SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình
học không gian tổng hợp
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 5 năm
2015
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Huyền
Năm sinh: 1986
Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Trình độ chuyên môn: Cử nhân
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ liên hệ: Xóm 4 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam
Định
Điện thoại: 0944.347780
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Điện thoại: 03503.886.167
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong chương trình hình học lớp 11, 12 bài toán về khoảng cách trong
không gian là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề
thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học và đề thi chọn học sinh giỏi
cấp trường, cấp tỉnh. Các bài toán về khoảng cách khá phong phú và đa dạng,
đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có trí tưởng tượng không gian phong
phú và có kĩ năng tính toán tốt. Do vậy đối với học sinh có lực học trung bình,
trung bình khá thì các bài toán về khoảng cách thường là mảng kiến thức khó
và dễ mất điểm, còn đối với học sinh có lực học khá, giỏi thì các em có thể

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

làm tốt hơn phần này nhưng bản thân nhiều em chưa tổng quát được phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập nên khi gặp các bài toán dạng này các
em thường mất khá nhiều thời gian để giải
Với mong muốn giúp các em có cái nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn,
có phương pháp giải cho từng dạng bài tập về khoảng cách trong không gian
tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải
bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp”. Từ đó giúp học
sinh đỡ e ngại hơn khi gặp các bài toán về khoảng cách trong không gian tổng
hợp.

II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Thực trạng trƣớc khi tạo ra sáng kiến
Hình học không gian là một mảng khó trong toán học phổ thông và càng
khó hơn khi học sang quan hệ vuông góc. Đối với quan hệ song song trong
không gian, các tính chất và hình vẽ không có nhiều khác biệt đối với hình
học phẳng nên các em dễ nắm bắt các dạng toán và phương pháp giải. Còn
đối với quan hệ vuông góc, các tính chất có nhiều khác biệt, càng khó hơn khi
hình vẽ về sự vuông góc trong không gian hoàn toàn không giống như trong
hình học phẳng. Do vậy qua quan sát và để ý tìm hiểu của tôi, tôi nhận thấy
rằng học sinh còn những hạn chế sau:
+ Khả năng tưởng tượng không gian kém do vậy kĩ năng vẽ hình không gian
không tốt, đặc biệt các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc
+ Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải bài tập
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

+ Chưa tự tổng quát được phương pháp giải bài tập sau mỗi dạng bài tập
Mà nguyên nhân của những hạn chế đó là:
+ Học sinh chưa quen với cách vẽ hình của hình học không gian, đặc biệt là
đối với các bài toán trong quan hệ vuông góc
+ Giáo viên chưa phân loại và đưa ra cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh
đối với từng dạng bài tập
+ Giáo viên chưa chú trọng rèn kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng
tổng hợp vấn đề cho học sinh

+ Giờ học hình học không gian chưa thực sự hấp dẫn và lôi cuốn, còn rời rạc
và tẻ nhạt
Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những
kiến thức đầu tiên. Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ
sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan
đến bài học.
Trong đề tài này tôi cố gắng đưa ra một số phương pháp giải các dạng bài
tập cụ thể hay gặp để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và cụ thể
nhất.
2. Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến
A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Các phƣơng pháp chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với mặt
phẳng

:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mặt phẳng
Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng

mà

Cách 3. Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với

Cách 4. Chứng minh d là đường thẳng thuộc mặt phẳng

trong đó d vuông

góc với giao tuyến a của ( ) và
2. Các định nghĩa về khoảng cách
a Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến một đường thẳng

là khoảng cách

giữa A với hình chiếu vuông góc H của A trên
Kí hiệu: d(A, ).
Như vậy d(A, ) = AH

{

b Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm A và mặt phẳng ( ), gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( ).
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và H được gọi là khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng ( )
Kí hiệu: d(A,( )).
Như vậy d(A, ( )) = AH

{

( )

( )

c) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ). Khoảng cách giữa đường
thẳng a và mặt phẳng ( )là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt
phẳng ( )
Kí hiệu: d(a,( )).
d Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
e Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng

cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với

mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b
+ Nếu đường vuông góc chung

cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt

tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau a và b
3. Một số công thức cần nhớ
a/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có:
1

