Skkn ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học không gian tổng hợp

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Kính thưa quý Thầy, Cơ giáo đang giảng dạy bộ mơn Tốn THPT ở tỉnh Thanh Hóa. Như q
Thầy, Cơ đã biết, thi THPT Quốc gia 3 năm 2017, 2018, 2019 vừa qua, thi tốt nghiệp THPT năm 2020,
2021, thi đánh giá năng lực ở một số trường Đại học đối với bộ mơn Tốn đều thi trắc nghiệm khách
quan và đặc biệt từ năm học 2021 – 2022 kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT đối với lớp 12 ở bộ môn Tốn
cũng bắt đầu thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan. Để thuận lợi cho việc học tập của học sinh
hướng tới thi tốt nghiệp THPT, thi đánh giá năng lực và thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong những
năm tới, chúng ta cần phải tiếp tục tìm ra những hướng đi để giải những bài toán phức tạp bằng những
phương pháp đơn giản với mong muốn tìm ra con đường đến với đáp án của bài toán một cách nhanh
nhất.
Vì vậy tuy là CBQL ở một trường THPT miền núi cao, việc giảng dạy mơn Tốn khơng nhiều
nhưng là giáo viên dạy Tốn cũng đã có nhiều năm trao đổi và chia sẽ trong công tác chuyên môn của
bộ mơn Tốn. Tơi thiết nghĩ, mỗi năm, mỗi giáo viên Toán chúng ta nên chọn một nội dung hướng tới
những kỳ thi mà học sinh của chúng ta sẽ trãi qua để xây dựng, nghiên cứu, tìm hiểu, siêu tầm và hệ
thống lại thành một sáng kiến phục vụ cho công tác giảng dạy.
Năm học 2018 – 2019 tôi đã lựa chọn nội dung: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một
số bài toán vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi THPTQG
đồng thời lồng ghép tích hợp trong giải phương trình Mũ và Lơgarit’’ và được đánh giá xếp loại C cấp
ngành.
Năm học 2019 – 2020 tôi đã lựa chọn nội dung: “Một số phương pháp giải phương trình lượng
giác TNKQ theo định hướng kỳ thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh đại học và thi chọn học sinh giỏi tỉnh
sau này” và cũng được xếp loại C cấp ngành.
Vì thế trong năm học 2021 – 2022 này phát huy những ưu điểm và tinh thần của toán học Thanh
Hố tơi tiếp tục chọn một nội dung về Bài tốn Hình học Khơng gian tổng hợp để viết sáng kiến. Với
mong muốn đưa bài tốn về những cơng thức sẵn có của hình học tọa độ trong khơng gian để tìm ra kết
quả nhanh nhất. Có thể nó không mới đối với các Thầy, Cô giảng dạy bộ mơn Tốn THPT nhưng nó
thực sự hữu ích để giúp học sinh bớt khó khăn hơn trong việc giải các Bài tốn Hình học Khơng gian
tổng hợp. Tơi vẫn biết từ năm học 2022-2023 tới đây, lớp 10 sẽ bắt đầu học theo Chương trình Giáo
dục phổ thơng 2018. Nhưng những phương pháp giải tốn này vẫn ln đồng hành trong q trình
giảng dạy của q Thầy, Cơ và học tập của các em học sinh THPT.

Chúng ta đã biết:
Quá trình dạy học là một quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển năng lực tư duy cho học
sinh. Muốn quá trình đạt kết quả cao ta phải kiểm tra, đánh giá sự nhận thức của học sinh nhằm phân
loại học sinh một cách tốt nhất. Từ đó rút ra kinh nghiệm, điều chỉnh phương thức dạy học đúng, phù
hợp với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh. Do đó q trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu kiến
thức của học sinh là một khâu vơ cùng quan trọng, nó chẳng những là khâu cuối cùng đánh giá độ tin
cậy cao về sản phẩm đào tạo mà nó cịn có tác dụng điều tiết trở lại hết sức mạnh mẽ đối với q trình
đào tạo.
Có nhiều cách để kiểm tra, đánh giá học sinh. Trong đó, trắc nghiệm là phương pháp có thể
đánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấm bài nhanh, khách quan
nhất. Sự kết hợp giữa phương pháp trắc nghiệm và phương pháp tự luận lại càng đạt được kết quả và

