Bài tập Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số26984
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (442.25 KB, 16 trang )
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài tốn chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f x
Bước 1: Dự đoán và chứng minh f x c; f x c
Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f x c
2. Các phương pháp thường sử dụng
Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương
Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.
Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski
Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm.
Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2 6xy + 8x 28y + 21
Giải. Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x 3y + 4)2 + 2(y 1)2 + 3 3
y 1 0
y 1
Từ đó suy ra MinP(x, y) = 3
x 3 y 4 0 x 1
Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =
x4
y
4
y4
x
4
x2
y
2
y2
x
2
x y
y x
2
2
2
y2
y2 x y
x2
Giải. S 2 1 2 1 2 x 2 2
y x
y
x
x
y
2
2
2
y2
x y
x y
x2
S 2 1 2 1 2 2
x
y x
y x
y
2
2
2
y2
( x y) 2
x y
x2
22 .
S 2 1 2 1
xy
x
y x
y
Với x = y > 0 thì MinS = 2
ThuVienDeThi.com
1
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số S sin 2 x sin 2 y sin 2 ( x y )
1 cos 2 x 1 cos 2 y
1 cos 2 ( x y )
2
2
S 2 cos( x y ) cos( x y ) cos 2 ( x y ) 9 1 cos( x y ) cos( x y ) cos 2 ( x y )
4 4
Giải . S sin 2 x sin 2 y sin 2 ( x y ) =
2
S 9 1 cos( x y ) cos( x y ) 1 sin 2 ( x y ) 9 .
4 2
4
4
Với x y
9
k , (k) thì Max S
4
3
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S x12 x 22 x32 ... x82 ( x1 x2 x2 x3 ... x6 x7 x7 x8 x8 )
2
2
2
2
1
3
2
4
3
5
4
Giải. S x1 x 2 x 2 x3 x3 x4 x4 x5
2
4
3
6
4
8
5
2
2
2
2
6
5
7
6
8
7
9
8
4
4
x5 x6 x6 x7 x7 x8 x8
10
6
12
7
14
8
16
9
9
9
Với x1
4
1
2
6
7
8
x 2 ; x 2 x3 ;...; x6 x7 ; x7 x8 ; x8 , thì Min S
2
3
7
8
9
9
Bài 5. Cho x, y, z ¡ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = 19x2+ 54y2 +16z2 16xz 24y +36xy
Giải. Biến đổi S f(x) = 19x2 2(8z 18y)x + 54y2 +16z2 24y
Ta có x = g(y) = (8z 18y)2 (54y2 +16z2 24y) = 702y2 +168zy 240z2
y = (84z)2 702.240z2 = 161424z2 0 zR g(y) 0 y, zR
Suy ra x 0 y, zR f(x) 0. Với x y z 0 thì MinS 0
Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
S = x2 xy + y2
Giải Xét y = 0 x2 = 3 S = 3 là 1 giá trị của hàm số.
Xét y 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
S x 2 xy y 2 x / y ( x / y ) 1 t 2 t 1
x
u 2
2
u với t
2
2
3 x xy y
y
( x / y) ( x / y) 1 t t 1
2
2
ThuVienDeThi.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
u(t2 + t + 1) = t2 t + 1 (u 1)t2 + (u + 1)t + (u 1) = 0 (*)
+ Nếu u = 1, thì t = 0 x = 0, y = 3 u = 1 là 1 giá trị của hàm số
+ Nếu u 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình (*) có nghiệm t
= (3u 1)(3 u) 0 1 u 1 3 .
3
Vậy tập giá trị của u là 1 , 3 Min u 1 ; Max u = 3
3
3
x y
Min S = 1 Min u 1 t = 1
x y 1
3
x 2 xy y 2 3
x 3, y 3
x y
Max S = 9 Maxu = 3 t = 1
2
2
x xy y 3 x 3, y 3
Bài 7. Cho x,yR thỏa mãn điều kiện
x 2 y 2 1
2
4x 2 y 2 x 2 y 2 0
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S= x 2 y 2
Giải. Biến đổi x 2 y 2 2 x 2 y 2 1 4 x 2 y 2 x 2 y 2 0
2
x 2 y 2 3 x 2 y 2 1 4 x 2 0 x 2 y 2 3 x 2 y 2 1 4 x 2
2
2
Do 4x2 0 nên x 2 y 2 3 x 2 y 2 1 0
2
3 5
3 5
x2 y2
2
2
Với x = 0, y =
3 5
3 5
, thì Min( x 2 y 2 )
.
