Skkn rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh thông qua tổng hợp các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỔNG HỢP, TẠO HỨNG THÚ HỌC
TẬP CHO HỌC SINH THÔNG QUA TỔNG HỢP CÁC BÀI
TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Đình Lợi
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc bộ mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2022

skkn


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI...................................................................................1
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU..........................................................................1
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU........................................................................2
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU..................................................................2
1.5. NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN................................................................2
2. NỘI DUNG.......................................................................................................3
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM................................3
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM...............................................................................................................3
2.3. GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ TIẾP

TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ TỔNG
HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY........................................................................3
NỘI DUNG I. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT)
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ........................................................................................3
NỘI DUNG II. NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN...............6
Vấn đề 1: Tiếp tuyến với định lý Viet....................................................................6
Vấn đề 2: Những bài toán cần phải viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm....8
Vấn đề 3: Tìm trên mặt phẳng tọa độ Oxy những điểm mà từ đó kẻ được tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số y=f(x).............................................................................11
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG
GIÁO DỤC, BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG.......................14
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.........................................................................16
3.1. KẾT LUẬN:.................................................................................................16
3.2. KIẾN NGHỊ:................................................................................................16
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Như chúng ta đã biết nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay khơng chỉ
là đổi mới chương trình giáo dục, mà điều quan trọng là đổi mới phương pháp dạy
và học. Với mục tiêu đào tạo nguồn nhân lực Việt Nam đáp ứng yêu cầu của thời
đại, đó là: Nguồn lao động năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có khả
năng thích ứng, biết đồn kết và hợp tác trong lao động sản xuất. Vì thế trong
Chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011 - 2025 ban hành kèm theo Quyết
định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 của thủ tướng chính phủ đã chỉ rõ: "Tiếp tục đổi
mới PPDH và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát triển tích cực,
tự giác chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người học".

Hiện nay một trong những PPDH theo hướng tích cực hóa hoạt động của
người học đó là '' Dạy học theo dự án''. Dạy học theo dự án đáp ứng quan điểm
dạy học lấy học sinh làm trung tâm, các hoạt động học tập được thiết kế mang
tính thiết thực, có liên quan đến kiến thức thực tiễn, giúp học sinh rèn luyện
được một số năng lực quan trọng như: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn
đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng công nghệ thông tin
và truyền thơng, năng lực tính tốn … Tuy nhiên, dạy và học theo dự án đòi hỏi
giáo viên phải mất nhiều thời gian công sức để thiết kế dự án khả thi và không
phải nội dung nào cũng áp dụng được phương pháp này, không phải đối tượng
học sinh nào cũng có thể tự nghiên cứu và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn
để học theo dự án.
Trong chương trình tốn học phổ thơng, các bài tốn liên quan đến hàm số,
đồ thị hàm số là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng.
Là một giáo viên tốn THPT, qua những năm tham gia giảng dạy mơn tốn
ở trường THPT, tơi nhận thấy về mặt tâm lí học sinh THPT đã bộc lộ rõ thiên
hướng, sở trường và hứng thú với từng lĩnh vực. Tuy nhiên đối với đa số học
sinh thì khả năng tự học chưa cao và các em thấy rất khó khăn trong giải Tốn,
thậm chí có nhiều học sinh cịn đặt câu hỏi “Học để làm gì”. Nên một lượng
kiến thức cơ bản: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên
quan đến hàm số, đồ thị hàm số như: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, giá
trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, cực trị, sự tương giao của các đường, tiếp tuyến,
phép suy đồ thị... là những kiến thức thực sự cần thiết hàng đầu để học sinh khối
12 tiếp thu và lĩnh hội.
Với thực tế như trên và qua kinh nghiệm giảng dạy tôi mạnh dạn viết sáng
kiến kinh nghiệm với chủ đề: “ Rèn luyện kỹ năng tổng hợp các dạng tốn. Tạo
hứng thú cho học sinh, thơng qua tổng hợp các bài tốn liên quan đến phương
trình Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ”.
+ Tổng hợp một các khái quát nhất về phương trình tiếp tuyến của hồ thị
hàm số và các vấn đề liên quan đến Tiếp tuyến.
+ Nội dung bài viết dành cho tất cả các đối tượng học sinh, đặc biệt học

sinh khối 12 trường THPT Sầm Sơn.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Rèn luyện kỹ năng tổng hợp các dạng toán, kỹ năng làm toán trắc nghiệm
cho học sinh.
1

skkn


- Phát triển tư duy và sự tìm tịi trong học tập của học sinh.
- Tạo sự hứng thú trong học tập qua các kết quả học tập của học sinh.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số, và các bài toán liên quan.
- Hệ thống các bài tốn giúp học sinh phân tích tổng hợp.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu một số giáo trình, sách tham khảo về
phương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi ĐH – CĐ, và các đề thi học sinh
giỏi.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua các năm
trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xây
dựng được một hệ thống phương pháp, bài tập về tiếp tuyến.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho
đối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông và các lớp
ôn thi ĐH – CĐ các năm gần đây.
1.5. NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN.
Dẫn dắt học sinh tự học, tự nghiên cứu
Tư duy tổng hợp các dạng toán

2

skkn


2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11, phần ý nghĩa hình học của
đạo hàm, giải tích 12 phần các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số viết khá
ngắn gọn và sơ sài về Tiếp tuyến. Với mục đích để giáo viên và học sinh khai
thác sâu hơn chủ đề này thơng qua phương trình Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm. Và một thực tế đã nêu ở mục lí do chọn đề tài. Đặc biệt khi giải các bài
toán Tiếp tuyến qua điểm học sinh có thể nhầm lẫn với bài tốn Tiếp tuyến tại
điểm, và giải một số bài toán liên quan đến diện tích, chu vi tam giác.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM.
Với sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp hạn chế của học sinh. Nên tơi
mạnh dạn tổng hợp các bài tốn về chủ đề Tiếp tuyến qua SKKN này để học
sinh nắm vững và vận dụng. Đồng thời vận dụng sự tổng hợp này để hình thành
kỹ năng phân tích, tổng hợp các dạng toán khác
2.3. GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ
TIẾP TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ
TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Qua cơ sở và thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm tôi mạnh dạn tổng
hợp một cách khái quát về chủ đề Tiếp tuyến với những nội dung sau:
NỘI DUNG I. BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT)
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Học sinh cần tổng hợp và nắm được ba bài toán sau:
Bài toán 1: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm
(
thuộc
đồ

thị hàm số ).
Phương pháp
Pttt có dạng:
Xác định
rồi thay vào phương trình trên và biến đổi về dạng
ta được pttt cần tìm
Bài tốn 2: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm
(
thuộc hoặc không thuộc đồ thị hàm số).
Phương pháp
Giải bài toán này học sinh sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
và có hệ số góc k là:
+ Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:
giải hệ tìm k thay vào tiếp tuyến d ta được pttt cần tìm
Cách 2:
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm
là:
+ Cho tiếp tuyến trên đi qua
nên ta có:
Biểu thị
qua
và thay vào phương trình trên ta được phương trình ẩn
giải tìm
suy ra
bài tốn quy về viết pttt tại điểm.
3

skkn

Ví dụ 1: Viết pttt của đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến đi qua điểm

Hướng dẫn giải
Lưu ý: Có nhiều học sinh kiểm tra thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số, và sử dụng
bài toán ở dạng 1 để giải là nhầm lẩn. Vì đây là bài tốn pttt đi qua điểm và tiếp
tuyến đi qua điểm thì có ít nhất một tiếp tuyến còn tại một điểm chỉ có duy nhất
một tiếp tuyến
Cụ thể áp dụng dạng 2 và trình bày cho học sinh cả hai cách:
Cách 1:
+ Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
có hệ số góc k:
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:

Vậy có ba pttt:

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2:
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm
+ Cho tiếp tuyến trên đi qua

là:
ta được:

