SKKN vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập

A. ĐẶT VẪN ĐỀ:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Số học là ngành lâu đời nhất và đầy hấp dẫn của toán học, các bài toán số
học đã làm say mê nhiều người, từ những nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến
đông đảo các bạn yêu toán. Thế giới các con số, rất quan trọng với chúng ta trong
cuộc sống hàng ngày, là một thế giới hết sức kỳ lạ, đầy bí ẩn.
Loài người đã phát hiện trong đó biết bao tính chất rất hay, nhiều quy luật rất
đẹp và có khi rất bất ngờ, đồng thời cũng đang chịu bó tay trước nhiều sự kiện,
nhiều dự đoán. Điều lý thú là nhiều mệnh đề khó nhất của số học được phát biểu
rất đơn giản, ai cũng hiểu được; những bài toán khó có thể giải rất sáng tạo với
những kiến thức số học phổ thông.
Chính vì các lẽ trên đây môn số học tuy chỉ được học ở 6-7 năm đầu của
trường phổ thông, nhưng các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi học sinh
giỏi ở tất cả các cấp học, chẳng hạn như tính chất chia hết của một tổng.
Chỉ với một lượng kiến thức rất nhỏ nhưng có thể là chìa khóa để giải rất
nhiều dạng bài tập nếu người học nắm vững kiến thức biết vận dụng sáng tạo,
lôgic, nhằm phát triển được khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh,đặc biệt trong
việc bồi dưỡng và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6 cũng như việc giải các
bài toán trong chương trình THCS

1


Vỡ vy tụi chn ti: Vn dng tớnh cht chia ht ca mt tng vo gii
mt s bi tp.
II. Nhiệm vụ của đề tài:
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày Vn
dng tớnh cht chia ht ca mt tng vo gii mt s bi tp .
III. I TNG NGHIấN CU:
- i tng kho sỏt: hc sinh lp 6
IV. PHNG pháp nghiên cứu:

- Phng phỏp nghiờn cu ti liu
- Phng phỏp thc hnh
- ỳc rỳt mt phn kinh nghim qua cỏc ng nghipv bn thõn khi dy tớnh cht
chia ht ca mt tng

B. GII QUYT VN
Nng lc t duy lụ gic ca cỏc em hc sinh lp 6 cha phỏt trin cao, vic
vn dng lý thuyt kin thc linh hot, sỏng to vo gii bi tp c th vi cỏc em
l rt khú. Do vy hng dn cỏc em hiu v bit vn dng kin thc ú l rt cn
thit. Qua ging dy tụi thy, Tớnh cht chia ht ca mt tng v mt lý thuyt rt
n gin, d hiu nhng nú cú th vn dng gii c rt nhiu bi tp ng
thi nú rốn luyn tớnh t duy sỏng to cho hc sinh.
Mun vn dng c kin thc vo gii bi tp thỡ trc ht phi nm vng
nhng kin thc c bn.

2


I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b  o, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x= a
thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a:b = x
Khi đó: a là bội của b, b là ước của a
2. Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích
a. Kiến thức cơ bản: Với a, b, m  N, m, n 0
Tính chất 1: a m, b m  (a + b) m; (a - b) m (a b)
Tính chất 2: a m, b m  (a + b) m; (a - b) m (a b)
Tính chất 3: a m  k.a m (k N)
Tính chất 4 : a m, b n  a.b m.n
b. Kiến thức nâng cao: Với a, b, c, m, n, k1, k2 N, m, n 0

1. Tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng có nhiều số hạng
2. a m, b m  (k1.a + k2.b) m
3. a m, b m, a + b+ c m  c m
4. a m, b m, a + b + c m  c m
5. a b � an bn
II. Hướng dẫn học sinh vận dụng vào giải một số bài tập
Với kiến thức trên đó là chìa khóa để giải được rất nhiều bài tập .
Dưới đây tôi xin đưa ra hệ thống một số bài tập từ dễ đến khó áp dụng kiến thức
trên để giải

3


Bài tập 1: Chứng minh rằng:Với mọi số tự nhiên n thì 60n + 45 chia hết cho 15,
nhưng không chia hết cho 30
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất chia hết của một tổng, tính chất 1 :

a m, b m  (a + b) m

- Để chứng minh 60n+45 15 ta chứng minh 60n 15 và 45 15
Thật vậy:

60n 15(n  N )
  60n  4515
45 15


- Để chứng minh

60n + 45 30

Theo tính chất 2:

a m, b m  (a + b) m

Ta thấy:

60n 30(n  N )
  60n  4530
4530


Bài tập 2: Cho a - b chia hÕt cho 6. Chøng minh c¸c biÓu

thøc sau chia hÕt cho 6.
a) a + 5b ;

b) a + 17b ;

c) a - 13b.