2
2
Với x = 0, y =
3 5
3 5
, thì Max( x 2 y 2 )
2
2
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 x 2 2 x 1
Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)
tồn tại x0 sao cho y0 = x0 4 x02 2 x0 1
y 0 x0 4 x02 2 x0 1 y 02 2 y 0 x0 x02 4 x02 2 x0 1
g(x0) = 3 x02 2(1 y 0 ) x0 1 y 02 0 . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0
= (1 y 0 ) 2 3(1 y 02 ) 2(2 y 02 y 0 1) = 2( y 0 1)(2 y 0 1) 0
ThuVienDeThi.com
3
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Do y0 = x0 3 x02 ( x0 1) 2 x0 3 x02 x0 3 x0 0 nên
0 2y0 1 0 y 0
1
1
1
. Với x = thì Minf(x) =
2
2
2
Bài 9. Cho y f x x 2 5 x 4 mx. Tìm các giá trị của m sao cho Min y 1
x 2 m 5 x 4 ; x 1 x 4 : P1
f x
Giải. Ta có
2
x m 5 x 4 ; 1 x 4 : P2
Gọi (P) là đồ thị của y = f(x) (P) = (P1) (P2) khi đó (P) có 1 trong các
hình dạng đồ thị sau đây
P1
P2
A
A
P1
P2
B
C
B
A
P1
C
P2
C B
Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):
Hoành độ giao điểm (P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1): xC
5m
.
2
Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:
Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).
3 m 3
Khi đó Minf(x) > 1 f (1) m 1 1 < m 3
f (4) 4m 1
(1)
m 2 10m 9
5m
Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = f1 xC f1
=
4
2
m [3, 3]
3 m5 2 3
Khi đó Minf(x) > 1
m 2 10m 13 0
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1 1 m 5 2 3
4
ThuVienDeThi.com
(2)
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài 10. (Đề thi TSĐH 2005 khối A)
1
1
1
Cho x, y, z 0 ; 1 1 1 4 . Tìm Min của S
2x y z x 2 y z x y 2z
x y z
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có:
16
a b c d 1 1 1 1 4. 4 abcd .4. 4 1 16 1 1 1 1
a b c d
abcd
a b c d abcd
16
16
1 1 1 1
x x y z x x y z 2x y z
16
16
1 1 1 1
x y y z x y y z x 2y z
16
16
1 1 1 1
x y z z x y z z x y 2 z
1
1
1
Min S 1
16 4 1 1 1 16
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
2
2
2
Bài 11. (Đề thi TSĐH 2007 khối B)
y
Cho x, y, z 0 . Tìm Min của S x x 1 y 1 z z 1
2 zx
2 yz
2 xy
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho 9 số ta có
y
y
x4 y4z4
z z 9 .9 4 4 4 9 Min S 9
S 1 x2 y2 z2 x x
2
yz yz zx zx xy xy 2 x y z
2
2
x, y 0
Bài 12. Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
x y 1
x
y
y
x
Giải: S
y
x
Mặt khác, S =
Suy ra 2S
1
x
x
1 x
1
y
y
1 y
2
4
xy
=
x y 2
1 y
y
2
x y
2
x
1 x
x y
1 y
x y x y
1
1
=
x
x
y
1 x
y
x y
2 2 S 2 MinS = 2 .