Vậy có ba pttt:

thỏa mãn u cầu bài tốn

Bài toán 3: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho
trước.
Phương pháp
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm
là:
+ Theo giả thiết ta có
giải tìm
bài tốn quay về viết pttt tại
điểm
Chú ý 1: Ở bài tốn này hệ số góc của tiếp tuyến thường được cho gián tiếp
thông qua biết tiếp tuyến song song hoặc vng góc với một đường thẳng cho
trước.
Cụ thể:
* Tiếp tuyến song song đường thẳng
* Tiếp tuyến vng góc đường thẳng
Chú ý 2: Từ ba bài tốn viết pttt của đồ thị hàm ở trên, học sinh cần tổng hợp
được: viết pttt của đồ thị hàm số đều quy về áp dụng bài toán viết pttt của đồ thị
hàm số tại điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số:
có đồ thị là (C).
a. Viết pttt của (C) tại điểm có hồnh độ bằng

.
4

skkn

b. Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.
c. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình:
y=3x+1.
Hướng dẫn giải
Ta có:
a. Theo đề bài:
và
Vậy pttt: y=3x+2.
b. Theo đề bài:
Vậy pttt: y-8=12(x-2) y=12x-16.
c. Tiếp tuyến tại
có hệ số góc
Theo đề bài tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x+1,
suy ra:
+ Với
pttt y=3x-2
+ Với
pttt y=3x+2
Vậy có hai pttt thỏa mãn yêu cầu bài tốn: y=3x-2, y=3x+2
Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2009).
Viết pttt của đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần

lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân ở O.
Hướng dẫn giải
+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại hai điểm cùng với gốc tọa
độ O tạo thành tam giác cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng
.
+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm

là
, suy ra:
Với
pttt y=-x (loại)
Với
pttt y=-x-2 (thỏa mãn)
Vậy pttt cần tìm: y=-x-2.
Bài tập
1. Cho hàm số:

, có đồ thị là (C).

a. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình:
y=

x+5.

2. Viết pttt của đồ thị hàm số
a. Tại điểm (

)

b. Tại điểm có hồnh độ bằng

.

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

.

3. Cho hàm số:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng
.
5

skkn


c. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(

).

d. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2
4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
hàm số với trục tung là:
A. -2
B. 2

C. 1

5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trình:
A. y = -9x-43

tại giao điểm của đồ thị
D. -1
có hệ số góc k = -9 có phương

B. y = -9x+43

C. y = -9x+11

D. y = -9x-27

NỘI DUNG II. NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
Vấn đề 1: Tiếp tuyến với định lý Viet
Là vấn đề Tiếp tuyến của đồ thị thỏa mãn một điều kiện nào đó, và SKKN
này tơi tổng hợp một số bài tốn như :
+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến vng góc
+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến, tổng hệ số góc hai Tiếp tuyến đạt giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…
Phương pháp :
Để giải những bài toán thuộc vấn đề này ta áp dụng trực tiếp một trong các
bài toán về phương trình tiếp tuyến kết hợp với sử dụng định lý Viet cho phương
trình bậc hai hoặc phương trình bậc ba.
Cụ thể: Phương trình bậc hai: ax2+bx + c=0
Phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x3+ 3x2+mx+1
a.
Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số khi m=3
Học sinh tự làm
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số đã
cho tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C, đồng thời tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại B và C vng góc với nhau.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=1 là nghiệm của
phương trình:
Để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt
+ Tiếp tuyến tại B và C vng góc
6

skkn


Trong đó

là nghiệm của phương trình (1) và theo định lí Viet ta có:

Ta được:

Kết hợp (2) vậy

thì u cầu bài tốn thỏa mãn.

Ví dụ 5: Đề thi đại học khối A năm 2011.
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các
tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A và B. Tìm m để tổng k1+ k2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m và đồ thị hàm số là nghiệm của
phương trình:

 2x2+2mx-m-1=0,(*)

Ta có : ' = m2+2m+2 > 0 m  đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số
tại 2 điểm phân biệt với mọi m
+ Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) ta có:

