Skkn một số giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy thông qua giải quyết bài toán ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI QUYẾT BÀI
TỐN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN
TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Lại Văn Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2022

skkn


Mục lục
Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1.
Lý
do
chọn
…………………………………………………...

1.2.
Mục
đích
cứu………………………………………………..
1.3.
Đối
tượng
cứu……………………………………………….
1.4.
Phương
pháp
cứu……………………………………………
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

tài

1

nghiên

2

nghiên

2

nghiên

2

2.1.
Cơ
sở
lí
luận
của
sáng
kiến
kinh
nghiệm…………………………….
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm…..
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
…………………….
2.3.1.
Một
số
kiến
thức
cần
nhớ…………………………………………
2.3.1.1. Diện tích hình thang cong, hình
phẳng…………………….
2.3.1.2.
Một
số
lưu
ý.
……………………………………………….
2.3.2.

Các
giải
pháp……………………………………………………...
2.3.2.1. Giải pháp 1: Phát triển năng lực tư duy bằng cách vận
dụng
cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng có cấu trúc
đã
biết .………………………………………………………..
2.3.2.2. Giải pháp 2: Phát triển năng lực tư duy bằng cách dựa vào
đồ thị để xây dựng cơng thức tích phân tính diện tích hình
phẳng ……………………………………………………..
2.3.2.3. Giải pháp 3: Phát triển năng lực tư duy bằng cách xây
dựng
cơng thức tích phân tính diện tích của những hình phẳng
trong
thực
tế……………………………………………….
2.3.2.4. Giải pháp 4: Phát triển năng lực tư duy thông qua buổi

3

skkn

đề

3
4
4
4
5

5
5
8
10
12
13


thảo
luận để củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài tốn ứng
dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng……………..
2.3.2.5. Giải pháp 5: Phát triển năng lực tư duy thông qua sử dụng
công nghệ thông tin trong trong kiểm tra đánh giá, giao bài
tập
và
quản
lý
việc
học
tập
ở
nhà…………………………..
2.3.3.
Bài
tập
tham
khảo…………………………………………………
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………………
3. Kết luận và kiến nghị
3.1.
Kết
luận……………………………………………………………..
3.2. Kiến nghị…………………………………………………………...
Tài
liệu
tham
khảo……………………………………………………….
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng
GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C
trở
lên……………………………………………………………………….

skkn

14
16
18
18
19

20


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục phổ thơng thì mơn tốn là mơn học được nhiều
học sinh yêu thích và say mê, nhưng cũng có nhiều nội dung kiến thức mang

nhiều khó khăn và trở ngại cho khơng ít học sinh, trong đó có nội dung về tính
diện tích của một hình. Việc tính diện tích của các hình quen thuộc như tam
giác, hình thang, hình vng, hình chữ nhật, đường trịn… học sinh đã biết cơng
thức tính ở các lớp THCS. Tuy nhiên trong thực tế cuộc sống cũng như trong
khoa học kỹ thuật, học sinh cịn phải làm quen tính diện tích của một hình bắt
gặp trong cuộc sống như cánh rừng, các thửa ruộng… hay của hình thang cong
như hình vẽ dưới đây.

Nhưng khơng phải lúc nào, học sinh cũng có thể chia nhỏ các hình cần tính diện
tích về hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật. Vậy thì ta có thể tính diện
tích các hình phức tạp đó khơng? Nếu có thể tính được thì học sinh được trang
bị kiến thức gì? Và nội dung tích phân trong chương trình giải tích 12 sẽ giúp
học sinh trả lời câu hỏi đó. Mặc dù học sinh đã được trang bị kiến thức, sử dụng
tích phân để tính diện tích hình thang cong. Nhưng để học tốt nó vốn khơng đơn
giản đối với những học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể
hóa, trừu tượng hóa. Nhiều học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, khả
năng tư duy trong quá trình giải tốn và năng lực giải bài tốn cịn hạn chế.
Trong nhiều năm dạy học học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi Cao đẳng, Đại học,
tôi nhận thấy rằng khi bắt gặp đề thi có nội dung về bài tốn thực tế về diện tích
hình phẳng, bài tốn vận dụng mối liên hệ giữa tích phân và diện tích hình thang
cong các em thường cảm thấy lúng túng khi giải quyết vấn đề, nhiều em còn cho
rằng đây là câu khó nhất trong đề thi và mong gì đạt được điểm ở câu hỏi này.
Một số em khá thì rất quyết tâm giải quyết nhưng đôi khi cũng không biết bắt
đầu từ đâu?
Nội dung kiến thức về tích phân, trong đó có bài tốn về ứng dụng của tích
phân để tính diện tích hình phẳng có một vai trị quan trọng trong chương trình
giải tích 12 và là nội dung không thể thiếu của đề thi trắc nghiệm môn toán
trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Mặt khác đây cũng là năm thứ ba liên
tiếp mà toàn ngành giáo dục gặp rất nhiều khó khăn khi dịch Covid 19 bùng phát
vào dịp sau tết Nguyên đán 2022, nhiều nơi học sinh phải học online để phòng

