3
0;
2
m
ỡỹ
=-
ớý
ợỵ
Cõu 11. Cho hm s
yxmxm
323
34
=-+ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.
ã
Ta cú:
yxmx
2
36
Â
=- ;
x
y
xm
0
0
2
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m
ạ
0.
th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
ị
ABmm
3
(2;4)
=-
uur
Trung im ca on AB l I(m; 2m
3
)
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x
ABd
Id
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ
mm
mm
3
3
240
2
ỡ
ù
-=
ớ
=
ù
ợ
m
2
2
=
Cõu 12. Cho hm s yxmxm
32
331
=-+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
xy
8740
+-=
.
ã
yxmx
2
36
Â
=-+ ;
yxxm
002
Â
=== .
Hm s cú C, CT
PT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
0
ạ
.
Khi ú 2 im cc tr l: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)
ị
ABmm
3
(2;4)
uuur
Trung im I ca AB cú to : Immm
3
(;231)
ng thng d:
xy
8740
+-=
cú mt VTCP
(8;1)
u
=-
r
.
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 4
A v B i xng vi nhau qua d
Id
ABd
ẻ
ỡ
ớ
^
ợ
3
8(231)740
.0
mmm
ABu
ỡ
+ =
ù
ớ
=
ù
ợ
uuurr
m
2
=
Cõu 13. Cho hm s
yxxmx
32
3=-+ (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d:
xy
250
=
.
ã
Ta cú
yxxmxyxxm
322
3'36
=-+ị=-+
Hm s cú cc i, cc tiu
y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit
mm
9303
D
Â
=-><
Ta cú:
yxymxm
1121
2
3333
ổửổử
Â
=-+-+
ỗữỗữ
ốứốứ
Ti cỏc im cc tr thỡ y
0
Â
=
, do ú ta cỏc im cc tr tha món phng trỡnh:
ymxm
21
2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
Nh vy ng thng
D
i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh
ymxm
21
2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
nờn
D
cú h s gúc km
1
2
2
3
=-
.
d:
xy
250
=
yx
15
22
=-
ị
d cú h s gúc k
2
1
2
=
hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d
^
D
ị
kkmm
12
12
1210
23
ổử
=--=-=
ỗữ
ốứ
Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I
ẻ
d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0
Cõu 14. Cho hm s yxmxxm
32
3(1)92
=-+++-
(1) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
yx
1
2
= .
ã
yxmx
2
'36(1)9
=-++
Hm s cú C, CT
m
2
'9(1)3.90
D
=+->
m
(;13)(13;)
ẻ-Ơ ẩ-++Ơ
Ta cú
m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33
ổử
+
Â
= +-++
ỗữ
ốứ
Gi s cỏc im cc i v cc tiu l
AxyBxy
1122
(;),(;)
, I l trung im ca AB.
ymmxm
2
11
2(22)41
ị=-+-++
; ymmxm
2
22
2(22)41
=-+-++
v:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3
ỡ
+=+
ớ
=
ợ
Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l ymmxm
2
2(22)41
=-+-++
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 5
A, B đối xứng qua (d):
yx
1
2
=
Û
ABd
Id
ì
^
í
Î
î
Û
m
1
=
.
Câu 15. Cho hàm số mxxmxy -++-= 9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx sao cho 2
21
£- xx .
·
Ta có .9)1(63'
2
++-= xmxy
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
Û
PT 0'
=
y có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
Û
PT 03)1(2
2
=++- xmx có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx .
ê
ê
ë
é
<
+->
Û>-+=DÛ
31
31
03)1('
2
m
m
m )1(
+ Theo định lý Viet ta có .3);1(2
2121
=+=+ xxmxx Khi đó:
(
)
(
)
41214442
2
21
2
2121
£-+Û£-+Û£- mxxxxxx
mm
2
(1)431
Û+£Û-££
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 313 <£- m và .131 £<+- m
Câu 16. Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
1
3
->
.
·
Ta có:
yxmxm
2
'3(1222
)()
=-+-
+
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
Û=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<
)
m
mmmm
m
22
5
'(12)3(2)450
4
1
D
é
>
ê
Û= = >Û
ê
<-
ë
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
m
xx
m
xx
12
12
(12)
3
2
2
3
ì
-
+=-
ï
í
-
ï
=
î
( ) ( )
xxxx xxxx
2
12 122 21
2
1
1
3
1
4
9
Û=+
>
->
mmmmmm
22
329329
4(12)4(2)1161250
88
+-
Û >Û >Û>Ú<
Kết hợp (*), ta suy ra mm
329
1
8
+
>Ú<-
Câu 17. Cho hàm số yxmxmx
32
11
(1)3(2)
33
= +-+
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
2
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
21
+=
.
·
Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)
¢
= +-
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 6
Hàm số có cực đại và cực tiểu
Û
y
0
¢
=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
Û
mm
2
05 70
D
¢
>Û-+>
(luôn đúng với
"
m)
Khi đó ta có:
xxm
xxm
12
12
2(1)
3(2)
ì
+=-
í
=-
î
Û
( )
xm
xxm
2
22
32
123(2)
ì
=-
ï
í
-=-
ï
î
mmm
2
434
81690
4
-±
Û+-=Û= .
Câu 18. Cho hàm số
yxmxx
32
4–3
=+ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
xx
12
,
thỏa
xx
12
4
=- .
·
yxmx
2
122–3
¢
=+ . Ta có:
mm
2
360,
D
¢
=+>"
Þ
hàm số luôn có 2 cực trị
xx
12
,
.
Khi đó:
12
12
12
4
6
1
4
xx
m
xx
xx
ì
ï
=-
ï
ï
+=-
í
ï
ï
=-
ï
î
9
2
m
Þ=±
Câu hỏi tương tự:
a)
yxxmx
32
31
=+++
; xx
12
23
+=
ĐS:
m
105
=-
.