Hướng dẫn giải:

a) Ta cã : a + 5b = a + 6b - b = ( a - b) + 6b  6 ( v× (a - b)
 6 vµ 6b  6)
b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6
c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6

[ v× (a - b)  6 vµ 18b6]

[ v× ( a - b )  6 vµ 12b  6]
4


Bi tp 3: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3

chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các
số đó chia hết 211
Hng dn gii:

tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là:
a0b; ab0; ba 0; b0a

Tổng của các số đó là: a 0b ab0 ba 0 b0a = 100a + b +
100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b =
211(a + b) chia hết cho 211.
Bi tp 4:

a) Tìm tất cả các số x,y để số 34 x5 y chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4 ,5 .
Hng dn gii:

Vì (4;9) = 1 nên 34 x5 y chia hết cho 36

34 x5 y chia

hết cho 9 và 34 x5 y chia hết cho 4.
Ta có:

34 x5 y

chia hết cho 4 5y chia hết cho 4

y 2;6.

5


34 x5 y

chia hết cho 9 ( 3 + 4+ x + 5 + y) chia hết

cho 9
(12 + x + y) chia hết cho 9
Vì x,y là các chữ số nên x+ y 6;15.
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có : 21xy 5 ú y



0;5.

Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 ú

x0

4 x

0; 2;

4 ; 6 ; 8. (1)

21x0 3 ú (2 + 1 + x + 0) 3 ú (3 + x) 3 x 0; 3; 6;
9.

( 2)

Kết hợp (1) và ( 2) x



0; 6.

Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bi tp 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15

với a, b là số tự nhiên.
6


Hướng dẫn giải:

V× 1980  3 nªn 1980.a  3 víi  a.
V× 1995  3 nªn 1995.b  3 víi  b
Nªn (1980a + 1995b)  3.

Chøng minh tương tù ta cã: (1980a + 1995b)  5 víi  a, b
mµ (3,5) = 1.
 (1980 a + 1995b)  15
Bài tập 6: Chøng minh r»ng nÕu ( 6x + 11y ) chia hÕt cho
31 th× ( x + 7y) chia hÕt cho 31 víi mäi sè tù nhiªn x, y.
Hướng dẫn giải:
V× ( 6x + 11y)  31 nªn ( 6x + 11y + 31y )  31
 ( 6x + 42 y)  31  6 ( x + 7y )  31
mµ ( 6, 31 ) = 1  ( x + 7y )  31 ( ®pcm).
Bài tập 7: Cho B = 23! + 19! - 15!. Chứng minh rằng:
a. B 11
b, B 110
Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài tập 1 vận dụng tc1 mở rộng cho tổng có nhiều số hạng ,

7


Ta chứng minh các số hạng của B đều chia hết cho 11
n! = 1.2.3…n
B = 23! + 19! - 15!
=1.2.3.4….10.11…13 + 1.2.3……10.11……19 - 1.2….10.11…15
a. Ta thấy: Mỗi số hạng của B đều có thừa số 11 11 nên B 11
b, Mỗi số hạng của B đều có thừa số 10.11=110 110 nên B 110
Bài tập 8: Cho C = 1 + 3 + 32 + 32 +….+ 311. Chứng minh rằng:
a. C 13
b, C 40
Hướng dẫn giải:
Ta thấy mổi hạng tử của C 13 nhưng nếu ta nhóm 3 số hạng đầu của C thì có
tổng bằng 13 13

1 + 3 + 32 = 13 13
Mặt khác ta thấy C có 12 số hạng (12 3)
Vậy ta cử nhóm 3 số học tiên tiếp với nhau, mỗi nhóm đều 13
C = (1 + 3 + 32) + (33 + 34+ 35)+(36 + 37 + 38)+(39 + 310+ 311)
= (1 + 3+ 32) + 32(1 + 3 + 32) + 36(1 + 3 + 32) + 39(1 + 3 + 32)
 C 13

b. Tương tự câu a
Ta thấy 1 + 3 + 32 + 33 = 40 4
Và 12  4

8


C = 1 + 3 + 32 + 33 +….+ 311
= (1 + 3 + 32 + 33) + …

+ (38 + 39 + 310 + 311)

