Skkn vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải một số dạng toán đại số 7

1
MỤC LỤC

1. Mở đầu:..............................................................................................................2
1.1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ......................................................................3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................3
2. 2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................4
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề...........................................................................................................................4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.........................................................................17
3. Kết luận, kiến nghị..........................................................................................18
3.1. Kết luận........................................................................................................18
3.2. Kiến nghị......................................................................................................19

skkn


2

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình mơn Tốn lớp 7 nói riêng và tốn Trung học cơ sở
(THCS) nói chung, các bài tốn về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là một dạng
toán cơ bản, quan trọng. được vận dụng để học, để giải các bài tập trong các
môn học như Vật lý, Hóa học…và giải quyết một số tình huống thực tiễn trong
cuộc sống.

Thực tế, khơng chỉ có học sinh yếu, kém mà cịn có cả những học sinh
khá, giỏi cũng gặp nhiều khó khăn trong q trình học, giải bài tập Toán về tỉ lệ
thức và dãy tỉ số bằng nhau, vận dụng khi học các môn học như Vật lý, Hóa học,
…và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Làm ảnh hưởng đến kết quả và thành
tích học tập của các em học sinh, ảnh hưởng đến chất lượng chung của mơn
Tốn trong nhà trường.
Để kết quả học tập mơn Tốn của học sinh được tốt hơn, góp phần nâng
cao chất lượng chung của nhà trường, nên tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Vận
dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải một số dạng
toán Đại số 7” để áp dụng vào giảng dạy tại trường THCS Dân Tộc Nội Trú
huyện Như Thanh.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh có phương pháp học, tự tin, chủ động và hứng thú hơn
trong quá trình giải tốn.
Giúp cho học sinh có thói quen suy nghĩ, tìm tịi, khám phá kiến thức, từ
những bài tập cơ bản áp dụng công thức ban đầu đến giải quyết những bài tập có
tính tư duy cao hơn.
Giúp học sinh nắm được cách học và giải các bài toán về tỉ lệ thức và dãy
tỉ số bằng nhau thông qua một số dạng toán sau đây:
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Dạng 2: Tìm các số khi biết tổng, hiệu, hoặc tích và tỉ số của chúng
Dạng 3: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Dạng 4: Tính giá trị biểu thức
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu về việc vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau vào giải một số dạng toán Đại số 7
1.4. Phương pháp nghiên cứu:

skkn

3

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu từ các
tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Trong công
tác giảng dạy giáo viên hiểu rõ tâm lý, năng lực của từng đối tượng học sinh,
thông qua bài kiểm tra để đánh giá chất lượng học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Phân tích và xử lý số liệu kết quả
bài kiểm tra trước và sau khi áp dụng đề tài
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Một số kiến thức lý thuyết cần vận dụng
2.1.1. Định nghĩa của tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số
. Ta còn viết: a : b = c : d. trong đó a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài);
b và c là các trung tỉ (số hạng trong).
2.1.2. Tính chất của tỉ lệ thức:
Tính chất 1: Nếu
thì a.d = b.c
Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
;

;

;

.

Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức
suy ra các tỉ lệ thức:

2.1.3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

,

suy ra

Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau

,

, (b ≠ ± d)
ta suy ra:

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n 2):

skkn

thì


4

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: - Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng
đặt dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước,
ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên

hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện
của bài tốn.
- Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:
.
Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c
2. 2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Có một thực trạng dễ nhận thấy của các học sinh học toán hiện nay là
phần lớn chỉ đầu tư vào việc giải hết các bài tốn này đến bài tốn khó khác mà
chưa tìm cho mình phương pháp nâng cao năng lực học tốn.
Mặt khác, trong các tiết bài tập thường chỉ có thầy cơ và một số học sinh
khá giỏi hoạt động tích cực cịn số đơng tham gia một cách thụ động, phần lớn
các em còn thiếu các kiến thức và kỹ năng cơ bản khi học toán.
Bảng tổng hợp kết quả bài kiểm tra thường xuyên chương I môn Đại số
đối với học sinh các lớp 7 trong trường THCS Dân Tộc Nội Trú của năm học
2020-2021 khi chưa áp dụng đề tài:
Năm học