Câu 19. Cho hàm số
ymxxmx
32
(2)35
=+++-
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
·
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
Û
PT
ymxxm =
2
'3(2)60
=+++ có 2 nghiệm dương phân biệt
am
mm
mmm
m
mmmP
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031
0032
0
3(2)
202
3
0
2
D
D
ì
=+¹
ï
=-+>
ì
ì
= +>-<<
ï
ïïï
ÛÛ<Û<Û-<<-
=>
ííí
+
ïïï
+<<-
î
î
-
ï
=>
ï
+
î
Câu 20. Cho hàm số yxx
32
–32
=+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:
yx
32
=-
sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.
·
Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức
gxyxy
(,)32
=
ta có:
AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
= =-<= =>
Þ
2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d:
yx
32
=-
.
Do đó MA + MB nhỏ nhất
Û
3 điểm A, M, B thẳng hàng
Û
M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB:
yx
22
=-+
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 7
Ta im M l nghim ca h:
4
32
5
222
5
x
yx
yx
y
ỡ
=
ù
=-
ỡ
ù
ớớ
=-+
ợ
ù
=
ù
ợ
ị
42
;
55
M
ổử
ỗữ
ốứ
Cõu 21. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=++++
(m l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) cú im cc i, im cc tiu, ng thi
honh ca im cc tiu nh hn 1.
ã
yxmxmgx
2
32(12)2()
Â
=+-+-=
YCBT
phng trỡnh y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit
xx
12
,
tha món: xx
12
1
<<
.
mm
gm
Sm
2
450
(1)570
21
1
23
D
ỡ
Â
= >
ù
ù
=-+>
ớ
-
ù
=<
ù
ợ
m
57
45
<<
.
Cõu 22. Cho hm s
3223
33(1)
yxmxmxmm
=-+ +
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng
2
ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.
ã
Ta cú
22
363(1)
Â
=-+-
yxmxm
Hm s (1) cú cc tr thỡ PT
0
Â
=
y cú 2 nghim phõn bit
22
210
xmxm
-+-=
cú 2 nhim phõn bit
10,
m
D=>"
Khi ú: im cc i
Amm
(1;22)
v im cc tiu
Bmm
(1;22)
+
Ta cú
2
322
2610
322
m
OAOBmm
m
ộ
=-+
=++=
ờ
=
ờ
ở
.
Cõu 23. Cho hm s
yxmxmxmm
32232
33(1)=-++-+- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=
.
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).
ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-++- .
PT y
0
Â
=
cú
m
10,
D
=>"
ị
th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr
xyxy
1122
(;),(;)
.
Chia y cho y
Â
ta c:
m
yxyxmm
2
1
2
33
ổử
Â
=-+-+
ỗữ
ốứ
Khi ú:
yxmm
2
11
2
=-+
;
yxmm
2
22
2
=-+
PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l
yxmm
2
2
=-+
.
Cõu 24. Cho hm s
32
32
yxxmx
= +
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d:
yx
43
=-+
.
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 8
ã Ta cú:
2
'36
=
yxxm
.
Hm s cú C, CT
2
'360
yxxm
= =
cú 2 nghim phõn bit
12
;
xx
'9303
mm
D=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
12
12
;;;
ABx
yy
x
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
112
'22
3333
mm
yxyx
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
ị
( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l d:
2
22
33
mm
yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
ng thng i qua cỏc im cc tr song song vi d:
yx
43
=-+
2
24
3
3
23
3
m
m
m
ỡ
ổử
-+=-
ỗữ
ù
ùốứ
=
ớ
ổử
ù
-ạ
ỗữ
ù
ốứ
ợ
(tha món)
Cõu 25. Cho hm s
32
32
yxxmx
= +
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d:
xy
450
+=
mt gúc
0
45
.
ã Ta cú:
2
'36
=
yxxm
.
Hm s cú C, CT
2
'360
yxxm
= =
cú 2 nghim phõn bit
12
;
xx
'9303
mm
D=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
12
12
;;;
ABx
yy
x
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
112
'22
3333
mm
yxyx
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
ị
( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
2
22
33
mm
yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
t
2
2
3
m
k
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
. ng thng d:
xy
450
+=
cú h s gúc bng
1
4
-
.
Ta cú:
3
39
11
1
1
5
10
44
4
tan45
1
115
1
1
1
4
443
2
k
mkk
k
k
kkk m
ộ ộộ
=
=-
+=-
+
ờ ờờ
=
ờ
ờờ
ờ
ờờ
-
+=-+=-
=-
ờ
ờờ
ở ở
ở
o
Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l:
1
2
m
=-
Cõu 26. Cho hm s
yxxm
32
3
=++
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
4
=-
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho
ã
AOB
0
120
=
.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 9
ã
Ta cú:
yxx
2
36
Â
=+
;
xym
y
x ym
24
0
0
ộ
=-ị=+
Â
=
ờ
=ị=
ở
Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(
-
2 ; m + 4)
OAm OBm
(0;),(2;4)
==-+
uuruur
.
ã
AOB
0
120
=
thỡ AOB
1
cos
2
=-
( )
( )
mmm
mmmm
mm
mm
22
2
22
40(4)1
4(4)2(4)
2
324440
4(4)
ỡ
-<<+
=-++=-+
ớ
++=
ợ
++
m
m
m
40
1223
1223
3
3
ỡ
-<<
-+
ù
=
ớ
-
=
ù
ợ
Cõu 27. Cho hm s
yxmxmxm
3223
33(1)
=+ (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
2
=-
.
2) Chng minh rng (C
m
) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.
ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
;
xm
y
xm
1
0
1
ộ
=+
Â
=
ờ
=-
ở
im cc i
Mmm
(1;23)
chy trờn ng thng c nh:
1
23
xt
yt
=-+
ỡ
ớ
=-
ợ
im cc tiu
Nmm
(1;2)
+-
chy trờn ng thng c nh:
1
23
xt
yt
=+
ỡ
ớ
=
ợ
Cõu 28. Cho hm s yxmx
42
13
22
=-+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
3
=
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i.
ã
yxmxxxm
32
222()
Â
=-=-
.
x
y
xm
2
0
0
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i
PT y
0
Â
=
cú 1 nghim
m
0
Ê
Cõu 29. Cho hm s
422
()2(2)55
==+-+-+
yfxxmxmm
m
C
()
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th
m
C
()
ca hm s cú cỏc im cc i, cc tiu to thnh 1
tam giỏc vuụng cõn.
