Chủ đề một số ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến một số ứng dụng của tích phân hàm nhiều biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
──────── * ───────

BÁO CÁO NHĨM
HỌC PHẦN: TỐN KỸ THUẬT BS6004

CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM
NHIỀU BIẾN & MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Sinh viên thực hiện :

Hà Nội, tháng

năm


MỤC LỤC
PHẦN

MỞ

ĐẦU……………………………...

……..2
PHẦN

NỘI

DUNG

BÁO

CÁO……………………..3
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM
NHIỀU BIẾN
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
HÀM NHIỀU BIẾN

PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


2

PHẦN MỞ ĐẦU
Tốn học nói chung và tốn giải tích nói riêng có những ứng dụng đa dạngtrong
nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học kinh tế.Các nghiên cứu và
phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến hành thông qua các quy mô
kinh tế tốn. Vì thế các nhà nghiên cứu ngàycàng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các
cơng cụ tốn học, đặc biệt là cơngcụ giải tích. Đề tài báo cáo đề cập đến một số
ứng dụng của cực trị hàm nhiềubiến. Việc tìm hiểu những kiến thức này là hồn
tồn cần thiết và hữu ích.Giúp hiểu sâu hơn về các cơng cụ giải tích, tối ưu hóa và
vận dụng tốt hơntrong thực tiễn giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế. Các nội
dung được đề cập đến trong bài báo cáo khơng qua hìnhthức mà gần gũi với tư duy
kinh tế, với nhiều ứng dụng minh họa cụ thể,vẫn giữ được tính chính xác, chặt chẽ


về mặt toán học. Bài toán cực trị là bài tốn rất quan trọng trong giải tích tốn học
vàcó nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học và cũng như trong nhiềunhành khoa
học khác như: kinh tế, khoa học công nghệ, …Để giải bài tốn cực trị hàm nhiều

biến có rất nhiều phương phápkhác nhau. Mục đích của bài báo cáo là giới thiệu và
đưa ra phương phápgiải, cho bình luận đồng thời đưa ra một số ứng dụng cơ bản


PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM
NHIỀU BIẾN

I .Cực trị khơng có điều kiện
1.1 .Định nghĩa
Hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại M(x0,y0). Nếu tại mỗi điểm M(x,y) khá gần nhưng
khác M, thì hiệu∆f=f(x,y)−f(x0,y0) có dấu khơng đổi.
- Nếu∆f < 0 thìf(x0,y0) là giá trị cực đại và M0 là điểm cực đại của hàmz=f(x,y).
- Nếu∆f >0 thì f(x0,y0)là giá trị cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu của hàm số z=f(x,y)
Ví dụ: Hàm số w=x2 + y2 đạt giá trị cực tiểu tại điểm O(0, 0)
Vì x2 + y2 >0với mọi (x, y) thuộc cận điểm (0, 0)
1.2. Định lý
a) Điều kiện cần
Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0) và tại đó hàm số có các đạo
hàm riêng thì f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0.


Điểm M0(x0,y0) thỏa mãn f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 được gọi là điểm dừng. Điểm dừng
M0 có thể khơng là điểm cực trị của hàm số.
→Nhận xét 1: Từ định lý trên ta suy ra: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm
dừng của nó, nên để tìm các điểm cực trị ta chỉ cần tìm trong số các điểm dừng.
→ Nhận xét 2: Một điểm là điểm dừng của hàm số thì chưa chắc là điểm cực trị.
Cho nên cần xétđiều kiện đủ để một điểm dừng là điểm cực trị.
b) Điều kiện đủ
Giả sử z=f(x,y) có điểm dừng là Mo và có các đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận

của điểm M0
Đặt A= f } rsub {{x} ^ {2} ¿ (M0), B= f } rsub {xy ¿ (M0), C= f } rsub {{y} ^ {2} ¿ (M0)

3
Khi đó:

{

A >0

{

A <0

−

2
Nếu B −AC <0 =>f(x,y) đạt cực tiểu tại M0

−

2
Nếu B −AC <0 =>f(x,y) đạt cực đại tại M0

−

Nếu B2− AC >0 =>f(x,y) khơng có cực trị tại M0

−

Nếu B2− AC=0 chưa có kết luận ( M0 là điểm nghi ngờ)
c) Qui trình giải bài tốn tìm cực trị hàm số z=f(x,y).


Bài tốn: Tìm cực trị : z= f(x,y) trên miền D R2
 Bước 1: Tìm điểm dừng, xét hệ:

{

f ' x =0
f ' y =0

=>Tọa độ M(x0, y0)
 Bước 2: Đặt A= f”x2

;

B= f”x

;

C=f”y2

Bảng dấu
B2-AC

Dấu A

Kết luận

-

-

Cực đại

-

+

Cực tiểu

+

Không là cực trị

0

Chưa kết luận

 Bước 3: Kết luận cực trị của hàm số
VD: z = - x 3+ 2 y 4 +6 x 2−9 x+ 8 y
Giải:
- Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{

f ' x =0
f ' y =0

{

{

2
x=3 ; x=1
−3 x +12 x−9=0
→
→
3
y=−1
8 y +8=0

Đặt A= f } rsub {{x} ^ {2}} =-6x+1 ¿
f } rsub {{y} ^ {2}} =24 {y} ^ {2 ¿

;

B= f } rsub {xy} = ¿

;C=


Ta có: B2-AC=0-(-6x+12).24y
Với M1(3;-1) →A=-6 , C=2
4
B2-AC=0-(-6).24=144>0
→M1 khơng là điểm cực trị
Với M2(1;-1) →A=6 , C=24
B2-AC=0-6.24=-144<0

A=6>0
→M2 là điểm cực tiểu
ZCT = -10
2.1. Định nghĩa
Ta nói hàm số z=f(x,y) đạt cực đại ( cực tiểu) tại điểm M0(x0, y0) với điều kiện
g(x,y)=0. Nếu tồn tại một lân cận D của điểm M0 sao cho f(M)<f(M0)(f(M)>f(M0))
với mọi điểm
M∈D , M≠M0, g(M)=0.
2.2. Điều kiện có cực trị
a) Điều kiện cần
Giả sử M0(x0,y0) là điểm cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 .
Trong đó f(x,y),g(x,y) là các hàm số có các đạo hàm riêng liên tục.


Khi đó tồn tại số λ sao cho:

¿

(1)

Số λ được gọi là nhân tử lagrange.
Hàm số L(x,y, λ ) = f(x,y) + λ g(x,y) được gọi là hàm Lagrange
b) Điều kiện đủ
Giả sử điểm M0(x0, y0) thỏa mãn (1) ứng với nhân tử λ 0 . Ta gọi M0 là điểm
dừng bài tốn cực trị có điều kiện . Ta chuyển bài tốn tìm cực trị của hàm số z =
f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 thành bài toán cực trị không điều kiện của hàm
Lagrange.
Xét biểu thức :
det H= 2 g ' x g ' y L ' ' xy −¿
5

Khi đó:
Nếu det(H(M0))>0 thì M0 là điểm cực đại của hàm số
Nếu det(H(M0))<0 thì M0 là điểm cực tiểu của hàm số
Nếu det(H(M0))=0 thì chưa có kết luận về tính cực trị của hàm số tại điểm
M0
2.3. Các bước tìm cực trị có điều kiện


Bài tốn:
Tìm cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0.
 Bước 1: Lập hàm lagrange
L( x , y , λ ) = f( x , y ) + λ g( x , y )
 Bước 2: Tìm điểm dừng, xét hệ:

{

L ' x =0
L' y =0
L ' z=0

→ Tọa độ M
 Bước 3: Xét
det H= 2 g ' x g' y L' ' xy−¿
 Nếu det H>0→M là điểm cực đại
 Nếu det H<0→M là điểm cực tiểu
 Nếu det H=0→Chưa có kết luận
 VD1: Tìm cực trị của hàm số :
f(x,y) = 3x2+5xy với điều kiện x+y=16
Giải:
Đặt g(x,y)=x+y-16

Xét hàm Lagrange
L(x,y, λ )= 3 x 2+ 5 xy + λ(x + y−16)


Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:
6

{

{

L ' x =0
L' y =0 
L ' λ =0

6 x+5 y + λ=0 (1)
5 x + λ=0(2)
x + y−16=0 (3)

Từ (1), (2) ta có:

x=

−λ
5

,

y=

λ
25 thay vào (3) ta có:

−λ λ
+ −16=¿ 0
5 25
−4 λ
→ 25 =16

→ λ=−100
Với λ=−100 → x= 20, y=-4
→M(20,-4)
Xét det H= 2 g ' x g ' y L ' ' xy−¿
Trong đó g ' x =1 , g ' y =1 , L } rsub {xy} =5 ,

{L y =0 , L} rsub {{x} ^ {2}} = ¿
2

→det H = 2.1.1.5 = 10 >0
→M(20,-4) là điểm cực đại và ZCĐ = 800
VD2: Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1
Giải


Đặt g(x,y) = x2 + y2 – 1
Xét hàm Lagrange
L(x,y,λ) = 6 - 4x – 3y + λ(x2 + y2 – 1)
Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{

'

L x =0
L'y =0
'
L λ=0



{

−4 +2 λx=0(1)
−3+2 λy=0(2)
2
2
x + y =1(3)

Từ (1) và (2) ta có :

x=

2
λ

3

, y= 2 λ thay vào (3) ta có :
7

4
9
+ 2 =1
2
λ 4λ
5
−¿> λ=± ¿
2
5
2

Với λ = thì x =

4
3
, y=
5
5

4 3
5 5

Do đó M1 ( , )
−5

−4

−3

Với λ = 2 thì x= 5 , y= 5

Do đó M2 (

−4 −3
, )
5 5

Xét det H= 2 g ' x g ' y L ' ' xy−¿


Trong đó g ' x =2 x , g ' y =2 y , L } rsub {xy} =0 ,

{L y =2 λ , L } rsub {{x} ^ {2}} =2 ¿
2

Do đó det H= -8λ( x 2+ y 2 ¿
Vậy tại M1 thì det H = -20 < 0 , hàm số đạt cực tiểu và zct = 1
M2 thì det H = 20 > 0 , hàm số đạt cực đại và zcđ = 11