2020-2021

Tổng
số HS
57

Giỏi
SL
4

%
7,0

Khá
SL
15

Trung bình

Yếu

Kém

%

SL

%

SL

%

SL

%

26,3

33

57,9

5

8,8

0

0

Từ các kết quả khảo sát, tơi nhận thấy có rất nhiều học sinh chăm chỉ,
trong đó có cả học sinh khá, giỏi mơn Tốn năm lớp 6 mặc dù lí thuyết thuộc
lịng nhưng khi giải toán rất thụ động và thiếu niềm tin, kết quả làm bài thấp;
bản thân nghĩ rằng cần phải dạy và định hướng cho học sinh phương pháp học
toán trước khi dạy toán, cách vận dụng kiến thức, đặc biệt khai thác bài toán từ
bài toán gốc.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
Để giải quyết những vấn đề đã nêu trên về thực trạng học và kết quả học
tập mơn tốn của học sinh khối 7 nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn

skkn


5

nói chung tại trường THCS DTNT huyện Như Thanh, năm học 2021-2022 tôi đã
thực hiện một số giải pháp:
2.3.1. Nghiên cứu, nắm bắt kết quả học tập các năm học trước của học sinh
lớp 7, đặc biệt là kết quả các bài kiểm tra có liên quan đến kiến thức về tỉ lệ thức
và dãy tỉ số bằng nhau.
2.3.2. Thực hiện khảo sát thực tế thông qua các bài kiểm tra có nội dung

kiến thức liên quan đến tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
2.3.3.Trong quá trình dạy cần:
- Truyền cảm hứng và niềm say mê, yêu thích mơn Tốn thơng qua giới
thiệu và kể về những tài năng của một số nhà Toán học nổi tiếng trên thế giới và
Việt Nam (Giáo sư Ngô Bảo Châu, Polya,…)
- Hướng dẫn, định hướng cho học sinh các phương pháp học tốn, phương
pháp giải tốn nói chung ( biết phân tích bài tốn trước khi giải theo 4 bước của
Polya: -Tìm hiểu bài tốn;- Xây dựng chương trình giải bài tập tốn; - Trình
bày lời giải; - Nghiên cứu sâu bài toán) và đặc biệt là cách vận dụng kiến thức,
khai thác từ các bài toán gốc khi học dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng
nhau.
- Hướng dẫn học sinh cách học và ghi nhớ lý thuyết tốn quan trọng thơng
qua việc thiết lập các sơ đồ về mối liên hệ của các bài học trước với bài học sau.
- Hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán để giải, giải các bài toán dễ
trước để củng cố lý thuyết ( học sinh bước đầu giải được một số bài tốn dễ sẽ
có hứng thú học toán và sẽ nhớ được lý thuyết), biết lấy các ví dụ, phản ví dụ để
củng cố khái niệm…..
- Hướng dẫn cụ thể cho học sinh về cách học và giải các bài toán về tỉ lệ
thức và dãy tỉ số bằng nhau thơng qua một số dạng tốn sau: (Trong mỗi dạng
tốn tơi đều hướng dẫn học sinh học từ các bài tập cơ bản xuất phát từ các
cơng thức, tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, sau đó nâng dần
độ khó của bài tập)

DẠNG 1
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

* Bài toán cơ bản
Bài toán 1: Cho

a c

=
b d . Chứng minh

skkn

a+ c a−c
=
b+d b−d


6

GV: Đối với bài tốn này có nhiều cách để giải, trong phạm vi đề tài này
a c
=
b d

tôi giới thiêụ cho học sinh hai cách thông dụng nhất: ta có thể đặt
=k
hoặc biến đổi tỉ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh
bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Hướng dẫn
Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a c
a+c
=
b d = b+d
a c
a−c
=

b d = b−d

(1)
(2)
a+c
b+d

a−c
b−d

Từ (1) và (2) ta có
=
( ĐPCM)
Cách 2: (Có thể áp dụng được vào nhiều bài tốn dạng này)
Đặt
Ta có:

a c
=
b d = k => a =kb; c = kd

a+ c kb+ kd k ( b+d )
=
=
=k
b+d
b+d
b+d

a−c

b−d =

(3)