1
2

2

+

1
2

hoặc

2

b/ Định lí Cosin trong tam giác:
Trong tam giác ABC có

2

2

+

2

–2

.cos ̂

Trong một tam giác bất kì bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình
phương độ dài hai cạnh còn lại trừ 2 lần tích hai cạnh đó với cosin góc xen
giữa
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

c/ Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi
là p, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC. Khi đó ta có:
S

1
2

S

√ ( – )( – )( – )

,

S

1
2

sin

S

S

4

Công thức Hê rông

* Đối với phương pháp tọa độ trong không gian còn có
S

1
|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]|
2

4. Công thức khoảng cách trong hình học không gian Oxyz
Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 0 ;

0

;

0 ),

mp(P): a + b + c + d

0

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng P) là:
d( ,( ))

a

0

+b

0

+c

0

+d

√a2 + b2 + c2

B- BÀI TẬP
I-

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG

Phƣơng pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

ta

thực hiện như sau:
Bước 1. Trong mặt phẳng

,

hạ

,

Bước 2. Tính d( , )

dựa vào các công thức đã học

Đặc biệt:
+ Nếu tồn tại đường thẳng
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

đi qua A và song song với

thì

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
d ,
+ Nếu đường thẳng

d

,

NĂM HỌC 2014 – 2015
d ,

đi qua A và cắt

,

tại I thì với mọi điểm B thuộc

có:

d ,
d ,
Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,
. Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC và AB.

SA = a, và
a) Chứng minh rằng:

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM. Từ đó suy ra khoảng cách từ
S đến CM
Giải:

a) Trong tam giác SAC có I, O lần lượt là trung điểm của SC, AC nên
IO // SA
Mà

nên

b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM
Gọi

là trọng tâm

tam giác ABC
Trong tam giác ABC có
1
2

1
3

√2
,
2

√2
6

Gọi H là hình chiếu của I trên CM ta có:
{

d

Trong tam giác vuông vuông

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
1

có

1
2

2

+

NĂM HỌC 2014 – 2015

1
2

√20

Trong tam giác vuông

√

có

2

+

2

√30
10

√30
10

Vậy d

+/ Tính khoảng cách từ S đến CM
d(

)

√30
5

Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và

(

),

Vì

nên

d(
d(

)
)

IC
SC

1
2

vuông tại

300 . Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh AC, H là hình

C với AB = 2a, ̂

chiếu vuông góc của S trên BM.
a) Chứng minh rằng
b) Đặt AM = x với 0

√3. Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x.

Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất?

Giải
}

a) Có
Mà
nên

Vì

nên

b) Vì
d( ,

)

Trong tam giác vuông SAH có
2

2

+

2

1

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Trong tam giác vuông ABC có
{

sin ̂
cos ̂ √3

Trong tam giác vuông MBC có:
√

2

+

2

2

√( √3 - ) +

2

√ 2 - 2√3

√

2

+4

- 2√3

2

+4

2

Thay AH và SA vào 1 ta được:
5
√

2 22

8√3

- 2 √3

3

+ 16
+4

4

2

Từ 1 suy ra:
+/ SH lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất,
√3
+/ SH nhỏ nhất khi và chỉ khi AH nhỏ nhất,
0
Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác

’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác

đều tâm O cạnh a. Hình chiếu của ’ trên mặt phẳng ABC trùng với tâm của
tam giác ABC. Cạnh

’ hợp với mặt phẳng ABC một góc

. Gọi I là

trung điểm của AB. Tính các khoảng cách:
a) Từ O đến
b) Từ C đến

’
’

c) Từ C đến ’ ’

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Giải
a) Trong tam giác ’
(

kẻ

)

d
Vì

nên CO là hình

chiếu vuông góc của

’ trên mặt

phẳng (ABC suy ra góc tạo bởi
600 gt

và (ABC) là góc ̂
√3
,
2

Có

’

2
3

√3
3

Trong tam giác vuông
b) Trong tam giác vuông
1
2

S

√3
4

1
d(
2

. tan ̂

có

d(

).