chống dịch. Do đó cần xây dựng nội dung, phương pháp nhằm giúp các em có
thể tìm tịi, phát huy tính sáng tạo, phát triển tư duy, giải quyết tốt các bài toán
về về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.

skkn

1


Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,
cùng với kinh nghiệm trong q trình giảng dạy. Tơi đã tổng hợp, khai thác
nhiều chun đề về tích phân. Trong SKKN này tơi xin chia sẻ : ‘‘Một số giải
pháp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy thông qua giải quyết bài tốn
ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng ”.
Nội dung ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng có tầm quan
trọng và hay trong chương trình giải tích lớp 12 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách
viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và học tập.
Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận, quy lạ về quen và phát triển năng lực giải
bài toán, phát triển năng lực tư duy liên quan đến nội dung này nhiều sách tham
khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc. Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến
kinh nghiệm này là cần thiết, làm các em hiểu sâu hơn về bài tốn và u thích
chủ đề ứng dụng của tích phân. Qua đó giúp các em học sinh có định hướng và
cách nhìn dễ dàng hơn, phát triển được năng lực tư duy.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm
được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, chuyển phức tạp thành đơn giản
đồng thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ
bản để học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán thực tế, các dạng toán, đặc biệt
là các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao về nội dung ứng dụng của tích
phân để tính diện tích hình phẳng nhằm đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt

nghiệp THPT Quốc gia. Từ đó giúp các em phát triển năng lực tư duy và năng
lực giải quyết các bài toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chúng tôi tập trung nghiên cứu về công thức tích phân tính diện tích hình
thang cong; nghiên cứu về phương pháp tách hình phẳng thành nhiều hình thang
cong và vận dụng tích phân để tính diện tích một số hình phẳng trong thực tiễn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Các tài liệu tham khảo, giáo trình
có nội dung liên quan.
Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự
giờ đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm.
Nhóm phương pháp xử lý thơng tin: Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử
dụng kết hợp các phương pháp như: phương pháp thống kê – phân loại; phương
pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ;
phương pháp diễn giải; phương pháp quy lạ về quen.

skkn

2


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung của giải tích 12
[1]. Khi giải bài tập tốn, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,
liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy
bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến
khó, các bài tập có liên hệ thực tế nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong q
trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học
sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất và dần dần phát

triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh
hoạt vào giải tốn và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ
học tập tốt, phát triển năng lực giải quyết các bài toán. Tại trường THPT Quảng
Xương II, trong quá trình giảng dạy nội dung về tích phân cho học sinh 12, tơi
thấy kỹ năng giải bài tốn của học sinh cịn yếu, đặc biệt là bài tốn ứng dụng
của tích phân để tính diện tích hình phẳng. Mặt khác trong nhiều trường hợp,
phải biết tính diện tích hình phẳng trong thực tế dựa vào tích phân và linh hoạt
sử dụng cơng thức tích phân để tính diện tích hình thang cong. Do đó cần phải
cho học sinh tiếp cận bài tốn một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự
bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản,
hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây
dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao
nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thì cũng có những thuận lợi và
khó khăn hạn chế.
Về khó khăn hạn chế:
Nội dung về tích phân, trong đó đề cập đến ứng dụng của tích phân để tính
diện tích hình phẳng là nội dung khơng thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia.
Học sinh thường gặp khó khăn khi gặp bài tốn thực tế tính diện tích hình
phẳng, các bài tốn sử dụng linh hoạt cơng thức tích phân để tính diện tích hình
thang cong, nhiều học sinh chưa biết đọc đồ thị.
Đây là thống kê kết quả làm bài lớp 12B11 năm học 2021-2022 về chủ đề ứng
dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng trước khi tác động các giải pháp.