1

skkn


độ tin cậy cao hơn. Nhưng chắc chắn vẫn phải có q trình tìm tra kết quả và đây là điều quan trọng
trong sáng kiến này.
Hiện nay phương pháp dạy và học, cơ cấu và quy trình tổ chức đều có những thay đổi về bản
chất. Người dạy trở thành chuyên gia hướng dẫn, giúp đỡ người học. Người học hướng tới việc học tập
chủ động, biết tự thích nghi. Môi trường hợp tác tư vấn, đối thoại trở nên quan trọng. Kiến thức được
truyền thụ một cách tích cực bởi cá nhân người học. Tốn học là mơn học có nhiều điều kiện thuận lợi
để thực hiện các phương pháp dạy mới này. Để phù hợp với phương pháp dạy học mới người giáo viên
cũng cần đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá việc nhận thức của học sinh. Trong q trình giảng
dạy mơn Hình học lớp 11 và lớp 12 tơi nhận thấy mơn học có nhiều điều kiện thuận lợi cho việc sử
dụng hình thức kiểm tra trắc nghiệm.
Qua kinh nghiệm giảng dạy mơn tốn THPT, tôi thấy rằng học sinh đa số đều yếu về kỹ
năng giải tốn hình học tổng hợp cả phần hình học phẳng và hình học khơng gian, đặc biệt là phần
hình học khơng gian tổng hợp ở học kì 2 lớp 11 và học kì 1 lớp 12, vì đây là phần học khó, địi hỏi

trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, khơng phải học sinh nào cũng có thể học tốt được.
Tuy nhiên, học sinh lại học tương đối tốt phần kiến thức “Phương pháp tọa độ trong khơng
gian” (cịn được gọi là mơn “Hình học giải tích” trong chương trình 12).
Trong các đề thi THPT Quốc gia, tốt nghiệp THPT, thi đành giá năng lực và thi HSG bậc
THPT tỉnh Thanh Hóa từ năm học 2021-2022 thường xuất hiện bài tốn hình học khơng gian tổng
hợp mà ở đó lời giải địi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học khơng gian như: dựng
hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện … Việc tiếp cận các lời giải đó thực tế
cho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên, chẳng hạn bài tốn tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng
hình mà chỉ dừng ở mức độ tính tốn để tìm ra kết quả và chọn đáp án đúng thì rõ ràng phương
pháp tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính tốn đều đã được cơng thức hóa.
Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành
thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm với nội dụng: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP”.
Trong sáng kiến này, các bước cơ bản để giải một bài tốn hình học khơng gian tổng hợp
bằng phương pháp tọa độ sẽ được đưa ra từ các ví dụ minh họa, sau đó là ứng dụng vào giải một số
bài toán trong các đề thi của các năm gần đây.
Trong q trình viết sáng kiến khơng thể tránh khỏi các thiếu sót, rất mong q Thầy, Cơ
đóng góp ý kiến để tài liệu được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm giúp bản thân nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, giúp đồng nghiệp có thêm tài liệu tham
khảo và giúp các em học sinh có thêm phương pháp giải tốn dễ hiểu và hiệu quả.
Nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực
sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về phương pháp giải một số bài tốn hình học không gian tông
hợp.

skkn

2


1.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tốn về hình học không gian tổng hợp trong sách giáo khoa, các đề thi THPTQG,
các đề thi TN THPT, các đề thi đánh giá năng lực và các đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thanh Hóa.
Trình bày một số kết quả nghiên cứu ban đầu để từ đó thấy rõ được vai trị của phương pháp giải
mới. Góp phần quan trọng giúp học sinh nâng cao năng lực giải toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm.
- Khai thác tiềm năng dạy và học tốn từ đó bồi dưỡng năng lực học toán cho các em học sinh.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học
phần hình học khơng gian ở trường THPT Thường Xuân 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc
áp dụng phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Hình học, sách bài
tập Hình học lớp 11, lớp 12 cả cơ bản và nâng cao, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học
theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vơ
cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài tốn. Trong dạy học
giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt
động tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn
luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo
viên.

Trong sách Hình học lớp 11, 12 đã đưa ra một số phương pháp giải một số bài tốn hình học
khơng gian tổng hợp nhưng chưa giải quyết được những bài toán phức tạp. Vì vậy, tơi nhận thấy mình
cần bổ sung và khắc sâu thêm phương pháp giải một số bài toán Hình học khơng gian tổng hợp để giải
quyết một số bài tốn hình học khơng gian tổng hợp.
Với mong muốn: Cung cấp cho học sinh các thao tác cơ bản nhất để chuyển đổi từ bài tốn hình
học tổng hợp về hình học giải tích và vận dụng kiến thức về hình học giải tích trong khơng gian để giải
tốn.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy phần Hình học không gian giác tôi thấy các em rất bỡ ngỡ và khơng
biết định hướng với việc làm bài hình học không gian tổng hợp ở mức độ vân dụng và vận dụng cao do
thường là kỹ năng làm bài còn chưa tốt dẫn đến dễ nhầm lẫn và không kịp thời gian làm hết bài. Đề tài
được viết từ tháng 9/2021 đến tháng 5/2022 nhằm giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 có thêm
phương pháp giải tốn hiệu quả.
Số bài tập phù hợp với các kỳ thi hiện nay là rất ít và khơng đa dạng.