2

√

có

Có

Vì

√3
,
2

(

2

’ có
√

2

+

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

3√13
13
(

}

vì

2

2

+

2

√39
6

2

+

2S

)

c) Gọi ’ là trung điểm của ’ ’

Trong tam giác

2

2

rong tam giác vuông

S

. sin 600

. sin ̂

có

-2

2 √3
, ̂
3

)
d(

)

)

. cos ̂
0

120 nên

29 2
12

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
d(

)

NĂM HỌC 2014 – 2015

√87
6

BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1.1 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC
thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC lấy S sao cho SA

8cm. Trên đường
4cm. Tính khoảng

cách từ S đến BC
Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông đường cao AB = a,
BC = 2a, SA = a và

(

),

a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông
b) Tính độ dài AD
c) Gọi M thuộc đoạn thẳng SA sao cho AM = x, (

). Tính khoảng

cách từ D đến BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ
nhất
Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình
thoi tâm O,

2 , góc ̂

600. Tính

a) Khoảng cách từ O đến SC
b) Khoảng cách từ D đến SB

II-

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Phƣơng pháp chung: Để tính khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng
ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của A trên

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
+Bước 1. Chọn trong

NĂM HỌC 2014 – 2015

một đường thẳng d rồi dựng mặt phẳng

vuông góc với d nên chọn d sao cho

A qua

dễ dựng

+Bước 2. Xác định giao tuyến
+Bước 3. Dựng

{
d ,

Chú ý:
+ Trong bước 1 ta nên xem xét xem d và

đã có sẵn trên hình vẽ chưa

+ Các trường hơp đặc biệt:

- Trong hình chóp đều thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đáy
- Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao hạ từ đỉnh
của hình chóp thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó
- Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên đó
- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc góc tạo bởi các cạnh bên với
đáy bằng nhau thì chân đường cao thì chân đường cao là tâm đường tròn
ngoại tiếp đáy
Cách 2. Tính gián tiếp Đi tìm khoảng cách từ một điểm B khác A nào đó
đến

dễ tìm rồi từ đó mới tính khoảng cách từ A đến

Ta thường sử dụng các kết quả sau:
+ Nếu có đường thẳng

đi qua A và song song với
d ,

+ Nếu

đi qua A và cắt

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

thì

(

tại I thì với mọi điểm B thuộc

ta có

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

d( ,( ))
d( ,( ))
Lƣu ý: Đối với các bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì điểm
B thường xét là chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt phẳng
đáy.
Cách 3. Sử dụng công thức thể tích
Vkhối chóp

1
d(đỉnh, đáy).Sđáy
3

d(đỉnh, đáy)

3Vkhối chóp
Sđáy

Lƣu ý: Đối với phương pháp này ta sử dụng kĩ thuật đổi đỉnh của khối chóp
để việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn và hay sử dụng với khối chóp có
đáy là tam giác nhiều hơn.

Cách 4. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Khi trong hình có
sẵn hoặc dựng được ba đường thẳng phân biệt đôi một vuông góc
ĐẶC BIỆT:
Đối với bài toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
và bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đều quy về bài
toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a,
, SA = a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp SBC)
b) I là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ I đến mp SBC)

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

c) G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
(SBC)
Giải

a) Cách 1. Tính trực tiếp
Trong (SAB kẻ AH

SB,

Có {

Hay d( , (

))

Trong tam giác vuông SAB có SA = AB = a
1
2

1
√
2

2

+

2

√2
2
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích khối chóp

là V

S

{

Mà V

b) Vì

1
d( ,(
3
(

1
3

)

nên

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

.S

1
2

1
2
d( , (

)).S
d( , (

d( , (

1
3

2

√

))

3V
S

))

1

))

2

3

1
.
2
+

6

2

√2
2

2

√2
2

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
d( ,(

1
d( , (
2

))

))

c) Gọi

√2
4
(

d( ,(

))

d( ,(

))

2
3

NĂM HỌC 2014 – 2015

d( ,(

)
))

2
d( , (
3

Ví dụ 2.2 Cho tam giác đều cạnh a, trên đường thẳng Ax

))