= (1 + 3 + 32) + 34(1 + 3 + 32 + 33) + 38(1 + 3 + 32 + 33)
 C 40

Bài tập 9: a) Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 260.
Chứng minh rằng : A3; A7; A15

b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chøng minh r»ng : B
chia hÕt cho 13 vµ B chia hÕt cho 41.
Hướng dẫn giải:

*A = 2 + 22 + 23 + ... + 260 = ( 2 + 22) + ( 23 + 24) + ...+

(259 + 260) =
= 2( 1 + 2) + 23 ( 1 + 2) + ... + 259 (1 + 2) = 2.3 + 23.
3 +.... + 259. 3 =
= 3.(2 + 23 + ... + 259) chia hÕt cho 3
*A= (2 + 22+ 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 + 260)
= 2.(1 + 2 + 4) + 2 4( 1 + 2 + 4) +... + 2 58( 1 + 2 +
4)
= 2.7 + 24.7 + ... + 258.7 = 7( 2 + 24 +... + 258)  7
*A= (2 + 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)
9


= 2(1 + 2 + 4 + 8) +... + 2 57( 1 + 2 + 4 + 8) = 15( 2 +
25 + ... + 257) 15.
VËy A 3, A  7 vµ A  15.
b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+ 311) + ... + ( 31987+ 31989
+ 31991)
= 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+ 34) + ... + 31987(1+
32+ 34)
= 3. 91 + 37.91 + ... + 31987.91
= 91( 3 + 37 + ... + 31987)  13 ( v× 91  13)
B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 31985 +
31987 + 31989+ 31991)
= 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 +
32 + 34 + 36)
= 3. 820 + 39 .820 + ... + 31985.820
= 820( 3 + 39 + ... + 31985)  41 ( v× 820  41)
Bài tập 10: Tìm số tự nhiên n để: n + 6 n + 2
Hướng dẫn giải:

ta có : a b  a - b b

10


n + 6 n + 2
 {n + 6 - (n + 2)} n + 2
 (n + 6 - n - 2) n + 2  4 n + 2

Hay n + 2 là ước của 4
� n + 2

1;2;4

Ta lập bảng tìm giá trị của n ta được n   0;2
Bài tập 11: CMR tổng của 3 số tự nhiên tiếp thì chia hết cho 3
Hướng dẫn giải:
Gọi 3 số tự nhiên tiếp là: n, n + 1, n + 2 ( n  N )
Ta có: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 3 ( n  N )
Bài tập 12: Cho 10k -1  19 với k > 1. Chứng minh rằng:
102k – 1  19
Hướng dẫn giải:
Ta biến đổi 102k-1 để vận dụng được 10k – 1 19
102k - 1 = 102k - 10k + 10k - 1= (102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k (10k - 1) + (10k - 1) 19
 102k – 1  19

Bài tập 13: Cho abc 37 Chứng minh rằng: bca 37
Hướng dẫn giải:
Ta vận dụng tính chất :

a m, b m, a + b + c m  c m

Theo bài ra: abc 37.
11


(100a + 10b + c) 37
 10.(100a + 10b + c) 37  100b + 10c + a + 999a 37

Mà 999 37  100b + 10c + a 37 hay bca 37
Bài tập 14: Cho a + 5b 7 (a,b  N) Chứng minh rằng: 10a + b 7
Hướng dẫn giải:
Đặt: a + 5b = x; 10a + b = y
x 7 nếu ta chứng minh được 10 x –y 7  y 7
Ta có: x 7  10x 7
10x-y=10 (a + 5b) - 10a-b = 50b - b=49b 7
 y 7 hay 10a + b 7

Bài tập 15: Tìm UCLN của 2n + 1 và 9n + 4 (n  N)
Hướng dẫn giải:
ta vận dụng tính chất :

a m, b m  (k1.a + k2.b) m

Gọi UCLN (2n - 1; 9n + 4) là d
 2 (9n + 4) - 9(2n - 1) d  17 d  d  {1;17}

Ta có: 2n - 1 17  2n - 18 17  2(n - 9) 17  n - 9 17
n = 17k + 9 (k  N)