Bài 13. Cho x, y, z > 0. Tìm Max của: S =
xyz x y z x 2 y 2 z 2
x
2
y z
2
2
( xy yz zx)
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi và BunhiaCôpski ta có 3 đánh giá sau:
ThuVienDeThi.com
5
Chương I. Hàm số – Trần Phương
x2 y2 z2 3 3 x2 y2 z2
x yz
S
12 12 12 x 2 y 2 z 2 3. x 2 y 2 z 2 . Từ đó suy ra
xyz 1 3 x 2 y 2 z 2
x 2 y 2 z 2 3.3 x 2 y 2 z 2
3 xyz
3 xyz
1 3
1 3
3 3
2
2
2
3
3
3
9
3. xyz
x y z
Bài 14. (Đề thi TSĐH 2003 khối B)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 4 x 2
Cách 1: Tập xác định D 2; 2;
y 1
x
4 x2
; y 0 x 4 x 2
max y 2 2
x 0
2
x 2
2
x 4 x
min y 2
x 2
+
y
y
2
0
2
0
2 2
2
2
Cách 2: Đặt x 2 sin u , u ;
2 2
y 2 sin u cos u 2 2 sin u 2; 2 2 ; max y 2 2 ; min y 2
4
Bài 15. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y x 6 4 1 x 2 trên đoạn 1;1
3
Cách 1. Đặt u x 2 0;1. Ta có y u 3 4 1 u 3u 3 12u 2 12u 4
3
y 9u 2 24u 12 0 u1 2 0;1; u 2 2 1
3
Nhìn bảng biến thiên ta có max y 4; min y 4
9
Cách 2. Đặt x sin u y sin 6 u 4 cos 6 u .
x
0
y
0
2
3
0
4
y
sin 6 u cos 6 u 3cos 6 u sin 2 u cos 2 u 3 4
1
0
1
4
9
Với x 0 thì max y 4 . Sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
6
6
2
8
8
8 8 4
3
sin u 27 27 3 sin u 27 27 3 sin u
4 cos 6 u 4 4 3 3 4 cos 6 u 4 4 4 cos 2 u
27 27
27 27 3
y sin 6 u 4 cos 6 u 8 4 sin 2 u cos 2 u 4 y 4 . Với x 2 min y 4
9 3
3
9
3
9
6
ThuVienDeThi.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài 16. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 3
x2 1
b) Cho a b c 1 . Chứng minh rằng:
Giải. a) TXĐ: D ¡ ; y
1 3x
x 2 1 x 2 1
x 3 / x
x 3 / x
lim
lim x .
2
x
x x
1
x 1
1 2
x
x2
Suy ra lim y 1; lim y 1 . Nhìn BBT
x
x
0 x 1 y 1 10
3
3
lim y lim
x
a 2 1 b 2 1 c 2 1 10
x
1/3
+ 0 0
y
10
x
y
ta có y x 3 10 max y 10
x2 1
1
1
b) Theo phần a) thì y 10 , x x 3 10. x 2 1 , x .
Đặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị x a, x b, x c ta có:
x a : a 3 10. a 2 1
x b : b 3 10. b 2 1
2
x c : c 3 10. c 1
a b c 9 10. a 2 1 b 2 1 c 2 1 10 a 2 1 b 2 1 c 2 1
Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt
uur
uuur
uuur
OA a;1; AB b;1; BC c;1 .
uuur uur uuur uuur
Khi đó OC OA AB BC a b c ; 3 .
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur
Do OA AB BC OA AB BC OC
Từ đó suy ra
a 1 b 1 c 1 10
2
2
2
y
3
2
1
O
C
B
A
1
a a+b a+b+c x
Bài 17. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)
Cho x 2 y 2 1 . Tìm Max, Min của A x 1 y y 1 x .
Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCơpski ta có
A
x 2 y 2 1 y 1 x
2 x y 2 2 x 2 y 2 2 2 .
