Sang kien kinh nghiem toan 8 ren HS ki nang giai toan cuc tri trong dai so

Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số

A - T VN
I. LI M ĐẦU
Trong trường phổ thơng, mơn Tốn có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức
và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các mơn học
khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời mơn Tốn cịn giúp
học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ , rèn luyện cho học sinh
khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo
đức và thẩm mỹ của người cơng dân.
Ở trưịng THCS, trong dạy học Tốn, cùng với việc hình thành cho học sinh
một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí thì việc dạy học giải các bài
tốn có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của
phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thơng. Đối với học sinh THCS, có thể
coi việc giải bài tốn là một hình thức chủ yếu của việc học tốn.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các kiến thức
cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì việc bồi dưỡng học sinh
khá giỏi là mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS
nói riêng. Do đó việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tịi sáng tạo trong q trình
giải tốn là rất cần thiết và khơng thể thiếu được.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở trường THC, tôi đi sâu
nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tơi thấy: trong chương
trình Tốn THCS "Các bài tốn về cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và
thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Ở
THPT để giải quyết các bài toán về cực trị đại số người ta thường dùng đến
"cơng cụ cao cấp" của tốn học là đạo hàm của hàm số. Ở THCS vì khơng có
(hay nói chính xác hơn là khơng được phép dùng) "cơng cụ cao cấp" của Tốn
học nói trên, nên người ta phải bằng các cách giải thơng minh nhất, tìm ra các
biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải
quyết các bài tốn loại này. Chính vì vậy, các bài tốn cực trị đại số ở THCS
không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó địi hỏi người học phải có một

cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một
cách logic có hệ thống.
Trên thực tế giảng dạy Toán 8 những năm qua tơi nhận thấy phần "Các bài
tốn cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi
dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS. Thế nhưng thực trạng học sinh trường
chúng tôi là học sinh không có hứng thú với loại tốn này, bởi lẽ các bài tốn về
cực trị đại số ở trường THCS khơng theo một phương pháp nhất định nên các em
rất lúng túng khi làm tốn về cực trị, các em khơng biết bắt đầu từ đâu và đi theo
hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết
vận dụng để giải quyết các bài tập khác.
- 1 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Thc trng ú khin tụi luụn bn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh
không thấy ngại và có hứng thú với loại tốn này?". Với trách nhiệm của người
giáo viên tơi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn phần này.
Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân
và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tịi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của các
bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm ở trường sư phạm.
Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải các bài
toán cực trị trong đại số".
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán
cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy
tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn
luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ
khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1. Đối với học sinh:
Thực trạng khi nhận chun mơn phân cơng dạy tốn 8 ở những tiết đầu tiên

tôi cảm thấy hụt hẫng trước cách học của học sinh. Để Thống kê năng lực tiếp
thu bài của học sinh tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một
hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt
chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng
của học sinh tơi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết chứng
minh như thế nào.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết quả
cho thấy.
Lớp

Sĩ số

8

49

Giỏi
SL
02

Khá
%

TB

SL

%

06

Sl
31

Yếu- kém
%

SL

%

10

Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ, một số học
sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số còn lại chủ yếu là học
sinh TB, Yếu, Kém khơng biết giải thích bài tốn như thế nào.
2. Đối với giáo viên:
Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì người giáo viên là
người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân theo SGK mà dạy bài toán này

- 2 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
ũi hi hc sinh phi t duy tốt và phải thâu tóm được kiến thức đã học để tận
dụng vào làm bài tập .
Đôi khi giáo viên áp đặt gị bó các em phải thế này, phải thế khác mà không đưa
ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề.
Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng tốn mà các em rất
ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầy phải tìm ra phương pháp phù hợp

nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài toán
“ Toán cực trị ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại sao lại phải làm như vậy. Nếu
khơng biến đổi thì có tìm được kết quả khơng ? Từ những băn khoăn đó của học
sinh , giáo viên khẳng định nếu không biến đổi như vậy thì khơng trả lời u cầu
của bài tốn.
Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các bài
toán cực trị trong đại số 8.

B . GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I . CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ..., z) với x, y, ..., z thuộc miền S nào đó
xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0, ... ,z0)  S mà ta có:
P(x0, y0, ... , z0)  P(x, y, ... , z) hoặc P(x0, y0, ... , z0)  P(x, y, ... , z) thì ta nói
P(x, y, ..., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0, y0, ...z0) trên miền S.
P(x, y, ..., z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, ...z0)  S còn gọi là P đạt cực đại
tại (x0, y0, ...z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, ...z0).
Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x 0, y0, ...z0)  S còn gọi là P đạt
cực tiểu tại (x0, y0, ..., z0) hoặc Pmin tại (x0, y0, ... , z0).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P
trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng
và phức tạp, nguyên tắc chung là:
* Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền xác định S, ta
cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P  k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
* Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền xác định S, ta

cần chứng minh hai bước:

- 3 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
- Chng t rng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
(Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên)
VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2
Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x2  0 ; (x - 2)2  0 nên A  0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng khơng?
Giải
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A 
0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức khơng
xảy ra, vì khơng thể có đồng thời:
x2 = 0 và (x - 2)2 = 0 .
Lời giải đúng là:
A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + 4
= 2(x2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2 + 2
Ta có:
(x - 1)2  0  x
 2(x - 1)2 + 2  2  x
x
 A  2
Do đó A = 2  x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.

3. Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a2  0  a , tổng quát: a2k  0  a (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0
2
* -a  0  a , tổng quát: -a2k  0  a (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0
* a  0 (Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0)
*- a  a  a

(Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0)

* a  b  a  b (Xảy ra dấu đẳng thức  ab  0)
* a  b  ab

(Xảy ra dấu đẳng thức  a  b  0 hoặc a  b  0)
1
1
* a   2  a > 0 và a   2  a < 0
a
a

- 4 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
2

a 2 b2 a b 

*
  ab
2
 2 
1
1

* a  b, ab > 0 
a
b

 a,b (Xảy ra dấu đẳng thức  a = b)

(Xảy ra dấu đẳng thức  a = b)

II . CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
(Một số dạng bài tốn cực trị trong đại số)
Thơng qua các bài tốn trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến hành
phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số ở
THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng
dạng tốn đó. Sau đây là một s dng c bn thng gp:
Dạng 1: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biĨu
thøc lµ TAM THøC BËC HAI

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x2- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng
A(x)  k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng
thức.
Lời giải:

A(x) = x2 - 4x + 1
= x2 - 2.2x + 1
= (x2 - 2.2x+ 4) - 3
= (x - 2)2 - 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)2  0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)2 - 3  - 3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
Đáp số: A(x)nhỏ nhất = - 3 với x=2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x2- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải
- 5 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Gi ý: tỡm giỏ tr ln nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) về
dạng B(x)  k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của
B(x) = k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
B(x) = -5x2 – 4x+1

Lời giải:

4

x) +1
5

= -5 (x2 +
=-5

2
2
 2
2
2 2 
 x  2. x         1
5
 5   5  


2

2
4

5
x




 1
=
5

25




2

2 4

x


  1
= -5
5 5

2

2
9

= -5  x   
5
5

2

2

2

2
Với mọi giá trị của x:  x    0 nên -5  x    0
5





5

2

9
9
2
suy ra: B(x) = -5  x   + 



5

5

5

Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất khi B(x) =
Đáp số: B(x)lớn nhất =

9
2

khi x = 5
5

9
2
với x = 5
5

Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P =
a.A2(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất
hoặc lớn nhất.
Lời giải:

P = a.A2(x) + k

- 6 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
= a (x2 +

b
x) + c
a

2
b
b2 
b2
 a x  2.x.  2   c  2
2a 4a 
4a

2

b 

 a x    k với
2a 


k c

b2
4a 2

2

b 

Do  x    0 nên:
2a 

2

b 

+ Nếu a > 0 thì a  x    0 do đó P  k
2a 

2

b 

+Nếu a < 0 thì a  x    0 do đó P  k
2a 

Vậy khi x = -

b
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
2a

hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nu a < 0)
dạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT
CủA ĐA THứC BậC CAO
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x2 + x + 1)2
Hướng dẫn giải
(?) Ta nhận thấy A = (x2 + x + 1)2  0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có phải
bằng 0 hay khơng? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A  0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì:
x2 + x +1 ≠ 0. Do đó Amin  (x2 + x +1)min
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + x +1 và tìm giá trị nhỏ nhất của A?
2

1
1
1 1
3
3
Trả lời: Ta có x + x +1 = x + 2x. + - + 1 =  x   + 
2
4 4
4
4
2

2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + x + 1 bằng

3
1
với x = 4
2

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9
- 7 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Hng dn gii
Gi ý: Hóy vit biu thức dưới dạng A2(x) + B2(x)  0

-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bao
nhiêu?
x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9

Lời giải:

= x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32
= (x2 - 3x)2 + (x - 3)2  0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x2–3x = 0

x(x-3) = 0


x–3=0

x=0


x–3=0

x=3

x=3

x=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
D¹NG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT

CủA ĐA THứC Có CHứA DấU GIá TRị TUYệT §èI
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = / x – 2/ + / x – 5/
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghĩ tới các
khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
A nếu A  0
/A/ =
- A nếu A  0
Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng
nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị
nhỏ nhất của A.
Lời giải

- 8 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
+ Trong khong x < 2 thỡ : / x – 2/ = - (x -2) = 2 - x
/ x – 5/ = - (x - 5) = 5 - x
 A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x

Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x > 3
+ Trong khoảng 2  x  5 thì :

/x–2/=x-2

/ x – 5 / = - (x - 5) = 5 - x
 A=x-2+5-x=3

+ Trong khoảng x > 5 thì :

/ x – 2/ = x - 2

/x–5/=x-5
 A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7

Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của A
bằng 3 khi và chỉ khi 2  x  5
Đáp số: Amin = 3 khi và chỉ khi 2  x  5

Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn
hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối.Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải:
Ta có:

A= /x–2/+ x5 = /x-2/+ 5 x
/x–2/ +/5–x/  /x-2+5–x /=3
x-2  0
A=3

 (x - 2) (5 - x)  0
5–x  0
 2x5

- 9 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Vy giỏ tr nh nht ca A bằng 3 khi và chỉ khi 2  x  5

DạNG 4: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA PHÂN
THứC Có Tử Là HằNG Số, MÉU Sè Lµ TAM THøC BËC HAI

Ví dụ 7:

Tìm giá trị lớn nhất của M =

3
4x - 4x  5
2

Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a  b, ab > 0 

1
1

hoặc theo quy tắc so sánh
a
b

hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải:
3
3
3
=
=
2
4x - 4x  5

(2 x)  4 x  1  4
(2x - 1)2  4

Xét M =

2

Ta thấy (2x - 1)2  0 nên (2x - 1)2 + 4  4
Do đó:

3
3

2
4
(2x - 1)  4

1
3
khi 2x – 1 = 0 => x =
4
2

Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng
Đáp số: Mlớn nhất=
Ví dụ 8:

3
1
với x =

4
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

1
2x - x 2 - 4

Hướng dẫn giải:
Ta có: B =
Vì
=>

1
=2x - x 2 - 4

1
1
= x - 2x  4
(x - 1)2  3
2

(x - 1)2  0 => (x + 1)2 + 3  3
1
1
=> 
2
3
(x - 1)  3

1
1
 2
3
(x - 1)  3

- 10 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Vy B nh nht bng -

1
khi x – 1= 0 => x =1
3

Đáp số: Mnhỏ nhất = -

1
với x = 1
3

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận rằng
M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ
nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

1
x 3
2

Mẫu thức x2 - 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì

1
1
= - khơng phải là giá trị lớn nhất của phân
3
x 3
2

thức
Chẳng hạn với x = 2 thì

1
1
=1>3
x 3
2

1
1
>
3
1

Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra Vậy từ a < b chỉ suy ra được

1
1

> khi a v b cựng du .
b
a

DạNG 5: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA PHÂN
THứC Có MẫU Là BìNH PHƯƠNG CủA NHị THứC.

Vớ d 9 :

Tỡm giá trị nhỏ nhất của A =

x2  x  1
( x  1) 2

Cách1:
Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi biến bằng cách viết
A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của

1
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất
x 1

của A.
Lời giải:

Ta có: x2 + x + 1 = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)2 - (x + 1) + 1

Do đó : A =

( x  1) 2 ( x  1)
1
1
1
=1+


2
2
2
x 1
( x  1)
( x  1)
( x  1) 2
( x  1)

- 11 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
t y =

1
khi ú biu thc A trở thành:
x 1

A = 1 - y + y2 = y2 – 2.y.

Ta có:

A = 1 - y + y2

1
1
3
+ ( )2 +
2
2
4

2

3
3
1
=  y   +

4
4
2


3
khi và chỉ khi:
4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
y

1

1
1
1
0 y  

2
2
x 1 2

 x+1=2
 x=1

Đáp số:

Anhỏ nhất =

3
khi x = 1
4

Cách 2:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:

A

x2  x  1

 x  1

2



4x2  4x  4
4  x  1

A

3( x  1) 2  ( x  1) 2
4( x  1) 2

A

3 ( x  1) 2

4 4( x  1) 2

3  x 1 
A 

4  2( x  1) 

A=

2



3x 2  6 x  3  x 2  2 x  1

2

3  x 1  2
+
 
4  2( x  1) 

3
4

- 12 -

4  x  1

2


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Vy giỏ tr nh nht ca A bng

3
khi x-1=0 x=1
4

ỏp s: Anhnht=

3
khi x=1

4

DạNG 6: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA MộT BIểU
A( x)
A( x)
THứC ĐạI Số BằNG CáCH ĐƯA Về DạNG
0 HOặC
0
2
k
k2

Vớ d 10: Tỡm giỏ tr ln nhất của biểu thức:

3x 2  6 x  10
M(x) = 2
x  2x  3

(Với x thuộc tập hợp số thực)
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Từ M(x) =

3( x 2  2 x  3)  1
3x 2  6 x  9  1
3x 2  6 x  10
ta
có:
M
=
=

(x)
x2  2x  3
x2  2x  3
x2  2x  3

(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x2 + 2x + 3 được
khơng? Vì sao?
Trả lời: Vì x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + 2 > 0 với mọi giá trị của x.
nên có thể chia cả tử và mẫu cho x2 + 2x + 3 ta được : M(x) = 3 +

1
( x  1) 2  2

(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của

1
từ đó suy ra giá trị lớn nhất của M(x)
( x ) 2  2

Trả lời: Vì (x+1)2  0

Với mọi x

Nên (x+1)2 + 2  2

với mọi x

Do đó

1
1

2
2
( x  1)  2

Từ đó ta có: M(x) = 3 +

1
( x  2) 2  2

1
1
1
=3
 3+
2
2
2
( x  1)  2

- 13 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Du = xy ra khi x+ 1=0 hay x= -1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3

1
khi và chỉ khi x=-1
2

Đáp số: M(x)Lớn nhất =3

1
với x = -1
2

C. KẾT LUẬN
1. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sau khi áp dụng các cách giải bài toán cực trị trong đại số 8 thực tế học sinh dần
dần chú trọng khi giải tốn chứ khơng lúng túng như trước.
Kết quả tôi đã thu được sau khi áp dụng đề tài này được thể hiện ở bảng sau:
Lớp

Sĩ số

8

49

Giỏi
SL
05

Khá
%

SL
10

TB
%

Sl
34

Yếu- kém
%

SL

%

0

2. Kết quả
Sau khi thực hiện giảng dạy phần “ Các bài toán cực trị trong đại số 8”
theo nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu được khá khả quan.
Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải biến đổi đồng
nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các hằng đẳng thức
đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các
kiến thức chứng minh đẳng thức bởi thế nói các bài tốn cực trị đại số 8 tạo ra
khả năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các
biểu thức đại số, kĩ năng tính tốn, khả năng tư duy.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong đại số 8 có
phương pháp hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết các bài tập có liên
quan kích thích được sự đam mê học tốn nói chung và sự say mê giải các bài

tốn cực trị nói riêng.
u cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng tư duy tích cực độc
lập, sáng tạo của học sinh thơng qua hoạt động giải tốn đã được học.
Về mặt tư tưởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức
thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn làm được
những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất.
3. Bài học kinh nghiệm:
- 14 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Vi ti Hng dn hc sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại
số” Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị
trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tơi có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ ,
trong mỗi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần
thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải được.
Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp
cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài tốn cực trị trong đại số 8.
Bên cạnh đó tơi cịn đưa ra các ví dụ là các bài tốn tổng hợp các kiến thức và kĩ
năng tính tốn, khả năng tư duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say mê
hứng thú học tập bộ mơn Tốn.
Tuy nhiên trong q trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học sinh cịn bỡ ngỡ
trong q trình giải các bài tốn cực trị, lập luận chưa có căn cứ, suy diễn chưa
hợp logic và đặc biệt là một số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian khơng nhiều, do trình độ
năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo cịn hạn chế lại chưa có kinh nghiệm
trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên trong cách trình bày khơng tránh khỏi
những sơ xuất thiếu sót . Rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô
và và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong q trình giảng dạy
của mình trong thời gian sau.

ngày 14 tháng 11 năm 2012
X¸C NHậN CủA NHà TRƯờNG

NGƯờI VIếT

TI LIU THAM KHO:
- 15 -


Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
1. SGK Toỏn 8- NXB Giỏo dc- Phan Đức Chính, Tơn Thân.
2. SBT Tốn 8 – NXB Giáo dục- Tơn Thân chủ biên
3. Tốn nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dục- Nguyễn
Văn Lộc.
4. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 Đại số-NXB Giáo dục
Trần San
5. Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hồng Chúng Chủ biên
6. Các bài tốn đại số hay và khó – NXB Giáo dục Nguyễn Đễ
7. PP dạy học mơn tốn – NXB Giáo dục Phạm Gia Đức.

- 16 -