Nếu n  17k + 9 thì 2n - 1 17 và 9n + 4 = 9 .(17k + 9) + 4
= bội 17 + 85 17,
do đó (2n - 1, 9n + 4) = 17
Nếu n 17k + 9 thì 2n - 1 17  (2n - 1, 9n + 4) = 1

12


Bài tập 16: Chứng minh rằng: 2n + 1 và 3n + 1(n  N) là 2 số nguyên tố cùng nhau
Hướng dẫn giải:
Vận dụng tính chất chia hết của một tổng ta c/minh ƯC(2n + 1, 3n + 1) = 1
Thật vậy gọi d  ƯC (2n + 1, 3n + 1)  3(2n + 1) - 2(3n + 1) d
 1 d  d = 1  2n + 1 và 3n + 1(n  N) là 2 số nguyên tố cùng nhau

Bài tập 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 thì dư 5
Hướng dẫn giải:
Gọi số cần tìm n
Ta có: n - 1 5; n - 1 + 10 5; n + 9 5
n - 5 7; n - 5 + 14 7; n + 9 7
 n + 9 35
 n + 9 = 35.k (k  N)
 số n nhỏ nhất là n = 26

Bài tập 18: Tìm n  N sao cho phân số

n4
có giá trị là số nguyên
n

Hướng dẫn giải:

phân số

n4
có giá trị là số nguyên
n

 n + 4 n

Ta có: n + 4 n  n + 4 - n n
 4 n hay n là ước của 4.
 n  1;2;4

13


Bài tập 19: Tìm n để phân số

n 1
(n Z, n 3) là phân số tối giản
n 3

Hướng dẫn giải:
để phân số

n 1
là phân số tối giản thì n + 1và n - 3 là 2 số nguyên tố cùng
n 3

nhau
Gọi d là ước nguyên tố của n + 1và n - 3  {n + 1- (n - 3)} d

 4 d

d 2  n - 3 �2k
 n là số chẵn

Bài tập 20: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× ( 3n +1, 4n +
1) = 1
Hướng dẫn giải:

Gäi d lµ ¦C( 3n+ 1, 4n + 1)


3n + 1  d



4n + 1  d

4.( 3n + 1)  d
3. ( 4n+1)  d

 ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d
1d d=1
 ( 3n + 1, 4n + 1) = 1
Bài tập 21:

14


a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để

đc số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ?
b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để
đc số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?
Hng dn gii:

a) Giả sử số viết thêm là abc . Ta có 579abc chia hết cho
5, 7 ,9 suy ra 579abc chia hết cho 5. 7. 9 = 315. ( vì 3, 5,
7 đôi một nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác 579abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 +
abc ) 315

Mà 315.1838 315 suy ra ( 30 + abc ) 315
Do 30



30 + abc

nên ( 30 + abc )
suy ra abc






30 + 999 = 1029

{ 315; 630; 945}

{ 285; 600; 915}

Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915.
b) Gọi số phải viết thêm là abc . Ta có :

15


523abc chia hÕt cho 6, 7, 8, 9 nªn

523abc chia hÕt cho

BCNN(6, 7, 8, 9) = 504.
MÆt kh¸c 523abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 +

abc .
V× 504. 1037  504 nªn ( 352 + abc )  504
ó abc = k.504 - 352 víi k



N  k



{ 1; 2 } ó abc



{ 152 ; 656}
VËy 2 sè cã thÓ viÕt thªm lµ 152 vµ 656

C. KẾT LUẬN:
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy sau khi hướng dẫn các em vận dụng kến thức
về tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập từ dễ đến khó,với mỗi
dạng tuy không có quy tắc tổng quát song sau khi giải giáo viên chỉ ra cho các em
một đặc điểm, một hướng giải quyết thì thấy các em phát triển tư duy tốt và có thể
tự vận dụng vào giải được nhiều bài tập hơn.

16


Tính chất chia hết của một tổng không chỉ được ứng dụng trong tập hợp số tự
nhiên mà còn được mở rộng trong tập hợp số nguyên vì vậy học sinh có thể vận
dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương trình THCS
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong quá trình dạy toán lớp 6, lớp 7.
Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai sót. Rất mong sự góp ý của đồng
nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 6. Nhà xuất bản giáo dục.
2- Nâng cao và phát triển Toán 6 Tác giả: Vũ Hữu Bình
3- Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục
4- Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số. Nhà Xuất bản giáo dục
5- 23 chuyên đề và 1001 bài toán sơ cấp. Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh

17