Skkn rèn luyện kĩ năng sử dụng phương trình đặc trưng vào giải các một số dạng toán về phương trình và giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit cho học sinh lớp 12

1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Giải bài tập Tốn là phần quan trọng, khơng thể thiếu trong mơn Tốn học,
làm bài tập khơng những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà
đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập giải phương trình
và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất là những bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều
trong các đề thi ở mức độ cao. Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong
hệ thống SGK phổ thơng được trình bày khá đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp
12, và khơng phân loại dạng tốn, phương pháp. Điều này gây khó khăn rất
nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng tốn và phương pháp giải
tốn cho học sinh.
Chính vì vậy, bản thân tơi luôn luôn trăn trở, hết sức quan tâm đầu tư, suy
nghĩ để làm sao có được phương pháp giảng dạy chủ đề này phải đơn giản, giảm
bớt khó khăn và tính trừu tượng, đưa vấn đề khó trở về với những phần kiến
thức đã biết, gần gũi.
Chủ đề phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ - Logarit
là nội dung quan trọng và khó đối với học sinh, các câu hỏi dạng này cũng được
khai thác khá nhiều trong các đề thi, kiểm tra thể hiện ở mức vận dụng thấp và
vận dụng cao; đặc biệt trong đề thi tốt nghiếp THPT mơn Tốn thi ở hình thức
trắc nghiệm thời gian dành cho mỗi câu trả lời chỉ khoảng 2 phút thì các bài tốn
cực trị của biểu thức ít được đề cập thì bài tốn về phương trình, bất phương
trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ và Logarit luôn được xem là
phương án thay thế hợp lý trong việc phát hiện tính sáng tạo trong giải tốn cho
học sinh.
Từ năm 2017 đến nay và các năm tiếp theo Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức
thi môn Tốn dưới hình thức trắc nghiệm khách quan nên việc trang bị cho học
sinh các kiến thức, kĩ năng để giải bài tốn về phương trình và GTLN – GTNN
của hàm số Mũ - Logarit (bài toán vận dụng, vận dụng cao) trong thời gian ngắn
một cách chính xác và không phạm sai lầm cũng rất quan trọng.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Rèn

luyện kĩ năng sử dụng phương trình đặc trưng vào giải các một số dạng toán

skkn


2
về phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit cho
học sinh lớp 12”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng các phương pháp phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của
hàm số Mũ - Logarit và rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong việc giải quyết các
dạng toán về nhằm hồn thành bài thi trắc nghiệm khách quan mơn Tốn đạt kết
quả cao.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Xây dựng các phương pháp, phân loại các dạng bài tốn phương trình và
giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ – Logarit bằng cách sử dụng hàm đặc
trưng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu định tính, định lượng và thực nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Hàm số đồng biến, nghịch biến
- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K
Hàm số f đồng biến trên
Hàm số f nghịch biến trên

nếu
nếu

[1]

- Nhận xét:
Cho

xác định trên K, ta có: Với

2.1.2. Phương pháp chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến
- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số
pháp sau:
* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa [1]
+ Lấy

, lập tỉ số

+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu
Nếu

thì hàm số f đồng biến

Nếu

thì hàm số f nghịch biến biến

skkn

trên K ta dựa vào 2 phương


3
*Phương pháp 2: Dùng đạo hàm [2]

Định lí : Giả sử hàm số

có đạo hàm trên khoảng

.

a) Nếu

với mọi

thì hàm số đồng biến trên khoảng

b) Nếu

với mọi

thì hàm số nghịch biến trên khoảng

c) Nếu

với mọi

thì hàm số khơng đổi trên khoảng

.
.
.

- Nhận xét:
+ Nếu

trên cho

chỉ tại một số hữu hạn điểm của
( hoặc

thì có thể mở rộng định lí

).

+Nếu chứng minh hàm số đồng biến( nghịc biến) trên
tính chất hàm số phải lên tục trên

thì thêm

và thỏa mãn định lí trên.

+ Học sinh cần phân biệt tính đơn điệu của hàm số trên Tập xác định khác
với việc hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng của Tập xác định.
2.1.3. Tư duy hàm số về phương trình
Định lí 1: Nếu hàm số

luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục

trên D  thì số nghiệm của
khi và chỉ khi

trên D
với mọi

khơng nhiều hơn một và

thuộc D.

Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a)=k và f đồng

Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1].
- Mục 2.1.2 tác giả tham khảo có bổ sung từ TLTK [1], [2].
biến trên D nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vơ nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vơ nghiệm
Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.

skkn


4
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) ln đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm trên
của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).
Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vơ nghiệm
*Nếu xVậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
 
 Định lí 3: Nếu hàm số

luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục

trên k khoảng rời nhau thì phương trình

có nhiều nhất k nghiệm .

Chứng minh:
Theo Định lí 1, trên mỗi khoảng phương trình
nên trên k khoảng rời nhau phương trình

có nhiều nhất 1 nghiệm
có nhiều nhất k nghiệm.

2.1.4. Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình
Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số của phương trình”
Bài tốn: Giải phương trình : “h(x) = g(x)”

(1)

Bước giải toán:
Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x) trên D
Bước2: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
đa của phương trình (2).

trên D để suy ra số nghiệm tối

Bước 3: Chỉ ra đủ số nghiệm cần thiết và kết luận cho phương trình (1).
Dạng 2: “Khảo sát hàm đặc trưng của phương trình”
Bài tốn: Giải phương trình : “h(x) = g(x)”
Bước giải toán:

skkn

(1)


5
Bước 1: Biến đổi (1) về dạng
Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng
Bước 3: Kết luận: (1)

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

u(x) = v(x).

2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM
2.2.1.Thuận lợi:
Nội dung phương trình, hệ phương trình được học sinh làm quen từ THCS
nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.

Trong trang này: Mục 2.1.3 tác giả tổng hợp từ TLTK [5]. Mục 2.1.4 do tác
giả viết.
Phương trình, hệ phương trình xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh
giỏi, tuyển sinh vào 10 cho đến các kì thi THPT Quốc Gia nên học sinh được
làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội
dung cũng như dạng tốn.
2.2.2. Khó khăn:
Do đây là một nội dung khó, lại xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu
phân loại khó nên đa số các bài tốn để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây cho
học sinh một thói quen rằng: bài tốn rất khó và khơng có động lực để vượt qua.

Thậm chí một phần lớn học sinh xác định bỏ ln phần này, không để ý rèn
luyện.
Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối
lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân
biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài
tốn.
Đa số học sinh giải tốn theo thói quen, mị mẫm để giải toán chứ chưa
thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp. Do đó hiệu quả học và giải toán
chưa cao. Việc vận dụng tư duy hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình
cịn mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, các dấu
hiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin khi vận dụng giải toán.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp hàm số, các dấu hiệu nhận biết một hệ
phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số và các kĩ thuật “ép hàm đặc
trưng” khi giải hệ phương trình.

skkn


6
2. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
2. 3.2.1 GP1: Tư duy hàm số giải hệ phương trình
Có nhiều cách khác nhau để phân loại tư duy hàm số trong giải hệ phương trình, nhưng tựu
chung lại có thể chia thành 4 dạng cơ bản như sau:

Dạng Tốn

Dấu hiệu phân loại

Dạng 1

Một phương trình trong hệ thu được phép thế bằng phương
pháp hàm số.

Dạng 2

Sau phép thế, phương trình thu được giải bằng phương pháp
hàm số.

Dạng 3

Hệ phương trình giải hồn tồn bằng phương pháp hàm số
(Kết hợp của Dạng 1 và dạng 2)

Dạng 4

Sử dụng tư duy hàm số trong q trình trung gian giải tốn hệ
phương trình ( Tư duy hàm số xuất hiện sau các phép ẩn phụ,
biến đổi, đánh giá …)

Trong trang này: Mục 2.2; 2.3.1; 2.3.2.1 do tác giả viết.
2.3.2.2 GP2: Giải các hệ thường gặp bằng phương pháp hàm số.
Một số hệ phương trình thường gặp khi giải theo phương pháp truyền thống sẽ
gặp khó khăn hoặc khơng giải được thì nhờ tư duy hàm số có thể giải quyết
nhanh chóng. Đây là một bổ sung hiệu quả, toàn diện cho học sinh về tư duy
giải hệ phương trình.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :

skkn

7
Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 quen thuộc đối với học sinh.
Tuy nhiên định hướng giải bằng phép trừ 2 vế tương ứng các phương trình trong
hệ để thu được nhân tử
là khơng giải được. Do đó tư duy hàm số khi nhìn
thấy vai trị bình đẳng của các ẩn giúp ta xử lí trọn vẹn bài tốn này
Lời giải
Từ hệ phương trình ta có :
với

là hàm số xác định trên

.

Mà :
Suy ra hàm số

đồng biến trên

.

Do đó:
Thay vào pt trong hệ ta thu được pt:

Xét hàm số :

trên

Ta có:
Khi đó:
Hàm số
Mà

nghịch biến trên

có tối đa một nghiệm trên

, nên pt

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất:

.

Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh nhận ra ngay hệ đối xứng loại 2

skkn


8
nhưng lại khơng biết cách xử lí để thu được phép thế

, vì cứ tập trung biến

Trong trang này: Ví dụ 1 do tác giả đề xuất, lời giải của tác giả.
đổi mà khơng nghĩ đến vai trị bình đẳng trong tư duy hàm số. Phương trình thu
được sau phép thế , học sinh có thể giải bằng phương pháp liên hợp khơng hồn
tồn nhưng cuối cũng vẫn phải dùng tư duy hàm số mới giải quyết được.

Sau quá trình giải tốn ví dụ 1, học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm số
là ngắn gọn và dễ thực hành hơn cả. Điều đó phản ánh ưu điểm của tư duy hàm
số đối với bài tốn này.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 quen thuộc đối với học sinh.
Tuy nhiên định hướng giải bằng phép ẩn phụ
là khó khăn vì
phép biến đổi dài. Phép bình phương cũng sẽ gặp khó khăn vì số bậc tăng
nhanh. Tư duy hàm số giúp ta giải nhanh bài toán này.
Lời giải
Điều kiện :
Từ hệ ta có :

(*)

với

là hàm số xác định trên

.

Mà :
(Vì

thì

Mà hàm số
Suy ra hàm số

, cịn

thì

nên

liên tục trên
đồng biến trên

Mặt khác:

skkn

.

)


9

Suy ra:
Trường hợp 1:

, do đó xảy ra các trường hợp sau:
. Nhận thấy

thỏa mãn hệ đã cho.

Trường hợp 2:
Khi đó:

pt(*) vơ nghiệm nên hpt vơ nghiệm.

Trường hợp 3:
Khi đó:

pt(*) vơ nghiệm nên hpt vơ nghiệm.

Kết luận: Hệ pt có nghiệm duy nhất

.

Trong trang này: Ví dụ 2 do tác giả đề xuất, lời giải của tác giả.
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh nhận ra ngay hệ đối xứng loại 1,
tuy nhiên phép bình phương hoặc đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn nên đa số học
sinh khơng hồn thành lời giải bài tốn.
Lời giải bài toán ấn tượng khi sáng tạo được: “phép cộng hàm số và ép hàm
đặc trưng” .

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

[3].

Tư duy: Đây là hệ phương trình hốn vị vòng quanh quen thuộc đối với học
sinh. Hệ giải được bằng phương pháp hàm số khi các hàm đặc trưng hoặc đồng
biến hoặc nghịch biến trên toàn miền khảo sát nghiệm.
Lời giải

skkn

10

Điều kiện

. Hệ pt

Xét hàm số

đồng biến trên

, vì:
.

Hàm số

nghịch biến trên

Giả sử

là nghiệm của hệ, ta chứng minh ;

Xét

: Ta có:

Xét

, tương tự

Ta chỉ xét
Vậy nghiệm của hệ:

.

. Lập luận như trên ta được:
.Giải pt

ta có nghiệm duy nhất

.

.

Nhận xét
Bài toán này học sinh đã được học tư duy hàm số nên đội tuyển Tốn THPT
Hoằng Hóa 3, năm học 2014 - 2015 đều giải trọn ven.

Trong trang này: Ví dụ 3 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [3].
2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có
thể giải được bằng phương pháp hàm số.

skkn


11
Việc chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng để học sinh nhận biết một hệ phương trình có
thể giải được theo tư duy hàm số là một điều cần thiết. Các dấu hiệu đặc trưng
được thơng qua các ví dụ cụ thể đã được tiến hành với các quá trình giải toán
của học sinh như sau:

Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình :

[4].

Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số,
do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này.
Lời giải
Điều kiện:

với hàm số

(*). Đặt

phương trình (1) có dạng:

nghịch biến trên

.

Vậy ta có:
Khi đó phương trình (2) có dạng:

(Vì hàm số

đồng biến trên khoảng

KL: Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là:

)

.

Nhận xét
Đây là một bài toán hay và học sinh thực hành bài toán này đã rèn luyện được
nhiều kĩ năng khi giải hệ phương trình bằng tư duy hàm số.
Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số

skkn


12
Đây là dấu hiệu thường gặp khi giải hệ phương trình theo tư duy hàm số.
Ví dụ 5. Giải hệ pt :

[4].

Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm
ẩn số

và

, do đó ta có thể tư duy hàm số tìm phép thế .

Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu là do tác giả phát hiện và
viết.
Ví dụ 4, ví dụ 5 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4].
Lời giải
Điều kiện:

(*).

Khi đó:
Hàm số

.
đồng biến trên

nên:

Thế vào phương trình cịn lại, ta được:
Đặt

(3).

, phương trình (3) trở thành hệ:

Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được:

Thế vào hệ:
Với

.
,thoả mãn (*). Vậy, hệ đã cho có nghiệm:

.

Nhận xét
Đây là đáp án của đề thi, việc giải phương trình (3) cũng tương đối lắt léo, nếu
học sinh khơng quen dạng chắc chắn gặp khó khăn,thậm chí là khơng giải được.

skkn


13
Trong thực tiến khi dạy học sinh, bài toán này một số học sinh giỏi đã giải
phương trình (3) theo hướng sáng tạo theo tư duy hàm số.

Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép thế
Đây là một đặc trưng khá hay, nó là thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp
cho việc giải một bài toán. Khơng có phương pháp vạn năng để giải mọi bài
tốn, vì vậy cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống các
phương pháp giải tốn để giải quyết một bài tốn.

Ví dụ 6. Giải hệ pt :

[5].

Tư duy: Hệ phương trình này dấu hiệu hàm số khơng xuất hiện ngay ban đầu, có
chăng chỉ xuất hiện “trung gian khi xử lí phương trình sau phép thế”.
Lời giải
Điều kiện

. Ta có :

và

.
.

Suy ra:

. Đẳng thức xảy ra:

Thế vào phương trình (2) ta có:

Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu là do tác giả phát hiện và
viết.
Ví dụ 6 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả.

skkn


14

Vấn đề là ta giải phương trình (3) bằng tư duy hàm số
Với mọi

Hàm số :

nghịch biến trên

.

Do đó, với mọi

ta có:

hay pt(3) vơ nghiệm

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất

Nhận xét
Đây là một thao tác thường gặp khi giải phương trình thu được sau phép thế.
Học sinh đã được học tư duy hàm số cho phương trình nên chủ động đánh giá
phương trình (3) bằng hỗ trợ của Máy tính cầm tay.

skkn


15
2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” trong giải hệ phương trình
Khi giải hệ phương trình nếu một phương trình có dạng hàm đặc trưng, mà hàm
đặc trưng lại luôn đồng biến (hoặc nghịch biến trên một khoảng cùng chứa
) thì chúng ta thu ngay được phép thế
, và chuyển việc giải hệ về giải
phương trình một ẩn. Tuy nhiên có một số hệ mà : việc xuất hiện hàm đặc trưng
chưa có ngay, hàm đặc trưng trên nhiều khoảng, hàm đặc trưng chưa chịu đồng
biến, nghịch biến..... chúng ta phải “ép” nó thành hàm đặc trưng chính quy để
giải toán.
Sau đây là một số kĩ thuật cơ bản

Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng về từng khoảng đồng biến (nghịch biến).
Mục đích: Bằng đánh giá điều kiện kéo theo từ phương trình cịn lại của hệ
hoặc đánh giá về dấu để u, v nằm cùng một khoảng mà hàm đặc trưng đồng
biến hoặc nghịch biến
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
[5].

Tư duy: Pt(1)

với

Mà:
Hàm

trên

.

đang đổi dấu theo t
này nghịch biến trên

và đồng biến trên

Vấn đề : Ta phải dùng pt(2) để ÉP cho

vào cùng mỗi tập A, B

Thật vậy, ta có ĐKXĐ ở pt(2) là:
Khi đó, xảy ra các trường hợp sau:
TH1:

, suy ra ta ÉP được

skkn

vào A


16
TH2:

, suy ra ta ÉP được

vào B

Nói tóm lại: Ta “ép hàm đặc trưng” về từng khoảng đồng biến B hoặc nghịch
biến A
Lời giải
Từ suy luận trên dẫn tới phép thế:

, và ta thu được phương trình:

: Phương trình này có nhiều cách giải .
Nhận xét
Đây là một kĩ thuật hay và sáng tạo, học sinh rất thích thú với việc tạo ra kĩ thuật
này. Điều đó thơi thúc học sinh chỉ động tìm kiếm các kiến thức mới, kĩ thuật
giải tốn mới.
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình

[4].

Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số,
do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này.

Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo và
trình bày.
Ví dụ 7 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả.
Lời giải
Điều kiện:

và

(*)

Xét pt(1): Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành:
(3)

skkn


17
Hàm số:

nghịch biến và

đồng biến trên

Mà t = 1 thỏa mãn (3), nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Vậy:
Ta có
Hàm số
trên
nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng
.
Vấn đề : Ta phải ÉP cho
vào cùng mỗi tập A, B

và

Thật vậy:
Với

ta có

thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Từ
Với

ta có:

Suy ra với

ta ln có

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Nhận xét
Lời giải trên là đáp án chính thức, tuy nhiên trong quá trình giảng dạy các lớp
học sinh giỏi, học sinh có những cách giải rất sáng tạo khi dùng tư duy hàm số.
Chẳng hạn: Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành:
.
Hay để ép

vào cùng mỗi tập A, B, học sinh dùng phản chứng như sau:

Giả sử
suy ra
hoặc
đều dẫn đến phương trình (4) vô nghiệm.

skkn

, mà hai trường hợp này


18

Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo và
trình bày.
Ví dụ 8 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4].
Kĩ thuật 2: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng cách xét dấu cho biến
Mục đích: Hệ phương trình “có phương trình gần dạng hàm đặc trưng” nhưng
vì dấu của u,v chưa xác định nên hàm đặc trưng chưa xuất hiện. Bằng đánh giá
kéo theo từ hai phương trình, ta sẽ chỉ ra được dấu của u,v, từ đó thu được hàm
đặc trưng.
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
[5].
Tư duy: Xét

:

Pt(1)
Vấn đề : Ta phải dùng đánh giá để ÉP dấu cho y để đưa vào căn bậc hai
Thật vậy:
Ta có ĐKXĐ ở phương trình (2) là:

(*)

Chưa được????. Nhận thấy phương trình (1) có

suy ra

. Do đó , từ (*) suy ra

Nói tóm lại: Ta ÉP được
đồng biến trên

(Vì

nên
thì (*) khơng thỏa mãn)

nên có hàm đặc trưng :

và

.

Lời giải

skkn


19
Từ suy luận trên dẫn tới phép thế:

, và ta thu được phương trình:

: Phương trình này có nhiều cách giải .
Nhận xét

Một kinh nghiệm giải Toán chất lượng, học sinh thấy được vẻ đẹp của bài Tốn.
Phương trình
học sinh giải được bằng nhiều cách trong
đó có cả cách giải bằng tư duy hàm số.
Kĩ thuật 3: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng qua phép giải toán trung gian
Mục đích: Hệ phương trình chưa có phương trình nào dạng hàm đặc trưng
nhưng bằng các phép giải toán ( phép thế, đặt ẩn phụ,thêm bớt biểu thức...) sẽ
làm xuất hiện hàm đặc trưng.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình:

Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo và
trình bày.
Ví dụ 9 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả.
Tư duy: Hệ này có x, y độc lập nên khả năng biến đổi để có hàm đặc trưng
Nhận thấy Pt(1) tăng bậc cho y bằng ẩn phụ:
Pt(1) được chuyển thành:
với
hàm đồng biến trên

là

.

Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng ẨN PHỤ.
Lời giải
Từ suy luận trên dẫn tới phép thế:

, và ta thu được phương trình:

: Phương trình này có nhiều cách giải .

skkn


20
Nhận xét
Hệ phương trình này,học sinh cảm giác khó khăn, cảm giác khó xử lí. Tuy nhiên
tư duy hàm số sau phép ẩn phụ đã giải quyết bài toán nhẹ nhàng.

Ví dụ 11. Giải hệ phương trình :
Tư duy: Hệ này có khả năng biến đổi để có hàm đặc trưng vì VT(2) có dạng
hàm số của .
Xét Pt(1) có khả năng thế x qua y để thay vào PT(2) mà x,y độc lập để sinh ra
hàm đặc trưng.
Thật vậy: Từ Pt(1) ta thu được:

Thế vào pt(2) ta được:
với

là hàm đồng biến trên

.

Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng RÚT ẨN VÀ THẾ
Lời giải
Từ suy luận trên dẫn tới phép thế:

, và ta thu được phương trình:

: Phương trình này có nhiều cách giải.

Nhận xét
Việc giải hệ phương trình bằng phép thê học sinh đã được tiếp cận nhiều.Tuy
nhiên kết hợp phép thế trong tư duy hàm số là một tư tưởng khá sáng tạo. Học
sinh rất thích với kiểu biến đổi này trong tư duy hàm số giải hệ phương trình.

Ví dụ 12. Giải hệ phương trình :

skkn


21
Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo và
trình bày.
Ví dụ 10, ví dụ 11, ví dụ 12 do tác giả đề xuất và giải tốn.
Tư duy: Hệ này có dáng dấp của hệ đánh giá và dùng hàm nối. Tuy nhiên hàm
nối ở đây có dạng hàm đặc trưng.
Khử

từ

hệ

ta

thu

được

phương

trình:

với
Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng PHÉP THẾ.
Lời giải
Từ suy luận trên dẫn tới phép thế:
đơn giản.

, và ta thu được phương trình bậc hai

Kĩ thuật 4: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng phương pháp hệ số
Mục đích: Hệ phương trình chưa có phương trình nào dạng hàm đặc trưng
nhưng bằng phương pháp hệ số sẽ làm xuất hiện hàm đặc trưng.
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình

Tư duy: Hệ này có hai phương trình mà
độc lập, do đó ta cần phối hợp hai
phương trình để làm xuất hiện hàm đặc trưng.

Ta xét phương trình với hệ số

:

Nhận thấy: Nếu có hàm đặc trưng thì

skkn

phải là bội nhóm căn

,

22
Khi đó xét:
Ta thu được:
với

là hàm đồng biến trên

.

Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng phương pháp hệ số.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với đồng nghiệp
- Giúp đồng nghiệp có những định hướng cơ bản và phương pháp dạy cho
học sinh trong q trình dạy ơn thi tốt nghiệp THPT phần cực trị của số phức.
- Giúp đồng nghiệp có những hệ thống lý thuyết, ví dụ minh họa, bài tập từ
nhận biết đến vận dụng cao để rèn luyện kĩ năng, trau dồi phương pháp cho học
sinh giải các bài toàn cực trị số phức.
2.4.2. Đối với học sinh
- Giúp học sinh nắm vững kĩ năng giải các bài toán phần cực trị ôn thi tốt
nghiệp THPT.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận: Trong nhiều năm dạy học của mình, đặc biệt là năm học
2020 – 2021 tác giả có ôn thi tốt nghiệp THPT và đã rút ra được một số kinh
nghiệm trong việc dạy ôn thi phần cực trị số phức. Qua bài viết tác giả đã đưa ra
được một số vấn đề sau:
- Phương pháp giải các bài toán về modul số phức, đặc biệt là một số lưu ý
giúp học sinh dễ tiếp thu và hiểu sâu sắc phương pháp giải bài toán cực trị số
phức.

- Trình bày một số ví dụ điển hình và xây dựng hệ thống bài tập (phần phụ
lục) để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải một cách linh hoạt,
không bị bế tắc về hướng giải quyết bài toán cực trị khi đứng trước nhiệm vụ.
3.2. Kiến nghị: Đây là nội dung hay và khá quan trọng trong q trình ơn
thi mơn Tốn. Vì vậy tác giả xin đề nghị các thầy, cô và các em học sinh nghiên
cứu đọc và áp dụng trong quá trình dạy – học của mình đồng thời tiếp tục bổ
sung để đề tài được hồn thiện hơn trong q trình sử dụng. Đặc biệt cần xây
dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm nhiều hơn nữa để học sinh luyện tập và củng
cố.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nghi Sơn, ngày 18 tháng 5 năm 2022
Tơi xin cam đoan tồn bộ nội dung đề tài
trên là do bản thân tôi nghiên cứu và thực
hiện năm học 2021 - 2022 không sao chép

skkn


23
nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

Nguyễn Văn Hữu

skkn