ã
Ta cú
()
3
2
0
44(2)0
2
=
ộ
Â
=+-=
ờ
=-
ở
x
fxxmx
xm
Hm s cú C, CT
PT fx
()0
Â
=
cú 3 nghim phõn bit
m
2
<
(*)
Khi ú to cỏc im cc tr l:
(
)
(
)
(
)
AmmBmmCmm
2
0;55,2;1,2;1-+
ị
(
)
(
)
ABmmmACmmm
22
2;44,2;44
= +-= +-
uuruuur
Do
D
ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi
D
ABC vuụng ti A
(
)
1120.
3
=-=-= mmACAB (tho (*))
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 10
Cõu 30. Cho hm s
(
)
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+-+-+=
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú im cc i v im cc tiu, ng thi
cỏc im cc i v im cc tiu lp thnh mt tam giỏc u.
ã Ta cú
()
3
2
0
44(2)0
2
=
ộ
Â
=+-=
ờ
=-
ở
x
fxxmx
xm
Hm s cú C, CT
PT fx
()0
Â
=
cú 3 nghim phõn bit
m
2
<
(*)
Khi ú to cỏc im cc tr l:
(
)
(
)
(
)
AmmBmmCmm
2
0;55,2;1,2;1-+
ị
(
)
(
)
ABmmmACmmm
22
2;44,2;44
= +-= +-
uuruuur
Do
D
ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi
à
A
0
60
=
A
1
cos
2
=
ABAC
ABAC
.1
2
.
=
uuuruuur
uuuruuur
3
32 -=m .
Cõu hi tng t i vi hm s: yxmxm
42
4(1)21
= +-
Cõu 31. Cho hm s
yxmxmm
422
2
=+++
cú th (C
m
) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú mt gúc bng
0
120
.
ã
Ta cú
yxmx
3
44
Â
=+ ;
x
yxxm
xm
2
0
04()0
ộ
=
Â
=+=
ờ
=-
ờ
ở
(m < 0)
Khi ú cỏc im cc tr l:
(
)
(
)
AmmBmmCmm
2
(0;),;,;
+
ABmm
2
(;)
=
uur
;
ACmm
2
(;)
=
uuur
.
D
ABC cõn ti A nờn gúc
120
o
chớnh l
à
A
.
à
A
120
=
o
ABACmmm
A
mm
ABAC
4
4
1.1.1
cos
222
.
+
=-=-=-
-
uuruuur
uuruuur
m loaùi
mm
mmmmmm
m
mm
4
444
4
3
0()
1
1
2230
2
3
ộ
=
+
ờ
=-ị+=-+=
=-
ờ
-
ờ
ở
Vy
m
3
1
3
=-
.
Cõu 32. Cho hm s yxmxm
42
21
=-+-
cú th (C
m
) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng
1
.
ã
Ta cú
x
yxmxxxm
xm
32
2
0
444()0
ộ
=
Â
=-=-=
ờ
=
ở
Hm s ó cho cú ba im cc tr
PT y
0
Â
=
cú ba nghim phõn bit v
y
Â
i du khi
x
i qua cỏc nghim ú
m
0
>
. Khi ú ba im cc tr ca th (Cm) l:
(
)
(
)
AmBmmmCmmm
22
(0;1),;1,;1
+ +-
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 11
ABCBACB
Syyxxmm
2
1
.
2
= =
V
;
ABACmmBCm
4
,2==+=
ABC
m
ABACBCmmm
Rmm
S
m
mm
4
3
2
1
()2
11210
51
4
4
2
é
=
+
ê
==Û=Û-+=Û
-
ê
=
ë
V
Câu hỏi tương tự:
a) yxmx
42
21
=-+
ĐS: mm
15
1,
2
-+
==
Câu 33. Cho hàm số
yxmxmm
424
22=-++ có đồ thị (C
m
) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
·
Ta có
3
2
0
'440
()0
x
yxmx
gxxm
=
é
=-=Û
ê
=-=
ë
Hàm số có 3 cực trị
'0
y
Û=
có 3 nghiệm phân biệt
00
g
mm
ÛD=>Û>
(*)
Với điều kiện (*), phương trình y
0
¢
=
có 3 nghiệm
123
;0;=-==
xmxxm
. Hàm số đạt
cực trị tại
123
;;
xxx
. Gọi
(
)
(
)
44242
(0;2);;2;;2
+-+ +
AmmBmmmmCmmmm
là 3
điểm cực trị của (C
m
) .
Ta có:
2242
;4
ABACmmBCmABC
==+=ÞD cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC
MmmmAMmm
4222
(0;2)Þ-+Þ==
Vì
ABC
D
cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
ABC
SAMBCmmmmm
5
255
2
11
4441616
22
D
===Û=Û=Û=
Vậy
m
5
16
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) yxmx
422
21
=-+
, S = 32 ĐS:
m
2
=±
KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO
Câu 34. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
·
PT hoành độ giao điểm của (1) và d: xxmxxxxm
322
311(3)0
+++=Û++=
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
Û
9
,0
4
<¹
mm
Khi đó:
BC
xx
,
là các nghiệm của PT:
xxm
2
30
++=
Þ
BCBC
xxxxm
3;.
+=-=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là
BB
kxxm
2
1
36
=++
và tại C là
CC
kxxm
2
2
36
=++
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau
Û
kk
12
.1
=-
Û
mm
2
4910
-+=
Û
965965
88
-+
=Ú=mm
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Câu 35. Cho hàm số
yxx
3
–31
=+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d):
ymxm
3
=++
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.
