Skkn xây dựng hệ thống bài tập về thiết diện khối nón theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh lớp 12 trường thpt hà văn mao

MỤC LỤC
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3
2.4.

3.
3.1.
3.2.

MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG
Cơ sở lý luận của đề tài
Thực trạng của đề tài
Giải quyết vấn đề
Ôn tập các kiến thức bổ trợ
Hệ thống bài tập về thiết diện khối nón
Bài tập đề nghị

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà
trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận
Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT
CÔNG NHẬN

skkn

Trang
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
6
17
18

20
20
20

1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Giáo dục phổ thông đã đề ra mục tiêu môn Tốn cấp
trung học phổ thơng là: “Giúp học sinh giải toán và vận dụng kiến thức toán học
trong đời sống”. Trong phần chuẩn kiến thức và kỹ năng đã xác định kỹ năng
đối với học sinh cấp THPT về môn tốn là: “Có khả năng suy luận logic và khả
năng tự học, có trí tưởng tượng khơng gian. Vận dụng kiến thức tốn học vào
thực tiễn và các mơn học”.
Qua nghiên cứu thực tế dạy học cho thấy việc rèn luyện phương pháp học
tập cho học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn
là mục tiêu dạy học. Hiện nay, một số học sinh học rất chăm chỉ nhưng vẫn học
chưa tốt, nhất là ở các môn tự nhiên. Những em này thường tiếp thu kiến thức
còn thụ động, học phần sau đã quên phần trước và không biết liên kết các kiến
thức với nhau, không biết vận dụng kiến thức đã học trước đó vào những phần
sau. Phần lớn số học sinh này khi đọc sách hoặc nghe giảng trên lớp không biết
cách tự ghi chép để lưu thông tin, lưu kiến thức trọng tâm vào trí nhớ của mình. 
Trong q trình thực tế giảng dạy hình học khơng gian lớp 12, tôi thấy đa
số học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải tốn hình khơng gian cịn yếu và thậm
chí khơng vẽ được một số hình cơ bản, đặc biệt là các dạng tốn về mặt trịn
xoay. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương mặt tròn xoay trong
chương trình hình học lớp 12 đưa ra bài tập về thiết diện khối nón cịn ít. Từ
năm 2017 mơn Tốn chuyển sang thi trắc nghiệm 100% thì chủ đề mặt tròn
xoay là một trong các chủ đề mà học sinh phải chuẩn bị ơn tập chuẩn bị cho kì
thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đánh giá năng lực của các trường Đại học,
Cao đẳng. Do đó, để dạy cho học sinh làm tốt bài tập toán dạng này, đặc biệt
với chương này giáo viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẫn, sinh động,
gây hứng thú cho học sinh, giáo viên cần tìm tịi, sáng tạo để soạn bài tập trên

cơ sở chuẩn kiến thức và sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rõ ràng và giải thuật
ngắn gọn hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản
của bài học, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo giải các bài toán hình
học khơng gian và lĩnh hội kiến thức mới bền vững, từ đó đạt kết quả cao nhất
có thể được trong các bài kiểm tra định kì nói riêng và kì thi tốt nghiệp THPT
nói chung.
Do vậy “Dạy học theo định hướng phát triển năng lực” học sinh sẽ học
được phương pháp học, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo và phát triển tư
duy. Phương pháp có ưu điểm là phát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh, phát
triển năng khiếu. Tất cả những điều đó giúp học sinh tạo hứng thú và giảm áp
lực trong học tập. Đặc biệt, với đối tượng học sinh trường THPT Hà Văn Mao
sử dụng phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả.
Với các lí do nêu trên, tơi chọn đề tài:“Xây dựng hệ thống bài tập về thiết
diện khối nón theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh lớp 12 trường
THPT Hà Văn Mao”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và vận dụng toán vào đời sống.

skkn


2
- Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tịi, sáng tạo và đồng
thời hình thành cho các em thói quen tự học, tự nghiên cứu.
- Giúp các em thấy được mối liên hệ giữa các mảng kiến thức toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về mảng kiến thức thiết diện khối nón
trong chương trình tốn phổ thơng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, nghiên cứu các sản phẩm
hoạt động, thử nghiệm.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài
2.1.1. Khái niệm về năng lực
Theo nhà tâm lí học người Nga thì: “Năng lực được hiểu như là: một phức
hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một
hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành cơng hoạt động đó”.
Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cá
nhân, một thứ phi vật chất. Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giá
được nó thơng qua kết quả của hoạt động.
Thông thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững
tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả cao hơn,
tốt hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt
động đó trong những điều kiện tương đương.
2.1.2. Năng lực Toán học
Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên
cứu toán học và năng lực học tập toán học.
Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được
các yêu của các hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng,
kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện ngang nhau.
Cấu trúc của năng lực tốn học:
- Về mặt thu nhập thơng tin.
- Chế biến các thơng tin đó.
- Lưu trữ thơng tin.
- Thành phần tổng hợp chung.
Các mức độ năng lực: Nhận biết - Thông hiểu - Vận dụng - Vận dụng cao.
2.2. Thực trạng của đề tài.
2.2.1. Thuận lợi

