Skkn sử dụng phương pháp hình học giúp học sinh lớp 12 giải nhanh một số bài toàn min, max của mô đun số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIÚP HỌC SINH
LỚP 12 GIẢI NHANH
MỘT SỐ BÀI TOÁN MIN, MAX CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Tất Đảm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học.

THANH HĨA NĂM 2022

skkn


MỤC LỤC

1. MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm....................................................2
2.1.1. Khái niệm số phức ........................................................................... 2
2.1.2. Số phức liên hợp............................................................................... 2
2.1.3. Môđun của số phức .............................................................................2

2.1.4. Một số nhận xét....................................................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.....................2
2.3. Các tính chất đã sử dụng để giải quyết vấn đề............................................3
2.3.1. Bài tốn cơ bản.....................................................................................3
2.3.2. Các ví dụ...............................................................................................4
2.3.3. Bài tập tự luyện..................................................................................10
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.....................................................10
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.......................................................................12
3.1. Kết luận.....................................................................................................12
3.2. Kiến nghị...................................................................................................12

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Toán lớp 12 hiện nay, các bài toán vận dụng, vận dụng
cao phần số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh. Phần lớn học sinh đều cảm
thấy chán nản, khó hiểu khi tiếp xúc với nội dung địi hỏi nhiều kỹ năng này.
Một trong những khó khăn mà học sinh hay gặp phải là cách đưa bài toán về các
kiến thức quen thuộc, qua việc áp dụng tính chất hình học đã biết. Nhưng đối
với các bài tốn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phần số phức, học sinh
phải dựa trên các tính chất và hình vẽ để tìm lời giải nên gặp rất nhiều khó
khăn. Đây là phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có khả năng
tổng hợp kiến thức quy lạ về quen, sử dụng véc tơ và các hình cơ bản trong hình
học. Một trong các bài tốn quan trọng là bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức về số phức, nó xuất hiện hầu hết ở các đề thi THPT quốc gia
trong những năm gần đây. Thực tế cho thấy khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của mơ đun số phức thì số học sinh làm được phần này khơng nhiều. Đặc
biệt mơn tốn đã sử dụng phương pháp thi trắc nghiệm thì việc đưa ra đáp số

nhanh và chính xác là rất quan trọng và cần thiết. Đã có rất nhiều tài liệu đưa ra
một số phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức số
phức. Song phần lớn các tài liệu lại chưa trình bày một cách trực quan thơng qua
bài tốn tổng qt để các em học sinh có thể giải dạng tốn này một cách nhanh
chóng và dễ dàng. Do đó, khi gặp loại tốn này nhiều học sinh rất lúng túng, đặc
biệt là số học sinh có học lực trung bình, khơng biết hướng giải. Nhằm giúp các
em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo, gợi cho các em
hướng giải quyết tốt khi gặp loại tốn này, tơi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh
nghiệm: “Sử dụng phương pháp hình học Giúp học sinh lớp 12 giải nhanh
một số bài tốn min, max của mơ đun số phức” dưới dạng một bài viết nhỏ
với hi vọng giúp các em học sinh có hứng thú hơn về chủ đề này.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong bài viết này, tơi muốn thơng qua bài toán tổng quát trong sách giáo
khoa để học sinh hiểu rõ hơn về bản chất và phương pháp, từ đó tơi sẽ phát triển
rộng thêm để học sinh có thể áp dụng linh hoạt phần kiến thức vừa lĩnh hội. Một
thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần phải có đó là vẽ hình. Vì vậy, trong
bài viết này, tôi tập trung vào việc giúp học sinh quy các bài toán về bài toán
tổng quát, giúp các em làm được một cách nhanh và chính xác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tơi là bài tốn tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất về mô đun của số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong q trình nghiên cứu tơi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra giáo dục.
- Phương pháp quan sát sư phạm.

skkn

1

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Khái niệm số phức
Một số phức là một biểu thức dạng
mãn
. Kí hiệu số phức đó là và viết
là đơn vị ảo,

là phần thực và

, trong đó
.

là phần ảo của số phức

2.1.2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của
. Tức là
.

là số

2.1.3. Môđun của số phức
Mơđun của số phức
được kí hiệu là

và số

thỏa

.
và được ký hiệu là

là số thực khơng âm

. Tức là nếu

thì

và
.