kb−kd k ( b−d )
=
=k
b−d
b−d

Từ (3) và (4) ta có

a+c
b+d

=

(4)

a−c
b−d

Bài tốn 2: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức

( ĐPCM)
a c
=
b d

( a±b≠0 ;c±d≠0 ;a , b , c , d≠0 )

a+b c+ d
=
a−b c−d

Ta có thể suy ra tỉ lệ thức
* Với cách làm tương tự như bài tốn 1 GV có thể cho học sinh tự tìm lời giải
Hướng dẫn
a c
=
b d

a b
=
c d

Cách 1: Từ
=>
(vì c; d ¿ 0)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a+b a−b
= =
=
c d c +d c−d

Từ

a+b a−b
=
c+ d c−d

(vì c + d
⇒

¿

a+b c+ d
=
a−b c−d

skkn

0; c – d

¿

( ĐPCM)

0)


7

Cách 2: Đặt

suy ra

Ta có

(1)

Và

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Bài toán 3: Cho

.

a c
=
b d . Chứng minh.

( a+b ) ( c−d )= ( a−b ) ( c+d )

Hướng dẫn
Phát triển từ cách giải của bài toán 2 ta chứng minh được:
a+b c+ d
=
a−b c−d

( a+b ) ( c−d )= ( a−b ) ( c+d )

⇒

a c
=
b d . Chứng minh

3 a+4 c
3a−4 c
3 b+4 d = 3 b−4 d

Bài toán 4: Cho
GV: + Ta thấy cách chứng minh giống các bài tập nêu trên, khác là
xuất hiện: 3a, 3b, 4c, 4d
+ Để đi đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất hiện 3a, 3b,
4c, 4d
+ Để xuất hiện biểu thức trên cần áp dụng tính chất cơ bản của phân
số

a a .m
=
b b .m

với m

¿

0
Hướng dẫn

a c
=
b d

a c
3a 4c
=

=
b d = 3b 4d

⇒
Cách 1: Từ
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

a c
=
b d =
a c
=
b d =

3a 4c
3 a+4 c
=
3 b 4 d = 3 b+4 d
3a 4c
3 a−4 c
=
3 b 4 d = 3 b−4 d

(1)
(2)

3 a+4 c
3a−4 c
Từ (1) và (2) suy ta 3 b+4 d = 3 b−4 d

( ĐPCM)

Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức
Đặt

a c
=
b d = k. Thực hiện như cách 2 của bài toán 1 và 2

skkn


8

* Bài toán phát triển: Từ cách giải các bài toán trên giáo viên phát triển
thêm các bài toán để giúp học sinh khắc sâu và ghi nhớ cách giải.
a c
=
Cho b d . Chứng minh :
a
b
=
1. a+c b+d
3 a+5 b 3 c +5 d
=
3. 3 a−5 b 3 c−5 d
11a+3 b 3 a−11b
=
5. 11c +3 d 3 c−11d

2.

a−b c−d
=
a+b c+ d

4.

a−b c−d
=
b
d

6.

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a c
=
b d . Chứng minh

2

2

2

2

a +c
a −c

= 2
2
2
b +d
b −d 2

Bài toán 5: Cho
GV: Khi gặp bài toán dạng này tâm lí học sinh thường cảm thấy sợ, nếu
giáo viên hướng dẫn học sinh cách quan sát, nhận định thì thực chất đây cũng là
dạng bài tập nêu trên.
GV:Ta thấy đẳng thức cần chứng minh có dạng bài tốn 1 và bài tốn 2
nhưng xuất hiện thêm các bình phương bởi vậy ta phải làm gì để xuất hiện lũy
thừa?
Hướng dẫn
a c
=
b d

a
c
( )2=( )2
b
d
=

a2 c 2
=
b2 d 2

⇒

Từ
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a2 c 2
=
b2 d 2 =

a 2 +c 2 a2 −c 2
=
b2 + d2 b2 −d 2

( ĐPCM)
* GV lưu ý: ở dạng này học sinh thường mắc phải sai lầm khi suy luận
a c
=
b d =