√2
3

(ABC lấy điểm S

√3, K là trung điểm của BC

sao cho

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC)
b) M là điểm đối xứng với A qua C và G là trọng tâm tam giác SCM. Tính
khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC)
Giải
a) Cách 1. Tính trực tiếp
Gọi K là trung điểm của BC

(

Mà

)

Trong mp(SAK kẻ

,
(

)

Hay d(A,(SBC)) = AH
Trong tam giác đều ABC có AK =

√3
2

Trong tam giác vuông SAK có:
1

1
2

2

+

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

1
2

1
1
+
3 2 3 2
4

5
3 2

√15
5

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp S.ABC là:
1
3

V

1
3

.S

1
.
2

3

. sin ̂

4

Gọi K là trung điểm của BC, có
cân tại

( - - )
S

1
2

1
√
2

2

1
d( ,(
3

Mặt khác 3V

2

+

.

)).S

b) Vì M đối xứng với A qua C nên
d( , (

))

d( ,(

))

d( ,(
(

d( , (
d( ,(
))

1
d( ,(
3

))

3V
S

√15
5

)

1

Gọi

d( ,(

√15
4

))

))
))

1
3

√15
15

Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a
mặt phẳng SAC là tam giác cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy ABC), M và N lần lượt là trung điểm của của SA, BC, biết góc
giữa MN và (ABC bằng

. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC)

theo a

Giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1. Tính gián tiếp
Gọi H là trung điểm của AC
(
Mà {(

SH

) (
)
) (
)
(
)

AC

(

)

Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB
HN

BC. Lại có BC SH nên suy ra BC

Trong mp(SHN kẻ HJ
Hay d( ,(

))

(

)

Mà

(SHN)

SN

SN,

BC nên

(

)

nên

d( ,(

))

d( ,(

))

Gọi I là trung điểm của AH

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

2

d( ,(

MI // SH

)) 2d( ,(
MI

)) 2

(ABC)

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC)

góc tạo bởi MN và

mp(ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc ̂

600 (gt)

Trong tam giác vuông ABC có AC = √2
1
4

3
4

√2
,
4

3√2
,
4

1
2

2

Trong tam giác INC có:
2

2

2

+

2
9 2
3√2
+
– 2.
. cos 450
8
4
4 2

. cos ̂

–2

2

8

√
4
Trong tam giác vuông MIN có:
√

. tan ̂

4

√
4

tan 600

√
2

2

Trong tam giác vuông SHN có:
1

1
2

2

+

1

1
2

2

+

4
Vậy d( ,(

))

1
2

4

62
15 2

√
√31

√
√31

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Gọi H là trung điểm của AC
(
Mà { (

) (
)
) (
)
(

)

Gọi I là trung điểm của AH

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

SH

AC

(

MI // SH

)

MI

(ABC)

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC)

góc tạo bởi MN và

600 (gt)

mp(ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc ̂
Trong tam giác vuông ABC có AC = √2
1
4

3
4

√2
,
4

3√2
,
4

1
2

2

Trong tam giác INC có:
2

2

2

+

. cos ̂

–2

2
9 2
3√2
+
– 2.
. cos 450
8
4
4 2

2

8

√
4
Trong tam giác vuông MIN có:
√

. tan ̂

4

tan 600

√
4

1
3

1
.
2

√
2

2

Thể tích khối chóp S.ABC là
1
3

V

.S

3

√
12

Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB

HN

BC. Lại có BC

SH nên suy ra BC

BC nên

SN

Trong tam giác vuông SHN có
√

+

1
d( ,(
3

Mặt khác V

d( ,(

2

))

2

√31

2
)).S

1
2

S
d( ,(

√
4
))

2

3V
S

√30
√31

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 3. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian
Gọi H là trung điểm của AC
(
Mà {(

SH

) (
)
) (
)
(
)

AC

(

Gọi I là trung điểm của AH

)

MI // SH

MI

(ABC)

IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC)

góc tạo bởi MN và

mp(ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc ̂

600 (gt)