Với x y 1 thì Max A 2 2
2
ThuVienDeThi.com
7
Chương I. Hàm số – Trần Phương
2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây
• Trường hợp 1: Nếu xy 0 , xét 2 khả năng sau:
+) Nếu x 0, y 0 thì A>0 Min A 0
+) Nếu x 0, y 0 thì
A
( x 2 y 2 ) (1 x) (1 y )
2 x y =
2 x y 2 x 2 y 2 1
Từ 2 khả năng đã xét suy ra với xy 0 thì Min A = 1
2
• Trường hợp 2: Xét xy 0 : Đặt x y t xy t 1 0 t 1,1
2
A 2 x 2 1 y 2 xy 1 x 1 y y 2 1 x 1 xy x y 2 xy 1 x y xy
2
2
2
2
1 t t 1 2 t 1 1 t t 1 t 1 1 2 t 2 1
2
2
2
2
A 2 f t 1 1 2 t 3 2 t 2 1 2 t 2 2
2
Ta có: f t
3 1 2 2
1 2
1 2
t 2t
0 t t1
;t t2 2 1
2
2
3
2 19 3 2
Thế t1 , t 2 vào phần dư của f t chia cho f t f t1
; f t 2 0 .
27
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
t 1
t1
t2
1
A 2 f t1 A f t1 suy ra
0
0
2 19 3 2
f t1
Min A f t1
1
27
1
1
t12 1
f t 2
xảy ra x y t1 ; xy
2
x, y là nghiệm của u 2
1 2 15 2 2
1 2
2 3
u
0 x, y
3
9
6
Kết luận: Max A 2 2 ; Min A
2 19 3 2
27
Bài 18. Cho x, y, z 0,1 thoả mãn điều kiện: x y z 3 .
2
2
2
Tìm Max, Min của biểu thức: S cos x y z 2
Giải. Do x, y, z 0,1 nên 0 x 2 y 2 z 2 x y z 3 .
2 2
Vì hàm số y cos nghịch biến trên 0, nên bài toán trở thành.
2
8
ThuVienDeThi.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
1. Tìm MaxS hay tìm Min x 2 y 2 z 2
2
x 2 y 2 z 2 1 12 12 12 x 2 y 2 z 2 x y z 3 .
3
4
Với x y z 1 thì MaxS = cos 3
2
4
2
2. Tìm MinS hay tìm Max x y 2 z 2
Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai:
Khơng mất tính tổng qt giả sử z Max x, y, z z 1 ;1 . Biến đổi và đánh
2
giá đưa về tam thức bậc hai biến z
2
2
x 2 y 2 z 2 z 2 x y 2 xy z 2 3 z 2 z 2 3 z 9 f z
2
4
Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có:
Max f z Max f 1 ; f 1 f 1 f 1 5 .
2
2
4
Với z 1; x 1 ; y 0 thì MinS = cos 5
2
4
Cách 2: Phương pháp hình học
Xét hệ tọa Đề các vng góc Oxyz. Tập hợp các điểm M x, y, z thoả mãn
điều kiện x, y, z 0,1 nằm trong hình lập phương ABCDABCO cạnh 1 với
A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0).
Mặt khác do x y z 3 nên M x, y, z nằm trên mặt phẳng (P): x y z 3
2
2
Vậy tập hợp các điểm M x, y, z thoả mãn điều kiện giả thiết nằm trên thiết
diện EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập
phương. Gọi O là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O là tâm của hình lập
phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN. Ta có OM là hình chiếu của
OM lên EIJKLN. Do OM2 = x 2 y 2 z 2 nên OM lớn nhất OM lớn nhất
z
3/ 2
M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N.
Từ đó suy ra:
z cos 5
4
x 2 y 2 z 2 OK 2 1 1 5
4
4
cos x 2 y 2
O
L
2
Với z 1; x 1 ; y 0 thì MinS = cos 5
2
4
J
1
K
O
1
3/ 2
ThuVienDeThi.com
M
I
1
E
3/ 2
x
N
y
9
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Bài 19. Cho a,b,c 0 thỏa mãn điều kiện a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của S a 2
3
2
1
1
1
b2 2 c2 2
2
b
c
a
Giải. Sai lầm thường gặp:
S 3.3
a2
1
1
1
b 2 2 c 2 2 3.6
2
b
c
a
1
3. 6 2 a 2 2
b
Nguyên nhân:
2 1 2 1 2 1
a 2 b 2 c 2
b
c
a
1
1
6
2
2
2 b 2 2 c 2 3. 8 3 2 Min S 3 2
c
a
1 1 1
3
1 a b c 3 mâu thuẫn với giả thiết
a b c
2
Phân tích và tìm tịi lời giải :
Min S 3 2 a b c
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại a b c
1
2
Sơ đồ điểm rơi:
1
2
2
2
a b c 4
1
1 4
a b c
2
4
1 1 1 4
a 2 b 2 c 2
16
Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
S a2
1
1
1
1
1
1
...
b2
...
c2
...
