Skkn dạy học giải hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU......................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài..................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................2
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................2
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu....................................................................2
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu.......................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..............................................3
2.1. Cơ sở lý luận.........................................................................................3
2.1.1. Năng lực mơ hình hố tốn học....................................................3
2.1.2. Vai trị của hoạt động mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn ở
trường phổ thơng...........................................................................................3
2.1.3. Chủ đề dạy học theo định hướng phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học trong trường trung học........................................................3
2.1.4. Quy trình mơ hình hóa tốn học..................................................3
2.1.5. Định hướng dạy học theo hướng phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học.........................................................................................................4
2.2. Thực trạng dạy học nội dung giải hệ phương trình và hệ bất
phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học.....................................................................................................5
2.2.1. Nội dung kiến thức và u cầu về chuẩn kiến thức kĩ năng
trong chương trình tốn hiện hành............................................................5
2.2.2. Nội dung giải hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc
nhất có cơ hội phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học.......................6
2.3. Một số giải pháp dạy học nội dung giải hệ phương trình, hệ bất
phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học cho học sinh..............................................................................6
2.3.1. Giải pháp 1. Cụ thể hóa các bước mơ hình hóa tốn học những
nội dung có chứa tình huống thực tiễn trong dạy học giải hệ phương
trình, hệ bất phương trình bậc nhất thông qua đàm thoại phát hiện,

khám phá mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán............................6
2.3.2. Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng mơ hình hóa bài tốn kinh tế
thơng qua việc kết hợp sử dụng cơng cụ và phương tiện học toán.......13
2.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm.........................................................18
2.4.1. Hiệu quả của biện pháp..................................................................18
2.4.2. Kết quả của thực nghiệm sư phạm................................................18
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................20
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................21
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT...............................................................21

0

skkn


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Mục tiêu của giáo dục hiện nay không đơn thuần chỉ là truyền thụ kiến
thức trong nền tảng tri thức loài người đã gây dựng qua bao đời mà cao hơn cả
là mục tiêu bồi dưỡng phát triển năng lực đặt vấn đề, giải quyết vấn đề, tìm kiếm
thơng tin, thu thập, xử lí số liệu, năng lực hợp tác, năng lực sáng tạo,…để khám
phá những tri thức mới, phương pháp mới, vấn đề mới, cách giải quyết mới. Do
vậy các kiến thức HS được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà các
nhà giáo dục đã khơng ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù
hợp với yêu cầu của xã hội.
Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 đã nêu “ Tốn học
ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán
học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một
cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Mơn Tốn ở
trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu,

năng lực chung và năng lực Toán học cho HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then
chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng Toán học vào thực tiễn;
tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng Toán học, giữa Toán học với thực tiễn...” .
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với khu vực và toàn thế giới. UNESCO đã đề ra bốn
trụ cột của giáo dục trong thế kỉ XXI là “ Học để biết, học để làm, học để cùng
chung sống và học để khẳng định mình”. Mơ hình hóa tốn học đặc biệt rất quan
trọng cho việc giải quyết các tình huống có vấn đề trong bối cảnh thực. Do đó,
việc dạy và học cần quan tâm đến việc bồi dưỡng năng lực mơ hình hóa tốn
học cho HS phổ thơng là một vấn đề cấp thiết, có tính thời sự.
Mục tiêu việc dạy và học mơn Tốn được nêu trong chương trình mơn
giáo dục phổ thơng Tốn 2018 “ Hình thành và phát triển năng lực Tốn học bao
gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận Tốn học; năng lực mơ
hình hoá Toán học; năng lực giải quyết vấn đề Toán học; năng lực giao tiếp
Toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học Tốn ” .
Mơ hình hóa là một phương tiện góp phần phát triển các kĩ năng, năng lực
toán học và thái độ của HS, cụ thể là khả năng giải quyết vấn đề, tính tị mị,
sáng tạo, suy luận Tốn học và giao tiếp. Mơ hình hóa Tốn học kết nối Tốn
học trong nhà trường với môi trường xung quanh, với đời sống xã hội. HS khi
thấy được mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn sẽ thấy việc học tập trong đó
có học tốn trở nên ý nghĩa hơn. Mơ hình hóa hỗ trợ việc học các khái niệm và
q trình Tốn học của HS như tạo động cơ, giúp HS hình thành, hiểu và củng
cố khái niệm Tốn học. Mơ hình hóa còn giúp trang bị cho HS các năng lực để
1

skkn


có thể sử dụng tốn giải quyết những tình huống trong thực tiễn.
Khi dạy nội dung giải hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất ở

lớp 10 GV có thể rèn luyện cho HS năng lực mơ hình hóa tốn học thơng qua
giải các bài tốn có yếu tố thực tiễn. Chẳng hạn, bài toán chi tiêu trong gia
đình, hay bài tốn tính số tiền lãi thu được...
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Dạy học giải hệ phương trình
và hệ bất phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mơ
hình hóa tốn học cho học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu là đề xuất được một số biện pháp dạy học giải hệ
phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng
lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu là những biện pháp dạy học nội dung giải hệ
phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng
lực mô hình hóa tốn học cho HS.
- Khách thể nghiên cứu là q trình dạy học mơn Tốn ở trường THPT,
chương trình và SGK mơn Tốn lớp 10.
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu.
Phạm vi nội dung: Chương trình, sách giáo khoa, sách bài tập mơn Tốn
lớp 10
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học theo hướng phát triển năng lực
mơ hình hóa trong trường phổ thơng.
- Điều tra, phân tích thực trạng dạy học Tốn học theo hướng phát triển năng
lực mơ hình hóa ở một số trường THPT trên địa bàn huyện Yên Định. Trên cơ
sở đó phân tích các ngun nhân, khó khăn để đề xuất hướng giải quyết của đề
tài.
- Đề xuất giải pháp thực hiện đề tài nghiên cứu: Xây dựng chủ đề dạy học
theo định hướng phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh phần
giải hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất ở lớp 10 và tiến hành thực

nghiệm tổ chức dạy học chủ đề thông qua các tiết học tự chọn và lồng ghép
trong tiết đại số.

2

skkn


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận.
2.1.1. Năng lực mơ hình hố tốn học.
“Năng lực mơ hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện q trình
mơ hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định”.
Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn , u cầu cần đạt về năng
lực mơn Tốn gồm 5 nhóm năng lực cốt lõi sau:

Hình 1.1. Năng lực Tốn học
Năng lực mơ hình hóa tốn học là khả năng nhận diện câu hỏi có liên quan,
các biến, các mối quan hệ hoặc giả định về một tình huống thế giới thực, để dẫn
dắt vào Toán học và để giải thích và kích hoạt các giải pháp.
2.1.2. Vai trị của hoạt động mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn ở
trường phổ thơng.
Mơ hình hóa tốn học trong dạy học ơn Tốn ở trường phổ thơng có vai trị
và ý nghĩa sau:
 Tăng cường mối liên hệ Tốn học với thực tiễn
 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn
 Phát triển tư duy sáng tạo
2.1.3. Chủ đề dạy học theo định hướng phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học trong trường trung học.
Q trình mơ hình hố tốn học các tình huống thực tiễn cho thấy mối liên

hệ giữa thực tiễn với các kiến thức Tốn học trong nhà trường. Để thực hiện q
trình MHH, HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy Tốn học như phân
tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…, qua đó, tạo động cơ và
sự say mê học tập cho các em. Như vậy, có thể thấy rằng MHH tốn học cho
phép HS nhận thấy lợi ích của Tốn học, gắn Tốn học với các môn học khác,
phát triển khả năng giải quyết vấn đề thực tiễn.
2.1.4. Quy trình mơ hình hóa tốn học.
Khi mơ tả về quy trình MHH tốn học, đã có nhiều sơ đồ được đưa ra để chỉ
ra một cách tương đối rõ ràng về bản chất của MHH Toán học, trở thành một
3

skkn


hướng dẫn để thiết kế các hoạt động MHH trong quá trình dạy học. Một số quy
trình MHH đã tìm hiểu được là:
* Quy trình của Blum (2005):

Hình 1.2. Quy trình mơ hình hóa 7 bước của Blum
* Quy trình của Stillman (2007):

Hình 1.3. Quy trình mơ hình hóa 7 bước của Stillman
* Quy trình trong PISA (2006):

Hình 1.4. Quy trình mơ hình hóa 5 bước trong PISA (2006)
Mơ hình hóa các tình huống thực tế trong dạy học Tốn sử dụng các cơng cụ
và ngơn ngữ Tốn học phổ biến như: cơng thức, thuật tốn, biểu tượng, đồ thị, kí
hiệu,...
Để vận dụng linh hoạt q trình trên, trong q trình dạy học Tốn, GV cần
giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước.

2.1.5. Định hướng dạy học theo hướng phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học.
Trong dạy học Toán, hoạt động MHH toán học sẽ giúp HS phát triển các
thao tác tư duy và kĩ năng giải quyết vấn đề. Thông qua hoạt động MHH toán
học, HS hiểu được mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn và các môn học
khác. Do vậy, dạy học theo hướng phát triển năng lực mơ hình hóa thì việc xây
4

skkn


dựng mơ hình hóa phải đảm bảo các ngun tắc sau.
 Đảm bảo tính khoa học
 Làm rõ tính ứng dụng của Tốn học trong thực tiễn
 Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức
Các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần được chọn lọc phù hợp về mức
độ và số lượng. Các bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
2.2. Thực trạng dạy học nội dung giải hệ phương trình và hệ bất phương
trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học.
2.2.1. Nội dung kiến thức và yêu cầu về chuẩn kiến thức kĩ năng
trong chương trình tốn hiện hành.
 Trong Bài 3: “Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn”
thuộc chương 3 SGK mơn Tốn lớp 10 ban Cơ Bản đề cập đến các nội dung:
Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn. Yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năng như sau:
- Kiến thức: Hiểu khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn,
nghiệm của hệ phương trình.
- Kĩ năng:

+ Giải được và biểu diễn được tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai
ẩn.
+ Giải được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng và
phương pháp thế.
+ Giải được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đơn giản (có thể dùng máy tính bỏ
túi).
+ Giải được một số bài toán thực tế đưa về việc lập và giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.
 Trong Bài 4: “Bất phương trình bậc nhất hai ẩn” thuộc chương 4 SGK
mơn Tốn lớp 10 ban Cơ Bản đề cập đến các nội dung: Bất phương trình bậc
nhất hai ẩn, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Bài toán kinh tế. Yêu cầu về
chuẩn kiến thức, kĩ năng như sau:
- Kiến thức: Hiểu khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của chúng.
- Kĩ năng: Biểu diễn được tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Thừa nhận kết quả : Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng d:
chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt
phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình
5

skkn


, nửa mặt phẳng kia (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ thoả mãn
bất phương trình
2.2.2. Nội dung giải hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
có cơ hội phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học.
Trong sách giáo khoa có đề cập đến một số bài tốn có thể dạy theo hướng
phát triển năng lực mơ hình hóa Tốn học.

Trong Chương 3. Phương trình, Hệ phương trình có tổng 47 Câu hỏi và Bài
tập.
§ 3 Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có 4 bài tốn: “ Trăm
trâu trăm cỏ”, “ mua trái cây”, “ Dây truyền sản xuất quần áo”, “ kinh doanh quần
áo”,
§ Ơn tập chương 3 có 2 bài “ Sơn tường”, “ năng suất lao động”
Trong Chương 4. Bất đẳng thức, bất phương trình có 38 Câu hỏi và Bài tập
§4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đề cập đến 2 bài tốn kinh tế, một
bài ở phần ví dụ, 1 bài ở phần bài tập.
Có thể thấy các bài tốn có nội dung thực tiễn đã được đề cập đến tuy nhiên
chưa được phong phú.
2.3. Một số giải pháp dạy học nội dung giải hệ phương trình, hệ bất
phương trình bậc nhất ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mơ
hình hóa toán học cho học sinh
2.3.1. Giải pháp 1. Cụ thể hóa các bước mơ hình hóa tốn học những
nội dung có chứa tình huống thực tiễn trong dạy học giải hệ
phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất thơng qua đàm thoại
phát hiện, khám phá mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Bước 1: Đơn giản giả thuyết, làm rõ mục tiêu: Tập luyện cho HS quan sát
và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn có liên quan trực tiếp đến việc
tìm giải pháp cho vấn đề. Lược bỏ những chi tiết không quan trọng, rút gọn về
dạng cấu trúc cốt lõi: yếu tố nào đã biết? yếu tố nào cần tìm? mối quan hệ giữa
các yếu tố?
Bước 2: Thiết lập mơ hình tốn học: Từ các yếu tố của tình huống thực
tiễn xác định các biến, các tham số, hằng số…, xem xét mối quan hệ để biểu
diễn tình huống thành các phương trình, bất phương trình. GV hướng dẫn HS
thực hiện qua hai giai đoạn sau:
+ Chuyển đổi từ ngôn ngữ tự nhiên, sang ngơn ngữ tốn học.
+ Thiết lập mơ hình tốn học tương ứng với tình huống đặt ra.
Bước 3:Sử dụng cơng cụ tốn học giải bài tốn vừa thiết lập. Vận dụng

phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương bậc nhất để giải quyết bài
6

skkn


tốn. Có thể lựa chọn phương pháp đại số, đồ thị, sử dụng MTCT, sử dụng các
phần mềm toán học….
Bước 4: Đối chiếu thực tế. Đối chiếu kết quả của lời giải với mơ hình thực
tiễn và kết luận. Đánh giá lời giải và đối chiếu với mơ hình thực tiễn của bài tốn.
Từ đó, đưa ra kết luận về MHH tốn học cho bài tốn thực tiễn ban đầu.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Áp dụng phương pháp MHH trong dạy học vận dụng giải hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
Bác An mua 1 quạt điện nhãn hiệu Media và 1 nồi cơm điện nhãn hiệu
Philips phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với
mức 10% đối với quạt điện và 8% đối với nồi cơm điện. Nếu thuế VAT là 9%
đối với cả hai loại thì bác An phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu khơng
kể thuế VAT thì bác An phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại?
Bước 1: Đơn giản giả thuyết, làm rõ mục tiêu:
- Lược bỏ những chi tiết không quan trọng: tên người mua, tên 2 mặt hàng, nhãn hiệu
- Yếu tố đã biết:
+ Tổng số tiền phải trả là 2,17 triệu đồng nếu mặt hàng 1 mức thuế 10%, mặt
hàng 2 mức thuế 8%
+ Tổng số tiền phải trả là 2,18 triệu đồng nếu cả 2 mặt hàng mức thuế 9%.
- Yếu tố cần tìm: Giá tiền từng mặt hàng nếu khơng tính thuế VAT.
Bước 2: Thiết lập mơ hình tốn học:
+ Chuyển đổi từ ngơn ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học thông qua
đàm thoại phát hiện, khám phá ra ngôn ngữ, kí hiệu, biểu thức liên quan
Ngơn ngữ tự nhiên

Ngơn ngữ tốn học

Hỏi nếu khơng kể thuế VAT thì bác An Số tiền phải trả cho quạt điện và
phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại ?
nồi cơm điện chưa tính thuế VAT
lần lượt là x, y (

)

Tổng số tiền phải trả là 2,17 triệu đồng
nếu mặt hàng 1 mức thuế 10%, mặt hàng
2 mức thuế 8%
Tổng số tiền phải trả là 2,18 triệu đồng
nếu cả 2 mặt hàng mức thuế 9%.
+ Thiết lập mơ hình tốn học cho tình huống đặt ra:
Tìm

thỏa mãn hệ phương trình:
7

skkn


Bước 3: Sử dụng cộng cụ toán học giải bài tốn vừa thiết lập.
- Cách 1: Giải hệ phương trình vừa thiết lập bằng phương pháp thế hoặc cộng
đại số.
- Cách 2: Giải hệ phương trình bằng việc vẽ đồ thị hai hàm số:
và
trên cùng 1 hệ trục tọa độ, tìm tọa độ giao điểm giao điểm của

hai đồ thị này. (Có thể sử dụng phần mềm Gogebra để vẽ đồ thị, xét sự tương
giao)
- Cách 3: Sử dụng chức năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn của máy
tính cầm tay. Cho ta kết quả: x=0,5, y=1,5
Bước 4: Đối chiếu thực tế.
- Từ kết quả ta kết luận, nếu khơng kể thuế VAT thì bác An phải trả 500.000đ cho
cái quạt và 1.500.000đ cho cái nồi cơm điện.
Ví dụ 2. Áp dụng các bước MHH bài tốn có tình huống thực tiễn trong
gợi động cơ mở đầu khi dạy học giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
Mixue là thương hiệu trà sữa và kem đến từ Đài Loan, chuỗi cửa hàng
chuyển nhượng của Mixue lên đến 8000 có mặt ở nhiều nước trên thế giới. Ở
Việt Nam hiện tại đang có 64 cửa hàng. Cửa hàng Mixue Hồng Ngọc ở địa chỉ
14 – Thôn Lựu Khê xã Yên Trường huyện Yên Định, khai trương ngày
25/1/2022.
Ông chủ cửa hàng cho biết trong 3 ngày đầu, 3 mặt hàng bán chạy nhất là:
Kem Super Sundae trân châu đường đen, Hồng trà kem và Trà sữa Pudding.
Ngày thứ nhất bán được 20 Kem, 33 Hồng trà kem, 25 Trà sữa Pudding thu về
1.990.000 đồng, ngày thứ hai bán được 32 Kem, 28 Hồng trà kem, 40 Trà sữa
Pudding thu về 2.440.000 đồng, ngày thứ ba bán được 35 Kem, 34 Hồng trà
kem, 37 Trà sữa Pudding thu về 2.635.000 đồng. Hỏi nhóm bạn Nam có 6 người
góp được 110.000 đồng liệu có thể mua được mỗi người một thứ đồ uống thuộc
3 loại trên không?
- GV đưa ra câu hỏi làm thế nào để biết được nhóm bạn Nam có đủ tiền mua
đồ uống thuộc 3 loại trên không? HS sẽ nhận thấy cần phải biết giá tiền của từng
loại đồ uống. Sau khi đặt ra vấn đề như vậy sẽ làm HS cảm thấy rất thiết thực và
hứng thú và thơi thúc ham muốn giải bài tốn trên. Việc gợi động cơ ban đầu bằng
bài toán thực tiễn sẽ giúp HS thấy được tầm quan trọng của toán học trong thực tế
cuộc sống, từ đó giúp HS có niềm tin khám phá nội dung bài học, tạo ra sự tị mị
kích thích.
- Bài tốn này đặt HS vào tình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ quy lạ về

quen, HS đã biết cách giải các bài tốn có chứa tình huống thực tiễn liên quan
8

skkn


đến hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, vậy với bài tốn có nhiều ẩn ta phải giải
quyết thế nào?
- GV tổ chức hướng dẫn và tập luyện cho HS chuyển đổi bài tốn thực tế
sang ngơn ngữ tốn học theo các bước MHH bài tốn có vấn đề thực tiễn đã nêu
trên .
Bước 1: Đơn giản giả thuyết, làm rõ mục tiêu:
- Lược bỏ những chi tiết không quan trọng: Tên, lịch sử thương hiệu, địa chỉ
quán…
- Yếu tố đã biết: số lượng từng loại bán ra và số tiền thu về từng ngày.
- Yếu tố cần tìm: giá tiền từng loại đồ uống.
Bước 2: Thiết lập mơ hình tốn học:
+ Chuyển đổi từ ngơn ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học.
Ngơn ngữ tự nhiên

Ngơn ngữ tốn học

Hỏi nhóm bạn Nam có 6 người góp được 110.000
đồng liệu có thể mua được mỗi người một thứ đồ
uống thuộc 3 loại trên không?