·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): xmxm
3
–(3)––20
+=
Û
xxxm
2
(1)(–––2)0
+=
Û
xy
gxxxm
2
1(3)
()20
é
=-=
ê
= =
ë
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P
Û
9
,0
4
>-¹
mm
Khi đó:
NP
xx
,
là các nghiệm của PT:
xxm
2
20
=
Þ
NPNP
xxxxm
1;.2
+==
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là
N
kx
2
1
33
=-
và tại P là
P
kx
2
2
33
=-
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau
Û
kk
12
.1
=-
Û
mm
2
91810
++=
Û
322322
33
-+
=Ú=mm
Câu 36. Cho hàm số yxx
32
34
=-+
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
·
PT đường thẳng (d):
ykx
(2)
=-
+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): xxkx
32
34(2)
-+=-
Û
xxxk
2
(2)(2)0
=
Û
A
xx
gxxxk
2
2
()20
é
==
ê
= =
ë
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N
Û
PT
gx
()0
=
có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
Û
0
9
0
(2)0
4
k
f
D>
ì
Û-<¹
í
¹
î
(*)
+ Theo định lí Viet ta có:
1
2
MN
MN
xx
xxk
+=
ì
í
=
î
+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
Û
MN
yxyx
().()1
¢¢
=-
Û
22
(36)(36)1
=-
MMNN
xxxx
Û
kk
2
91810
++=
322
3
k
-±
Û= (thoả (*))
Câu 37. Cho hàm số
yxx
3
3
=-
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d):
ymx
(1)2
=++
luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
·
PT hoành độ giao điểm xxxm
2
(1)(2)0
+ =
(1)
Û
x
xxm
2
10
20(2)
é
+=
ê
=
ë
(1) luôn có 1 nghiệm
x
1
=-
(
y
2
=
)
Þ
(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 13
(d) ct (C) ti 3 im phõn bit
(2) cú 2 nghim phõn bit, khỏc 1
9
4
0
m
m
ỡ
>-
ù
ớ
ù
ạ
ợ
(*)
Tip tuyn ti N, P vuụng gúc
'().'()1
NP
yxyx
=-
m
322
3
-
= (tho (*))
Cõu 38. Cho hm s yxmxmxm
3222
33(1)(1)
=-+
(
m
l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
0.
=
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh
dng.
ã
THS (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng, ta phi cú:
CẹCT
CẹCT
coựcửùctrũ
yy
xx
ay
(1)2
.0
0,0
.(0)0
ỡ
ù
<
ù
ớ
>>
ù
<
ù
ợ
(*)
Trong ú: + yxmxmxm
3222
33(1)(1)
=-+
ị
yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
+
y
mmm
22
100,
D
Â
=-+=>"
+
Cẹ
CT
xmx
y
xmx
1
0
1
ộ
=-=
Â
=
ờ
=+=
ở
Suy ra: (*)
m
m
m
mmmm
m
222
2
10
10
312
(1)(3)(21)0
(1)0
ỡ
->
ù
+>
ù
<<+
ớ
<
ù
ù
<
ợ
Cõu 39. Cho hm s
32
12
33
yxmxxm
= ++
cú th
m
C
()
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m
m
C
()
ct trc honh ti 3 im phõn bit cú tng bỡnh phng cỏc honh ln
hn 15.
ã
YCBT
xmxxm
32
12
0
33
++=
(*) cú 3 nghim phõn bit tha xxx
222
123
15
++>
.
Ta cú: (*) xxmxm
2
(1)((13)23)0
-+ =
x
gxxmxm
2
1
()(13)230
ộ
=
ờ
=+ =
ở
Do ú: YCBT
gx
()0
=
cú 2 nghim
xx
12
,
phõn bit khỏc 1 v tha xx
22
12
14
+>
.
m
1
>
Cõu hi tng t i vi hm s:
32
3332
yxmxxm
= ++
Cõu 40. Cho hm s mxxxy + = 93
23
, trong ú
m
l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho khi
0
=
m
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s
m
th hm s ó cho ct trc honh ti 3 im
phõn bit cú honh lp thnh cp s cng.
ã
th hm s ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng
Phng trỡnh
32
390
+=
xxxm cú 3 nghim phõn bit lp thnh cp s cng
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Û
Phương trình
32
39
xxxm
=-
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Û
Đường thẳng
ym
=-
đi qua điểm uốn của đồ thị (C)
.
1111
mm
Û-=-Û=
Câu 41. Cho hàm số
yxmxx
32
397
=-+-
có đồ thị (C
m
), trong đó
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
0
=
m
.
2) Tìm
m
để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
·
Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình:
xmxx
32
3970
-+-=
(1)
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là
xxx
123
;;
ta có:
xxxm
123
3
++=
Để
xxx
123
;;
lập thành cấp số cộng thì
xm
2
=
là nghiệm của phương trình (1)
Þ
mm
3
2970
-+-=
Û
m
m
m
1
115
2
115
2
é
ê
=
ê
-+
ê
=
ê
ê
=
ê
ë
Thử lại ta có m
115
2
= là giá trị cần tìm.
Câu 42. Cho hàm số
32
3
yxmxmx
= có đồ thị (C
m
), trong đó
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
m
1
=
.
2) Tìm
m
để (C
m
) cắt đường thẳng d:
yx
2
=+
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.
·
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:
(
)
(
)
3232
323120
xmxmxxgxxmxmx
=+Û= +-=
Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
123
;;
xxx
lần lượt lập thành cấp
số nhân. Khi đó ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
123
gxxxxxxx
=
Suy ra:
123
122313
123
3
1
2
xxxm
xxxxxxm
xxx
++=
ì
ï
++=
í
ï
=
î
Vì
23
3
13222
22
xxxxx=Þ=Þ= nên ta có:
3
3
5
142.3
321
mmm =+Û=-
+
Đk đủ: Với
3
5
321
m =-
+
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
5
321
m =-
+
Câu 43. Cho hàm số yxmxmx
32
2(3)4
=++++
có đồ thị là (C
m
) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d):
yx
4
=+
và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C
m
) tại
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
82
.
·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d là:
xmxmxxxxmxm
322
2(3)44(22)0
++++=+Û+++=
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 15
xy
gxxmxm
2
0(4)
()220(1)
é
==
Û
ê
=+++=
ë
(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C
Û
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
mm
mm
m
gm
/2
12
20
2
(0)20
D
ì
ì
£-Ú³
= >
ÛÛ
íí
¹-
=+¹
î
î
(*)
Khi đó:
BCBC
xxmxxm
2;.2
+=-=+
.