2
2
2
2
2
2
16
b
16b
16
c
16c
16
a
16a
16
17 17
16
a2
b2
c2
a
b
c
17
17
17
17
17 17 8 16 17 8 16 17 8 16
16 32
16 32
16 32
16 b
16 c
16 a
16 c
16 a
16 b
a
b
c
17 3 3 17 8 16 17 8 16 17 8 16
16 b
16 c
16 a
10
16
3 17
2 17 (2a 2b 2c) 5
3 17
2 17 2a 2b 2c
3
15
3 17
17
1
16 a 5 b 5 c 5
8
3 17
1
3 17
. Với a b c thì Min S
2
2
2
ThuVienDeThi.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Cách 2: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức BunhiaCơpski ta có
2 1
1
a 2
b
17
1
1
b2 2
c
17
1
1
2
c a2
17
S
1
4
2 1 2
2
a
a 2 1 4
b
b
17
1
4
2 1 2
2
b
b 2 1 4
c
c
17
1
4
2 1 2
2
c
c 2 1 4
a
a
17
4 4 4
1
a b c
a b c
17
17
1
1
1
1 15 1 1 1
a b c
4a 4b 4c 4 a b c
1 6
1 1 1 15 3 1 1 1
1
45
1
3
3
3
6 abc
4a 4b 4c 4
a b c
4
17
17
abc
1 45
1
1
3 17
1 45 3 17
3 4 2 2 . Với a b c thì Min S
3 4 a b c
2
2
17
17
3
Cách 3: Đặt u a , 1 ; v b , 1 ; w c , 1
b
c
a
Do u v w u v w nên suy ra :
S a2
1
1
1
2
1 1 1
b2 2 c2 2 a b c
2
b
c
a
a b c
2
a b c 2 1 1 1 1 15 1 1 1
15
2 a b c 1 1 1 1 3 3 1 1 1
4 a b c 16
a b c
1
135
1
3 3 abc 3 3 1 1 1
2
a b c 16 3
2
abc
16 a
b
c
16 a
b
2
2
c
2
9 135
1
2 16 a b c
3
2
1
3 17
9 135
18 135
153 3 17
. Với a b c thì Min S
4
2
2
2 16
4
4
4
2
ThuVienDeThi.com
11
Chương I. Hàm số – Trần Phương
B. CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
I. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải phương trình:
4
x2 4 4x 2
Giải. Đặt f x 4 x 2 4 4 x với 2 x 4
1
1
f x 1
3
44
4
4 x 3
x 2
x
0 x3
2
3
0
4
Nhìn BBT suy ra: f x f 3 2 x 2, 4
2
Phương trình f x 4 x 2 4 4 x 2 có nghiệm duy nhất x 3
Bài 2. Giải phương trình: 3 x 5 x 6 x 2
Giải. PT f x 3 x 5 x 6 x 2 0 . Ta có: f x 3 x ln 3 5 x ln 5 6
f x 3 x ln 3 5 x ln 5 0 x ¡ (x) đồng biến
2
2
Mặt khác (x) liên tục và
x 0
f
f 0 ln 3 ln 5 6 0 , f 1 3ln 3 5 ln 5 6 0
Phương trình (x) 0 có đúng 1 nghiệm x0
f
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
1
x0
0
(x0)
Phương trình f x 3 x 5 x 6 x 2 0 có khơng quá 2 nghiệm.