skkn

3


Trường THPT Thường Xuân 3 là một trường nằm ở khu vực năm xuân của huyện Thường
Xuân, có 5 xã đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, có nhiều học sinh là con em dân tộc thiểu số nên
điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường đi học cịn xa và
khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em.
2.3. Các nội dung đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiến thức được trình
bày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao (chương III), các ví dụ được tổng hợp từ
các bài tập trong Sách giáo khoa và Sách bài tập, các bài toán lấy từ các đề thi chính thức của Bộ
Giáo dục và Đào tạo, đề thi đánh giá năng lực và đề thi HSG tỉnh.
Các kí hiệu thường dùng trong sáng kiến:

+ VTPT: vectơ pháp tuyến, VTCP: vectơ chỉ phương
+ (XYZ): mặt phẳng qua 3 điểm X, Y, Z
+ d (X, (P)): khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng (P)
+ d ((P), (Q)): khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q)
+ d (a, b): khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
I.

GIỚI THIỆU NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến các vấn đề sau:

1)

Kiến thức chuẩn bị về hình học giải tích trong khơng gian.

2)

Một số cách chọn hệ trục tọa độ trong khơng gian.

3)

Các dạng tốn thường gặp

II.

CÁC VẤN ĐỀ CHI TIẾT CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1) Kiến thức chuẩn bị về hình học giải tích trong khơng gian.
Trước khi giải các bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ, học sinh cần
nắm được cách diễn đạt một số khái niệm hình học khơng gian bằng “ngơn ngữ” hình học giải tích.
Từ đó, học sinh có thể chuyển bài tốn hình học tổng hợp thành bài tốn hình học giải tích để giải

quyết bài tốn.
 Đường thẳng song song với mặt phẳng:
VTPT của

,

là

.

 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
,

là VTPT của

 Hai đường thẳng vng góc:

cùng phương

.
.

 Hai mặt phẳng vng góc:

.

 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi

cùng phương. Hay

.

skkn

4


 Bốn điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi
là ba véc tơ đồng phẳng. Hay

,

,

.

 Khoảng cách từ điểm

tới mặt phẳng

là:

.
 Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm Mo và có VTCP

:

.
 Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau
đi qua điểm

và có VTCP

đi qua điểm

:

và có VTCP

;

.

 Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) song song với nhau bằng khoảng
cách từ điểm

bất kì nằm trên đường thẳng d đến mp(P).

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì nằm
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì nằm
trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
 Diện tích hình bình hành ABCD:

.

 Diện tích tam giác ABC:

.

 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

.

 Thể tích tứ diện ABCD:
 Góc giữa hai đường thẳng

.
có VTCP

và đường thẳng

định bởi cơng thức:

có VTCP

được xác

.

 Góc giữa đường thẳng d có VTCP
cơng thức:

và mặt phẳng (P) có VTPT

được xác định bởi

.

skkn

5


 Góc giữa mặt phẳng (P) có VTPT
cơng thức:

và mặt phẳng (Q) có VTPT

được xác định bởi

.

2) Một số cách chọn hệ trục tọa độ trong khơng gian.
2.1

Hình hộp chữ nhật – hình lập phương

Chọn gốc tọa độ là một trong 8 đỉnh. Ba cạnh xuất phát từ một đỉnh nằm trên các trục tọa độ.

2.2

Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân
 Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáy của hình
chóp.
 Trục cịn lại chứa đường trung bình của mặt bên.
Chú ý: lăng trụ tam giác đều cũng chọn như vậy.

2.3

Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông
 Chọn đỉnh tam giác vuông ở đáy làm gốc. Ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh này.

2.4

Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi
 Chọn trục cao nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy.
 Hai trục kia chứa hai đường chéo của đáy.

skkn

6


Chú ý: Lăng trụ tứ giác đều cũng chọn như vậy.

2.5

Chóp tam giác có góc tam diện vng
 Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh của góc tam diện vng.
 3 trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh của góc tam diện vng đó.
z

D

y

A

C

B

x

2.6
Tứ diện đều
Cách 1:
 Dựng hình lập phương ngoại tiếp hình tứ diện đều.
 Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với đỉnh của hình lập phương.
 3 cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên ba trục.

Cách 2:
 Hai trục lần lượt chứa đường cao và một cạnh tương ứng của mặt
 Trục còn lại vng góc với mặt

.

cùng phương với đường cao AG.