skkn

3

BIỂU ĐỒ KẾT QUẢ LÀM BÀI CHỦ ĐỀ ỨNG
DỤNG CỦA TÍCH PHÂN LỚP 12B11 NĂM HỌC
2021-2022 TRƯỚC KHI TÁC ĐỘNG CÁC GIẢI
PHÁP
20
15
10
5
0
Điểm dưới 5

Điểm từ 5 đến 6

Điểm từ 6 đến 7.5

Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn và phát triển năng lực
tư duy trong q trình giải bài tốn, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói
quen tiếp cận bài tốn, khai thác các yếu đặc trưng của bài tốn để tìm lời giải,
học sinh phải được quy lạ về quen.
Về thuận lợi:
 Nhà trường, Ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn luôn phát động
đổi
mới phương pháp, xây dựng nhiều sáng kiến để nâng cao kết quả học tập.
 Bản thân là một giáo viên ham đổi mới, ham công nghệ và luôn luôn hào
hứng thi đua trong tập thể nhà trường.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số kiến thức cần nhớ
2.3.1.1. Diện tích hình thang cong, hình phẳng
Định lý: Cho hàm số
tích

liên tục, khơng âm trên đoạn

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

hai đường thẳng

là

. Khi đó diện
, trục hồnh và

.

skkn

4


Bài tốn 1: Cho hàm số
của hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số

đường thẳng

Đặc biệt: Nếu hàm số
tích

liên tục trên đoạn

là

; trục hồnh

Bài tốn 2

liên tục và

. Khi đó diện

là

, trục hồnh
.

: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

hai đường đường thẳng

và hai

.

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và hai đường thẳng

. Khi đó diện tích

;

và

là

2.3.1.2. Một số lưu ý.
 Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Giải phương trình

để tìm các nghiệm

skkn

, trong

5


đó
.
Tính:
.
Ngồi cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Trong nhiều trường hợp,bài tốn u cầu tính diện tích hình phẳng giới
hạn
bởi hai đồ thị

;

. Trong đó

. Khi đó, ta có cơng thức tính như sau

và

tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất

của phương trình
.
 Để tính tích phân cần nắm vững bảng nguyên hàm, phương pháp đổi biến số
và
phương pháp tích phân từng phần [1].
2.3.2. Các giải pháp
2.3.2.1. Giải pháp 1: Phát triển năng lực tư duy bằng cách vận dụng cơng
thức tích phân tính diện tích hình phẳng có cấu trúc đã biết [1], [9].
Trong trường hợp này, học sinh cần nắm được các dạng hình phẳng có cấu
trúc được đề cập ở Bài toán 1, Bài toán 2 đã biết cơng thức tích phân để tính
diện tích. Học sinh khơng chỉ được áp dụng tốt cơng thức mà cịn thấy được mối
liên hệ giữa tích phân và diện tích hình phẳng.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
hoành và hai đường thẳng
,
.
Hướng dẫn:
Đây là hình phẳng được đề cập ở Bài tốn 1.
Ta có
trên đoạn
nên diện tích hình phẳng là:

, trục

.
Ví dụ 2: Cho hình thang cong

giới hạn bởi các đường

. Đường thẳng
là

và

chia

như hình vẽ bên dưới. Tìm

skkn

để

,

,

,

thành hai phần có diện tích
.

6

Hướng dẫn:
Ta có:

và

Vậy

.
.

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và hai đường thẳng
.
Hướng dẫn:
Đây là hình phẳng được đề cập ở Bài tốn 2.
Diện tích

của hình phẳng là:

,

.

.
Chúng ta có thể chuyển những hình phẳng cần tính diện tích về hình phẳng
được đề cập ở Bài tốn 1, Bài tốn 2.
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

,

và
.
Hướng dẫn:
Với giả thiết đã cho, chúng ta chưa thể áp dụng cơng thức tính diện tích hình
phẳng được đề cập ở Bài toán 2. Nhưng bằng cách xét phương trình:
.
Chúng ta đã chuyển hình phẳng đã cho về hình phẳng có cấu trúc quen thuộc.
Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là:

.

skkn

7


Ví dụ 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và
.
Hướng dẫn:
Tương tự như Ví dụ 4, chúng ta phải chuyển hình phẳng đã cho về hình phẳng
quen thuộc bằng cách xét phương trình:

Vậy

.
Chúng ta có thể khai thác giải pháp này với các bài tập ở mức độ vận dụng
thấp, vận dụng cao, trong đó kết hợp với nhiều kiến thức đã học ở nội dung khác

như cực trị của hàm số. Qua đó học sinh phát triển được nhiều kỹ năng, phát
triển năng lực tư duy.
Ví dụ 6: Cho hàm số bậc ba

có hai điểm cực trị

và đồ thị của nó như hình vẽ bên dưới.
Xét
hàm số

và gọi
hạn bởi các đường
với
Hướng dẫn:
Ta có:

,

là các số tự nhiên và

là hình phẳng giới

. Biết diện tích hình phẳng
. Tính hiệu

bằng

?

nên hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là

nghiệm của phương trình:

.

skkn

8


Vậy diện tích hình phẳng

là:

. Do đó
Như vậy, thơng qua giải pháp này học sinh không những nắm vững được
các hình phẳng có cấu trúc đề cập trong Bài tốn 1, Bài tốn 2 mà cịn hình
thành kỹ năng vận dụng, quy lạ về quen, phát triển tư duy.
2.3.2.2. Giải pháp 2: Phát triển năng lực tư duy bằng cách dựa vào đồ thị
để xây dựng cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng [1], [2], [3].
Trong trường hợp này, học sinh phải biết đọc đồ thị, phải biết chuyển bài
toán đã cho về Bài toán 1, Bài toán 2. Học sinh biết tách một hình phẳng thành
nhiều hình phẳng
Ví dụ 7: Cho hàm số
hình phẳng
thẳng
,

liên tục trên đoạn

giới hạn bởi đồ thị
(như hình vẽ dưới đây).

Lập cơng thức tính diện tích của hình phẳng
Hướng dẫn:
Nhìn đồ thị ta thấy:
 Đồ thị

cắt trục hồnh tại

. Gọi

là diện tích của

, trục hoành

, hai đường

?

.

 Trên đoạn

, đồ thị

ở dưới trục hoành nên

 Trên đoạn

, đồ thị

ở trên trục hoành nên

.
.

Do đó:
.
Trong một số bài tốn tính diện tích hình phẳng, học sinh khơng thể xác
định được hình phẳng được đề cập như ở Bài toán 1, bài toán 2. Học sinh phải
vẽ các đường đã cho, qua đó tách hình phẳng cần tìm diện tích về những hình
phẳng quen thuộc.

skkn

9


Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
và trục hồnh.
Hướng dẫn:
Rõ ràng rất khó xác định hình phẳng để áp dụng cơng thức tích phân.
Chúng ta vẽ các đường đã cho, qua đó xác định hình phẳng là miền gạch chéo.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
.
Trong một số trường hợp, chúng ta khai thác Bài toán 1, Bài toán 2 để giải
quyết một số bài tốn liên quan.

Ví dụ 9: Cho hàm số

liên tục trên tập

các miền có diện tích

có đồ thị tạo với trục hồnh

như hình vẽ bên dưới và

Biết tích phân
số tối giản. Tính tích ab?

với

,

là phân

y
y=f(x)
S1
-1

S2
O

S3
1
2

1

x
S4

2

Hướng dẫn:

Ta có:

skkn

10


Trong Ví dụ 9, học sinh phải biết tách tích phân thành nhiều tích phân mà
có thể sử dụng được diện tích hình phẳng. Sau đây là ví dụ khai thác nhiều kiến
thức trong giải tích 12.
Ví dụ 10: Cho hàm số bậc bốn

có đồ thị là đường cong như hình vẽ

bên dưới. Biết hàm số đạt cực trị tại ba điểm
cấp số cộng có cơng sai là 2. Gọi
phần tơ đậm.Tính tỉ số

theo thứ tự lập thành một

là diện tích phần gạch chéo,

là diện tích

.