Mặt khác: dKd
134
(,)2
2
-+
==. Do đó:
KBC
SBCdKdBCBC
2
1
82.(,)8216256
2
D
=Û=Û=Û=
BCBC
xxyy
22
()()256
Û-+-=
BCBC
xxxx
22
()((4)(4))256
Û-++-+=
BCBCBC
xxxxxx
22
2()256()4128
Û-=Û+-=
mmmmm
22
1137
44(2)128340
2
±
Û-+=Û =Û= (thỏa (*)).
Vậy m
1137
2
±
= .
Câu 44. Cho hàm số yxx
32
34
=-+
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi
k
d
là đường thẳng đi qua điểm
A
(1;0)
-
với hệ số góc
k
k
()
Î
¡
. Tìm
k
để đường
thẳng
k
d
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ
O
tạo thành một tam giác có diện tích bằng
1
.
·
Ta có:
k
dykxk
:
=+
Û
kxyk
0
-+=
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d là:
xxkxkxxkx
322
34(1)(2)01
éù
-+=+Û+ =Û=-
ëû
hoặc
xk
2
(2)
-=
k
d
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
k
k
0
9
ì
>
Û
í
¹
î
Khi đó các giao điểm là
(
)
(
)
ABkkkkCkkkk
(1;0),2;3,2;3 ++.
k
k
BCkkdOBCdOd
k
2
2
21,(,)(,)
1
=+==
+
OBC
k
Skkkkkk
k
23
2
1
2.11111
2
1
D
=+=Û=Û=Û=
+
Câu 45. Cho hàm số yxx
32
32
=-+
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
.
·
Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng
D
qua E có dạng
ykx
(1)
=-
.
PT hoành độ giao điểm của (C) và
D
: xxxk
2
(1)(22)0
=
D
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Û
PT
xxk
2
220
=
có hai nghiệm phân biệt khác 1
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 16
k
3
>-
OAB
SdOABkk
1
(,).3
2
D
=D=+
ị
kk
32
+=
k
k
1
13
ộ
=-
ờ
=-
ở
Vy cú 3 ng thng tho YCBT:
(
)
yxyx
1;13(1)
=-+=--
.
Cõu 46. Cho hm s yxmx
3
2
=++
cú th (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 3.
2) Tỡm m th (C
m
) ct trc honh ti mt im duy nht.
ã
Phng trỡnh honh giao im ca (C
m
) vi trc honh:
xmx
3
20
++=
mxx
x
2
2
(0)
= ạ
Xột hm s:
x
fxxfxx
x
xx
3
2
22
2222
()'()2
-+
= ị=-+=
Ta cú bng bin thiờn:
fx
()
Â
fx
()
-Ơ
+Ơ
-Ơ
+Ơ
-Ơ
-Ơ
th (C
m
) ct trc honh ti mt im duy nht
m
3
>-
.
Cõu 47. Cho hm s yxmxmx
32
23(1)62
=-++-
cú th (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (C
m
) ct trc honh ti mt im duy nht.
ã
m
1313
-<<+
Cõu 48. Cho hm s yxxx
32
696
=-+-
cú th l (C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) nh m ng thng
dymxm
():24
=
ct th (C) ti ba im phõn bit.
ã
PT honh giao im ca (C) v (d):
xxxmxm
32
69624
-+-=
xxxm
2
(2)(41)0
+-=
x
gxxxm
2
2
()410
ộ
=
ờ
=-+-=
ở
(d) ct (C) ti ba im phõn bit
PT
gx
()0
=
cú 2 nghim phõn bit khỏc 2
m
3
>-
Cõu 49. Cho hm s yxx
32
31
=+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm m ng thng (D):
ymxm
(21)41
=-
ct th (C) ti ỳng hai im phõn
bit.
ã
Phng trỡnh honh giao ca (C) v (
D
): xxmxm
32
3(21)420
++=
xxxm
2
(2)(21)0
-=
x
fxxxm
2
2
()210(1)
ộ
=
ờ
= =
ở
(
D
) ct (C) ti ỳng 2 im phõn bit
(1) phi cú nghim
xx
12
,
tha món:
xx
xx
12
12
2
2
ộ
ạ=
ờ
=ạ
ở
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 17
b
a
f
0
2
2
0
(2)0
D
D
ộ
ỡ
=
ù
ờ
ớ
ờ
-ạ
ù
ợ
ờ
ờỡ
>
ớ
ờ
=
ợ
ở
m
m
m
850
1
2
2
850
210
ộ
ỡ
+=
ù
ờ
ớ
ờ
ạ
ù
ợ
ờ
ỡờ
+>
ớ
ờ
-+=
ợ
ở
m
m
5
8
1
2
ộ
=-
ờ
ờ
ờ
=
ở
Vy: m
5
8
=-
; m
1
2
=
.
Cõu 50. Cho hm s
32
32
yxmxm
=-+ cú th (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (C
m
) ct trc honh ti ỳng hai im phõn bit.
ã
(C
m
) ct trc honh ti ỳng hai im phõn bit thỡ (C
m
) phi cú 2 im cc tr
ị
0
Â
=
y cú 2 nghim phõn bit
22
330
xm
-=
cú 2 nghim phõn bit
0
m
ạ
Khi ú '0
yxm
==
.
(C
m
) ct Ox ti ỳng 2 im phõn bit
y
C
= 0 hoc y
CT
= 0
Ta cú: +
3
()02200
ymmmm
-=+==
(loi)
+
3
()022001
ymmmmm
=-+===
Vy:
1
m
=
Cõu 51. Cho hm s yxmxm
42
1
=-+-
cú th l
(
)
m
C
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi
m
8
=
.
2) nh m th
(
)
m
C
ct trc trc honh ti bn im phõn bit.
ã
m
m
1
2
ỡ
>
ớ
ạ
ợ
Cõu 52. Cho hm s
(
)
42
2121
yxmxm
=-+++
cú th l
(
)
m
C
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho khi
0
=
m
.