a2 c 2
=
b2 d 2

a c
=
b d

a2 c 2
=
b2 d 2

⇒

suy luận đúng ở đây là:
Giáo viên có thể mở rộng, phát triển các bài tập cùng dạng để HS củng cố

a c
=
b d . Chứng minh

a3 + b3 a3 −b3
=
c3 +d 3 c 3 −d 3

Bài toán 6: Cho
Tương tự cách giải như bài tập 5,Gv hướng dẫn Hs thực hiện
Hướng dẫn

skkn


9

Từ

a c
=
b d

a3 b 3
=
c3 d 3

a
c
( )3 =( )3
b
d

=>
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
⇒

a3 b 3
=
c3 d3 =

a3 + b3 a3 −b3
=
c3 +d 3 c 3 −d 3

( ĐPCM)
* Qua cách phát triển của bài toán 5 và bài toán 6, HS sẽ nhận thấy việc
chứng minh đẳng thức với lũy thừa bao nhiêu điều đó khơng cịn quan trọng
nữa.
Bài tốn 7: Với a,b,c,x,y,z khác 0 , biết
Chứng minh rằng :
GV: Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về :
hay cần chứng minh

. Vì vậy từ giả thiết ta cần

chứng minh

. Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân

mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số
thấy bz và

và

ta

; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ

nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số
thứ ba.
Hướng dẫn
Từ đề bài ta có :
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Suy ra

Bài tốn 8: Chứng minh rằng: Nếu
thì

skkn

và

đk: b;d≠0

10

GV: Ở bài toán này, đề bài cho các đẳng thức, từ các đẳng thức ta phải
chứng
minh tỉ lệ thức, Gv có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược như sau:
←

cb = ad

←

cb + cd = ad + cd

←

c(b + d)= (a + c )d Từ (1) và (2) nhận

thấy nếu nhân cả 2 vế của (1) với d, kết hợp với (2) ta sẽ được c(b + d)= (a +
c )d
Hướng dẫn
Ta có:
Từ (3) và (2)

(đpcm)
* Nhận xét: Trong q trình triển khai dạng tốn 1 qua khảo sát cho
thấy học sinh rất hứng thú học tập và mong đợi được làm các bài tập cùng
dạng, kết quả mang lại rất khả quan.

DẠNG 2

TÌM CÁC SỐ BIẾT TỔNG, HIỆU HOẶC TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

* Bài tốn cơ bản
Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện ràng buộc. Ta
có thể:
Cách 1. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Cách 2. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)
Trong phạm vi đề tài này tôi giới thiêụ cho học sinh hai cách thông dụng nhất là
cách 1 và cách 2.
x y
=
2 3

và x+ y=20
Hướng dẫn
Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Bài tốn 9: Tìm hai số x và y biết

skkn


11

x y
=
2 3

x + y 20

=
2+ 3 5

=
=4
=> x = 2.4 = 8 ; y = 3.4 = 12
x

y

Cách 2: Đặt 2 = 3 =k suy ra: x = 2k ; y = 3k
Theo giả thiết: x + y = 20 => 2k + 3k = 20 => 5k = 20 => k = 4
Do đó: x = 2.4 = 8 ; y = 3.4 = 12
* Để học sinh nắm vững dạng này giáo viên đưa các bài tập
tương tự.
và
Bài tốn 10: Tìm hai số x và y biết
Gv: Ở bài này, để áp dụng được cách giải của bài toán 9 ta làm thế nào ?
Hướng dẫn
Cách 1: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Do đó :
Kết luận :
Cách 2 :
Đặt
Theo giả thiết :
Do đó :
Kết luận

suy ra :

Bài tốn 11: Tìm x, y, z biết:

x y
=
3 4

y z
=
3 5

,

và 2 x −3 y+z=6

Gv: Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng
nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo
thành phần chứa y giống nhau. Sau đó, thực hiện như bài tốn 10.
Hướng dẫn
Từ giả thiết:

x y x y
= ⇒ =
3 4 9 12

y z y
z
= ⇒ =
3 5 12 20

(2)

skkn

(1)


12

x y z
= =
9 12 20

Từ (1) và (2) suy ra:
Ta có:

x y z 2 x 3 y z 2 x−3 y + z 6
= = = = = =
= =3
9 12 20 18 36 20 18−36+ 20 2

Do đó:

x
=3 ⇒ x=27
9

y
=3 ⇒ y=36

12
z
=3⇒ z=60
20

Vậy x=27 , y =36 , z=60
Bài tốn 12 : Tìm hai số x và y, biết rằng
Hướng dẫn
Đặt

và xy=10.