2.7

Chóp tam giác đều Chọn như cách 2 ở trên.

2.8

Chóp tứ giác đều

skkn

7

 Trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp.
 Hai trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo đáy hình chóp (hai đường chéo này vng
góc với nhau)

2.9

Chóp tứ giác có đáy là hình thoi, các cạnh bên bằng nhau
Như chóp tứ giác đều

2.10

Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau

 Chọn hai trục chứa hai cạnh hình chữ nhật của đáy.
 Trục thứ 3 vng góc với đáy (cùng phương vói đường cao SO của hình chóp - trục Az nằm
trong mặt chéo (SAC)).

3) Các dạng toán thường gặp
3.1 Dạng bài về hình lập phương
Trước hết, để làm quen với việc tọa độ hóa các bài tốn hình học khơng gian tổng hợp, ta bắt
đầu bằng hai ví dụ đối với một hình đa diện có thể tọa độ hóa dễ dàng nhất, đó là hình lập phương. Có
thể khẳng định chắc chắn rằng mọi bài toán yêu cầu chứng minh các quan hệ hình học hoặc tính
tốn đối với hình lập phương đều có thể giải một cách ngắn gọn bằng phương pháp tọa độ.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng này;
b) Chứng minh A’C vng góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vng góc với IJ (I, J lần lượt là
trung điểm của các cạnh BB’ và AD);

z
c) Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. Chứng minh rằng hai
A’
D’
mặt phẳng (A’BD) và (KBD) vng góc nhau.
Giải
nhau nên ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:

K

I

O A, tia AB tia Ox, tia AD tia Oy, tia AA’ tia Oz.

skkn

C’

B’

Do các cạnh AB, AD, AA’ đôi một vuông góc

A
B
x

y

D

J
C

8


Khi đó, ta có:
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),
C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1).
a). Chứng minh (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau. Khoảng cách giữa chúng.
Dễ dàng thiết lập được phương trình của hai mặt phẳng:
(AB’D’): x + y – z = 0 và (C’BD): x + y – z – 1 = 0.
Do đó (AB’D’) // (C’BD) và d((AB’D’),(C’BD)) = d(A,(C’BD)) =

.

b). Chứng minh A’C vng góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vng góc với IJ
Ta có

= (1;1;–1) chính là một vectơ pháp tuyến của (AB’D’): x + y – z = 0, do đó A’C

Mặt khác, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD nên I(1;0;

(AB’D’).

), J(0; ;0)
.

c). Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) và (KBD) vng góc nhau
Ta có phương trình mặt phẳng (A’BD) là x + y + z – 1 = 0 (VTPT là

K là trung điểm CC’

(VTPT là

).
).


Dễ thấy

Trên đây ta nhận thấy với phương pháp tọa độ, các chứng minh về quan hệ song song và vng
góc được thực hiện khá dễ dàng bằng các phép tính đại số mà khơng phụ thuộc vào hình vẽ hoặc các
suy luận hình học thường rất khó trình bày đối với học sinh. Qua ví dụ ta rút ra các nhận xét quan trọng
sau đây:
+ Chứng minh hai mặt phẳng song song: viết phương trình của chúng và so sánh các hệ số.
+ Chứng minh hai mặt phẳng vng góc: chứng tỏ tích vô hướng của hai VTPT bằng 0.
+ Chứng minh hai đường thẳng vng góc: chứng tỏ tích vơ hướng của hai VTCP bằng 0.
+ Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: chứng tỏ VTCP của đường thẳng chính
là một VTPT của mặt phẳng.
Tiếp theo, ta xét ví dụ về việc tọa độ hóa bài tốn tính góc và khoảng cách trong khơng gian.
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 và I là tâm của ABCD. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của B’B, CD và A’D’.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C’N và góc giữa hai mặt phẳng (PAI), (DCC’D’);
b) Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’.
Giải

skkn

9

z

Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:
O A, tia AB tia Ox, tia AD tia Oy,

P

A’

D’

tia AA’ tia Oz.
C’

B’

Khi đó, ta có:
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),

M

C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1).

A

a) Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C’N

I

và góc giữa hai mặt phẳng (PAI, (DCC’D’).

B

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của
B’B, CD và A’D’ nên M(1;0; ), N(

D

y

N
C

x

;1;0), P(0;

;1).

Khi đó, ta có
góc giữa MP và C’N bằng 900.
Mặt khác, I là tâm của ABCD
(PAI) có VTPT là
(DCC’D’) có VTPT là
Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (PAI) và (DCC’D’).

Ta có:

.

b). Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’.
Ta có:
.

Mặt khác,

.