2) nh
m
th
(
)
m
C
ct trc honh ti 4 im phõn bit cú honh lp thnh cp s
cng.
ã
Xột phng trỡnh honh giao im:
(
)
42
21210
xmxm
-+++=
(1)
t
2
,0
txt
=
thỡ (1) tr thnh:
(
)
2
()21210
fttmtm
=-+++=
.
(C
m
) ct Ox ti 4 im phõn bit thỡ
ft
()0
=
phi cú 2 nghim dng phõn bit
( )
2
'0
1
210
2
0
210
m
m
Sm
m
Pm
ỡ
D=>
ỡ
>-
ù
ù
=+>
ớớ
ùù
ạ
ợ
=+>
ợ
(*)
Vi (*), gi
12
tt
<
l 2 nghim ca
ft
()0
=
, khi ú honh giao im ca (C
m
) vi Ox ln
lt l:
12213142
;;;
xtxtxtxt
=-=-==
xxxx
1234
,,,
lp thnh cp s cng
21324321
9
xxxxxxtt
-=-=-=
( )
( )
4
544
191541
4
544
9
=
ộ
=+
ộ
ờ
++=+-=+
ờ
ờ
-=+
=-
ở
ở
m
mm
mmmmmm
mm
m
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 18
Vy
4
4;
9
m
ỡỹ
=-
ớý
ợỵ
Cõu hi tng t i vi hm s yxmxm
42
2(2)23
=-++
S: mm
13
3,
9
==-
.
Cõu 53. Cho hm s
yxmxm
42
(32)3
=++ cú th l (C
m
), m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m ng thng
y
1
=-
ct th (C
m
) ti 4 im phõn bit u cú honh nh
hn 2.
ã
Phng trỡnh honh giao im ca (C
m
) v ng thng
y
1
=-
:
xmxm
42
(32)31
++=-
xmxm
42
(32)310
+++=
x
xm
2
1
31(*)
ộ
=
ờ
=+
ở
ng thng
y
1
=-
ct (C
m
) ti 4 im phõn bit cú honh nh hn 2 khi v ch khi
phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit khỏc
1 v nh hn 2
m
m
0314
311
ỡ
<+<
ù
ớ
+ạ
ù
ợ
m
m
1
1
3
0
ỡ
-<<
ù
ớ
ù
ạ
ợ
Cõu 54. Cho hm s
(
)
42
2121
yxmxm
=-+++
cú th l (C
m
), m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m th (C
m
) ct trc honh ti 3 im phõn bit u cú honh nh hn 3.
ã
Xột phng trỡnh honh giao im:
(
)
42
21210
xmxm
-+++=
(1)
t
2
,0
txt
=
thỡ (1) tr thnh:
(
)
2
()21210
fttmtm
=-+++=
.
(C
m
) ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh nh hn 3
(
)
ft
cú 2 nghim phõn bit
12
,
tt
sao cho:
12
12
03
03
tt
tt
=<<
ộ
ờ
<<Ê
ở
( )
()
( )
2
2
'0
'0
3440
1
(0)2101
2
210
213
210
ỡ
D=>
ỡ
D=>
ù
=-Ê
ù
ù
=+==-
ớớ
=+>
ùù
=+<
ợ
ù
=+>
ợ
m
m
fm
fmmm
Sm
Sm
Pm
Vy:
1
1
2
mm
=-
.
Cõu 55. Cho hm s
4224
22
yxmxmm
=-++ (1), vi m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
1
m
=
2) Chng minh th hm s (1) luụn ct trc Ox ti ớt nht hai im phõn bit, vi mi
0
m
<
.
ã
Phng trỡnh honh giao im ca th (1) v trc Ox:
4224
220
xmxmm
-++=
(1)
t
(
)
2
0
txt
=
, (1) tr thnh :
224
220
tmtmm
-++=
(2)
Ta cú :
'20
m
D=->
v
2
20
Sm
=>
vi mi
0
m
>
. Nờn (2) cú nghim dng
ị
(1) cú ớt nht 2 nghim phõn bit
ị
th hm s (1) luụn ct trc Ox ti ớt nht hai
im phõn bit.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 19
Câu 56. Cho hàm số
x
y
x
21
2
+
=
+
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d:
yxm
=-+
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
·
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
xm
x
21
2
+
=-+
+
Û
x
fxxmxm
2
2
()(4)120(1)
ì
¹-
í
=+-+-=
î
Do (1) có
m
2
10
D
=+>
và
fmmm
2
(2)(2)(4).(2)1230,
-=-+ +-=-¹"
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có:
AABB
ymxymx
;
=-=-
nên
BABA
ABxxyym
2222
()()2(12)
=-+-=+
Suy ra AB ngắn nhất
Û
AB
2
nhỏ nhất
Û
m
0
=
. Khi đó:
AB
24
=
.
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
a)
2
1
x
y
x
-
=
-
ĐS: m = 2 b)
x
y
x
1
2
-
= ĐS: m
1
2
=
Câu 57. Cho hàm số
3
1
x
y
x
-
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
(1;1)
-
I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
·
Phương trình đường thẳng
(
)
:11
dykx
=++
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N
3
1
1
-
Û=++
+
x
kxk
x
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
-
.
Û
2
()240
=+++=
fxkxkxk có 2 nghiệm phân biệt khác
1
-
Û
0
400
(1)40
¹
ì
ï
D=->Û<
í
ï
-=¹
î
k
kk
f
Mặt khác: 22
MNI
xxx
+=-=Û
I là trung điểm MN với
0
k
"<
.
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là
1
ykxk
=++
với
0
k
<
.
Câu 58. Cho hàm số
24
1
x
y
x
+
=
-
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,
N sao cho
310
MN = .