, ta có x=2k, y=5k.

Vì xy =10 nên 2k.5k=10
+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2; y = 5 hoặc x = - 2; y = - 5
Bài tốn 13: Tìm các số x ; y biết

Từ:

x y
=
3 4 =>

2

x y
=

3 4

và x2 + y2 = 100
Hướng dẫn

2

x
y
=
9 16

hoặc

2

=>

2

x
y
=
9 16 =

2

2

x + y 100

=
=4
9+16 25

2

2
=> x =4 . 9=36 => x = ±6 ; y = 4.16 = 64 => y =
+ Nếu x = 6 => y = 8
+ Nếu x = -6 => y = -8
* Bài toán phát triển
Tìm x ; y ; z biết.

a)

x y z
= =
10 6 21

và

5 x+ y−2 z=28

b)

±

x y
=
3 4

8

,

2 x +3 y−z=124
2x 3 y 4z
= =
4
5
c) 3

và

x+ y+ z=49

skkn

x y
=
d) 2 3

và

xy=54

y z
=
5 7

và


13

x y
=
e) 5 3

và

2

2

x − y =4

* Nhận xét: Từ việc giải và phát triển các bài toán cơ bản trong
SGK lên các bài tập nâng cao một cách rất tự nhiên đã làm cho học sinh
quên mất rằng mình đang giải quyết các dạng toán mà trước đấy được coi
là khó, bằng cách này đã nâng cao năng lực học toán của học sinh.

DẠNG 3
CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC

Bài toán cơ bản
Bài toán 14: Chu vi của một tam giác là 81cm. Các cạnh của nó tỉ lệ với 2, 3, 4.
Tính độ dài mỗi cạnh.
Hướng dẫn
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z.

x y z
= =
2 3 4

Theo bài ra ta có:
và x + y +z = 81
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x+ y+ z 81
= = =
= =9
2 3 4 2+ 3+4 9

Suy ra x = 2.9 = 18 ; y = 3.9 = 27 ; z = 4.9 = 36.
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là : 18cm ; 27cm ; 36cm.
Giáo viên đưa các bài tập tương tự để khắc sâu cho học sinh
Bài toán 15: Chia số 130 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 4; 3; 2. Tính giá trị mỗi
phần
Hướng dẫn
Gọi giá trị của mỗi số phải tìm là x; y; z ¿ 0
Theo đề ra ta có: 4x = 3y = 2z và x+ y+ z=30
x y z
= =
3 4 6 =

x + y + z 130
=
=10
3+4+6 13

Từ: 4x = 3y = 2z =>

⇒ x = 30 ; y = 40; z = 60
Bài tốn 16: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng
số học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng
học sinh của mỗi lớp.
Hướng dẫn

skkn

số học sinh lớp 7B. Tính số


14

Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là các số nguyên
x, y, z (0< x,y,z <153 ) theo đề bài ta có:
x + y + z = 153,

,

Do

hay

Do

nên
nên

hay

.
(1)
hay

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Từ đây tìm được x= 54; y=48; z= 51.
Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51.
Bài toán 17: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích
235 m3. Biết rằng thời gian để bơm được 1m 3 nước của ba máy lần lượt là 3
phút, 4 phút và 5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy
bể?
Hướng dẫn
Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m3), y (m3), z(m3)
Theo bài ra ta có: x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z.