2.1.4. Một số nhận xét
+ Cho hai số phức và . Khi đó ta có
.
+ Nếu điểm
biểu diễn số phức thì
cũng biểu diễn số phức .
+ Nếu điểm
biểu diễn số phức , điểm
biểu diễn số phức
thì
,
+ Cho ba điểm
nằm trên đoạn

.

ta ln có

. Đẳng thức xảy ra khi

.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng dạy học số phức lớp 12 nói chung và bài tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của mơ đun số phức nói riêng ở trường THPT được thể hiện ở một
số điểm sau:
Thứ nhất: Đối với giáo viên, để giúp học sinh nắm vững được lý thuyết và
vận dụng được lý thuyết vào giải quyết các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của mô đun số phức thì thường cần mất nhiều thời gian và công sức.
Trong những năm gần đây, trong các đề thi THPT Quốc Gia, bài toán giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức đều được xuất hiện và là nội dung
khó, có tính phân loại cao và dưới dạng hình thức thi trắc nghiệm nên nội dung
càng khó, càng rộng, càng gây khó khăn cho học sinh. Vì vậy nên nhiều giáo
viên cịn có tâm lý ngại khi dạy bài toán này.
Thứ hai: Đối với học sinh, để có thể làm tốt được các bài toán về giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của mơ đun số phức địi hỏi các em phải nắm chắc được
các kiến thức về hằng đẳng thức, vẽ đường tròn, đường thẳng... cũng như khả

skkn

2


năng tư duy trừu tượng, quan sát hình biểu diễn, tổng hợp, phân tích các dữ kiện.
Trong khi đó, học sinh bây giờ chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm nên các
em rất ngại phải suy nghĩ hay đầu tư sâu như trong tự luận. Đối với hầu hết học

sinh, thậm chí đối với một số học sinh khá giỏi cịn có tâm lý chán nản khi học
về bài tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức.
Thứ ba: Bài “giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức” trong
sách giáo khoa lớp 12 chương trình cơ bản khơng được đề cập nên học sinh khó
tiếp thu, cảm thấy lúng túng, không biết nên bắt đầu từ đâu và áp dụng thế nào
để giải các bài toán này.
Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, tôi muốn chia sẻ với các
em học sinh cũng như đồng nghiệp sáng kiến nhỏ này với mục đích giúp các em
nắm vững thuật toán để đáp ứng được cách thức thi trắc nghiệm theo xu hướng
hiện nay. Việc làm này tôi nghĩ cần thiết và phù hợp với yêu cầu của giáo dục
trong giai đoạn mới.
2.3. Các tính chất đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán cơ bản
Bài 1: Cho đường trịn tâm bán kính R,
là điểm bất kỳ trên đường trịn. Khi đó

là điểm nằm ngồi đường trịn,
,
.

Lời giải

Ta có
, do đó
khi
nằm giữa và hay
Mặt khác
, do đó
khi
nằm giữa

và
hay

M

B

C

I

Bài 2: Cho đường trịn
tâm bán kính R và đường thẳng
nhau. Các điểm
lần lượt nằm trên
và . Khi đó
.

A

khơng cắt

Lời giải

Ta có
, do đó
I

khi
vng góc của

với

là hình chiếu

R

trên
M

N

skkn

K

d

H

3


Bài 3: Cho hai đường trịn
tâm bán kính R và đường trịn
tâm
bán kính
( hai đường trịn nằm ngồi nhau). Các điểm
lần lượt nằm
trên

và
. Khi đó
,
.
Lời giải

M
N

R
B

R'
C

I

Ta có
, do đó
Mặt khác
.
2.3. 2. Các ví dụ
Bài 1: Cho số phức

D

A

J

khi
, do đó

khi

thỏa mãn

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

. Gọi
. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải

lần lượt là giá
.