·
Phương trình đường thẳng
():(1)1.
dykx
=-+
Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm
1122
(;),(;)
xyxy
phân biệt
sao cho
( ) ( )
22
2121
90
-+-=
xxyy (a)
24
(1)1
1
(1)1
+
ì
=-+
ï
-+
í
ï
=-+
î
x
kx
x
ykx
(I). Ta có:
2
(23)30
()
(1)1
kxkxk
I
ykx
ì
++=
Û
í
=-+
î
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 20
(I) có hai nghiệm phân biệt
Û
PT
2
(23)30()
++=
kxkxkb
có hai nghiệm phân biệt.
Û
3
0,.
8
kk
¹<
Ta biến đổi (a) trở thành:
( ) ( )
22
22
212121
(1)90(1)490
éù
+-=Û++-=
ëû
kxxkxxxx (c)
Theo định lí Viet cho (b) ta có:
1212
233
,,
kk
xxxx
kk
-+
+==thế vào (c) ta có phương
trình:
322
827830(3)(831)0
kkkkkk
++-=Û++-=
341341
3;;
1616
-+
Û=-==kkk.
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Câu 59. Cho hàm số
22
1
x
y
x
-
=
+
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d):
yxm
2
=+
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
5
=AB .
·
PT hoành độ giao điểm:
22
2
1
-
=+
+
x
xm
x
Û
xmxmx
2
2 20(1)
+++=¹-
(1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
Û
(1) có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
khác –1
Û
mm
2
8160
>
(2)
Khi đó ta có:
12
12
2
2
2
m
xx
m
xx
ì
+=-
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
. Gọi
(
)
(
)
AxxmBxxm
1122
;2 , ;2
++.
AB
2
= 5
Û
22
1212
()4()5
xxxx
-+-=
Û
2
1212
()41
xxxx
+-=
Û
mm
2
8200
=
Û
m
m
10
2
é
=
ê
=-
ë
(thoả (2))
Vậy:
mm
10;2
==-
.
Câu 60. Cho hàm số
x
y
xm
1
-
=
+
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
1
=
.
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d):
yx
2
=+
cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho
AB
22
=
.
·
PT hoành độ giao điểm:
xmx
x
xm
xmxm
2
1
2
(1)210(*)
ì
¹
=+Û
í
+
++++=
î
d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt
Û
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
m
-
m mmm
xm
mm
2
0
323323
630
11
D
ì
ì
ì
>
<-Ú>+ >
ÛÛÛ
ííí
¹-
¹-¹-
î
îî
(**)
Khi đó gọi
x x
12
,
là các nghiệm của (*), ta có
xxm
xxm
12
12
(1)
.21
ì
+=-+
í
=+
î
Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là Ax x Bx x
1122
(;2),(;2)
++
.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 21
Suy ra ABxxxxxxmm
2222
121212
2()2()42(63)
éù
=-=+-=
ëû
Theo giả thiết ta được
m
mmmm
m
22
1
2(63)8670
7
é
=-
=Û =Û
ê
=
ë
Kết hợp với điều kiện (**) ta được
m
7
=
là giá trị cần tìm.
Câu 61. Cho hàm số
21
1
x
y
x
-
=
-
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d:
yxm
=+
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB
vuông tại O.
·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: xmxmx
2
(3)10,1
+-+-=¹
(*)
(*) có
mmmR
2
250,
D
=-+>"Î
và (*) không có nghiệm x = 1.
Þ
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là
AB
xx
,
. Theo định lí Viét:
AB
AB
xxm
xxm
3
.1
ì
+=-
í
=-
î
Khi đó:
(
)
(
)
AABB
Ax xm Bx xm
;,;++
OAB
D
vuông tại O thì
(
)
(
)
ABAB
OAOBxxxmxm
.00
=Û+++=
uuruur
(
)
202
2
-=Û=+++Û mmxxmxx
BABA
Vậy: m = –2.
Câu 62. Cho hàm số:
x
y
x
2
2
+
=
-
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
của (C) và thỏa
AA
BB
xym
xym
0
0
ì
-+=
í
-+=
î
.
·
Ta có:
AAAA
BBBB
xymyxm
ABdyxm
xymyxm
0
,():
0
ìì
-+==+
ÛÞÎ=+
íí
-+==+
îî
Þ
A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x
xmfxxmxm x
x
2
2
()(3)(22)0(2)
2
+
+=Û=+ +=¹
-
(*).
(*) có
mmm
2
2170,
D
=++>"
Þ
(d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Và
AB
fxx
1.(2)402
=-<Þ<<
hoặc
BA
xx
2
<<
(đpcm).
KSHS 04: TIẾP TUYẾN
Câu 63. Cho hàm số 2)2()21(
23
++-+-+= mxmxmxy (1) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: 07
=
+
+
yx
góc
a
, biết
26
1
cos =
a
.
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 22
·
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
Þ
tiếp tuyến có VTPT nk
1
(;1)
=-
r
Đường thẳng d có VTPT n
2
(1;1)
=
r
.
Ta có
k
nn
k
kk
nn
k
k
12
2
2
12
3
.
11
2
cos1226120
2
.
26
21
3
a
é
=
ê
-
=Û=Û-+=Û
ê
ê
+
=
ë
rr
rr
YCBT thoả mãn
Û
ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
y
y
3
2
2
3
é
¢
=
ê
ê
¢
ê
=
ë
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
=-+-+
=-+-+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx
Û
ê
ê
ë
é
³D
³D
0
0
2
/
1
/
Û
ê
ê
ë
é
³
³
034
0128
2
2
mm
mm
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
³-£
³-£
1;
4
3
2
1
;
4
1
mm
mm
Û
4
1
-£m hoặc
2
1
³m
Câu 64. Cho hàm số yxx
32
31
=-+
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB =
42
.
·
Giả sử AaaaBbbb
3232
(;31),(;31)
-+-+
thuộc (C), với
ab
¹
.