Mà f 0 f 1 0 nên phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x 0 và x 1
Bài 3. Tìm m để BPT: m 2 x 2 9 x m có nghiệm đúng x ¡
Giải. m 2 x 2 9 x m m 2 x 2 9 1 x m f x
Ta có: f x
9 2x 2 9
2 x 2 9 2 x 2 9 1
1
lim f x lim
1 ;
x
x
2
2 92 1
x
x
1
lim f x lim
1
x
x
9
2
1
2 2
x
x
2
0
2x 9 1
2 x 2 9 9 x 6
x
f
x
2
6
0 +
6
0
3
4
1
2
1
2
3
4
Nhìn BBT ta có f x m , x Min f x f 6 3 m m 3
x
4
4
12
ThuVienDeThi.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
Bài 4. Tìm m để PT: 2 2 sin 2 x m 1 cos x (1) có nghiệm x ,
2 2
Giải. Do x , x , nên đặt t tg x 1,1
2 2
2
2 4 4
2
2
2
cos x 1 t 2 ; sin x 2t 2 . Khi đó (1) 2 sin x cos x m 1 cos x
1 t
1 t
2
2
2
2
2
2 2t 1 2 t m 1 1 t 2 f t 2t 1 t 2 2m (2)
1 t
1 t
Ta có: f t 2 2t 1 t 2 2 2t 0 t 1; t 1 2 Bảng biến thiên
t 1
(t)
4
(t)
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Để (2) có nghiệm t 1,1
thì Min f t 2m Max f t
t1,1
1 2
0
1
4
0
t1,1
0 2m 4 0 m 2 . Vậy để (1) có nghiệm x , thì m 0; 2 .
2 2
x 2 3x 0
Bài 5. Tìm m để hệ BPT:
(1) có nghiệm.
x 3 2 x x 2 m 2 4m 0
0 x 3
Giải. (1)
(2). x
f x x 3 2 x x 2 m 2 4m
f
2
3 x 4 x 4 x 0; 2
f
Ta có: f x
;
3 x 2 4 x 4 x 2; 3
0
0
2
3
0
2
3
8
21
CT
(x) 0 x 2 . Nhìn BBTsuy ra: Max f x f 3 21
x0;3
3
Để (2) có nghiệm thì Max f x m 2 4m m 2 4m 21 3 m 7
x0;3
sin x cos y m 3 m 2 6m 35
4
Bài 6. Tìm m 0 để hệ:
(1) có nghiệm.
cos x sin y m 2 6m 33
4
Giải
ThuVienDeThi.com
13
Chương I. Hàm số – Trần Phương
sin x y m 3 12m 17
sin x cos y cos x sin y m 3 12m 17
(1)
(2)
3
2
3
2
1
1
x
y
x
y
m
m
sin
cos
cos
sin
2
sin x y m 2m
2
2
Xét f m m 3 12m 17 . Ta có: f m 3m 2 12 0 m 2 0
Nhìn BBT suy ra: (m) (2) 1,m 0
kết hợp với sin x y 1 suy ra đểhệ (2)
có nghiệm thì m 2, khi đó hệ (2) trở thành:
m
0
2
0
17
1
sin x y 1
có nghiệm x ; y . Vậy (1) có nghiệm m 2.
1
3
6
sin x y
2
II. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. Chứng minh rằng: 1 x ln x 1 x 2 1 x 2 , x ¡
BĐT f x 1 x ln x 1 x 2 1 x 2 0 x ¡
Ta có: f x ln x 1 x 2 0 x 0
Bảng biến thiên.
x
f
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
0
0
f
0
f x f 0 0 (đpcm)
a, b, c 0
3 3
Bài 2. Cho
CMR: T 2 a 2 2 b 2 2 c 2
2
2
2
2
b
c
c
a
a
b
a b c 1
Ta có: T
a b c
a2
b2
c2
.
2
2
2
2
2
1 a
1 b
1 c
a 1 a b 1 b c 1 c 2
Xét hàm số f x x 1 x 2 với x > 0
x
Ta có f x 1 3 x 2 0 x 1 0 .
3
f
Nhìn bảng biến thiên f x 2 x 0 .
3 3
f
2
2
2
3 3 2
3 3
Khi đó : T a b c
a b2 c2
2
2
f a f b f c
Đẳng thức xảy ra a b c 1 .
3
14
ThuVienDeThi.com
1
3
0
2
3 3
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài 3. Cho 3 n lẻ. Chứng minh rằng: x 0 ta có:
1 x x2! ... xn! 1 x x2! x3! ... xn! 1
2
2
n
3
n
2
2
3
n
n
Đặt u x 1 x x ... x ; v x 1 x x x ... x .