Hướng dẫn:
Ta thấy kết quả bài tốn sẽ khơng đổi khi tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho gốc
tọa
độ O trùng với

. Dễ thấy đây là dạng đồ thị của hàm trùng phương có dạng
. Do đồ thị cắt trục tung tại gốc tọa độ nên
. Mà nó có 3 điểm cực trị là
với

Ta có:

. Suy ra

nên dễ dàng suy ra được

.

. Diện tích hình chữ nhật là:

. Vì thế
.
2.3.2.3. Giải pháp 3: Phát triển năng lực tư duy bằng cách xây dựng công
thức tích phân tính diện tích của những hình phẳng trong thực tế [3], [4],

[5].
Trong giải pháp này, học sinh được quan sát mơ hình, học sinh phải biết
chuyển hình phẳng về hình phẳng được đề cập trong Bài tốn 1, Bài toán 2, học

skkn

11


sinh biết gắn hệ trục tọa độ, biết đọc đồ thị. Qua đó, học sinh được rèn luyện,
phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết bài toán, quy lạ về quen.
Ví dụ 11: Khi đến thành phố Đà Nẵng ta sẽ thấy một cái giá đỡ Parabol (cầu
vượt ba tầng) bề lõm quay xuống dưới. Tính diện tích bề mặt giá đỡ trên (phần
gạch chéo) khi biết các số liệu.

Trước tiên, chúng ta xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên dưới.

Đặt vấn đề: Để tính diện tích bề mặt của giá, chúng ta chỉ cần biết các thông số
gồm độ dài đoạn thẳng
và khoảng cách từ điểm E, F đến đường thẳng
AD. Qua đó, chúng ta sẽ lập được các parabol và tính được diện tích bề mặt giá.
Cụ thể:
Ví dụ 12: Nhà ơng Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng
parabol có kích thước như hình vẽ. Ơng Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch
chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền để trang trí, biết giá thành trang
trí là 1.200.000 đồng /1 ?

skkn

12

Hướng dẫn:
Gọi

lần lượt là diện tích phần gạch chéo, diện tích hình chữ nhật, diện

tích phần trống (khơng gạch). Suy ra
Để xác định , ta phải xét nó về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2.
Xét hệ trục tọa độ
và parabol có các thơng số như hình vẽ.

Khi đó parabol có phương trình

.

Diện tích phần lối đường đi vào cổng là:
Diện tích phần trang trí là

.
.

Số tiền cần để trang trí là
.1200000=16000000đ.
2.3.2.4. Giải pháp 4: Phát triển năng lực tư duy thông qua buổi thảo luận để
củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài toán ứng dụng của tích phân tính
diện tích hình phẳng.
Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ

skkn

13


cho từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 4 nhóm và năng lực học tập
ở các nhóm là tương đương nhau. Mỗi nhóm chọn một gói câu hỏi.
Nhiệm vụ chung là: Giải quyết các bài toán về ứng dụng của tích phân để tính
diện tích hình phẳng.
Gói câu hỏi 1: Dựa vào các hình phẳng được thiết kế như Bài toán 1, Bài toán
2 để xây dựng cơng thức tính diện tích hình phẳng.
Gói câu hỏi 2: Học sinh xây dựng cơng thức tính diện tích hình phẳng dựa vào
đồ thị.
Gói câu hỏi 3: Học sinh giải quyết các bài toán thực tế về ứng dụng của tích
phân tính diện tích hình phẳng.
Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:
Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm khác.
- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đưa
ra
cách giải của nhóm.
- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng và yêu cầu các em học
sinh
ghi nhận.
- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ, có
thể
thưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh.
- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức.
Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cầu của các nhóm trao đổi vai trị cho nhau.
Ví dụ 13: Đây là một số hình ảnh trong buổi thảo luận.