Trong tam giác vuông ABC có AC = √2
1
4

3
4

√2
,
4

3√2
,
4

1
2

2

Trong tam giác INC có:
2

2

+

2

–2

. cos ̂

2
9 2
3√2
+
– 2.
. cos 450
8
4
4 2

2

8

√
4
Trong tam giác vuông MIN có:
. tan ̂

√
4

tan 600

√
4

2

√
2

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm
H, tia Ox trùng với tia HB, tia Oy trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HS.
Khi đó ta có:
(0; 0; 0),

√2
; 0; 0) ,
(
2

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

(0;

√2
√
; 0) , (0; 0;
2
2

),

(0;

√2
; 0)
2

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
⃗⃗⃗⃗

√2
; 0;
(
2

[⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

√
(

√
2
2

4

;

) , ⃗⃗⃗⃗⃗
2

√

(0;
2

;

2

)

NĂM HỌC 2014 – 2015

√2
;
2

√
2

)

2

;√

; )

(√

Suy ra mặt phẳng SBC có một vec tơ pháp tuyến là ⃗
Phương trình mp

là: √

+√

+

√
2

(√

;√

; )

0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC) là:
|
d( ,(SBC))

√

√

2

√

2 |

+ 15 + 1

√30
√31

Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 3a,
chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao
cho AB = 3AH, góc tạo bởi SC và (ABC bằng 600. Tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng SBC)
Giải
Cách 1 (Tính gián tiếp
Gọi I là trung điểm của BC

Trong tam giác ABC kẻ HE // AI

Mà

(

E)

Trong tam giác SHE, kẻ
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
(

NĂM HỌC 2014 – 2015

)

Vậy d H,(SBC)) = HF
Vì

(

d( ,(

)

))

nên

d( ,(
d( ,(

3
d( ,(
2

))

3
2

))
))
3
2

Trong tam giác đều ABC có:
3 √3
,
2
Vì SH

2
3

2
3

√3

(ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABC) suy ra

góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng
SC và HC bằng góc ̂ bằng 600 (gt)
̂

Trong tam giác AHC có
. tan ̂

Trong tam giác vuông SHC có
Trong tam giác vuông

có:

√42
. Vậy d( ,(
4

))

1

1
2

2

+

√

√21

1
2

8
21

2

3√42
8

Cách 2. Dựa vào công thức thể tích
Vì SH

(ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABC) suy ra

góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng
SC và bằng HC góc ̂ bằng 600 (gt)
̂

Trong tam giác AHC có
Trong tam giác vuông SHC có
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

. tan ̂

√

√21

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Thể tích khối chóp S.ABC là:
1
3

V
2

Có

1
3

.S
2

+

2

1
.
2

. sin ̂
2

25 2 ,

2
2

Trong tam giác
sin ̂

√1

có cos ̂
cos2 ̂

Diện tích tam giác

Có d( , (

))

27√7 3
4
3 √6 2

3V
S

2

+
+
2

28

2

3

2
2

1
5

2 √6
5
1
2

là S

9 √7
4

. sin ̂

3√6

2

3√42
8

Ví dụ 2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I, cạnh a,
(

),

√3

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC)
b) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng
(SAC)
Giải
a) Cách 1. Tính trực tiếp
(

Có {
Trong

kẻ

)
,

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI
(
Hay d( ,(

NĂM HỌC 2014 – 2015

)

))

Trong tam giác vuông SAB có:
1

1
2

1

+

2

2

1

1
+
2
3 2

4
3 2

√3
2
Vậy d( ,(

))

√3
2

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích khối chóp S.ABC là:
1
3

V

.S

1
3

1

.
2

√3
6

Vì {
S

3

vuông tại
1
2

Mặt khác V

1
√
2
1
d( ,(
3

2

+

2

)).S

.

2

d( ,(

))

3V
S

√3
2

Cách 3. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz và hình chóp sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox
trùng với AD, tia Oy trùng với AB, tia Oz trùng với AS hình vẽ
Khi đó ta có
(0; 0; 0), (a; 0; 0), (0; a; 0)
(0; 0; √3a), (a; a; a)

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường