Skkn phát triển khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề vận dụng bất đẳng thức côsi trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy trong những năm gần đây, chất lượng
giáo dục đào tạo đang là mối quan tâm lớn của toàn xã hội. Đảng và Nhà nước
đã có những chính sách ưu tiên đầu tư cho giáo dục về đổi mới nội dung,
chương trình, sách giáo khoa, tăng cường các trang thiết bị theo hướng chuẩn
hóa, hiện đại hóa.Việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy học bộ
mơn Tốn nói riêng đã tạo ra những bước chuyển biến mạnh mẽ, thu được
những thành tựu to lớn, song cũng cịn khơng ít những khó khăn, thách thức.
Thực tế trong nhà trường cho thấy, một bộ phận học sinh rất ngại học
toán. Ngun nhân thì nhiều song đây là mơn học địi hỏi tính chính xác, hệ
thống, khoa học, lơgic và tư duy cao. Cũng có thể do giáo viên chưa làm cho
học sinh thấy được sự hấp dẫn của môn học hoặc dạy cụ thể có xu hướng tăng
lên, khiến dễ lơ là dạy phương pháp. Sự nhồi nhét khiến người học mất năng lực
tự học, trở thành thụ động; điều kiện cơ sở vật chất chưa đáp ứng được yêu cầu
đặt ra. Những khó khăn trên đã gây cản trở hoạt động của bản thân và ảnh
hưởng không tốt đến chất lượng giáo dục học sinh. Trong khi đó, mục tiêu giáo
dục xã hội đang đặt ra những yêu cầu cấp thiết cần phải giải quyết là phát triển
trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực cơng dân, phát hiện và bồi
dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Với yêu cầu đó đặt ra
cho nền giáo dục nước ta đang đứng trước những đòi hỏi thách thức, nhiệm vụ
to lớn đó là: “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo
dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc
và nhu cầu học tập của nhân dân. Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn
diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu
gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả” (Trích
Nghị quyết số 29-NQ/TW Trung ương 8 khóa XI).
Để đáp ứng được các yêu cầu đặt ra của xã hội cho sự nghiệp đào tạo con
người, bằng vốn kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy của mình, hàng năm những
người thầy, người cô đều phải tự rút ra những kinh nghiệm, những bài học nhằm

bổ cứu cho những năm học sau, với ham muốn là vừa đáp ứng với yêu cầu mà
Bộ đề ra, lại vừa làm thoả mãn lịng mong đợi của học sinh. Đó vừa là trách
nhiệm, vừa là lương tâm nghề nghiệp của mỗi một kĩ sư tâm hồn.
Xun suốt q trình học tốn, học sinh được làm quen với bất đẳng thức
từ rất sớm và nó ln song hành với các em ở từng cấp học. Ở bậc tiểu học học
sinh được học bất đẳng thức dưới dạng so sánh các số tự nhiên rồi đến so sánh
phân số, ở bậc THCS các em tiếp tục học bất đẳng thức ở dạng so sánh số
nguyên, lũy thừa, các số hữu tỷ rồi các biểu thức chứa 1 biến, 2 biến, 3 biến....
Bất đẳng thức khơng chỉ xuất hiện trong chương trình phổ thơng mà còn thường
xuyên xuất hiện trong các kỳ thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi các cấp. Trong
nền giáo dục phổ thơng, tốn học là mơn khoa học quan trọng đóng vai trò nền
tảng, then chốt để phát triển các bộ môn khoa học tự nhiên, khoa học công nghệ,

skkn


trong đó có thể nói bất đẳng thức là một trong những thành tố quan trọng để phát
triển năng lực tư duy logic cho học sinh. Trong thực tế, việc giải các bài toán

skkn


2

Bất đẳng thức đối với học sinh THCS là hết sức khó khăn, đơi khi dẫn đến tình
trạng các em rất sợ loại bài tốn này. Vì vậy, để góp phần vào việc phát triển tư
duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và tăng cường cho các em ý thức
năng lực, vận dụng một cách thông minh những điều đã học làm giảm bớt nỗi sợ
hãi cũng như tăng thêm lòng tin cho học sinh khi gặp loại bài toán này. Qua thực
tế giảng dạy ở trường và qua các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, kỳ thi học sinh

giỏi các cấp tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng trong việc
dùng bất đẳng thức Cơ-si để giải các bài tốn chứng minh bất đẳng thức và gải
bài toán cực trị là cần thiết. Vì vậy, tơi đã chọn đề tài “ Phát triển khả năng tư
duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề: Vận dụng bất
đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức và giải tốn cực trị ”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Khi chọn hướng nghiên cứu đề tài “ Phát triển khả năng tư duy, sáng tạo
cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức
Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị ”, với mục đích
cung cấp cho học sinh một con đường nhanh và dễ tiếp cận nội dung kiến thức,
kĩ năng giải các bài toán về vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất
đẳng thức và giải tốn cực trị. Trên cơ sở đó chun đề sẽ giúp học sinh rèn
luyện các tri thức, phương pháp để các em biết cách học, biết cách suy luận, biết
cách tự tìm lại các kiến thức đã quên, biết cách tìm tịi để phát hiện kiến thức
mới. Đồng thời giúp học sinh rèn luyện được các thao tác tư duy: phân tích, tổng
hợp, đặc biệt hố, khái qt hố, tương tự, quy lạ về quen...Từ đó góp phần nâng
cao chất lượng bồi dưỡng mũi nhọn. Đề tài này còn giúp cho bản thân nâng cao
công tác tự học, tự bồi dưỡng để ngày một nâng cao trình độ chun mơn nghiệp
vụ. Ngồi ra với mục đích để trao đổi với đồng nghiệp để cùng nhau bổ khuyết,
xây dựng cho giải pháp càng hồn thiện hơn trong q trình áp dụng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối với đề tài này tôi chỉ nghiên cứu và dừng lại ở một số vấn đề sau:
- Nghiên cứu, tổng kết kinh nghiệm về phương pháp giảng dạy phần lý thuyết.
- Phân loại các phương pháp, hướng dẫn cách giải, cách khai thác và bài tập áp
dụng.
-Kỹ thuật tổ chức các hoạt động học tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tôi thực hiện đề tài này với những phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu tài liệu để xây dựng cở sở lý thuyết: trên cơ sở nghiên cứu nội
dung chương trình mơn học, lựa chọn đơn vị kiến thức, nội dung bài học để xây

dựng nội dung chuyên đề.
- Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin về thực trạng của vấn đề nghiên
cứu.
- Thống kê, xử lí số liệu: Giáo viên thống kê số liệu về chất lượng dạy học bộ
môn thông qua khảo sát trước và sau khi áp dụng đề tài.

skkn


3

- Phương pháp thực nghiệm: Trực tiếp giảng dạy chuyên đề này cho 30 em học
sinh khá, giỏi khối 9.

skkn


3

2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận.
Để đáp ứng được yêu cầu phát triển của sự nghiệp phát triển giáo dục và
nhu cầu học của học sinh, thì trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội
dung kiến thức, nội dung kiến thức phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu
tượng để học sinh có thể tự mình tìm ra cách giải và phát triển tư duy toán học.
Việc giảng dạy mơn Tốn ở nhà trường khơng những nhằm truyền thụ
cho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học mà cịn vũ trang cho các em
cơng cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên, mà một trong những nhiệm vụ,
giải pháp Nghị quyết Trung ương 8 khóa XI đã đề ra là “Tiếp tục đổi mới mạnh
mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ

động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối
truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách
nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri
thức, kỹ năng, phát triển năng lực. ” (Trích Nghị quyết số 29-NQ/TW Trung
ương 8 khóa XI).
Khi học tốn học sinh thường thấy sợ từ đó dẫn đến ngại học khi nhắc tới
bất đẳng thức và bài toán cực trị nhưng nó lại là một phần rất quan trọng trong
chương trình tốn THCS, nó có mặt trong nhiều bộ mơn: Số học, Hình học, Đại
số, Vật lý, Hóa học…Tuy nhiên để giải quyết bài tốn có liên quan tới bất đẳng
thức thì khơng chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo các phương pháp kết hợp với kỹ năng biến đổi suy luận, dự đoán,
biết phát hiện ra đặc điểm của bài tốn …từ đó có hướng đi đúng trong từng bài,
từng dạng.
Với vai trị là mơn học cơng cụ, bộ mơn tốn đã góp phần tạo điều kiện
cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Dạy học như thế nào để học
sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải nâng cao,
phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập. Đó là một câu hỏi mà mỗi thầy, cơ
giáo ln đặt ra cho mình. Với ham muốn là vừa đáp ứng với các yêu cầu nhiệm
vụ trên, lại vừa làm thoả mãn lòng mong đợi của học sinh, tơi đã tìm tịi, nghiên
cứu đúc rút kinh nghiệm đề tài: “ Phát triển khả năng tư duy, sáng tạo cho học
sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong
chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị ”
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chương trình mơn Tốn ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được
lĩnh hội nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong
suốt q trình học tập là bất đẳng thức. Tốn về bất đẳng thức là khó, chúng
được giải khơng hồn tồn dựa vào một công thức nào cả. Hơn nữa các bài tập
trong sách giáo khoa chưa thể hiện đủ các phương pháp chứng minh vì thế học
sinh thường thiếu tự tin và lúng túng khi gặp phải dạng toán này.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại tốn này thậm chí nhiều

em học sinh khá, giỏi ban đầu chỉ cần nhìn thấy đề bài chứng minh bất đẳng
thức là các em đã khơng có thiện cảm hay nói đúng hơn là khơng có hứng thú để
giải, do đó dẫn đến thực trạng các em khơng đầu tư suy nghĩ và có khi bỏ qua.

skkn


4

Trong thực tế có thể giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền
thụ tinh thần của lí thuyết mà chưa phân dạng, chưa cho học sinh luyện tập
nhiều các dạng tương tự . Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh cịn chưa
thành thạo, cách khai thác vấn đề cần chứng minh để đưa vào áp dụng bất đẳng
thức chưa thạo, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn
trong vấn đề giải loại tốn này. Vì vậy, kết quả bồi dưỡng học sinh mũi nhọn
chưa cao.
Tôi đã tiến hành khảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về
chuyên đề bất đẳng thức và kết quả như sau:
Tổng số
HS

Loại giỏi
SL

%

Loại khá
SL

%

Loại TB
SL

%

Loại yếu
SL

%

1
3,3
6
20
15
50
8
26,7
30
Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn
khoăn về chất lượng bồi dưỡng mũi nhọn. Tỉ lệ điểm giỏi chưa cao, tỉ lệ điểm
trung bình, yếu cịn cao (76,7%). Chính vì thế nên tơi đã nghiên cứu tìm hiểu và
nhận thấy một số nguyên nhân sau:
* Đối với học sinh.
- Nhiều em chưa nắm chắc định nghĩa, các tính chất của bất đẳng thức và
phương pháp chứng minh bất đẳng thức, do đó chưa biết vận dụng các tính chất
này để giải một số dạng tốn có liên quan.
- Các em chưa được học về chuyên đề bất đẳng thức một cách bài bản, mà chỉ
dừng lại ở việc giải một số bài.

- Một vài em đứng trước một bài tốn, các em chỉ tìm ra được lời giải của bài
tốn đó rồi hài lịng với kết quả mình làm được. Khơng mấy em biết cách phân
tích bài tốn theo khía cạnh khác, khơng biết phát triển bài tốn cụ thể đó thành
nhiều bài tốn khác, hoặc từ bài toán đơn giản trong sách giáo khoa phát triển
thành bài tốn hay và khó hơn. Chính vì vậy kiến thức của các em chưa sâu,
chưa có sự gắn kết, thậm trí nhiều em kiến thức cịn rất hổng. Qua kiểm tra tơi
nhận thấy nhiều em cịn chưa biết cách chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một bài toán đơn giản.
* Đối với giáo viên.
- Khi dạy toán nhiều khi giáo viên mới chỉ dạy cho các em giải được một bài
toán cụ thể mà chưa dạy cho các em phương pháp giải cả một dạng tốn đó, tổng
hợp các dạng tốn trong một chuyên đề.
- Nhiều khi giáo viên còn lựa chọn bài toán chưa phù hợp với khả năng của các
em, do đó chưa khêu gợi được suy nghĩ, kích thích trí tị mị, lịng hăng say của
các em.
- Giáo viên chưa trang bị một cách hệ thống các kiến thức thiết thực, làm tăng
khả năng tư duy lô gic và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp các em có tác
phong độc lập khi giải tốn.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
2.3.1. Xây dựng kế hoạch bồi dưỡng.

skkn


5

Trước khi thực hiện sáng kiến tôi đã lập kế hoạch chi tiết trình Ban giám hiệu.
Kế hoạch thể hiện rõ: Mục tiêu, chương trình, cơ sở vật chất, thiết bị dạy học,
nội dung bồi dưỡng, các lực lượng tham gia, chỉ tiêu, với thời gian tổng số tiết là
14 tiết. Trong đó lý thuyết 3 tiết, thực hành 9 tiết, kiểm tra 2 tiết.

2.3.2. Giảng dạy theo hướng tổ chức các hoạt động học tích cực, chủ
động, sáng tạo cho học sinh.
- Chuyển giao nhiệm vụ học tập rõ ràng và phù hợp với đối tượng học sinh, thể
hiện ở yêu cầu sản phẩm mà học sinh phải hoàn thành khi thực hiện nhiệm vụ;
hình thức giao nhiệm vụ sinh động, hấp dẫn kích thích được hứng thú học tập
của học sinh.
- Thực hiện nhiệm vụ: khuyến khích học sinh hợp tác với nhau khi thực hiện
nhiệm vụ học tập; phát hiện kịp thời những khó khăn của học sinh và có biện
pháp hỗ trợ kịp thời, hiệu quả.
- Báo cáo kết quả và thảo luận: Hình thức báo cáo kết quả phải phù hợp với nội
dung học tập, xử lí tình huống sư phạm nảy sinh một cách hợp lí.
- Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập của học sinh: Phân tích, nhận xét,
đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của học sinh;
chính xác hóa các kiến thức mà học sinh đã được thông qua các hoạt động.
2.3.3. Một số lưu ý khi thực hành.
Để học sinh có được kỹ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo bất đẳng thức
Cô-si vào chứng minh bắt đẳng thức và giải toán cực trị, giáo viên cần:
- Xây dựng những phương pháp giải các dạng tốn có vận dụng kiến thức về bất
đẳng thức Cô-si vào chứng minh bắt đẳng thức và giải toán cực trị.
- Phân bậc các dạng bài tập từ dễ đến khó hợp với q trình phát triển tư duy của
học sinh, bài tập trước đã có những tiền đề gợi ý cho các bài tập sau.
- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải tốn (GV có thể cho
HS kiểm tra chéo bài nhau từ đó củng cố kiến thức và kĩ năng làm bài cho HS,
chỉ ra những sai lầm mà học sinh mắc phải ... )
- Tìm tịi cách giải hay, khai thác bài toán dành cho học sinh khá giỏi.
2.3.4. Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết, xây dựng các phương
pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bất đẳng thức và giải
bài toán cực trị.
2.3.4.1. Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết
* Bất đẳng thức Cô-si:

Cho a,b, c là các số không âm. Khi đó:

;

.

Tổng qt: Trung bình cộng của n số khơng âm lớn hơn hoặc bằng trung bình
nhân của chúng.
hay
Hay
Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau
(Nâng cao và phát triển Toán 9-Tập 1)

skkn


6

- Một số dạng đặc biệt:
Dạng 1

(x,y

0)
(x,y,z

Dạng 2

(x, y > 0)

0)

(x, y,z > 0)
x = y =z

Đẳng thức xảy ra
x=y
* Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho biểu thức f(x).
- Nếu với mọi x thõa mãn ĐKXĐ của f(x) mà f(x)
M (M là hằng số) và tồn
tại x0 sao cho f(x0) = M, thì ta nói M là giá trị lớn nhất(GTLN) của biểu thức
f(x), ký hiệu max f(x) = M (hoặc max f = M).
- Nếu với mọi x thõa mãn ĐKXĐ của f(x) mà f(x)
m (m là hằng số) và tồn tại
x0 sao cho f(x0) = m, thì ta nói m là giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức f(x),
ký hiệu min f(x) = m (hoặc min f = m).
(Hướng dẫn ôn tập thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội)
* Hướng dẫn học sinh những quy tắc chung khi giải bài tốn sử dụng
bất đẳng thức Cơ-si để chứng minh bất đẳng thức và giải bài toán cực trị.
- Quy tắc song hành: Hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng do đó
việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung
ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn.
- Quy tắc dấu bằng: Dấu bằng trong bất đẳng thức là rất quan trọng. Nó giúp ta
kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp
giải, dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh
ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.
- Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Học sinh thường mắc sai lầm khi áp
dụng liên tiếp hoặc song hành các bất đẳng thức nhưng không chú ý đến điểm
rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các bất đẳng thức là

điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được
thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
- Quy tắc biên: Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị
trí biên và các đỉnh nằm trên biên.
- Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức thường có tính đối xứng, vậy thì vai trị
của các biến trong bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại
vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có
thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.
Chiều của bất đẳng thức: “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách
chứng minh: đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại.
2.3.4.2. Phương pháp ghép cặp trong bất đẳng thức Cơsi.
Trong nhiều bài tốn mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc
chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng phương pháp
“Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản. Ở các bài toán bất đẳng thức, thơng
thường chúng ta hay gặp phải hai dạng tốn sau:

skkn


7

Dạng 1: Chứng minh X + Y + Z A + B + C
Để giải bài tốn này ta có thể sử dụng các cách sau:
- Nếu ta chứng minh được: X + Y 2
2A , sau đó tương tự hóa để chỉ
ra Y + Z
2B; Z + X
2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài tốn). Cộng ba
bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có: X + Y + Z A + B + C
- Nếu ta chứng minh được X + A 2

2B (Nhờ tính chất đối xứng của
bài tốn).Sau đó tương tự hóa để chỉ ra Y + Z 2C; Z + X 2A. Cộng ba bất
đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh.
Dạng 2: Chứng minh XYZ  ABC với X, Y, Z  0.
Đối với dạng này ta thường chứng minh cho XY  A2, sau đó tương tự hóa để
chỉ ra YZ  B2 ; ZX  C2 , nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc
hai, ta có: XYZ  ABC
Chú ý một số cách ghép đối xứng:
Phép cộng :
Phép nhân :
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2 +y2 +z2

xy + yz + zx với mọi x,y,z

(Ví dụ 1a-Tr61-Hướng dẫn ơn thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Bài tốn này có dạng X + Y + Z
A+
B + C, ta hướng dẫn học sinh đưa về dạng X + Y 2
2A, sau đó tương
tự hóa để chỉ ra Y + Z 2B; Z + X 2C.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:

(1);

(2);

(3). Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được

hay x2 +y2 +z2
x= y = z.

xy + yz + zx với mọi x,y,z . Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ 2. Chứng minh rằng :
(Bài 394a-Nâng cao và phát triển Tốn 8-Tập 2)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Bài tốn này có dạng X + Y + Z

A + B + C, trong đó:

; A = a, B = b, C = c.
Để ý rằng hai biểu thức

và

là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như

nhau). Do đó sử dụng kỹ thuật ghép cặp ta sẽ thử chứng minh
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:

skkn

+

 2b.

8

(1),

(2)

(3)
Cộng vế với vê (1), (2) và (3) 

.

Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c.
Để khắc sâu dạng toán trên giáo viên yêu cầu học sinh thực hành giải bài tốn .
Ví dụ 3: Cho ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác. Chứng minh
rằng : abc
(Ví dụ 99-Nâng cao và phát triển Toán 8-Tập 2)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ  ABC vì vậy sử dụng kỹ thuật ghép
đối xứng, ta chỉ cần chứng minh b2  (a + b – c)( b + c - a) .
Lời giải: Vì a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác, nên: (b + c - a) > 0;
(c +a - b) > 0; (a + b - c) > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng (x + y)2  4xy, ta có:
b2 =
c2 =
a2 =
Nhân vế với vế của bất đẳng thức trên ta được:
abc
, dấu bằng xảy ra khi a = b = c, tức là

ABC là tam giác đều.
2.3.4.3. Phương pháp đổi biến số trong bất đẳng thức Cô-si.
Trong bất đẳng thức, những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”.
Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản
hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ
thuật đổi biến chính là một cơng cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu: a > 0, b > 0, c > 0 thì
(Bài 402b- 23 chuyên đề giải 1001bài toán sơ cấp-NXB giáo dục)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Để đơn giản hóa các đại lượng vế trái ta có thể đặt: b + c = x, c + a = y, a + b =
z. Khi đó ta tìm a,b,c qua x,y,z, thay vào biểu thức vế trái bài toán sẽ
trở nên hết sức đơn giản bằng cách ghép cặp dạng

.

Lời giải:
Đặt :

.

skkn


9

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
hay
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
VT

Dấu “ = ” xảy ra  x = y = z  a = b = c
Ví dụ 2: Cho ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác. Chứng minh
rằng:
Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Vì a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác,
nên: (b + c - a) > 0; (c +a - b) > 0; (a + b - c) > 0. Tương tự ví dụ 1, để đơn giản
hóa các đại lượng vế trái cách đặt tối ưu là: (b + c – a) = x, (c +a – b) = y, (a + b
– c) = z. Từ đây ta rút a,b,c theo x,y,z:

, thay vào bất

đẳng thức cần chứng minh ta được bất đẳng thức mới tương đương và dễ dàng
áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để chứng minh.
Lời giải:
Đặt :

.

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho vế trái
Ta có : VT
. Hay
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
2.3.4.4. Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện
Nội dung của phương pháp này thể hiện:
- Các biến có vai trị như nhau nên trong q trình biến đổi ta nên có xu
hướng giữ ngun tính bình đẳng của chúng.
- Các biểu thức có vai trị bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức
và áp dụng tương tự cho toàn thể.
- So sánh bậc của vế trái và bậc của vế phải để xét xem có cần phải thêm

bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn hoặc một
hằng số để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta thu được bậc cần thiết.
- Hết sức chú ý điều kiện để dấu bằng xảy ra, điều kiện đó giúp ích rất
nhiều trong q trình tìm tịi hướng giải.
Ví dụ 1: Cho x, y, z dương thỏa mãn x.y.z = 1. Chứng minh rằng:

skkn


10

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
- Ta thấy các biến, các biểu thức có vai trị như nhau;
- Ngồi ra, theo giả thiết, ta có x.y.z = 1
1 = (x.y.z)r vì vậy do vế phải
là hằng số, cũng có thể được hiểu như
nên ta biến đổi vế trái thành
tích của các lũy thừa cùng bậc của x, y, z.
- Ta có thể biến đổi như sau:

Tương tự:
;

.

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương 1, x3, y3 ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
;
Do đó:

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 1
Nhận xét: Với hướng giải trên ta có thể xây dựng thành bài toán tổng quát sau:
Cho các số dương a1, a2,...,an thỏa mãn a1. a2....an = 1. Chứng minh rằng:
với
Ví dụ 2: Cho a, b, c, d là các số thực dương thõa mãn a + b + c + d = 1.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
- Các biến và các biểu thức có vai trị như nhau nên trong q trình biến đổi ta
nên có xu hướng giữ ngun tính bình đẳng của chúng, biến đổi một biểu thức
và áp dụng tương tự cho toàn thể.
- Bậc của vế trái là 1, của vế phải là số hạng tự do. Do giả thiết a + b + c + d = 1
nên với mọi hằng số k ta có: k(a + b + c + d) = k

skkn


11

- Nhận xét rằng khi

thì đẳng thức xảy ra, khi đó

nên

ta xem xét việc thêm bớt vào một số hạng bậc nhất sao cho có thể rút gọn mẫu
số và giá trị của biểu thức đó khi dấu bằng xảy ra cũng là

.