2.3.2.5. Giải pháp 5: Phát triển năng lực tư duy thông qua sử dụng công

nghệ thông tin trong trong kiểm tra đánh giá, giao bài tập và quản lý việc
học tập ở nhà.
Sau quá trình học sinh được trang bị kiến thức để giải quyết các bài toán về
ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng, học sinh tiếp tục được trải
nghiệm các ứng dụng Quizizz và Googleform để kiểm tra đánh giá khả năng
tiếp thu kiến thức và năng lực tư duy. Hai ứng dụng này có thể kiểm tra việc tiếp

skkn

14


thu kiến thức, vận dụng kiến thức của học sinh thông qua các câu hỏi trắc
nghiệm mà giáo viên đã chuẩn bị sẳn. Học sinh chỉ cần điện thoại thông minh có
kết nối internet, việc thao tác dễ dàng.
Ví dụ 14: Khi tơi triển khai dạy học tốn tơi đã sử dụng hai ứng dụng Quizizz
và Googleform thể hiện qua các hình ảnh sau:

Về việc giao bài tập và quản lý học tập ở nhà của các em, tơi có thể sử dụng các
app zalo, fabook để chia nhóm học sinh; sử dụng các ứng dụng đảo đề và cập
nhập dự liệu như smart test , B&T pro; sử dụng các cơng cụ hóa ảnh câu trắc
nghiệm như word toolforgoogle form; sử dụng các link chuyển đổi file word
thành pdf như .
2.3.3. Bài tập tham khảo
Câu 1: Cho đồ thị hàm số

Lập cơng thức tính diện tích

như hình vẽ sau:

của hình phẳng (phần gạch).

skkn

15


Câu 2: Trong đợt hội trại hè “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT X,
Đồn
trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như
hình vẽ. Biết rằng Đồn trường sẽ u cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu
vực hình chữ nhật ABCD, phần cịn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp.
Chi
phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho
việc
hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm trịn đến hàng nghìn)?

Câu 3: Tích diện tích

của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình vẽ dưới đây.

Câu 4: Ơng An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng
và độ
dài trục bé bằng
. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng
và nhận
trục
bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là
đồng trên
. Hỏi ơng An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số

tiền được làm trịn đến hàng nghìn).

skkn

16


Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới hai đường thẳng
thị hàm số
và trục
.

,

, đồ

Câu 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hồnh.
Câu 7: Tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

?
Câu 8: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ
bên
, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1m2 của rào sắt là 700.000 đồng.
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm trịn đến
hàng

phần nghìn).

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết quả vận dụng của bản thân:
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp ôn thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia ở trường THPT Quảng Xương II năm học 2020-2021,
năm học 2021-2022. Trong quá trình triển khai đề tài này, học sinh thực sự thấy
tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh
cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho
học sinh tự học, tự nghiên cứu, phát triển tốt năng lực tư duy của học sinh khi
giải bài toán ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. Kết quả, học
sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản,
nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán cụ thể .Qua các bài kiểm tra về nội dung
này và các bài thi học kỳ, thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia, tôi nhận thấy nhiều
em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt. Cụ thể tôi đã thực nghiệm kiểm tra kết
quả như sau:
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2.
- Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số
trung bình của 2 lớp trước và sau khi tác động, trong đó một lớp thực nghiệm,
một lớp đối chứng, ký hiệu T và S là trước và sau tác động.
Bảng 1: Bảng thiết kế nghiên cứu.

skkn

17


Tác động

Lớp

Khai thác các giải pháp phát triển năng lực tư duy
thơng qua giải quyết bài tốn ứng dụng của tích phân
để tính diện tích hình phẳng.
Khơng khai thác các giải pháp phát triển năng lực tư
2- Đối chứng
duy thông qua giải quyết bài tốn ứng dụng của tích
(12B10-39 hs)
phân để tính diện tích hình phẳng.
Bảng 2: Tổng hợp kết quả chấm bài.
Lớp
Lớp 1- thực nghiệm
Lớp 2- đối chứng
Điểm trung bình
T-5.2
S-6.9
T-5.3
S-5.8

1- Thực nghiệm
(12B11-38 hs)

BIỂU ĐỒ SO SÁNH ĐIỂM TRUNG BÌNH CỦA HAI
LỚP TRƯỚC VÀ SAU TÁC ĐỘNG
6.9
7
6
5

4
3
2
1
0

5.2

5.8

5.3

Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng

Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 1 và 2)
trước tác động là hồn tồn tương đương. Sau khi có sự tác động cho kết quả
hoàn toàn khả quan (cột 3 và cột 4). Điều này minh chứng là điểm trung bình
lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải do ngẫu nhiên mà là do kết
quả của sự tác động.
Bảng 3. Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu, trung
bình, khá, giỏi kết quả của lớp 1- thực nghiệm (12B11).
Thang điểm
Lớp
Tổng
12B11
cộng
Kém
Yếu