Nhận xét: Đối với bài tốn tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau khi giải bằng phương pháp cổ điển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất
chính là dựng hình (trực tiếp hoặc gián tiếp) vốn địi hỏi học sinh phải nắm rất vững về phương pháp
cũng như phải có sự suy nghĩ khá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương

skkn

10


pháp tiếp cận rất rõ ràng vì tất cả các u cầu trên đều đã có cơng thức, do đó còn lại là yêu cầu học
sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính tốn cơ bản để áp dụng được cơng thức đã có.
3.2 Dạng bài về chóp tam giác có góc tam diện vng
Ví dụ kế tiếp ta chuyển sang một đối tượng hình khơng gian khác, đó hình tứ diện có ba cạnh
xuất phát từ một đỉnh đơi một vng góc nhau (gọi tắt là tam diện vng). Phương án tọa độ hóa đối
với hình đa diện này và hình hộp chữ nhật là như nhau.
Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c.

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O;
b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn;
c) Gọi

lần lượt là góc giữa (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh

rằng:

.

Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia OA tia Ox, tia OB tia Oy, tia OC tia Oz.
Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O.
Dễ thấy phương trình mặt phẳng (ABC) là

.

Độ dài h của đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC):
.
b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
Ta có:
nhọn.
Tương tự,

nhọn.
z
C

nhọn.

Vậy tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
c). Chứng minh
Với

.

lần lượt là góc giữa (ABC)

và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB).

O

B

y

Dễ thấy các mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA),
(OAB) có VTPT lần lượt là

skkn

A
x

11


,

.

Do đó
,
,
.
Suy ra:



.

Qua ba ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đơi
một vng góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được
ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước. Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa
mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn.
Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB =
, SC (ABC), tam giác ABC vuông tại A. Các
điểm M, N lần lượt di động trên tia AS và CB sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t sao cho MN ngắn nhất;
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vng góc chung của BC và SA.
Giải
Nhận xét: tại vị trí điểm A hoặc điểm C ta nhận thấy đã có một cặp cạnh vng góc (AB AC, CS
CA, CS CB) nhưng chưa đạt đủ điều kiện cần thiết là phải có ba cạnh đơi một vng góc cùng xuất
phát từ một đỉnh, do đó ta dựng đường thẳng qua A và vng góc với (ABC) (đường thẳng này song
song với SC).
z

Khi đó, chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với
A O(0;0;0), B(

C(0;

;0), S(0;

;0;0),
;

S

).

a). Tính độ dài đoạn MN theo a và t.
M

Tìm t sao cho MN ngắn nhất.
Theo giả thiết M thuộc tia AS và AM = t

C
OA

Tương tự, N thuộc tia CB và CN = t

y

N

.

B
x

skkn

12


Vậy ta có

.

Hơn nữa,

, dấu đẳng thức xảy ra khi

(thỏa 0 < t < 2a). Vậy

.

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vng góc chung của BC và SA.
Khi MN ngắn nhất, ta có

nên

Mặt khác



hay MN là đường vng góc chung của SA và BC.

Trên cơ sở các ví dụ minh họa đã được trình bày, ta có thể rút ra ba bước cơ bản sau đây đối

với việc giải bài tốn hình học khơng gian tổng hợp bằng phương pháp tọa độ:
+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp
+ Xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Chuyển bài tốn hình khơng gian tổng hợp về bài tốn tương ứng trong khơng gian tọa độ
và vận dụng các cơng thức thích hợp (chứng minh vng góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng
cách…).
3.3 Dạng bài tổng hợp trong các đề thi
Để rõ hơn về những ứng dụng mạnh mẽ và hiệu quả của phương pháp này, ta sẽ giải một số câu
hình học khơng gian tổng hợp trong các đề thi trong các năm gần đây.
3.3.1 Dạng bài về hình lăng trụ
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
. Gọi M
là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM, B’C.
Giải

z

Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vng

B’

A’

cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ
đứng, ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với
B O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0;
Dễ thấy

).

C’

.

Bây giờ ta tính khoảng cách giữa AM và B’C.

A
OB

y

M

skkn

C

x

13


M là trung điểm của BC

Mặt khác,

.

Lại có



.

Nhận xét: Theo đáp án chính thức, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C trong bài
tốn này hồn tồn khơng dễ, địi hỏi dựng được mặt phẳng chứa AM và song song với B’C, rồi qui
việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này về khoảng cách từ C, rồi lại từ B đến mặt phẳng mới
dựng đó. Lời giải bằng tọa độ rõ ràng là rất ngắn gọn và trực tiếp.
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Giải
Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Tam giác ABC đều cạnh a nên AO BC và AO =

.

Chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ, tia OA tia Ox, tia OC tia Oy, tia Oz song song và cùng
hướng với tia AA’. Khi đó A(

;0;0), B(0;

;0), C(0;

;0), A’(

;0;

).

Dễ thấy góc giữa mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là góc
.
G là trọng tâm tam giác A’BC nên G(

;0;

).

Bây giờ, ta đi xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, với
G(

;0; ),

A(

;0;0), B(0;

A’

;0),

C(0;

;0).
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có phương
trình
.

C’

z

B’
x

y

G
A

C

Thay lần lượt tọa độ G, A, B, C vào phương trình trên
ta có

O
B

skkn

14


Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có tâm I(

) và bán kính là


.

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
. Hình
chiếu vng góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
(ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B’ đến mặt
phẳng (A’BD) theo a.
Giải
Gọi I = AC

BD. Ta có

.

Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ, tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz là tia Bz song song và
cùng hướng với tia IA’.
Khi đó

z

B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;
D(a;

;0), I(

;0),
B’

).

A’ có hình chiếu lên (Oxy) là I nên A’(

)

C’

D’

A’

.

Ta tìm z:
+ Mặt phẳng (ABCD) chính là
mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT
là

BO

C

y

+
A

mặt phẳng (ADD’A’) có VTPT là
.

I
D

x

+ Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 nên ta có

skkn

15


(z > 0).

Vậy A’(

).

Do đó

.

Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là
.
Mặt khác

Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) là



.

3.3.2 Dạng bài về hình chóp

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP. Tính
theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
Giải
z

Gọi O là tâm của ABCD. Chọn hệ trục Oxyz như
hình vẽ với
O(0;0;0), C(

;0;0), A(

S

;0;0), D(0;

;0),
B(0;

M

;0), S(0;0;

)(

N
y

A

D

).
M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SB và CD
N(0;
Khi đó

;

M(
), P(

;0;

O

),

;

B

P
C

x

;0).
,

skkn

16


.
Mặt khác, ta lại có
,

,


Lưu ý: Đáp án chính thức cho phương án tính thể tích tứ diện AMNP gián tiếp thơng qua thể tích tứ
diện ABSP và thể tích khối chóp S.ABCD. Cách tính trên đây bằng phương pháp tọa độ là hoàn toàn
trực tiếp, dễ định hướng. Việc tọa độ hóa có thể lấy một đỉnh của đáy làm gốc tọa độ (cần kẻ thêm
đường thẳng qua đỉnh và song song với SO).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA =

,

BA = BC = a, AD = 2a.

. Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên SB.

Chứng minh tam giác SCD vng và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với A O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0;
Khi đó

).

, hay tam giác SCD vng tại C.

Mặt khác (SCD) có VTPT là
z
hay (SCD):

S

.

Đường thẳng SB có phương trình tham số là

H
D

OA

.

y

.
B

Vậy

.

C

x

Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là
.

skkn



17


Nhận xét: Nếu so với đáp án chính thức trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ ràng và trực tiếp
hơn, dễ hiểu hơn ( đáp án chính thức tính d(H, (SCD)) thơng qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B,
(SCD)) rồi lại tính d(B,(SCD)) thơng qua thể tích tứ diện SBCD ).
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vng góc
với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Giải

z

Gọi O là tâm của đáy ABCD.

E

S

Vì hình chóp đã cho là hình chóp đều nên SO
(ABCD).
Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ,
M

tia OC tia Ox, tia OD tia Oy,
tia OS tia Oz.
Khi đó ta có
O(0;0;0), A(

y

A

;0;0), C(

D

;0;0), B(0;
O

;0), D(0;
S tia Oz

;0),

B

C

N

(x > 0).

x

E đối xứng với D qua trung điểm của SA
ADSE là hình bình hành
M là trung điểm của AE
N là trung điểm của BC
Mặt khác

.

Lại có

.

Mà

.



Nhận xét: Bài tốn 4 có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy bằng việc kẻ thêm
đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đôi một vng góc tại đỉnh đó.
Cái hay của việc tọa độ hóa ở lời giải chính là việc chọn biến x chưa biết đối với tọa độ điểm S, nhưng
kết quả lại không phụ thuộc vào x.

skkn

18


Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu
vng góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =

. Gọi CM là đường cao

của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Giải
Chọn hệ trục Oxyz với A là gốc tọa
độ,

z
S

tia AB là tia Ox, tia AD là tia Oy,
tia Oz là tia Az song song và cùng
hướng với tia HS.
Ta có

M

A(0;0;0),
D(0;a;0).

B(a;0;0),

C(a;a;0),
D

A

Theo giả thiết SH
AH =

=

H

(ABCD),
, SA = a

y

B

C

x

Vậy ta có SC =
cũng là đường trung tuyến
Vì M là trung điểm SA nên

SAC cân tại C nên đường cao CM
M là trung điểm của SA

.

.

Ta có:

.



Nhận xét: Bài tốn này có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là điểm H hoặc tâm của đáy. Việc tính
thể tích SMBC thơng qua thể tích AMBC chỉ là vấn đề kĩ thuật để phép tốn dễ tính hơn, hồn tồn có
thể tính trực tiếp được thể tích SMBC vì tọa độ các đỉnh đã biết.

skkn

19


Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH (ABCD) và SH =
tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Giải

S

z

Dễ thấy

. Tính thể

.
y
N

Bây giờ ta tính khoảng cách giữa hai

A

D

đường thẳng DM và SC bằng phương

H
M

pháp tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có C
O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0).

B

CO

x

M là trung điểm AB
N là trung điểm AD
H

cùng phương và

cùng phương

và

. Vậy H(

)

Khi đó,

Mặt khác

.



Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng
(SBC) vng góc (ABC). Biết SB =
và
cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng

Giải
Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ S lên BC.
Vì (SBC)

(ABC) nên SH

(ABC).

skkn

20


Mặt khác SB =

và

.

Dễ thấy

.

Bây giờ ta tính khoảng cách từ điểm B

z

đến mặt phẳng (SAC) bằng phương pháp

S

tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ,
tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz
là tia Bz song song và cùng hướng với

30

tia HS.



H

OB

y

C

Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0),
S(0;3a;

).
A

x

mặt phẳng (SAC) có phương trình là
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là


.

Nhận xét: Nếu so với cách tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC) thông qua khoảng cách từ điểm H
của đáp án chính thức thì cách trên là trực tiếp, dễ định hướng hơn và dễ thực hiện hơn.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác vng cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vng góc với (ABC). Gọi M
là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song
song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích khối
chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SN theo a.

z
S

Giải

60

Theo giả thiết (SAB), (SAC) cùng
vng góc với (ABC) nên SA

M

A

BO

(ABC).

Góc giữa (SBC) và (ABC) là

.

N
.

skkn

C

21
x

y


Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC
tại N

MN // BC

N là trung điểm AC.

Do đó tam giác AMN vng cân tại M.
Khi đó, ta có

.
Bây giờ ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN bằng phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với B là gốc tọa độ,

.

N là trung điểm AC

.

Mặt khác

.

Lại có



.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và
BC theo a.
Giải
Dựng

. Chọn hệ trục Ixyz với

điểm như sau

,

(như hình vẽ). Tính IH và SH, khi đó tọa độ các
,

,

.

Tính thể tích
Ta có

,

,

Suy ra

,

.

Tính khoảng cách
Ta có

.

skkn

22


Bài 9. Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật,

phẳng đáy và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

.

B.

.

,

,

và

vng góc với mặt

bằng

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

z

Chọn hệ trục
Ta

S

như hình vẽ.

có:

,
,

,

.

Có

,

D

.

Ta có

A

.

y

B
C

Có

x

.

Vậy

.

Bài 10. Cho tứ diện
Gọi
là trung điểm của
A.

có
đơi một vng góc với nhau,
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và

.

B.

.

C.

và
bằng

.

D.

.

.

Lời giải
Chọn D.
z
A

O

C

y

M
B

x

Chọn hệ trục tọa độ

như hình vẽ, khi đó

,

,

,

là trung điểm của
Ta có

;

;

skkn

23


III.

PHẦN TỔNG KẾT

Thơng qua 4 ví dụ minh họa các trường hợp đơn giản và lời giải 13 bài toán trong các đề thi vừa
qua ta nhận thấy phương pháp tọa độ hóa thật sự là một cơng cụ rất hiệu quả để giải các bài tốn hình