Cách 1 (thường gặp)
Ta có
.
Do đó
.
Vậy
.
Cách 2 ( sử dụng hình học)
Ta có
. Do
đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức nằm trên
đường trịn tâm
, bán kính
.

Suy ra
,
.
Vậy
.

skkn

4


Bài 2: Cho số phức

thỏa mãn

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

. Gọi

lần lượt là giá trị

. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải

.

Cách 1 (thường gặp)
Ta có Ta có
.
Do đó

.
Vậy
.
Cách 2 ( sử dụng hình học)
Ta có

. Do đó tập hợp

các điểm biểu diễn số phức nằm trên đường trịn
tâm
, bán kính
.
Suy ra
,
.
Vậy
.
Bài 3: Cho số phức thỏa mãn
nhất của , với
.

. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
Lời giải

Cách 1 (thường gặp)
Ta có

.
.

Vậy
Cách 2 ( sử dụng hình học)
Ta có

.

.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức
trên đường trịn tâm
, bán kính
Suy ra

nằm
.

,
.

Vậy

.

skkn

5


Bài 4: Cho hai số phức
. Tính

có mơdun lớn nhất và nhỏ nhất thỏa mãn
.
Lời giải

Cách 1 (thường gặp)
Gọi
biểu diễn số phức . Ta có
.
Do đó

;
;

Vậy

.

Cách 2 ( sử dụng hình học)

Gọi

biểu

diễn

tâm

bán kính

số

phức

.

Ta

có

.
Gọi
là giao điểm của đường thẳng
với
đường trịn
, Từ hình vẽ suy ra
lần lượt
biểu diễn
. Vì là trung điểm của
nên
.
Vậy
.
Bài 5: Cho hai số phức
thoả mãn
. Gọi
phức mà tại đó
nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Cách 1 (thường gặp)
Ta có

là các số
.

.
Do đó

;
;

Vậy
.
Cách 2 ( sử dụng hình học)

skkn

6


Ta có
phức là đường trịn

suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số
, bán kính

tâm

Từ hình vẽ suy ra
,
. Khi đó

.
Vậy
.
Nhận xét: Cách thường gặp địi hỏi học sinh phải nắm rất vững về bất đẳng
thức, tuy nhiên đại đa số học sinh rất khó khăn khi gặp các bài phải sử dụng bất
đẳng thức. Mặt khác khi đánh giá việc xảy ra đẳng thức thì rất nhiều học sinh
gặp khó khăn. Để khắc phục những nhược điểm này tơi đưa ra cách vẽ hình và
sử dụng các tính chất cơ bản trong hình học
Bài 6: Cho hai số phức
thỏa mãn
.
Tính giá trị nhỏ nhất của
.
Lời giải
Gọi
, từ
.
Gọi các điểm

,

lần lượt biểu diễn các số phức

đường trịn

tâm

đường thẳng
nhỏ nhất.

Từ hình vẽ suy ra
Vậy

bán kính
. Để

. Khi đó
,

nằm trên

nằm trên

nhỏ nhất thì độ dài

.
.

skkn

7


Bài 7: Cho hai số phức

thỏa mãn

Tính giá trị nhỏ nhất của

.

.
Lời giải

Gọi

, từ
.

Gọi

,

lần lượt biểu diễn số phức
tâm

thẳng
nhỏ nhất.

. Khi đó
, bán kính

, suy ra

,

. Để

nằm trên đường
nhỏ nhất thì độ dài

Từ hình vẽ suy ra
Vậy

nằm trên đường trịn

.
.

Bài 8: Cho hai số phức
nhất của
.

thỏa mãn

,

. Tìm giá trị nhỏ

Lời giải
Từ

. Gọi

đó
phức

tâm

biểu diễn số phức

bán kính

, khi đó

tâm
. Để

biểu diễn số

bán kính

nhỏ nhất thì

Từ hình vẽ suy ra

, gọi

, khi
,

nhỏ nhất.

.

skkn

8

Vậy
.
Bài 9: Xét các số phức
nhất của

thỏa mãn

,

và

. Tính giá trị lớn

.
Lời giải

Từ

. Gọi

đó

tâm

bán kính

phức

tâm

biểu diễn số phức
, Gọi
bán kính

, khi

biểu diễn số
,

.

Từ hình vẽ suy ra
.
Đặt
,
là điểm biểu diễn số phức . Khi đó tập hợp điểm
phần giới hạn bởi hai đường trịn tâm
bán kính
và đường trịn
tâm

bán kính

Từ hình vẽ suy ra

lớn nhất khi

Vậy

.

Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho số phức
nhất của .
Đáp số :
.

thoả mãn

Bài 2: Cho hai số phức
nhất của

.

và

thỏa mãn

. Tính giá trị lớn

. Tính giá trị nhỏ

.

skkn

9


Đáp số :

.

Bài 3: Cho số phức

thoả mãn

Đáp số :
.
Bài 4: Cho hai số phức
nhất của biểu thức
Đáp số:

. Tính

thỏa mãn

.

và

. Tính giá trị nhỏ

.

.

Bài 5: Cho số phức thỏa mãn
.
Đáp số:

.
Bài 6: Cho số phức thoả mãn
của
Đáp số:

và

. Gọi

. Tính

lần lượt là GTLN, GTNN

. Tính

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa và sự tác động khác nhau lên qua trình lĩnh hội
kiến thức, sự phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành kĩ năng của học
sinh khi giáo viên không sử dụng và sử dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm
nghiệm như sau:
Tôi tiến hành kiểm tra cho 2 lớp 12A1(Lớp khối A) và 12A3(Lớp khối A)
thì có kết quả như sau:
+ Trước khi hướng dẫn
 Với lớp 12A1(tổng số 43),

là một lớp khối A năm học 2020-2021, lớp có nhiều học
sinh tiếp thu nhanh và có ý thức trong học tập:

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

5

11,6

10

23,2

20

46,5

5

11,6

3

7,1

 Với lớp 12A3 (tổng số 44), là một lớp khối A năm học 2020-2021, Phần đa
các em tiếp thu chậm hơn và có kết quả sau:

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

5

11,36

20

46,5

15

34,8

6

7,34

+ Sau khi hướng dẫn:
Sau khi dạy xong chủ đề: “Sử dụng phương pháp hình học Giúp học sinh
lớp 12 giải nhanh một số bài tốn min, max của mơ đun số phức”, tơi đã cho
học sinh làm bài kiểm tra 15 phút như sau:

skkn

10


Đề bài:
Bài 1(3đ): Cho số phức thoả mãn
lớn nhất của .
Bài 2(4đ): Cho hai số phức
thỏa mãn
nhỏ nhất của
.
Bài 3(3đ): Cho hai số phức
thỏa mãn

giá trị nhỏ nhất của
.
Kết quả lớp 12A1: ( Tổng số học sinh :43)
Giỏi

Khá

và

. Tính giá trị
,

. Tìm giá trị
. Tính

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

12

27,9

20

46,5

9

20,9

2

4,7

0

%

Kết quả lớp 12A3: ( Tổng số học sinh :44)

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

8

18,0

20

45

12

27

3

6,9

1

3,1

Qua bảng trên, có thể thấy rằng kết quả học tập của lớp 12A1 và 12A3 sau khi
học xong chủ đề này đã có sự thay đổi rõ rệt. Khi chưa áp dụng phương pháp
mà tôi đã trình bày ở trên, lớp 12A1 tuy là lớp học tốt nhưng chỉ có 5 em đạt
giỏi, 10 em đạt khá cịn lại là trung bình, yếu , kém. Sau khi áp dụng phương
pháp này thì đã có tới 12 em đạt điểm giỏi và 20 em đạt điểm khá. Số lượng
khá, giỏi đã chiếm tới 74,4%. Đối với 12A3, tuy tiến bộ không bằng 12A1
nhưng qua so sánh ta thấy, trước khi hướng dẫn phương pháp chỉ có 5 học sinh
đạt điểm khá, phần đa còn lại là trung bình và yếu. Sau khi đã áp dụng phương
pháp này, thì có tới 8 học sinh đạt điểm giỏi, 20 học sinh đạt điểm khá, số lượng
học sinh đạt điểm khá, giỏi, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm

yếu, kém giảm xuống. Đã có tới 60,7% học sinh đạt điểm khá, giỏi chứng tỏ các
em đã tiếp thu và vận dụng tốt phương pháp này, giúp các em rút ngắn thời gian
tính tốn và độ chính xác cao hơn. Trong q trình truyền đạt, tơi cảm thấy các
em hào hứng và say mê hơn, khơng cịn cảm thấy sợ hải hay chán nản dẫn đến
bỏ cuộc như những lần trước. Giờ đây, khi làm đề tổng hợp, với các loại bài tập
về khoảng cách đã được các em đón nhận và dành một khoảng thời gian hợp lý
để đầu tư tìm hướng giải chứ khơng khoanh tù mù như trước. Như vây, thành
công bước đầu và quan trọng của cách làm là đã cải thiện được chất lượng học
tập của học sinh cũng như tạo ra được sự hứng thú, say mê của học sinh khi học
phần kiến thức này.
Với cách làm tơi vừa trình bày ở trên, giáo viên chỉ cần phân tích hướng
giải và gợi mở vấn đề cho học sinh, học sinh chủ động phát hiện ra các điểm
mấu chốt của bài toán để có thể đưa bài tốn phức tạp về bài tốn cơ bản đơn
giản hơn.

skkn

11


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
Bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mơ đun số phức trong
chương trình giải tích 12 nói chung rất đa dạng, phong phú và phức tạp. Để có
thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của bản thân có hiệu quả vào đối tượng học
sinh, giúp học sinh tính tốn nhanh trong các bài trắc nghiệm thì u cầu cả
người dạy và người học phải không ngừng học hỏi và tìm kiếm những tri thức
mới. Riêng đối với các em học sinh phải luôn cố gắng, chăm chỉ rèn luyện thì
mới có thể phát triển tư duy suy luận logic, phân tích vấn đề và khái qt hố

vấn đề, từ đó mới có thể giải quyết vấn đề một cách khoa học, nhanh gọn và bắt
kịp với xu hướng học hiện nay. Trong khuôn khổ bài viết của mình, tơi xin
mạnh dạn đưa ra một số bài tốn về tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô
đun số phức cùng với cách sử dụng tinhs chất hình học cơ bản giúp học sinh có
thể đưa bài toán đã cho về bài toán cơ bản. Từ đó, giúp các em giải quyết bài
tốn một cách dễ dàng hơn và nhanh nhất khi làm trắc nghịêm.
Kiến thức khoa học nói chung và kiến thức tốn học nói riêng rất phong
phú và đa dạng. Do đó, bài viết khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong được sự góp ý của đồng nghiệp và độc giả để sáng kiến kinh nghiệm
được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị
Đối với giáo viên :Trong các giờ học, cần thường xuyên kiểm tra học sinh
các định nghĩa, định lí, tính chất trọng tâm của chương IV trong sách giáo khoa
giải tích 12. Trong khi học sinh làm bài tập, giáo viên cần quan sát và đến chỗ
ngồi của các em, đọc các bài nháp của các em để có thể định hướng, giúp đỡ,
tháo gỡ khó khăn chỉnh sửa ngay các sai lầm trong bài làm. Chuyên đề này nên
giảng dạy trong các tiết tự chọn.
Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ chun mơn, các giáo viên trong tổ có
thể chọn ra một chủ đề nào đó mà giáo viên cịn gặp khó khăn trong giảng dạy cũng như học
sinh cịn lúng túng, chưa biết cách để làm các bài tập để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cũng
như hệ thống các bài tập hay đối với từng lớp trong các buổi họp tiếp theo.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Ký và ghi rõ họ tên

Nguyễn Tất Đảm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao- Nhà xuất bản giáo dục.
-Sách bài tập giải tích 12 nâng cao- Nhà xuất bản giáo dục.

skkn

12


-Tổng hợp đề thi đại học mơn tốn từ năm 2010 và đặc biệt các bài tập
trắc nghiệm theo hướng đổi mới thi hiện nay. Nguồn internet.
-Nguồn: Tailieu: text.123doc.org
-Nguồn:

skkn

13