T. bình
Khá
Giỏi
0
19
12
7
0
38
Trước
TĐ
0%
50%
32%
18%
0%
100%
0
4
9
19
6
38
Sau TĐ
0%
11%
24%
50%
15%
100%

skkn

18


BIỂU ĐỒ SO SÁNH KẾT QUẢ XẾP LOẠI TRƯỚC VÀ
SAU TÁC ĐỘNG CỦA LỚP 12B11
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

Kém

Yếu

TB
Trước tác động

Khá

Giỏi

Sau tác động

Triển khai trước tổ bộ môn:
Chúng tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm.
Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo
được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất
hình học, biết vận dụng tích phân để giải quyết bài tốn về diện tích hình phẳng
cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập. Và cho đến nay,
những kinh nghiệm của tơi đã được tổ thừa nhận là có tính thực tiễn và tính khả
thi. Hiện nay, chúng tơi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp học sinh
trường THPT Quảng Xương II học tập nội dung này một cách tốt nhất để đạt kết
quả cao nhất trong các kỳ thi.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Việc chọn các giải pháp như trên giúp học sinh phát triển năng lực tư duy.
Học sinh không chỉ giải quyết các bài tốn đơn thuần mà cịn biết vận dụng
trong thực tế và vận dụng kiến thức cho nội dung toán học khác. Mỗi dạng tốn
tơi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm những bài tập
mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. Tuy nhiên, vẫn cịn một số học sinh
khơng tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ, hứng thú
trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo và phát triển năng lực giải bài toán của học sinh. Giáo
viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó
là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài tốn từ đó học
sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải.

skkn

19


Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng
vận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài tốn
ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng một cách chính xác và
nhanh nhất. Đề tài này đưa ra cũng giúp giáo viên hướng dẫn học sinh bài toán
với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện các phương pháp
và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, tự tin giải quyết được những câu khó
trong đề thi, nắm vững các dạng tốn, có các giải pháp, hướng xử lý cho từng
kiểu câu hỏi, hoàn thành tốt kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Rất mong sự
đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề tài này được đầy đủ
hoàn thiện hơn .
3.2. Kiến nghị
Đối với tổ chun mơn :
Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung liên quan đến ứng dụng của
tích phân để tính diện tích hình phẳng. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập
toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài giảng.
Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thơng qua đó các học sinh bổ trợ
nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài
giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải tốn.
Đối với ngành giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời
viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Hiệu trưởng

Thanh Hoá, ngày 25 tháng 5 năm 2022

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện

Nguyễn Văn Ngọc

Lại Văn Dũng

Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12- Nhà xuất bản Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào
tạo.
[2]. Sách bài tập giải tích 12- Nhà xuất bản Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
[3]. Sách tham khảo giải bài tốn hay và khó giải tích 12- Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.
[4]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
[5]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
[6]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2019- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.

skkn

20


[7]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2020- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
[8]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2021- Nhà xuất

bản Giáo dục Việt Nam.
[9]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2022- Nhà xuất
bản Giáo dục Việt Nam.
[10]. Website toán học bactrungnam.vn, toanmath.com.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lại Văn Dũng
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên tốn, trường THPT Quảng Xương II
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

skkn

Kết quả

Năm học
đánh giá xếp
21


1
2

3

4

5

Giải pháp giúp học sinh
THPT tiếp cận và hứng thú
giải bài toán xác suất
Giải pháp giúp học sinh lớp
11 phát huy khả năng giải
bài tốn khoảng cách trong
hình học khơng gian
Giải pháp giúp học sinh lớp
12 phát huy khả năng giải
bài tốn tích phân trong kỳ
thi THPT Quốc gia
Một số giải pháp giúp học
sinh phát triển năng lực giải
bài toán về cực trị của hàm
số trong chương trình giải
tích 12
Một số giải pháp giúp học
sinh phát triển năng lực tư
duy thơng qua giải quyết bài
tốn tỉ số thể tích khối đa
diện trong chương trình hình
học 12

Sở GD&ĐT

Thanh Hóa

C

loại
2012-2013

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2015-2016

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2016-2017

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2019-2020

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2020-2021

skkn

22