Từ 3x = 4y = 5z suy ra
hay
(2).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có:

Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60
Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m 3 ,
75m3 và 60m3
Giáo viên đưa các bài tập tương tự để khắc sâu cho học sinh
1. Chia số 210 thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 7; 10. Tính giá trị mỗi

phần

skkn


15

2. Chia số 190 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 4; 10 Tính giá trị
mỗi phần
3. Tìm ba số x; y; z biết x + y + z = 28; x và y tỉ lệ thuận với 4 và 9;
y và z tỉ lệ thuận với 3 và 5
4. Tìm ba số a; b; c biết a + b + c = 38; a và b tỉ lệ thuận với 2 và 3;
b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 2
Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi Gv đưa thêm bài tập 18
để phát triển tư duy cho học sinh.
Bài toán 18: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết
nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ
lệ với 7; 6 ; 5.
Hướng dẫn
Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là
. Theo đề bài ta có :
và
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Mặt khác

Từ (2),(3) suy ra :
Đặt
Kết hợp với (1), ta có :
Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.

DẠNG 4
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Ở dạng tốn này Gv đưa bài tập 19 để HS sử dụng kiến thức tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau để giải, sau đó khai thác bài tốn này thành dạng tốn tính

skkn


16

giá trị biểu thức qua bài tập 20,21,22 và các bài tập phát triển khác nhằm sử
dụng trong ôn luyện cho đối tượng học sinh khá giỏi.
Bài toán 19: Cho

a b c
= =
b c a

với a,b,c

¿

0 và a + b + c ¿ 0 . So sánh các số

a, b, c
Bài toán cho là một dãy tỉ số bằng nhau, có tổng các số hạng trên bằng
tổng các số hạng dưới
Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
Hướng dẫn

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a+b+ c
= = =
=1
b c a a+b+ c

a = b; b = c; c = a
x y z
= =
Bài toán 20: Cho y z x
⇒

⇒

(Do a + b + c ¿ 0 )
a=b=c

, x+ y+ z≠0 và x; y; z là những số khác 0 .

x 3333 y 6666
z 9999

Tính A =
- Bài tốn cho một dãy tỉ số bằng nhau
Trong A có các lũy thừa: 3333 + 6666 = 9999. Nếu chỉ ra x = y = z thi đi
đến được kết quả
- Bài toán số 19 là hướng giải quyết.
Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x+ y+ z

= = =
=1
y z x x+ y+ z
(Do x + y + z ¿ 0 )
⇒ x = y; y = z; z = x ⇒ x = y = z. Đặt x= y=z=k≠0
x

3333 6666

y

9999

k

3333

.k

6666

9999

9999

k
k 9999

z
k

Khi đó: A =
=
=
=1
Ta có thể phát triển bài tốn trên thành các bài toán sau:
2
2
Bài toán 21: Cho xz = y ; xy = z
, x+ y+ z≠0 và x; y; z là những số

khác 0 .
Tính giá trị biểu thức: P =

y 3333
x 1111 . z 2222

Hướng dẫn

skkn


17

Ta có: xz = y

2

x y
=
y z

⇒

(1) và xy = z

2

⇒

y z
=
z x

(2)

x y z
= =
y z x .

Từ (1) và (2) ⇒
Áp dụng cách giải của bài toán số 16 ta có: x = y = z. Vậy: P = 1
Bài toán 22: Cho dãy tỉ số bằng nhau :
Tính giá trị biểu thức
Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Suy ra :
Do đó
* Bài toán phát triển
a1

=

a2

=.. .=

a n−1

=

an

; (a1 , a 2 ,. . ., a n≠0 ; a1 + a2 +. .+an ≠0 )

an a 1
1.Cho a2 a3
Chứng minh rằng: a1 = a2 = …=an.

2. Cho

a b c
= =
b c a

và a = 2008. Tính b; c?

a b c
= =
3. Cho b c a ; a+b +c≠0

và a; b; c là những số khác 0 .