2!
2! 3!
n!
n!
Ta cần chứng minh f x u x .v x < 1
u x 1 x x 2 ... x n 1 u x x n
n 1!
2!
n!
Ta có:
v x 1 x x 2 ... x n 1 v x x n
n 1!
2!
n!
n
n
f x u x .v x u x .v x u x x v x u x v x x
n!
n !
n
n
f x x u x v x 2 x
n!
n!
1 x 2 x 4 ... x n 1
n 1!
2! 4!
Do 3 n lẻ nên (x) cùng dấu với (2x)
x
f
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Bài 4. Chứng minh rằng:
4
a4 b4
3
a3 b3
4
Xét f(t) =
3
4
2
3
2
1 t
4
4
1 t4
3
1 t3
2
3
2
3
a, b > 0.
0
1
f
0
a
với t 0
b
1
3 3
1 t
+
1
f
1 t 4 4
+
1
1
4
1
t
4
1
t3 3
1
4
1 t t 1 1 t t 1 t
4
f(t) =
a
b
3
3
1 t3
3
4
a3 b3 4 a 4 b 4
2
2
1 a
b
4 1
3
f
f x f 0 1 x 0 (đpcm)
0
0
4
2
3
2
3
2
1 t 3 3
t
2
2
3
1 t
2
3
4
2
3
2
3
1 t 4 4 t 1
2
1 t 3 3
f(t) = 0 t = 1 Bảng biến thiên của f(t)
Từ BBT
4
3
2
f(t) < 1 t > 0
2
Dấu bằng xảy ra a = b > 0.
4
3
2
2
4
3
a4 b4
a3 b3
ThuVienDeThi.com
3
a3 b3 4 a 4 b 4
.
2
2
15
Chương I. Hàm số – Trần Phương
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Cho ABC có A B C . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f x
x sin A
x sin C
Bài 2. Tìm Max, Min của:
x sin B 1
x sin C
y sin 6 x cos 6 x a sin x cos x
4
4
2
2
Bài 3. Cho ab 0. Tìm Min của y a 4 b 4 a 2 b 2
b
a
a
b
Bài 4. Cho x 2 y 2 0 . Tìm Max, Min của S
a b
b a
x2 y2
x 2 xy 4 y 2
Bài 5. Giả sử phương trình x 2 px 12 0 có nghiệm x1, x2.
p
Tìm p 0 sao cho S x14 x 24 nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm Min của y 2 3
2x
2 3
2x
x
x
8 2 3 2 3
Bài 7. Cho x, y 0 và x y 1 . Tìm Max, Min của S 3 x 9 y .
Bài 8. Cho x 2 y 2 z 2 1 . Tìm Max, Min của P x y z xy yz zx .
Bài 9. Tìm m để PT:
2 x 2 x 2 x 2 x m có nghiệm.
Bài 10
Tìm m để PT:
Bài 11
Tìm m để PT: x 2 2 x 2 4 x 2 2 x 2 2 x 2 4 x m có 4
nghiệm phân biệt.
x 9 x x 2 9 x m có nghiệm.
3
Bài 12
2
Tìm m để PT: 3 x 1 2 x 1 mx có nghiệm duy nhất.
2x 1
Bài 13
Tìm m để PT: m cos 2 x 4 sin x cos x m 2 0 có nghiệm x 0, .
4
Bài 14
Tìm m để PT: sin x.cos 2 x.sin 3 x m có đúng 2 nghiệm x , .
4 2
Bài 15
3 x 2 2 x 1 0
Tìm m để hệ BPT:
có nghiệm.
2
x 3mx 1 0
Bài 16
a. Tìm m để: m x 2 8 x 2 có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 17
b. Cho a b c 12 . CMR: a 2 8 b 2 8 c 2 8 6 6
Chứng minh: 2 x 3 y 3 z 3 x 2 y y 2 z z 2 x 3 , x, y, z 0,1
16
ThuVienDeThi.com