Gọi giá tiền của Kem super
trân châu đường đen, Hồng
trà kem, Trà sữa Pudding lần
lượt là x, y, z (

)

Ngày thứ nhất bán được 20 Kem, 33 Hồng trà
kem, 25 Trà sữa Pudding thu về 1.990.000
đồng.
Ngày thứ hai bán được 32 Kem, 28 Hồng trà
kem, 40 Trà sữa Pudding thu về 2.440.000
đồng
Ngày thứ ba bán được 35 Kem, 34 Hồng trà
kem, 37 Trà sữa Pudding thu về 2.635.000
đồng
+ Thiết lập mơ hình tốn học cho tình huống đặt ra:

Tìm x, y, z > 0 thỏa mãn hệ phương trình:
Bước 3: Sử dụng cộng cụ tốn học giải bài toán vừa thiết lập.
- Cách 1: Giải hệ phương trình vừa thiết lập bằng phương pháp thế hay cộng đại
số, biến đổi hpt đã cho về dạng tam giác bằng phương pháp khử dần ẩn số
(phương pháp Gau-Xơ )
- Cách 2: Sử dụng chức năng giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn của máy tính
9

skkn


cầm tay. Cho ta kết quả: x= 25, y=30, z=20
Bước 4: Đối chiếu thực tế.
Vậy với số tiền 110.000 đồng nhóm bạn Nam khơng đủ tiền để mua mỗi bạn
một món đồ uống loại trên. Vậy với số tiền hiện có các bạn phải chuyển sang gọi
loại đồ uống khác có giá tiền ít hơn.

Ví dụ 3. Áp dụng các bước MHH bài tốn có tình huống thực tiễn trong
dạy học giải hệ bất phương trình bậc nhất.
Từ việc HS vừa được học cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, với
mục đích giúp HS thấy được ứng dụng của toán học trong thực tế, GV đưa ra tình
huống thực tiễn gần gũi với HS để dẫn dắt vào việc tìm hiểu và giải cac bài tốn kinh
tế ở trường phổ thơng. Đây cũng chính là dạng bài tốn quy hoạch tuyến tính ở bậc
học cao hơn.
Tình huống “ Diện tích trồng cây dược liệu”.
Ở Nơng Trường Thống Nhất huyện Yên Định, gần đây phát triển trồng cây
dược liệu như tam thất, đương quy, cát cánh, chè dây, atisô, đan sâm, xuyên
khung… Các cây này mang lại hiệu quả kinh tế cao hơn nhiều lần trồng keo,
luồng hay ngô theo truyền thống của người dân vùng này. Nhà bác Hồng dự
định trồng Tam thất và Atisô trên diện tích 8 ha đất. Nếu trồng Atisơ thì cần 20
cơng và thu lãi 30.000.000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng Tam thất thì
cần 30 cơng và thu lãi 40.000.000 đồng trên diện tích mỗi ha. Em hãy giúp bác
Hồng tính tốn xem cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu
được nhiều tiền lãi nhất biết rằng tổng số công không quá 180.
- GV đưa ra câu hỏi làm thế nào để giúp được bác Hồng? Việc đặt HS vào
tình huống có vấn đề như vậy, thúc đầy HS sẽ có mong muốn giải được bài
toán.
- GV tổ chức hướng dẫn và tập luyện cho HS chuyển đổi bài tốn thực tế
sang ngơn ngữ tốn học theo các bước MHH bài tốn có vấn đề thực tiễn đã nêu
trên. Dẫn đến việc xuất hiện kiến thức mới là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
dạng
với
là tọa độ của điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn. GV giới thiệu cho HS, đây chính là dạng bài tốn
kinh tế mà sách giáo khoa đề cập đến.
- GV tổ chức các hoạt động, xây dựng mơ hình tốn học tương ứng và giải
bài tốn mơ hình đã chỉ ra. Từ đó HS nắm bắt được quy trình giải bài tốn kinh

tế.
Bước 1: Đơn giản giả thuyết, làm rõ mục tiêu:
- Lược bỏ những chi tiết không quan trọng: Tên địa danh, tên người, các
loại cây trồng….
- Yếu tố đã biết: Số lượng công nhân, tiền lãi thu về trên mỗi ha trồng từng
10

skkn


loại cây.
- Yếu tố cần tìm: Trồng mỗi loại bao nhiêu thì thu về nhiều tiền nhất.
Bước 2: Thiết lập mơ hình tốn học:
+ Chuyển đổi từ ngơn ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học
Ngơn ngữ tự nhiên

Ngơn ngữ tốn học

Tính xem cần trồng mỗi loại cây
trên với diện tích là bao nhiêu ?

Diện tích trồng Atisơ và Tam thất lần
lượt là: x, y (ha) (

)

Nhà bác Hồng dự định trồng Tam
thất và Atisơ trên diện tích 8 ha
đất.
Nếu trồng Atisơ thì cần 20 cơng và Trồng x(ha) thì:

thu 30000000 đồng trên diện tích Số ngày cơng là 20x (công).
mỗi ha.
Tiền lãi thu được: 30.000.000.x (đồng)
Nếu trồng Tam thất thì cần 30 Trồng y(ha) thì:
cơng và thu 40000000 đồng trên Số ngày cơng là 30y (cơng)
diện tích mỗi ha
Tiền lãi thu được: 40.000.000.y (đồng)
Tổng số công không quá 180.
Thu được nhiều tiền lãi nhất
+ Thiết lập mơ hình tốn học cho tình huống đặt ra:

Tìm

thỏa mãn hệ bất phương trình:

Sao cho

(*)

đạt giá trị lớn nhất.

Bước 3: Sử dụng cộng cụ toán học giải bài toán vừa thiết lập.
- Việc chuyển từ tình huống thực tiễn sang tình huống tốn học ở trên sẽ
khiến HS dễ dàng liên tưởng đến kiến thức vừa học và ứng dụng phương
pháp biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn.
- Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm của từng BPT trong hệ (I).
+ Vẽ đồ thị, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)
+ Có thể hướng dẫn HS sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ.
- Bước 2. Tìm miền nghiệm của hệ (*).

11

skkn


Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC (kể cả biên)
Hàm số
sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x;y) là tọa độ của một trong các đỉnh
O(0;0), A(8;0), B(6;2), C(0;6)
Ta có:

0

240.000.00
0

260.000.00
0

240.000.00
0

Bước 4: Đối chiếu thực tế.
Vậy, bác Hồng cần phải trồng 6 ha Atisô và 2 ha Tam thất thì thu được lãi nhiều
nhất.
Ví dụ 4. Hướng dẫn HS áp dụng các bước MHH toán học trong hoạt động
thực hành giải bài tốn kinh tế.
Tình huống “ Thi pha chế”
Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương

liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1
lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo
cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60
điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao
nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất.
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hành giải bài tốn kinh tế thơng qua
việc thực hiện các bước MHH tình huống đặt ra .
Bước 1: Đơn giản giả thuyết, làm rõ mục tiêu:
- Lược bỏ những chi tiết không quan trọng: Tên các loại nước, tên cuộc thi…
- Yếu tố đã biết: Lượng nguyên liệu hiện có, số lượng nguyên liệu để pha
loại nước tương ứng, điểm thưởng cho từng loại nước.
- Yếu tố cần tìm: Pha bao nhiêu nước mỗi loại để có điểm thưởng cao nhất
Bước 2: Thiết lập mơ hình tốn học:
+ Chuyển đổi từ ngơn ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học.
Ngơn ngữ tự nhiên

Ngơn ngữ tốn học
12

skkn


Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái Gọi x, y lần lượt là số lít nước
cây mỗi loại?
cam và táo của một đội pha chế
(

).

Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm Số điểm thưởng

thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80
điểm thưởng
Số điểm thưởng là lớn nhất.

đạt

Pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, x lít nước cam cần:
1 lít nước và 1 g hương liệu.
+ Đường: 30.x (g)
+ Nước: 1.x (lít)
+ Hương liệu: 1.x (g)
pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 y lít nước cam cần:
lít nước và 4 g hương liệu được sử dụng + Đường: 10.y (g)
tối đa 24g hương liệu
+ Nước: 1.y (lít)
+ Hương liệu: 4.y (g)
tối đa 9 lít nước
tối đa 210 g đường
+ Thiết lập mơ hình tốn học cho tình huống đặt ra:

Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình:
Sao cho

(*)

đạt giá trị lớn nhất.

Bước 3: Sử dụng cộng cụ toán học giải bài toán vừa thiết lập.
- HS vận dụng phương pháp biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phuong trình trong hệ (*).
+ Vẽ đồ thị, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)
+ Có thể hướng dẫn HS sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ.
- Bước 2. Tìm miền nghiệm của hệ (*).

13

skkn


Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD(kể cả biên)
Tìm tọa độ các đỉnh của ngũ giác bằng cách giải phương trình hồnh độ hoặc
sử dụng phần mềm toán học Geogebra.
Hàm số
sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x;y) là tọa độ của một trong các đỉnh
O(0;0), A(7;0), B(6;3), C(4;5), D(0;6)
Ta có:

0

420

600

640

480

Bước 4: Đối chiếu thực tế.
Vậy, Cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.

2.3.2. Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng mơ hình hóa bài tốn kinh tế
thơng qua việc kết hợp sử dụng cơng cụ và phương tiện học tốn.
Bài toán kinh tế ở lớp 10, hay mở rộng ra là bài tốn Quy hoach tuyến tính ở bậc
Đại học là một trong những bài tốn quan trọng, có ý nghĩa rất lớn trong cuộc sống.
Để giải được mơ hình bài toán đặt ra, GV hướng dẫn HS 3 hướng làm sau:
Hướng 1: Giải bài tốn theo cách thơng thường đã biết
+ Bước 1: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh của đa giác giới hạn miền nghiệm
+ Bước 3: Tính giá trị biểu thức L tại các đỉnh
+ Bước 4: So sánh, đưa ra phương án cho bài tốn
Hướng 2: Giải bài tốn theo cách thơng thường đã biết, có kết hợp sử
dụng phần mềm Geogebra để tình tọa độ đỉnh của đa giác giới hạn miền nghiệm.
+ Bước 1: Sử dụng phần mềm Geogebra biểu diễn miền nghiệm của hệ bất
phương trình.
+ Bước 2: Sử dụng chức năng tìm tọa độ giao điểm của 2 đường trên
Geogebra để tìm tọa độ đỉnh của đa giác biểu diễn miền nghiệm.
+ Bước 3: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức

.
14

skkn


+ Bước 4: Kết luận.
Hướng 3: Hướng dẫn HS sử dụng hàm Solver trong Excel để tìm x,y thỏa
mãn yêu cầu bài toán
+ Bước 1: Tổ chức dữ liệu trên Excel.
+ Bước 2: Sử dụng hàm solver để tìm phương án tối ưu cho bài tốn.
Ví dụ 5. ( Bài tốn chi phí vận tải)

Một cơng ty cần th xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai
loại xe hiệu Ford và Hyundai, trong đó loại xe Ford có 10 chiếc và loại xe
Hyundai có 9 chiếc. Một chiếc xe loại Hyundai cho thuê với giá 4 triệu đồng,
một chiếc xe loại Ford cho thuê với giá 3 triệu. Biết rằng mỗi xe loại Hyundai
có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; Mỗi xe loại Ford có thể chở tối đa 10
người và 1,5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít
nhất.
GV hướng dẫn HS chuyển dịch từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học
như sau nhằm thiết lập mơ hình tốn học tương ứng:
Ngơn ngữ tự nhiên

Ngơn ngữ tốn học

Th bao nhiêu xe loại Hyundai, bao Gọi số xe loại Huyndai và Ford cần
nhiêu xe loại Ford.
thuê lần lượt là x, y
(

)

Xe loại Hyundai có 10 chiếc.

0 x 10

Xe loại Ford có 9 chiếc.

0 x 9

Biết rằng mỗi xe loại Hyundai có thể Xe Hyundai trở được tơí đa: 20x
chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng.

người và 0.6x (tấn) hàng
Mỗi xe loại Ford có thể chở tối đa 10 Xe Ford trở được tơí đa: 10y người
người và 1,5 tấn hàng.
và 1.5y (tấn) hàng
Cần thuê xe để chở 140 người.

20x+10y 140

Cần thuê xe để chở 9 tấn hàng.

0.6x+1.5y 9

Một chiếc xe loại Hyundai cho thuê với Số tiền phải trả:
giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại Ford
cho th với giá 3 triệu.
Tình huống bài tốn trên đưa ra thực chất quy về mơ hình tốn học: tìm 2 số
x, y (

) thỏa mãn

15

skkn


(I)
Sao cho

nhỏ nhất

Để tìm được x,y thỏa mãn yêu cầu bài tốn mà tình huống đưa ra ở trên, GV
hướng dẫn HS các hướng làm:
Hướng 1: Giải bài toán theo cách thơng thường đã biết
* Bước 1: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình (I)

bằng cách tìm giao các miền nghiệm của các bất phương trình (1), (2), (3), (4)
ta được miền nghiệm của hệ (I) là tứ giác ABCD kể cả biên.

* Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh của đa giác giới hạn miền nghiệm bằng cách sử
dụng hình học ở hình vẽ trên hoặc sử dụng phương trình hồnh độ giao điểm như
sau.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
Tương tự ta có:
* Bước 3: Tính giá trị biểu thức

tại các đỉnh.

Ta có: f ( 5 ; 4 ) =32; f (10 ; 2 ) =64 ; f ( 10 ; 9 ) =69 ;f ( 5/ 2 ; 4 )=37
* Bước 4: So sánh, đưa ra phương án cho bài toán
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất khi
cần thuê 5 xe hiệu Hyundai và 4 xe hiêu Ford.

. Như vậy để chi phí thấp nhất
16

skkn


Hướng 2: Giải bài tốn theo cách thơng thường đã biết, có kết hợp sử

dụng phần mềm Geogebra để tình tọa độ đỉnh của đa giác giới hạn miền nghiệm.
* Bước 1: Sử dụng phần mềm Geogebra biểu diễn miền nghiệm của hệ bất
phương trình.
+ Mở phần mềm Geogebra
+ HS nhập các bất phương trình (1), (2), (3), (4).
+ Nhận ra miền nghiệm là miền thỏa mãn đồng thời các bất đẳng thức a,b,c,d
như hình vẽ. Nhận ra miền nghiệm chính là tứ giác có mầu đậm nhất.

+ Vẽ lại miền nghiệm của hệ bất phương trình.

* Bước 2: Sử dụng chức năng tìm tọa độ giao điểm của 2 đường trên
Geogebra để tìm tọa độ đỉnh của đa giác biểu diễn miền nghiệm

* Bước 3: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức
17

skkn


+ Nhập hàm
+ Tính giá trị biểu thức

vào máy tính cầm tay bằng cách.
bằng cách sử dụng phím

Cho ta kết quả:
* Bước 4: Kết luận.
Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 5 xe hiệu Hyundai và 4 xe hiệu Ford.
Hướng 3:
* Bước 1: Tổ chức dữ liệu trong Excel cho bài toán trên.

+
được gọi là hàm mục tiêu
+ (1), (2), (3), (4) được gọi là các ràng buộc của bài toán
+ Nhập các dữ liệu của bài toán trên Excel như sau:

* Bước 2: Sử dụng Solver để tìm phương án tối ưu cho bài tốn.
+ Vào Menu Tools chọn Solver 
+ Hộp thoại Solver xuất hiện, thiết lập các tham số cho Solver như sau:

+ Chạy Solver cho ta kết quả
18

skkn


Vậy: Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 5 xe hiệu Hyundai và 4 xe hiệu Ford.
Như vây, với những bài tốn kinh tế mà đưa về mơ hình Tốn học có chứa
nhiều hơn 2 biến thì việc làm theo hướng 1 và 2 là rất khó khăn với HS lớp 10.
Cịn với hướng 3 thì HS có thể tìm được phương án tối ưu một cách dễ dàng. Trong
q trình dạy, GV có thể khuyến khích HS tìm thêm các hướng giải khác cho bài
tốn này.
2.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm.
2.4.1. Hiệu quả của biện pháp.
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tơi tiếp tục hồn
thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy
nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã
hứng thú hơn trong học tập môn Toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học
lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị
động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Đồng thời, thơng qua

nhiều ví dụ thực tế làm cho các em cảm thấy môn học gần gũi hơn với thực tế.
Từ đó nâng cao được chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để
phụ huynh học sinh cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em
mình vào nhà trường.
2.4.2. Kết quả của thực nghiệm sư phạm.
Trong năm học 2021 – 2022 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp
10A2, không áp dụng cho lớp 10A6. Sau khi kết thúc chương phương trình và
hệ phương trình tơi đưa ra một bài tốn gắn với thực tế ở địa phương như sau:
Để phục vụ cho lễ hội mùa hè 2022 với chủ đề “Sắc màu Pù Luông”, hai cơ
sở sản xuất thổ cẩm của làng thổ cẩm đẩy nhanh tốc độ sản xuất để phục vụ lễ
hội

19

skkn


Ngày thứ nhất cả hai cơ sở làm được 85 cái túi. Ngày thứ hai do cơ sở thứ
nhất tăng năng suất 20%, cơ sơ thứ hai tăng năng suất 10%  nên cả hai cơ sở làm
được 98 cái túi. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi cơ sở làm được bao nhiêu cái túi ?
Kết quả bài khảo sát cho 2 lớp như sau:
Mức độ

Trường THPT Yên Định 2
Lớp TN (10A2)

Lớp ĐC(10A6)

Yếu

1/41

3/40

(0-4 điểm)

(2,43%)

(7,50%)

Trung bình

12/41

18/40

(5-6 điểm)

(29,26%)

(45,50%)

Khá

20/41

15/40

(7-8 điểm)

(48,78%)

(37,50%)

Giỏi

8/41

4/40

( 9-10 điểm)

(19,53%)

(10,00%)

20

skkn


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
Qua kết quả này chứng tỏ các biện pháp đưa ra của sáng kiến kinh nghiệm
có hiệu quả và có tính khả thi trong thực tế giảng dạy
Năng lực MHH Tốn học có vai trị quan trọng trong việc phát triển năng
lực toán học cho HS, đáp ứng yêu cầu thực hiện chương trình giáo dục phổ
thông mới, làm cho nội dung giáo dục không bị bó hẹp trong sách vở, mà gắn
liền với đời sống thực tiễn xã hội, là con đường gắn lý thuyết với thực tiễn, tạo
nên sự thống nhất giữa nhận thức với hành động, góp phần phát triển phẩm
chất, tư tưởng, ý chí, kĩ năng sống, hình thành những năng lực cần có của con

người trong xã hội hiện đại, là con đường để phát triển toàn diện nhân cách HS..
Trong q trình viết sáng kiến kinh nghiệm tơi đã thu được một số kết quả
như sau:
- Đề tài đã xây dựng được hai biện pháp sư phạm kèm theo những ví dụ minh
họa và gợi ý sử dụng nhằm phát triển năng lực MHH Toán học cho HS khi dạy nội
dung giải hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn ở lớp 10.
- Học sinh đã bước đầu chủ động, hứng thú trong việc thực hành các kiến
thức tiếp thu được.
- Đối chứng bằng kết quả thực nghiệm cho thấy tính hiệu quả của đề tài.
Do thời gian và năng lực còn nhiều hạn chế, vì vậy sáng kiến kinh nghiệm
này khơng tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự ủng hộ, đóng góp
ý kiến của đồng nghiệp để bản SKKN này hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành
cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm
2022
Tơi xin can đoan sáng kiến trên là do
tôi viết không sao chép của người
khác.
Người viết

21

skkn


4. TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Đỗ Tiến Đạt (2011), Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA-Mơn tốn, NXB Giáo
dục

2. Lê Thị Mỹ Hà (2015), Tài liệu tập huấn tài Pisa 2015 và các dạng câu hỏi do Oecd
phát hành lĩnh vực toán học, NXB giáo dục.
3. Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên), (2014), SGK Đại số 10 cơ bản, sách bài tập Đại số
10 cơ bản, NXB Giáo Dục Việt Nam.
4. Nguyễn Dương Hoàng, Nguyễn Thị Thu Ba, Vận dụng mơ hình hóa tốn học trong
dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai” (Đại số lớp 10), Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng
7/2019, tr 217-220
5. Bùi Văn Nghị (2017), Vận dụng lí luận vào thực tiễn trong dạy học ở trường phổ
thông, NXB Đại học sư phạm Hà Nội
6. Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà (2018), Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn
học cho HS trung học cơ sở trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình , Tạp
chí khoa học giáo dục, số 422, 1/2018.
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

ĐC

Đối chứng

2

GV

Giáo viên

3

HBPT

Hệ bất phương trình

4

HPT

Hệ phương trình

5

HS

Học sinh

6

MHH

Mơ hình hóa

7

NXB

Nhà xuất bản

8

PPDH

Phương pháp dạy học

9

THPT

Trung học phổ thơng

10

TN

Thực nghiệm

22

skkn