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:
yayb
()()
¢¢
=
Û
aabbabababab
2222
36362()0()(2)0
-=-Û =Û-+-=
Û
abba
202
+-=Û=-
. Vì
ab
¹
nên
aaa
21
¹-Û¹
Ta có: ABbabbaabababa
232322233222
()(3131)()(3())
=-+-+-+-=-+
babaabbababa
2
23
()()3()3()()
éù
=-+-+ +
ëû
bababaab
2
222
()()()33.2
éù
=-+ +-
ëû
bababaab
2
222
()()()6
éù
=-+-+
ëû
babaab
222
()()(2)
=-+
2
ABbaabaaa
22222
()1(2)(22)1(22)
éùéù
=-+ =-+
ëûëû
aaaaa
2
22242
4(1)1(1)34(1)(1)6(1)10
éù
éùéù
=-+ = +
êú
ëûëû
ëû
aaa
642
4(1)24(1)40(1)
= +-
Mà AB
42
= nên aaa
642
4(1)24(1)40(1)32
+-=
aaa
642
(1)6(1)10(1)80
Û + =
(*)
Đặt
tat
2
(1),0
=->
. Khi đó (*) trở thành:
ttttttt
322
61080(4)(22)04
-+-=Û +=Û=
Þ
ab
a
ab
2
31
(1)4
13
é
=Þ=-
-=Û
ê
=-Þ=
ë
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là:
AB
(3;1),(1;3)
.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 23
Cõu 65. Cho hm s
yxx
3
3
=-
(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn ng thng (d):
yx
=-
cỏc im m t ú k c ỳng 2 tip tuyn phõn bit
vi th (C).
ã
Cỏc im cn tỡm l: A(2; 2) v B(2; 2).
Cõu 66. Cho hm s yxx
32
32
=-+-
(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn ng thng (d): y = 2 cỏc im m t ú k c 3 tip tuyn phõn bit vi
th (C).
ã
Gi
ẻ
(;2)()
Mmd
.
PT ng thng
D
i qua im M v cú h s gúc k cú dng :
ykxm
()2
=-+
D
l tip tuyn ca (C)
h PT sau cú nghim
xxkxm
xxk
32
2
32()2(1)
36(2)
ỡ
ù
-+-=-+
ớ
-+=
ù
ợ
(*).
Thay (2) v (1) ta c: xmxmxxxmx
322
23(1)640(2)2(31)20
ộự
-++-= +=
ởỷ
=
ộ
ờ
= +=
ở
2
2
()2(31)20 (3)
x
fxxmx
T M k c 3 tip tuyn n th (C)
h (*) cú 3 nghim x phõn bit
(3) cú hai nghim phõn bit khỏc 2
ỡ
D>
<->
ỡ
ù
ớớ
ạ
ợ
ù
ạ
ợ
5
0
1
3
(2)0
2
mhoặcm
f
m
.
Vy t cỏc im M(m; 2)
ẻ
(d): y = 2 vi
ỡ
<->
ù
ớ
ù
ạ
ợ
5
1
3
2
mhoặcm
m
cú th k c 3 tip tuyn
n (C).
Cõu 67. Cho hm s
yfxmxmxmx
32
1
()(1)(43)1
3
==+-+-+
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr m sao cho trờn th (C
m
) tn ti mt im duy nht cú honh õm m
tip tuyn ti ú vuụng gúc vi ng thng (d):
xy
230
+-=
.
ã
(d) cú h s gúc
1
2
-
ị
tip tuyn cú h s gúc
k
2
=
. Gi x l honh tip im thỡ:
fxmxmxmmxmxm
22
'()22(1)(43)22(1)230
=+-+-=+-+-=
(1)
YCBT
(1) cú ỳng mt nghim õm.
+ Nu
m
0
=
thỡ (1)
xx
221
-=-=
(loi)
+ Nu
m
0
ạ
thỡ d thy phng trỡnh (1) cú 2 nghim l
m
xhayx=
m
23
1
-
=
Do ú (1) cú mt nghim õm thỡ
m
m
m
m
0
23
0
2
3
ộ
<
-
ờ
<
ờ
>
ờ
ở
Vy mhaym
2
0
3
<>
.
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 24
Câu 68. Cho hàm số
( ) ( )
yxx
22
1.1
=+-
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm
Aa
(;0)
. Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
·
Ta có yxx
42
21
=-+
.
Phương trình đường thẳng d đi qua
Aa
(;0)
và có hệ số góc k :
ykxa
()
=-
d là tiếp tuyến của (C)
Û
hệ phương trình sau có nghiệm:
xxkxa
I
xxk
42
3
21()
()
44
ì
-+=-
ï
í
-=
ï
î
Ta có:
k
IA
x
2
0
()()
10
ì
=
Û
í
-=
î
hoặc
xxk
B
fxxax
2
2
4(1)
()
()3410(1)
ì
ï
-=
í
=-+=
ï
î
+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là dy
1
:0
=
.
+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải
có 2 nghiệm phân biệt
xk
(;)
với
x
1
¹±
, tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân
biệt khác
1
±
Û
a
f
2
430
(1)0
D
ì
¢
=->
í
±¹
î
Û
a a
33
11
22
-¹<-¹>hoÆc
Câu 69. Cho hàm số
yfxxx
42
()2
==- .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
·
Ta có:
fxxx
3
'()44
=-
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là
AB
kfaaakfbbb
33
'()44,'()44
==-==-
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
yfaxafayfaxfaafa
()()()()()()
¢¢¢
=-+Û=+-
yfbxbfbyfbxfbbfb
()()()()()()
¢¢¢
=-+Û=+-
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
33
AB
kkaa = 4bbabaabb
22
444()(1)0
=Û Û-++-=
(1)
Vì A và B phân biệt nên
ab
¹
, do đó (1)
Û
aabb
22
10
++-=
(2)
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:
aabb aabb
ab
aabb
faafafbbfb
22
22
4242
10 10
()
3232
()()()()
ì ì
ïï
++-= ++-=
Û¹Û
íí
¢¢
-+=-+
-=-
ïï
î
î
Giải hệ này ta được nghiệm là
ab
(;)(1;1)
=-
hoặc
ab
(;)(1;1)
=-
, hai nghiệm này tương
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là
(1;1)
và
(1;1)
-
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:
aabb
aab
22
10
1;
ì
++-=
í
¹±¹
î
Câu 70. Cho hàm số
2
2
x
y
x
=
+
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
