Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán tìm min, max của môđun số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1
(*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock;
** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TỐN
TÌM MIN, MAX CỦA MƠ ĐUN SỐ PHỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
(Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm)

Người thực hiện: Vũ Đoàn Kết
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
(Font Times New Roman, cỡ 15, đậm, đứng; mục Đơn vị công tác chỉ ghi
đối với các SKKN thuộc các bậc MN, cấp TH và THCS, các cấp/bậc khác
khơng ghi)

THANH HỐ NĂM 2022

skkn


MỤC LỤC
Mục
1
1.1
1.2

1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.2.1
2.3.2.2
2.3.2.3
2.4
3
3.1
3.2

Nội dung
TTrang
MỞ ĐẦU
1
Lí do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
1
Đối tượng nghiên cứu
1
Phương pháp nghiên cứu
1
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1

Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
2
nghiệm
Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề
2
Hướng dẫn học sinh ôn lại những kiến thức căn bản
2
Hướng dẫn học sinh giải bài toán về min, max của mơ
4
đun số phức.
Bài tốn 1: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức
4
là đường thẳng.
Bài tốn 2: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức
7
là đường trịn.
Bài tốn 3: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức
13
là Elip.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
17
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
18
Kết luận
18
Kiến nghị
18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT
CÔNG NHẬN

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Từ năm 2017 đến nay, đã có 5 năm mơn Tốn được Bộ Giáo dục và
Đào tạo tổ chức thi THPT Quốc gia và thi Tốt nghiệp THPT bằng hình thức
trắc nghiệm. Trong 5 năm qua, thầy và trò trên cả nước đã dần làm quen và
thích nghi với đề thi trắc nghiệm mơn Tốn. Trong q trình học tập và giảng
dạy, các thầy cô và các em học sinh đã gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phải
nhiều bài tốn trắc nghiệm hay, lạ và khó, đa dạng về hình thức, phong phú
về nội dung, khai thác sâu nhiều khía cạnh của tốn học phổ thơng. Một trong
những bài tốn khó xuất hiện gần đây là bài tốn về tìm min, max của mơđun
số phức, bài tốn này có vai trị như bài bất đẳng thức trong đề thi tự luận
trước đây. Rất hứng thú và u thích những bài tốn này, vì vậy hơm nay tơi
xin trao đổi cùng đồng nghiệp qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải
bài tốn tìm min, max của mơđun số phức bằng phương pháp hình học”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm tịi và đúc rút kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài tốn tìm min, max của mơđun số phức
trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo dục và đào tạo cũng như trong các đề
thi thử của các Sở Giáo dục và các trường THPT trên cả nước.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung vào nghiên cứu các dạng toán và lời giải một số bài
tốn về tìm min, max của mơđun số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

Trong q trình nghiên cứu đề tài, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp
khảo sát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
Cụ thể các bước nghiên cứu được tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thơng tin về các bài tốn tìm min, max của
mơđun số phức có trong các đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các
đề thi thử của các Sở Giáo dục và của các trường THPT trên toàn quốc.
Bước 2: Hướng dẫn cho học sinh các phương pháp giải.
Bước 3: Xây dựng nguồn đề và cho học sinh lớp 12 luyện tập.
Bước 4: Tổ chức thực nghiệm và kết luận về tính hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Khái niệm “số phức” và “mơđun của số phức” đã được học trong
chương trình Đại số và Giải tích lớp 12, vì vậy các em học sinh lớp 12 có thể
tính được mơđun của một số phức, và cũng đã hiểu được môđun của số phức
chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức đó trong hệ
trục tọa độ.
Bên cạnh đó, kiến thức về hệ trục tọa độ
, về véc tơ, về phương
trình đường thẳng, đường trịn, Elip học sinh cũng đã được trang bị từ lớp 10.
Vì vậy về cơ sở lý thuyết, các em học sinh lớp 12 đã có đủ kiến thức căn bản
để giải các bài tốn về tìm min, max của mơđun số phức bằng phương pháp
hình học.

skkn

1


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi khảo sát học sinh lớp 12 về mơđun số phức và các bài tốn liên

quan thì kết quả thu được rất đáng báo động. Nhiều em không hiểu khái niệm
môđun của số phức, nhầm lẫn giữa môđun và trị tuyệt đối, và hầu hết gặp khó
khăn khi giải các bài tốn ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về tìm min,
max của mơđun số phức.
Kết quả khảo sát 42 học sinh lớp 12B1 và 44 học sinh lớp 12 B9
trường THPT Triệu Sơn 1 như sau:
Số học sinh
Nội dung câu hỏi
trả lời
đúng
84
Câu 1. Tính mơđun của số phức
.
28
Câu 2. Nêu ý nghĩa hình học của mơđun số phức
34
Câu 3. Tìm biết
Câu 4.(Câu 46. Mã 119 đề thi THPT Quốc gia năm học 20202021)
03
Cho
khi
đạt giá trị nhỏ nhất, thì
bằng bao nhiêu?
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 5.(Đề thi thử trên diễn đàn toán học)

Xét các số phức

thỏa mãn

Khi
của
A.

D. .
và

đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị

01

.
.

B.

.

C.

.

D.

.

Qua đây cho thấy việc hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập lại lý thuyết
và luyện tập kỹ năng giải các bài tốn về tìm min, max của mơđun số phức là
hết sức cần thiết và cấp bách. Chính vì vậy tơi đã đề xuất với tổ chuyên môn
và bản thân là người tiên phong trong việc biên soạn và sưu tầm một số dạng
tốn về tìm min, max của mơđun số phức bằng phương pháp hình học để
giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp trung học phổ thông.
2.3. Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hướng dẫn học sinh ôn lại những kiến thức về môđun số phức.
*> Khái niệm môđun của số phức.
Mơđun của số phức
được kí hiệu là

là số thực khơng âm

.

và
[1]

*> Ý nghĩa hình học của mơđun số phức.

skkn

2


Cho số phức
Suy ra

, ta có điểm biểu diễn số phức đã cho là

=

[2]

*> Một số tính chất cơ bản của môđun số phức.








.



dấu bằng xảy ra



dấu bằng xảy ra



dấu bằng xảy ra



dấu bằng xảy ra



*> Một số quỹ tích điểm biểu diễn số phức
trong mặt phẳng tọa độ
.
[3]
Quỹ tích điểm M
Biểu thức liên hệ
(1)

(1) Đường thẳng
(2) Đường trung trực đoạn

(2)

với

.
hoặc

Đường trịn tâm

hoặc

Hình trịn tâm

hoặc

skkn

, bán kính
, bán kính

Hình vành khăn giới hạn bởi hai
đường trịn đồng tâm
kính lần lượt là

, bán

3


Parabol

Elip
hoặc
là

Elip

nếu

là đoạn AB nếu
2.3.2. Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài tốn tìm min, max của mơđun
số phức bằng phương pháp hình học.
2.3.2.1. Bài tốn 1: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức là
đường thẳng.
Dạng 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Cách giải:

Tìm

-Bước 1: Từ phương trình
biểu diễn số phức

- Bước 2: Suy ra
là chân đường cao hạ từ

.

ta có quỹ tích điểm
là đường trung trực

của đoạn

với

khi đó
xuống đường thẳng

.

Dạng 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
Cách giải: Ta biến đổi đưa về dạng 1.

tìm

Ta có

Dạng 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
Cách giải: Ta biến đổi đưa về dạng 1.
Ta có

tìm

Dạng 4: Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị

nhỏ nhất của
Cách giải:

.

-Bước 1: Từ phương trình
biểu diễn số phức

ta có quỹ tích điểm
là đường trung trực

skkn

của đoạn

với

4

- Bước 2: Suy ra
chiếu của

với
lên đường thẳng

, khi đó

là hình

.

Dạng 5: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
nhỏ nhất của
Cách giải:

Tìm giá trị

.

-Bước 1: Từ phương trình

ta có quỹ tích điểm

biểu diễn số phức

là đường trung trực

của đoạn

- Bước 2: Suy ra

với

với

-Bước 3:
+)Nếu

nằm

khác

khi đó

phía

so

với

thì

sẽ là giao điểm của đường thẳng

và đoạn thẳng
+) Nếu

nằm cùng phía so với

qua , lúc này ta có:
đó
sẽ là giao điểm của đường thẳng
Ví dụ 1. Cho số phức

thì ta lấy

đối xứng với
khi

và đoạn thẳng

thoả mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải: Đặt
Khi đó
.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn của

là đường thẳng

Ta có

.

. Chọn A.

Ví dụ 2. Số phức

có mơđun nhỏ nhất thoả mãn

A.

B.

.

C.

là
.

D.

.

Lời giải: Đặt
Khi đó

skkn

5


.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn của
Ta có

. Gọi

là đường thẳng

.

là đường thẳng qua

và vng góc với

.
Gọi
Khi đó

.
có mơđun nhỏ nhất thoả mãn có điểm biểu diễn là

, tức là

. Chọn C.
Ví dụ 3. Cho số phức

thỏa mãn :

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là
A.

B.

Lời giải :Gọi

là

đường

C.

D.

là điểm biểu diễn số phức

thẳng

tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết
Xét điểm
và
thì
Dễ thấy

nên
qua đường thẳng

Ta có

cùng phía với đường thẳng

nhỏ nhất bằng

trong đó

đối xứng với

B
A

M'

M

A'

Do đó

nhỏ nhất bằng

Ví dụ 4: Trong các số phức
nhỏ nhất của
A.

Chọn A.

thỏa mãn

. Tìm giá trị

.
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải:

Điều kiện:

.

skkn

6


Phương trình đã cho
.
Gọi

là điểm biểu diễn số phức

. Vì

nên

.
Khi đó,

.

Ta thấy đường thẳng
hợp điểm
là đường thẳng
Ngồi ra,

khơng đi qua điểm

nên tập

.

nên

nhỏ nhất khi

nhỏ nhất, tức là

. Vậy

.

Bài tập cùng dạng:
Bài 1. Trong các số phức thỏa mãn
đun nhỏ nhất có phần ảo là
A.

.

B.

Bài 2. Cho số phức

.

, số phức

C.

.

thỏa mãn :

D.

có mơ

.

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là
A.
Bài 3. Cho

B.

C.

là số phức thỏa mãn

D.
. Giá trị nhỏ nhất của

là
A.

.

B.

.

C.

Bài 4. (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức
Gọi
lớn nhất của

Tính

A.

B.

C.

D.

.

D.

.

thỏa mãn:

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị

[4]

skkn

7


Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn

. Gọi M, m lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
sau đây là đúng?
A.

.

B.

. Đặt
.

. Mệnh đề nào

C.

.

D.

.

2.3.2.2. Bài tốn 2: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức là
đường tròn.
Dạng 1: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

. Tìm

Cách giải:
- Bước 1: Đặt
Từ
trịn

ta có quỹ tích điểm
có tâm

và bán kính

biểu diễn số phức
. Với

là đường

là gốc tọa độ.

- Bước 2: Từ đó suy ra

Dạng 2: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

. Tìm

Cách giải:
- Bước 1: Đặt
Từ
trịn
-

ta có quỹ tích điểm
có tâm
Bước

Dạng 3. Cho số phức

và bán kính . Gọi
2:
Từ

biểu diễn số phức

là đường

.
đó

thỏa mãn điều kiện

suy

ra

Tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của
hoặc của
.
Cách giải: Biến đổi đưa về Dạng 1, Dạng 2 như sau:
( Lấy liên hợp hai vế)
Đến đây ta áp dụng cách giải của Dạng 1, Dạng 2.

skkn

8


Dạng 4. Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của
hoặc của
.
Cách giải: Biến đổi đưa về Dạng 1, Dạng 2 như sau:
(Chia hai vế cho

).

. Đến đây ta áp dụng cách giải của Dạng 1, Dạng 2.
Dạng 5. Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hoặc của
Cách giải: Biến đổi đưa về Dạng 1, Dạng 2 như sau:

.

(Chia cả hai vế cho
)
Đến đây ta áp dụng cách giải của Dạng 1, Dạng 2.
Ví dụ 1: Cho số phức

thoả mãn

. Giá trị lớn nhất của

bằng
A.
.
Lời giải

B.

Đặt
Gọi
phức

Suy ra

C.

.

D.

thì từ điều kiện ta có:
là điểm biểu diễn cho
, khi đó
bán kính

Dễ thấy

.

.

và
với

.

là điểm biểu diễn cho số
thuộc đường trịn

tâm

.

, do đó

.
, đẳng thức xảy ra khi

skkn

.
9


Ví dụ 2: Cho số phức
A.

.

B.

Lời giải: Gọi
Từ

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

C.

.

D.

.

là điểm biểu diễn hình học của số phức

giả

thiết

ta

được:

.
Suy ra tập hợp những điểm
có tâm

biểu diễn cho số phức

bán kính

Gọi

, suy ra

Vậy

nhỏ nhất bằng

đường trịn

.

khi

là giao điểm của đoạn thẳng

. Gọi

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
.

Lời giải: Gọi

và

lần lượt là giá trị

. Giá trị biểu thức

B.

.

C.

bằng

.

D.

là điểm biểu diễn số phức

Ta có
phức

và

.

Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn
A.

là đường tròn

.

với

.

tập hợp điểm biểu diễn số

là đường trịn có tâm

Kẻ đường thẳng đi qua

và bán kính

điểm

và

như hình vẽ. Ta có

cắt đường trịn tại
;

Từ hình vẽ ta thấy

.

điểm

và

.
.

skkn

10

.
Vậy

.

Ví dụ 4: (Đề Tham Khảo năm 2018 của Bộ GD&ĐT) Xét số phức
thỏa mãn
đạt giá trị lớn nhất.
A.
B.
Lời giải: Gọi

. Tính

khi
[5]

C.

D.

là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có:
điểm biểu diễn số phức

Tập hợp
là đường trịn tâm

bán kính

Gọi:
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường trịn tại D
Ta có:
Vì

là trung tuyến trong

.

skkn

11


Mặt khác

Ví dụ 5: Xét số phức
thức

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của biểu

bằng
A.

.

B.

.

C.

D. .

Lời giải

Gọi
điểm

là điểm biểu diễn số phức
là đường trịn

Các điểm
đó,
Nhận thấy, điểm
trịn

,

. Do

nên tập hợp
.

là điểm biểu diễn các số phức

và

. Khi

.
nằm trong đường tròn

, mà

còn điểm

. Đẳng thức xảy ra khi

của đoạn
với
.
Ta có, phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm của đường thẳng
với

skkn

nằm ngoài đường
là giao điểm

.
và đường tròn

là nghiệm của hệ

12


Ta có
Vậy
khi
Bài tập cùng dạng:
Bài 1. Cho

là hai trong các số phức thỏa mãn

Giá trị lớn nhất của
A. .

bằng

B.

.

C.

Bài 2. Xét các số phức

.

D.

.

thỏa mãn

khi
A.

và

.

. Tính

đạt giá trị lớn nhất.
.
C.
.

B.

Bài 3. Cho các số phức

D.

.

thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:

, phần thực của
nhỏ nhất của biểu thức
A.

bằng 2, phần ảo của

bằng 1. Tìm giá trị

.
B.

C.

D.

Bài 4. Cho số thực thay đổi và số phức thỏa mãn
.
Trên mặt phẳng tọa độ, gọi
là điểm biểu diễn số phức . Khoảng cách nhỏ
nhất giữa hai điểm
A. .

và

(khi
B. .

Bài 5. Cho số phức

D. .

thỏa mãn

. Tính

và

khi

A. .

Bài 6. Xét các số phức

thay đổi) là
C. .

B. .

,

đạt giá trị nhỏ nhất
C.

thỏa mãn

.

và

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A.

.

B.

D.

.

.

.
.

C.

.

D.

2.3.2.3. Bài toán 3: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường
Elip.

skkn

13


Dạng 1: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Cách giải:

. Tìm

.

- Bước 1: Đặt
Từ

ta có quỹ tích điểm

là Elip:

biểu diễn số phức

.

- Bước 2: Suy ra
Dạng 2: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện:

, thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
.
Cách giải: Từ giả thiết ta suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức là một
Elip có phương trình khơng chính tắc. Vì vậy ta phải thực hiện phép biến đổi
để đưa phương trình Elip về dạng chính tắc.
Cụ thể như sau:

Đặt
Nếu

(dạng chính tắc)

Nếu

Nếu
Nếu
Ví dụ 1: Cho số phức
lớn nhất. Tính
A.
.

thỏa mãn
.
B.

skkn

.

C.

và
.

D.

.
14


Lời giải: Trong mp tọa độ
là

, Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức:

;

là

;

Ta có:

là

.

. (1)

.(2)
Từ (1) và (2), suy ra

.

Mặt khác

.

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn
Elip có phương trình

.

Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc
Ta gọi

;

Dựa,

sau cho

lớn nhất.

điểm biểu diễn số phức:

Do đó,

là

là

hình

vẽ

;

là

.

lớn nhất khi và chỉ khi

vào

là

trên

lớn nhất.

ta

thấy

để

lớn

nhất

khi

.
Ví dụ 2: Cho hai số phức

và

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của
A.
Lời giải: Đặt
diễn số

.

B.
,

;

là
.

, vì

skkn

C.

.

nên tập hợp các điểm

D.

.
biểu
15


phức thuộc elip có
Tập hợp các điểm
.

suy ra
biểu diễn số phức

u cầu bài tốn trở thành tìm điểm
nhất.

Đường thẳng
tiếp xúc với

song song với

có dạng

thuộc đường thẳng
sao cho

,

nhỏ

.

khi và chỉ khi

Với

.

.

Với
Vậy

và

.

.
.

Ví dụ 3: Cho các số phức
nhỏ nhất của biểu thức
A. .
Lời giải:

thỏa mãn

. Tìm giá trị
.

B. .

skkn

C. .

D.

.

16


Gọi

,

phức

,
,

,

, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số

.

Có

, có

Suy ra

chạy trên

có tiêu cự

, độ dài trục nhỏ

.
, độ dài trục lớn

và phương trình chính tắc của

là

.
Có

.

Có

.
.
.
(Bất đẳng thức tam

giác).
.
Đặt

, với

Có

.

,

Có
Có

.

.
,

.

Suy ra

Đẳng thức
xảy ra khi
Thử lại: Khi
có
Vậy
khi

Bài tập cùng dạng:

.

.
.
.

skkn

17


Bài 1. Cho số phức

thỏa mãn

Tìm tổng giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
A.
.
B.
.
Bài 2: Cho số phức
A.

thỏa mãn

.

B.

.

.

C. .

?
B.

.

và

D.

.

D.

.
và

C.

.

D.

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của
.

C.

thỏa mãn

lớn nhất. Tính
A.
.
.

A.

.
. Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 3. Cho số phức

Bài 4. Cho hai số phức

.

B.

;

là
.

C.

.

D.

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi sáng kiến kinh nghiệm được đưa ra thảo luận trong tổ chuyên
môn, thì được các đồng chí trong tổ Tốn đón nhận và thảo luận rất sôi nổi.
Tổ đã đề xuất áp dụng vào một số lớp mũi nhọn của nhà trường; tổ trưởng đề
nghị các đồng chí tổ viên tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài theo các
hướng khác nữa để giúp học sinh tiếp cận các bài toán về số phức một cách
đa dạng hơn.
Về phía học sinh nhất là các em học sinh khá giỏi, thì đa số các em rất
hứng thú với chuyên đề này; vì đây là một nội dung khó và được đề cập rất ít
trong sách giáo khoa nhưng lại xuất hiện nhiều trong các đề thi thử và đề thi
chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Sau khi áp dụng đề tài này cho 86 học sinh lớp thực nghiệm 12B1,
12B9, tôi đã cho các em làm một bài kiểm tra 90 phút với 30 câu về các dạng
toán đã đề cập đến trong đề tài với cấu trúc mức độ đề là 5-3-2-1 thang điểm
10 thì kết quả thu được như sau:
Mức điểm đạt được
Số lượng học sinh đạt được Phần trăm
Dưới 5
0
0%

Từ 5 đến dưới 6
3
3,4%
Từ 6 đến dưới 7
9
10,2%
Từ 7 đến dưới 8
41
49,0%
Từ 8 đến dưới 9
27
30,6%
Từ 9 đến 10
6
6,8%

skkn

18


Sau 4 lần nhà trường tổ chức khảo sát thì điểm mơn Tốn của lớp 12B1,
12B9 như sau:
Lớp
Lần 1
Lần 2
Lần 3
Lần 4
Nhận xét
12 B1

8.03
8.23
8.61
8.65
Tăng dần
12 B9
7.14
7.80
8.09
8.16
Tăng dần
(Số liệu do thư ký hội đồng nhà trường cung cấp)
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1- Kết luận.
Mỗi thầy (cô) giáo phải luôn phấn đấu là một tấm gương tự học và sáng
tạo để học trị noi theo, vì vậy trong q trình giảng dạy và đặc biệt là trong
giai đoạn đổi mới giáo dục hiện nay thì người thầy càng phải ln nỗ lực
trong việc học hỏi, đổi mới phương pháp, tìm tịi cái hay cái mới để truyền
thụ cho học trị. Đây có lẽ cũng là tiêu chí của một người thầy mà xã hội đang
mong muốn. Ý thức được điều đó nên bản thân tôi và đồng nghiệp ở trường
THPT Triệu Sơn 1 luôn phấn đấu không ngừng để ngày càng là điểm tựa
vững trãi cho học trò vươn xa hơn; ngày càng giảng dạy được cho các em
nhiều bài toán hay, giúp các em tự tin hơn khi bước vào các kì thi quan trọng
của cuộc đời học sinh.
3.2- Kiến nghị.
Trên đây là sáng kiến của tôi đã áp dụng cho lớp chủ nhiệm 12B1, 12B9
của trường THPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2021-2022 và bước đầu đã có
kết quả rất khả quan, rất mong được sự quan tâm của đồng nghiệp.
Rất mong các cấp lãnh đạo của nhà trường, của ngành tổ chức thêm các
buổi chuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp giảng dạy hay nhằm

nâng cao chất lượng giáo dục học sinh trong thời gian tới.
Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Vũ Đoàn Kết

skkn

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[2]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[3]- Đại số lớp 10 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[4], [5]- Nguồn đề thi của Bộ GD&ĐT.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

1.

2.
3.
4.

5.

Họ và tên tác giả: Vũ Đoàn Kết
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn– trường THPT Triệu Sơn 1
Cấp đánh Kết quả
Năm học
giá xếp loại đánh
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá
(Phòng, Sở, giá xếp
xếp loại
Tỉnh...)
loại
1
Kinh nghiệm dạy học sinh
Sở GD&ĐT C
2008
yếu kém mơn Tốn
2
Tạo hứng thú cho học sinh Sở GD&ĐT
khi học giới hạn và đạo
C
2011
hàm.
3

Tạo hứng thú cho học sinh Sở GD&ĐT
lớp 10 khi học phương pháp
C
2014
tọa độ phẳng.
4
Một số kỹ thuật giúp học
sinh lớp 12 giải nhanh trắc Sở GD&ĐT C
2017
nghiệm mơn Tốn.
5
Giáo dục kỹ năng sống cho
học sinh lớp chủ nhiệm Sở GD&ĐT C
2020
11A2 thông qua các hoạt
động trải nghiệm.
6
Hướng dẫn học sinh lớp 12
sử dụng đồ thị hoặc bảng Sở GD&ĐT C
2021
biến thiên để giải bài tốn
về nghiệm của phương trình
chứa hàm số hợp.

skkn