học khơng gian tổng hợp. Các lời giải là hoàn toàn tự nhiên, trực tiếp và dễ định hướng. Yêu cầu duy
nhất chính là sự chính xác trong việc xác định tọa độ các điểm và thực hiện các phép tính đối với các
cơng thức có sẵn. Hiển nhiên đây khơng phải là cách làm duy nhất. Để có óc tư duy trừu tượng tốt thì
giáo viên cũng cần phải tạo cho học sinh một nền tảng cơ bản các quan hệ hình học trong khơng gian,
hiểu được các bước dựng hình cơ bản và biết phối hợp các kiến thức để có lời giải tốt, hiệu quả vẫn
luôn là mong muốn của người viết sáng kiến này.
Nội dung sáng kiến này đã được trình bày cho các em học sinh khối 12 ôn thi TN THPT, thi
đánh giá năng lực và thi HSG tỉnh. Sự hứng thú và tự tin của học sinh đối với việc học Tốn, đặc biệt là
hình học khơng gian, thật sự được cải thiện đã góp phần vào thành tích chung trong các kì thi của nhà
trường trong các năm học qua.
Các phép tính trong sáng kiến là khá nhiều, hình vẽ khá phức tạp nên khơng tránh khỏi các
thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Hi
vọng đây là một đề tài nho nhỏ góp phần cho cơng tác giảng dạy, nghiên cứu và học tập của mọi người.
Đề tài về phương pháp vectơ và tọa độ còn rất phong phú, mong nhận được sự trao đổi thêm từ các bạn
đồng nghiệp và các em học sinh.
Việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình khơng gian giúp cho học sinh giải một số
bài toán đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp giải thông thường nâng cao hiệu quả học tập của
học sinh ở trường.
Phương pháp này không quá khó đối với học sinh trung bình khá nên các em áp dụng đơn giản
mau chóng hơn rất nhiều so với phương pháp thông thường chủ yếu là dạy cho các em cách chọn hệ
trục sao cho phù hợp để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Hướng dẫn học sinh giải tốn cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Vì
thực tế dạy tốn là dạy hoạt động tốn học cho học sinh, trong đó giải tốn là hình thức chủ yếu. Do
vậy, ngay từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em
cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập,
sáng tạo của các em.
Tài liệu này hoàn thành đúng vào thời điểm các em học sinh lớp 12 năm học 2021 – 2022 đang
tích cực ơn tập chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT 2022, hi vọng đây cũng là nguồn tài liệu tốt để các
em học sinh có thể tham khảo rèn luyện thêm kiến thức cho kì thi sắp tới.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp

và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Đánh giá:
a. Giải pháp cũ thường làm:
- Chi tiết giải pháp cũ: dạy học, dạy và làm bài theo hướng tự luận.
- Ưu điểm, nhược điểm và những tồn tại cần khắc phục: Học sinh nắm kiến thức bài bản, cách
trình bày hợp lý nhưng rất tốn thời gian và không phù hợp với việc thi trắc nghiệm hiện nay.
b. Giải pháp mới cải tiến:

skkn

24


- Mô tả bản chất của giải pháp mới: Định hướng học sinh cách tiếp cập và tư duy nhanh nhạy
để giải nhanh bài toán vận dụng và vận dụng cao cho thi trắc nghiệm khách quan.
- Tính mới, tính sáng tạo của giải pháp: Học sinh hiểu các cách làm nhanh hiểu rộng hơn về
kiến thức phù hợp cho thi trắc nghiệm hiện nay.
Kết quả
- Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, tơi thấy nhóm học sinh học các môn KHTN
giải khá nhanh và thuần thục giải các bài tốn hình học khơng gian tổng hợp được tôi sưu tầm từ các đề
thi thử và thi chính thức của một số trường THPT, Sở GD&ĐT và Bộ GD&ĐT trong cả nước.
- Đã rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn hình học khơng gian tổng hợp, kỹ năng tính tốn, kỹ
năng tìm lời giải cho các bài tốn hình học khơng gian tổng hợp và phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời
giải cho một bài tốn, một dạng tốn.
- Q trình ơn tập sơi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh
trong nhóm đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả cụ thể trong tổng số 6 em HS
thi tổ hớp KHTN trong kỳ thi TN THPT năm 2021 có 2 em đạt 9,0 và không em nào điểm dưới 7.
Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn tồn
khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.

2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp và nhà
trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
phần hình học khơng gian của bản thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn
của nhà trường. Và cũng giúp đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo sử dụng cho quá trình dạy học
cuả bản thân.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trên đây là phương pháp giải một số bài tốn trong chương trình THPT và trong các đề thi
thử THPTQG, đề thi THPT Quốc gia và đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước, định hướng tiếp tục
cho đề thi tốt nghiệp THPT năm 2022, thi HSG tỉnh năm học 2022-2023 và các năm sau. Tuy nhiên
trong q trình thực hiện khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Kính mong sự giúp đỡ và góp ý của các
đồng nghiệp.
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ đồng nghiệp, thơng
qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính
sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “giải một số bài tốn hình học khơng
gian tổng hợp” hiện nay.
+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tìm đáp án cho các bài tốn
khó mà địi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn (THỂ HIỆN Ở PHẦN PHỤ LỤC).
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen thuộc và hệ thống các
bài tập luyện tập được trích từ các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, của Sở giáo dục
ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Tốn
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP.
+ Sáng kiến này giúp quý Thầy, Cô có thêm một nội dung trong q trình ơn tập cho học sinh
hướng tới các kỳ thi đạt kết quả cao hơn cho học sinh của chúng ta.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị từ năm học 2017 –
2018 và đánh giá kết quả trong năm học 2020-2021 và năm học 2021-2022. Rất mong đề tài này

skkn

25