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số
Ta có:

+

và

2

Tương tự ta có:

+

b (2) ;

+

2

+

a (1)

+

c (3) ;

+

d (4)

Từ (1), (2), (3) và (4)
+

+

+

+

+

+

+

+

+

(

+

+

+

)+(

(

+

+

+

)+

(

+

+

+

)+

a+b+c+d
+

) 1

1
1

(

+

+

+

)

2.3.4.5. Phương pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình
nhân hoặc từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
a) Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất là đánh giá
bất đẳng thức Cơ-si theo chiều từ phía trái sang phía phải.
Ví dụ 1: Cho ba số thực a,b,c bất kỳ. Chứng minh rằng:
(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) 8a2b2c2
Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Trước hết ta dự đốn đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Trong bất đẳng thức
trên ta nhận thấy vế trái có các đại lượng a2 + b2, b2 + c2, c2 + a2 còn vế phải
8a2b2c2 = 2ab.2bc.2ca. Như vậy đến đây hướng giải quyết bài tốn chính là từ
trung bình cộng sang trung bình nhân: a2 + b2
2ab, b2 + c2
2bc, c2 + a2
2ca
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng
, ta có:
,
,
Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:

(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) 8
= 8a2b2c2
Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c.
Nhận xét:
- Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng
thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.

skkn


12

- Nói chung ta ít gặp bài tốn sử dụng ngay bất đẳng thức Cơsi như bài tốn nói
trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử
dụng bất đẳng thức Cơ-si.
Ví dụ 2: Cho a, b ≥ 0 thoả mãn :
.
Chứng minh rằng: ab(a + b)2 ≤

. Dấu bằng xảy ra khi nào ?

( Đề thi HSG lớp 9 năm học 2015-2016 - PGD&ĐT Hậu Lộc)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra khi a = b. Bất đẳng thức trên tương
đương với bất đẳng thức
1 hay
. Vế phải
có đại lượng
,vế trái

, vì vậy ta cần biến đổi vế trái về dạng
. Ta thấy khi a = b thì
và (a + b)2 = 4ab. Vậy
ta có thể chuyển các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai
số a + b và 2
.
Lời giải:
nên: ab(a + b)2 ≤

Do giả thiết a, b ≥ 0;

64ab(a + b)2 ≤
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si dạng

64.ab(a + b)2 ≤ 1
, ta có:

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b =
Ví dụ 3: Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Đối với bài tốn dạng này chúng ta thường đánh giá mẫu bằng cách sử
dụng bất đẳng thức phụ:
. Để có được bất đẳng thức phụ trên ta
thực hiện đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân như sau:
,
.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta có:
Suy ra:

Từ đó ta có:
Chứng minh tương tự ta cũng có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:

skkn


13

Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c.
b) Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng
thức Cơ-si theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta
cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng
phương pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
(1)
(Bài 102-Nâng cao và phát triển Tốn 9-Tập 1)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
- Ta phải xác định được đẳng thức xảy ra khi a = b = c
- Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho mấy số, đó là những số nào? Nhìn vào bất
đẳng thức ban đầu ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si được mà cần phải
biến đổi về bất đẳng thức

. Đến đây ta áp

dụng đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng đối với các số
;

Lời giải :
Chia hai vế của bất đẳng thức (1) cho

, ta có :

(1) 
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 2: Cho a,b,c là ba số thực dương thõa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng
minh rằng:
.
Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
- Do vai trị của a, b,c trong biểu thức là như nhau nên ta dự đốn điểm rơi là a =
b=c=
- Ta có

, từ đó ta có a + b = b + c = c + a =

.

, Đến đây ta áp dụng đánh giá từ trung bình nhân

sang trung bình cộng đối với các số (a + b) và

.

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm dạng

skkn

14

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

.

2.3.4.6. Phương pháp thêm bớt.
Nếu ở các phương pháp trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa
vào bề ngồi của một bài tốn thì ở phương pháp thêm bớt địi hỏi chúng ta phải
có cái nhìn bao qt để sử dụng các yếu tố bên ngoài để giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(Bài 396b-Nâng cao và phát triển Tốn 8-Tập 2)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Với bất đẳng thức trên ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si
hoặc bất đẳng thức phụ khác, cũng không thể xử dụng phương pháp ghép đối
xứng. Tuy nhiên, ta để ý vế trái có các hạng tử

cịn vế phải có đại

lượng a + b + c. Như vậy ta cần triệt tiêu mẫu của các hạng tử bên trái. Vậy, ta
có thể thêm a + b + c vào vế phải và ghép cặp.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho các số dương ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:
. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(Bài 396c-Nâng cao và phát triển Toán 8-Tập 2)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Tương tự bài tập trên ta cần triệt tiêu các mẫu (b + c); (c + a); (a + b), nên
ta thêm cho

một lượng

. Nhẩm với k = 4 là phù hợp, các hạng tử cịn

lại tương tự.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho các số dương ta có:

skkn


15

+
+
+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
+

+

+

Hay

+

+

a+b+c

. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Ví dụ 3: Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Tương tự như bài tốn trên dễ dàng nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b= c = 1.
Để khử mẫu b(c + 2) ta phải thêm một lượng

. Nhẩm ta thấy với m = 3,

n = 9 là phù hợp.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho các số dương ta có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có:
+