1060 1940

a

Tính A =

b

3000

c

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Nhận xét: Với tinh thần và mục tiêu mà đề tài nghiên cứu từ bài toán cơ
bản giáo viên tổng hợp các dạng bài tập và nâng dần mức độ, tổ chức học sinh
chủ động khám phá. Có thể thấy học sinh rất hứng thú học tập từ đó việc giải
tốn khơng những là nhiệm vụ mà còn là niềm vui của người học.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi nghiên cứu, thực hiện thử nghiệm và áp dụng đề tài tại trường
THCS DTNT huyện Như Thanh trong năm học 2021-2022 cho thấy đã mang

skkn


18

lại những kết quả tốt, đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng cơng tác giảng dạy
đó là:
- Học sinh khơng cịn sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ
thức cho trước, dạng tốn có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt
vào giải các bài toán tương tự.
- Khi đưa ra một bài tốn các em nhận dạng nhanh được bài tốn đó ở
dạng nào.
- Các em có kỹ năng tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đổi
từ những dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải.
- Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những
bài tập phù hợp kiến thức trong chương trình.
Các kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh khi áp dụng đề tài.
Tổng hợp kết quả bài kiểm tra của học sinh trước và sau khi áp dụng đề tài như
sau: (Với đặc thù của Trường DTNT chất lượng đầu vào giữa các khóa học
tương đối ổn định, các em đều có kết quả học tập ở bậc TH diện khá, giỏi )
Năm học

Tổng
số HS

Giỏi
SL

%

Khá
SL

Trung bình

Yếu

Kém

%

SL

%

SL

%

SL

%

2020-2021

57

4

7,0

15

26,3

33

57,9

5

8,
8

0

0

2021-2022

56

11

19,6 31

55,4

14

25,0

0

0

0

0

Đặc biệt trong năm học 2021-2022 đội tuyển HSG lớp 7 của nhà trường
tham dự kỳ thi HSG cấp huyện được 05 giải (Tăng so với năm học trước 04
giải) đạt tỉ lệ 100% học sinh có giải.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Qua thời gian áp dụng, kiểm nghiệm, đánh giá tôi nhận thấy đề tài “Vận
dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải một số dạng
toán Đại số 7” phù hợp với đối tượng học sinh và thực tiễn của nhà trường, góp
phần đáng kể trong cơng tác nâng cao chất lượng giảng dạy, nâng cao chất
lượng mơn Tốn lớp 7 nói riêng và nâng cao chất lượng bộ mơn Tốn trong
trường THCS DTNT nói chung trong những năm qua. Những giải pháp bản thân
tôi đã nghiên cứu và thực hiện không chỉ phù hợp với đối tượng học sinh trường

skkn


19

THCS DTNT huyện Như Thanh nơi tôi đang công tác mà cịn phù hợp và có thể
áp dụng đối với học sinh các trường THCS có cùng điều kiện trên địa bàn.
Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng
mơn Tốn, tơi xin mạnh dạn nêu ra sáng kiến kinh nghiệm của bản thân
đã được áp dụng kiểm nghiệm, mang lại hiệu quả tích cực cho việc dạy
học mơn Tốn tại trường, chắc chắn sáng kiến còn nhiều hạn chế, khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng khoa học, thầy cơ,

đồng nghiệp và các bạn để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện hơn, giúp
bản thân học hỏi tích luỹ thêm kinh nghiệm, nâng cao trình độ chun
mơn, nghiệp vụ để cơng tác dạy học đạt hiệu quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị:
Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung đề tài “Vận dụng tính
chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải một số dạng toán
Đại số 7” trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và chuyên sâu nhằm vận
dụng nó để giải các bài tập tốn cơ bản và nâng cao về tỉ lệ thức và các
bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả, có thể áp dụng để
nâng cao chất lượng đại trà, cũng như ôn luyện cho đối tượng học sinh
khá giỏi. Vì vậy, để thực hiện có hiệu quả, tôi xin đưa ra một số đề xuất:
* Đối với đồng nghiệp:
- Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần
lưu ý cần khắc sâu để học sinh khơng bị sai sót..
- Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem cho
điều gì và u cầu chứng minh hoặc tìm gì. Bài tập sau có gì khác so với bài tập
trước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài tốn thật nhanh
- Sau mỗi bài tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu và ghi
nhớ.
- Giáo viên phải luôn tự học hỏi, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực
chuyên môn.
* Đối với cấp trên: Những đề tài, sáng kiến kinh nghiệm hay có
tính khả thi cao nên được phổ biến và áp dụng rộng rãi.
Xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của Hiệu trưởng

Như Thanh, ngày 04 tháng 4 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung

skkn


20

của người khác.

Lưu Thị Hiếu

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

skkn