Theo định lý Viet, suy ra: k1+k2 =-4m2 -8m -6 = -4(m+1)2 -2 ≤ -2
Vậy Max(k1+k2 ) = -2 khi m= -1
Vấn đề 2: Những bài toán cần phải viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm.
Là những bài tốn u cầu xác định vị trí của điểm M thuộc đồ thị hàm số
để:
+ Tiếp tuyến tai điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích
khơng đổi.
+ Tiếp tuyến tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có chu vi đạt giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất…
Phương pháp:
Để giải quyết được bài tốn trên, ta phải tìm được tạo độ của điểm M.
Muốn vậy ta phải viết phương pháp tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.
Khi đó điểm M là giai điểm của tiếp tuyến tại M và hai đường tiệm cận (hoặc
hai trục của tọa độ), từ đó ta có tọa độ của điểm M phụ thuộc vào một giá trị
tham số. Dựa vào yêu cầu bài toàn ta xác định được điểm M.
Ví dụ 6: Cho hàm số:

, có đồ thị là (C).
7

skkn


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. M bất kì thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần
lượt tại A và B. Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích khơng đổi (I
là giao điểm của hai đường tiệm cận), và M là trung điểm của đoạn AB.
c. Tiếp tuyến của (C) tại N cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại P và Q. Tìm
tọa độ điểm N sao cho tam giác OPQ có diện tích bằng .

d. Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường
tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
Hướng dẫn giải
a. Chỉ minh họa đồ thị
y
Q
A

1

I
0

-1

B
1

P

x

-1

Phân tích: Ở ý b và ý c đều liên quan đến tiếp tuyến tại điểm nên ta làm ý
chung của cả hai ý là viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
:

Chú ý: Điểm M và điểm N trong bài toán là điểm
b. * Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng đổi.

Ta có:
+ I là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên ta có I(1; 1).
+ A là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với tiệm cận đứng, suy ra tọa độ
điểm A là nghiệm của hệ:

8

skkn


+ B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với tiệm cận ngang, suy ra tọa độ
điểm B là nghiệm của hệ:

Suy ra:

(đpcm)

* Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
Ta có:

. Vậy M là trung điểm của đoạn
AB (đpcm)

c. Ta có :
+ P là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với trục hoành, nên:
+ Q là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với trục tung, nên:

Suy ra:

Vậy điểm cần tìm là:

d. Giả sử tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất, và đặt V là chu vi tam giác IAB.
Ta có: V=IA+IB+AB=IA+IA+
IA+IB+
=4
Suy ra: V
Vậy có hai điểm
tốn.
Ví dụ 7: Cho hàm số:

thỏa mãn u cầu bài
có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A
và B sao cho AB= OA.
Hướng dẫn giải
a. Học sinh tự làm.
9

skkn


b. + Tiếp tuyến tại

là:

+ Tiếp tuyến của (C) tại
cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho: AB=
OA
ABO vuông cân tại O nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng

.
Ta có:
Với
pttt y=-x (loại)
Với
pttt y=-x+8
Vậy tiếp tuyến thỏa mãn bài tốn là: y=-x+8.
Bài tập
1. Cho hàm số:

có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều lập với hai đường tiệm cận
một tam giác có diện tích khơng đổi.
c. Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường
tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
2. Cho hàm số:

có đồ thị là (C).

a. a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với
(C).
b. Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn, khi đó d cắt Ox, Oy tai A, B. Chứng
minh rằng:
+ Tam giác OAB có diện tích không đổi.
+ Tiếp điểm của d và (C) là trung điểm của đoạn AB.
3. Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị hàm số:
cho tiếp tuyến tại M vng góc với đường thẳng:

sao
.

A. M(-2; 0)
B. M(-2; 3)
C. M(-3; 1/2)
D. M(-1; 4/3)
Vấn đề 3: Tìm trên mặt phẳng tọa độ Oxy những điểm mà từ đó kẻ được tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số y=f(x).
Phương pháp
+ Gọi điểm cần tìm M(a; b). Pttt của đồ thị hàm số tại
:
+ Cho tiếp tuyến đi qua M ta có:

đưa phương trình về ẩn

+ Số tiếp tuyến xuất phát từ điểm M quy về biện luận số nghiệm của phương
trình ẩn
từ đó suy ra tọa độ điểm M
Ví dụ 8: Tìm trên đồ thị hàm số
duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải

những điểm mà từ đó kẻ được

10

skkn

+ Gọi M là điểm cần tìm, M thuộc đồ thị hàm số
Pttt của đồ
thị hàm số tại
:
Trong đó:
và
+ Cho tiếp tuyến đi qua M ta có:
Biến đổi và đưa phương trình về ẩn
:
Do M thuộc đồ thị hàm số nên
= m chính là hồnh độ của một tiếp điểm,
nghĩa là phương trình ẩn
phải có một nghiệm kép = m.
Pt ẩn
Để qua M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình ẩn
phải có duy nhất một nghiệm suy ra:
Vậy điểm cần tìm là M(1; -1) và chính là điểm uốn.
Ví dụ 9: Cho hàm số:
a. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho hai
tiếp tuyến tại hai điểm đó của đồ thị vng góc với nhau.
b. Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vng
góc với đường thẳng y=kx.
Hướng dẫn giải
a. Giả sử trên đồ thị hàm số tồn tại hai điểm M(x ; y ) và N(x ; y ) thỏa
mãn u
cầu bài tốn.
Ta có: Tiếp tuyến tại M có hệ số góc:
=
Tiếp tuyến tại N có hệ số góc:
=

Hai tiếp tuyến tại M và N vng góc
vơ lý
Vậy điều giả sử sai nên trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
b. Gọi M (x ; y ) thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M
Tiếp tuyến tại M

có hệ số góc:

vng góc với đường thẳng y=kx

Để trên đồ thị hàm số tồn tại ít nhất một điểm, mà tiếp tuyến tại đó vng
góc với đường thẳng y=kx thì phương trình ẩn
trên phải có ít nhất một
nghiệm.
+ Với k=0 suy ra 1=0 vô lý
+ Với k 0 suy ra phương trình ẩn
trên có ít nhất một nghiệm

11

skkn


Vậy k<0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 10: Cho hàm số:
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
.

c. Tìm trên đường thẳng y=-2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được tới (C)
hai tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau.
Hướng dẫn giải
a. Chỉ minh họa đồ thị.
y

b. Học sinh tự làm.
c. + M thuộc đường thẳng y=-2 suy ra M(m; -2)
+ Tiếp tuyến của đồ thị tại
:
+ Tiếp tuyến đi qua M(m; -2) nên ta có :

Ta nhận thấy tại
có tiếp tuyến y=-2 và khi đó khơng tồn tại tiếp
tuyến vng góc với đường thẳng y=-2
+ Để yêu cầu bài toán thỏa mãn thì phương trình
có hai nghiệm
phân biệt
thỏa mãn

Vậy M (

) thuộc đường thẳng y=-2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tâp 
12

skkn

1.Cho điểm A (0 ; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến
tới đồ thị hàm số y=

sao cho hai tiếp điểm tương ứng thỏa mãn:

a. Nằm về hai phía của trục hồnh. (ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH
2015)
b. Nằm về hai phía của trục tung.
2. Cho hàm số:
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) thị của hàm số.
b. Tìm trên đường thẳng y=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được tới (C)
hai tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau.
3. Cho hàm số:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tìm những điểm trên đường thẳng y=2 từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới
đồ thị hàm số.
4. Cho hàm số:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới
đồ thị hàm số.
5. Cho hàm số:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến
tới đồ thị hàm số.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG
GIÁO DỤC, BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG

13

skkn


KẾT QUẢ KIỂM NGHIỆM

Năm
Học

Lớp

Tổng
Số

Điểm trên 8
Số
Tỉ lệ
lượng
%

Điểm từ 5 đến 8
Số
Tỉ lệ
lượng
%

Điểm dưới 5
Số
Tỉ lệ
lượng
%

201712A3
45
6
13,33
30
66,67
9
20,00
2018
201711A2
39
5
12,82
23
58,97
11
28,21
2018
Sau khi hoàn thành sáng kiến này tôi cũng nhận thấy kiến thức và nghiệp
vụ sư phạm của bản thân được vững vàng hơn, đó là nền tảng để tiếp tục đổi
mới cho những lần sau thực hiện hiệu quả bài giảng và là bước đầu để thầy và
trò áp dụng Phương pháp dạy học theo định hướng đổi mới, đặc biệt là vận dụng
đổi mới phương pháp dạy học mà vẫn phù hợp với đặc thù năng lực của học
sinh.
Áp dụng dạy học theo chủ đề vào bài học thì hiệu quả của liên hệ thực
tiễn đã được phát huy tích cực. Về phía học sinh, các em được tiếp xúc với một
phương pháp học tập mới mang tính chất tích cực, làm cho các em nhận thấy
mình được giao trách nhiệm, tự nhận trách nhiệm và tự giác hoàn thành nhiệm
vụ. Những tư liệu, cơng việc được giao, trao đổi thu thập, phân tích, xử lí số liệu

đã tạo cơ hội cho các em nắm bắt thực tế và liên hệ nội dung bài học dễ dàng
hơn rất nhiều, đặc biệt là đa số các em thấy hứng thú, hài lịng vì được thay đổi
khơng khí học tập mơn Tốn vốn" căng thẳng tư duy, khơ khan và khó hiểu
"theo suy nghĩ của các em.
Giờ dạy ngoài việc đạt được kết quả tri thức cịn mang tính chất giáo dục:
Giáo dục ý thức làm việc tập trung, tinh thần phối kết hợp giữa thầy và trò, trò
và trò, đặc biệt là sự gần gũi quan tâm giữa giáo viên và học sinh để giúp các em
tự tin, có niềm vui được quan tâm; giáo dục ý thức trách nhiệm của bản thân
trứơc một bài toán thực tiễn.

14

skkn


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN:
Sau một thời gian nghiên cứu, để vận dụng đổi mới phương pháp dạy học
và tiến hành thực nghiệm cụ thể áp dụng phương pháp “Dạy học theo chủ đề”
vào chủ đề Tiếp Tuyến, tôi thấy:
Đổi mới phương pháp dạy học là rất cần thiết, có nhiều phương pháp dạy
học đem lại hiệu quả cho mơn học. Do đó cần lựa chọn một hoặc một số phương
pháp, kỹ thuật dạy học tích cực phù hợp với nội dung bài học, môn học. Đối với
bộ mơn Tốn, tơi nhận thấy việc áp dụng phương pháp dạy học theo chủ đề là
cần thiết và phù hợp với đặc trưng bộ môn.
Khi đưa phương pháp này vào bài học thì hiệu quả của liên hệ thực tiễn đã
được phát huy tích cực.
3.2. KIẾN NGHỊ:
Qua q trình nghiên cứu và áp dụng đổi mới phương pháp dạy học tôi
nhận thấy, phương pháp dạy học theo dự chủ đè có thể áp dụng hiệu quả cho tất

cả các đối tượng học sinh và phù hợp với các tiết dạy bài tập cũng như ơn tập
chủ đề. Trong đó qua thực tế kiểm nghiệm phương pháp mang lại kết quả cao
cho dạy học chủ đề Tiếp Tuyến.
Để nâng cao được chất lượng giờ học có sử dụng phương pháp dạy học
theo chủ đề thì học sinh cần được trang bị các phương tiện hỗ trợ học tập, như
máy tính nối mạng internet, phịng học bộ mơn.
Phương pháp dạy học theo chủ đề cũng cần được giáo viên nghiên cứu và
áp dụng nhằm đổi mới phương pháp dạy học góp phần tích cực vào việc đổi mới
giáo dục, đào tạo con người phục vụ cho sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại
hóa đất nước.
Trên đây là SKKN mà tơi đã thực hiện là những tổng hợp các bài toán về
pttt của đồ thị hàm số, và các bài toán liên quan, trên cơ sở đúc kết kinh nghiệm
giảng dạy, tham khảo qua sách vở và qua học hỏi. xin chân thành cảm ơn những
lời khuyên bổ ích của bạn đọc. Tơi rất mong nhận được nhiều sự góp ý hơn nữa
của các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Tôi xin cam đoan SKKN này là do bản thân tự nghiên cứu, viết ra và
thực hiện, không sao chép của người khác
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 5 năm 2022
Người viết sáng kiến

Hoàng Văn Huân

Lê Đình Lợi

15

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Phương pháp giải toán tiếp tuyến
+ Các bài giảng luyện thi mơn Tốn
+ Phương pháp giải Toán Hàm số
+ Tổng hợp đề thi các năm

skkn

Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí
Phan Đức Chính
Lê Hồng Đức