+

a+b+c

Mặt khác theo bất đẳng thức Cơsi ta có : a + b + c
Vậy

, Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

2.3.4.7. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si trong bài tốn cực trị.
Nhận xét: Đối với bài toán cực trị, học sinh thường hay mắc sai lầm hơn
bài toán chứng minh bất đẳng thức bởi trong bài tốn chứng minh bất đẳng thức
thì học sinh có thể coi một vế là mục tiêu để cố gắng biến đổi vế kia theo mục
tiêu đó, ngồi ra đơi khi không cần xét đến điều kiện dấu bằng xảy ra. Cịn đối
với bài tốn cực trị thì học sinh khơng có mục tiêu để theo đuổi và nhiều em
mắc sai lầm khi không để ý đến điều kiện dấu “=” xảy ra, hoặc dấu bằng xảy ra
nhưng không thuộc điều kiện xác định .

skkn


16

Trong bài tốn cực trị, 2 tiêu chí quan trọng nhất mà chúng ta phải ln
bám sát đó là:
- Phải khử được biến.
- Phải đảm bảo được điều kiện cho dấu bằng xảy ra thỏa mãn điều kiện
xác định .
Như vậy ta nhận thấy phương pháp cơ bản để giải bài tốn cực trị khi
dùng bất đẳng thức Cơ-si là phương pháp khử biến. Ở dạng toán này giáo viên
cần chú ý cho học sinh những sai lầm thường gặp:
* Sai lầm về lập luận
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
(Ví dụ 36 - Nâng cao và phát triển Toán 9-Tập 1)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:

Sai lầm thường gặp:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: A = x2 + y2
2xy, dấu bằng xảy ra
2
2
khi x = y = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2 + 2 = 8, khi x = y = 2.
Phân tích:
Đáp số của bài tốn tuy khơng sai, điều kiện dấu “ =” xảy ra không sai, nhưng
lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f(x,y)
g(x,y) chứ chưa khử
được biến, tức là chưa chứng minh được f(x,y) m với m là một hằng số.
Lời giải:
Ta có: x + y = 4
x2 + 2xy + y2 16 (1)
(x – y)2 0 x2 - 2xy + y2 0 (2)
Từ (1) và (2)
2(x2 + y2) 16
A = x2 + y2 8.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8, khi và chỉ khi x = y = 2.
* Sai lầm trong tìm điều kiện xảy ra đẳng thức.
Ví dụ 2: Cho 0  x 

1
Tìm giá trị lớn nhất của A  x1  2 x 
2

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Sai lầm thường gặp:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng
2

2

(x,y

0), ta có

2

1
1
 x  1  2x 
1 x 
1 0 
A
 
 
  . Vậy Amax  .
8
2
4


 2 
 2 

Phân tích:
x  1  2x
x  0

Sai lầm ở chỗ theo cách áp dụng trên thì dấu bằng xảy ra  
không tồn tại x.
Lời giải:

1
1  2 x  1  2 x  
1
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: A  .2 x1  2 x   
 
2
2
2
8

1  1
1
Vậy Amax  . Dấu “=” xảy ra  2 x  1  2 x  x   0;  .
4  2
8
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

skkn


17
(Ví dụ 2 Tr 64-Hướng dẫn ơn tập thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:

Phân tích tử thức ta thấy
A=

=

, do đó:

=

, đến đây bai toán đã trở nên

rất đơn giản khi ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số

và

Lời giải.
A=

=

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số
A=

và

, ta có:

. Dấu “=” xảy ra khi
.

Vậy min A = 10, khi x = 4.
Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
Q=
( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2014-2015)

Lời giải:
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta đặt x = a3 , y = b3 , z = c3
 abc = 1. Khi đó ta có:
x +y + 1 = a3 + b3 + abc = (a + b)(a2 –ab + b2) + abc
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
(a + b)(a2 –ab + b2) + abc (a+b)ab +abc = ab(a + b + c)
Hay: x +y + 1 ab(a + b + c)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
y + z + 1 bc(a + b + c), z + x +1 ac(a + b + c)
Do đó: Q =

=1

Vậy GTNN của Q là 1 khi a = b = c hay x = y = z = 1
Ví dụ 4: Cho ba số thực dương x; y ; z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q=

+

+

( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2020-2021)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:
Bài tốn có nhiều biến nên để đơn giản ta nghĩ đến phương pháp đổi biến
,

,

và từ giả thiết x + y + z = xyz

=1

skkn

ab + bc + ca


18

+ 2.( a2 + b2 + c2), đến đây bài tốn đã trở nên đơn giản

Khi đó Q=

nhờ áp dụng Bất đẳng thức Cơsi.
Lời giải:
Ta có x + y + z = xyz

Đặt

 ;

 ;

dương x; y ; z nên a > 0; b > 0 ;c > 0

ab + bc + ca =1 ta có:
+ 2.( a2 + b2 + c2)

Q=
Áp dụng bất đẳng thức

vì ba số thực

,ta có:

=a+b+c
Ta lại có: a2 + b2 2ab ; b2 + c2 2bc ; c2 + a2 2ca cộng vế với vế ta có
2(a2 + b2 + c2) 2.( ab + bc + ca) a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
2
2
2
2
Mà ( a+ b+ c) = a + b + c + 2ab +2bc + 2ac nên
( a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac ab + bc + ca +2ab +2bc + 2ac =
3ab +3bc +3ca = 3(ab + bc + ca )
a+b+c
=
do đó Q=
vậy QMAX =

+ 2.( a2 + b2 + c2)

a + b + c + 2.( ab + bc + ca)

+2 dấu = xãy ra khi a = b = c =

+2

x=y=z=

2.3.4.8. Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh với b > 0 ta có:

+

Bài 2: Cho a, b,c là ba số thực thõa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Bài 4 : Cho a, b là các số dương thoả mãn : a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 5: Cho x, y > 0 tháa m·n x + y

1.

T×m giá trị nhỏ nhất của P =
2.4. Hiu qu ca sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến.
Với việc hướng dẫn học sinh tiếp thu một cách hệ thống kiến thức liên
quan đến bài toán về vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng
thức và giải toán cực trị, cùng với hệ thống bài tập ở trên, sự phân tích, gợi ý,
hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, đồng thời đã chỉ ra được mối quan hệ giữa

các bài tập đó. Tơi đã tác động tích cực được đến mọi học sinh. Tôi nhận thấy so
với trước khi áp ụng sáng kiến các em đã có phương hướng, phương pháp biết

skkn


19

phân tích tổng hợp, quy lạ về quen, khơng những tự tin mà các em cịn có kĩ
năng thành thạo trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức.Từ đó hình thành ở
học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, và tư duy cao. Đặc biệt sau khi áp
dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào giảng dạy tôi nhận thấy sáng kiến kinh
nghiệm đã có một tác động tích cực đến chất lượng giảng dạy và giáo dục của
bản thân. Tôi đã mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm trên vào buổi sinh hoạt
chuyên môn trong tổ KHTN và được đồng chí đồng nghiệp đánh giá cao, từ đó
tơi nhận thấy sáng kiến đã có tác động tích cực đến phong trào giáo dục trong
nhà trường.
2.4.2. Kết quả cụ thể.
Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy trong học kỳ II năm học 2021 2022 tôi đã tiến hành khảo sát 30 học sinh khối 9. Kết quả thu được như
sau:
Tổng
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu-kém
số HS
SL
%
SL
%

SL
%
SL
%
30

8

26,7

10

33,3

12

40

0

0

Như vậy so với khi chưa áp dụng đề tài này tỉ lệ học sinh đạt điểm khá,
giỏi tăng cao (trên 50%), đặc biệt khơng cịn học sinh khơng biết làm, đạt điểm
yếu, kém loại toán này, đảm bảo mục tiêu nâng cao chất lượng mũi nhọn.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trong các năm học vừa qua tôi thường xuyên nghiên cứu học hỏi tìm cách
khai thác trong mỗi bài tốn theo nhiều khía cạnh khác nhau, tổng hợp được các
dạng toán của một chuyên đề, nhằm làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một

cách chặt chẽ không tẻ nhạt, không đơn điệu. Các em thấy hứng thú, say mê hơn
trong học tập, tiết học sẽ trở nên sôi nổi hơn và chất lượng sẽ được nâng lên.
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy các em thảo luận rất sôi nổi, các em đã đưa
các cách giải khác nhau, các phát hiện của các em có thể đúng, có thể sai, song
người thầy phải biết trân trọng và biết khích lệ kịp thời thì sẽ giúp các em có sự
tự tin trong học tập và trong cuộc sống. Để phát huy được tính tích cực, sáng tạo
của học sinh thơng qua q trình dạy học tốn điều quan trọng nhất là người
thầy phải tập cho học sinh có thói quen tìm tịi, nghiên cứu lật đi lật lại vấn đề,
phát hiện những điểm cơ bản mấu chốt của bài toán. Tuy nhiên cách tiến hành
của giáo viên phải nhẹ nhàng, khơng gị bó mức độ phải phù hợp với học sinh.
Trên đây là những vấn đề mà bản thân tôi đúc kết được qua nhiều năm
giảng dạy chương trình tốn 9. Chắc chắn đề tài khơng thể tránh khỏi những hạn
chế thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các thầy, cô đồng nghiệp
để bản thân có những kinh nghiệm quý báu áp dụng trong q trình giảng dạy
tốt hơn.
3.2. Kiến nghị.
Cơng tác viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm đang có những tác dụng
tích cực đến phong trào giáo dục trong nhà trường và địa phương. Do đó đề nghị

skkn


20

Phòng Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục và Đào tạo tiếp tục tổ chức những buổi
học tập chuyên đề trao đổi chuyên môn. Cung cấp và phổ biến những sáng kiến
kinh nghiệm hay để giáo viên được tham khảo và học hỏi.
Hậu Lộc, ngày 19 tháng 5 năm 2022
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
NgườiNgười
thực viết
hiện

Bùi Tuấn Long

skkn