- Bản thân tôi ln cố gắng tìm tịi, sáng tạo, tự học và tự nghiên cứu.
- Có một số học sinh chăm ngoan chăm học có tố chất, tư duy, nhiệt tình
mong muốn tìm hiểu khám phá những vấn đề mới của tốn học.
- Đồng nghiệp sẵn sàng chia sẻ khó khăn, kinh nghiệm giảng dạy trong
lĩnh vực này.
- Nguồn tư liệu, học liệu phong phú trên internet...

skkn


3
2.2.2. Khó khăn
Đặc thù mơn Tốn là rất trừu tượng nên học sinh có phần e ngại khi học
mơn Tốn, đặc biệt là mơn hình khơng gian và hơn nữa là mảng kiến thức về các
khối trịn xoay hồn tồn mới, cơng cụ vẽ hình khơng có sẵn chưa nói gì đến
việc tìm tịi sáng tạo, tự nghiên cứu về tốn. Thêm vào đó mảng kiến thức này
lại sử dụng rất nhiều các kiến thức về hình học phẳng cũng như hình học khơng
gian ở các lớp dưới nên học sinh dễ bị quên kiến thức.
2.2.3. Thực trạng của đề tài.
Trường THPT Hà Văn Mao đóng trên địa bàn miền núi, với đa số học
sinh là con em dân tộc Thái, Mường, còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến
thức, đặc biệt là kiến thức của các mơn địi hỏi tư duy trừu tượng như mơn Tốn
hơn nữa lại là hình học khơng gian. Đại đa số các em đều có học lực mơn Tốn
là trung bình, yếu, điểm đầu vào thấp. Với đặc điểm như trên, để cải thiện chất
lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh đại trà, chúng tôi thường tập trung vào
giúp học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài toán ở phần kiến thức được
đánh giá là dễ học, dễ tiếp thu sau đó căn cứ vào tình hình học từng lớp để có
phần hệ thống bài tập phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh.
Lượng kiến thức về phần thiết diện khối nón trình bày trong sách giáo khoa
Hình học 12 rất ít, trong khi đó để giải quyết dạng bài tập này đòi hỏi học sinh

phải nắm vững lượng kiến thức liên quan rất lớn. Điều này thực sự là khó khăn
đối với những học sinh có học lực trung bình, yếu và ngay cả với những học
sinh có học lực khá muốn sử dụng kết quả thi tốt nghiệp để xét tuyển vào các
trường Đại học, Cao đẳng.
2.3. Giải quyết vấn đề
2.3.1. Ôn tập các kiến thức bổ trợ
2.3.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
M

α

O

H

2.3.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Cho
vuông tại A
 Định lý Pitago:



hay
hay

A

hay

b

c




hay

h
b'

c'

B

skkn

H a M

C


4
2.3.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường
 Định lý Côsin trong tam giác:
 Định lý Sin trong tam giác:
2.3.1.4. Các cơng thức tính diện tích.
a. Cơng thức tính diện tích tam giác.

A

c

b
ha
a

B

với

C

(Cơng thức Hê-rơng)

Đặc biệt:
vng ở A:
đều cạnh a:
b. Diện tích hình vng cạnh :
c. Diện tích hình chữ nhật:

(H.1)
(H.2)

d. Diện tích hình thoi:

(H.3)

e. Diện tích hình thang:

(H.4)

a

a

b
m

b
a
H.1

H.3

H.2

n

h
a
H.4

2.3.1.5. Các kết quả thường dùng trong quan hệ vng góc trong không
gian

skkn


5

Định lý 1:

Định lý 2:
:
Định lý 3
Định lý 4:
Góc của đường thẳng với đường thẳng
d1
d'1
O
d'2
d2

Tìm góc giữa hai đường thẳng

bằng cách chọn một điểm

thích

hợp. Từ dựng các đường thẳng
lần lượt song song ( có thể trùng nếu
nằm trên một trong hai đường thẳng) với
và . Góc giữa hai đường thẳng
chính là góc giữa hai đường thẳng
Góc của đường thẳng với mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng
của nó trên mặt phẳng

.

và mặt phẳng

. Gọi

là góc giữa

là góc giữa

và hình chiếu

vàa mặt phẳng

thì

M
P
A

β

a'
H

Góc của mặt phẳng với mặt phẳng
Góc của mặt phẳng với mặt phẳng được định nghĩa bằng góc giữa hai
đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng đó.
Ngồi ra ta có thể tìm theo cách sau:

skkn


6

Đầu tiên tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm hai đường thẳng
lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vng góc với giao tuyến tại một điểm. Góc
giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm.
Đặc biệt: Cách xác định góc giữa mặt bên và đáy đối với hình chóp
Bước 1: Xác dịnh giao tuyến d của mặt bên và mặt đáy.
Bước 2: Từ hình chiếu vng góc của đỉnh , dựng
.
Bước 3: Góc cần tìm là góc
2.3.1.6. Hình nón –khối nón

.
S

l

h
l

A

r

O

l

B

M

Quay
.

vng

quanh trục

Đường cao:

.(

, ta được mặt nón như hình bên với:
cũng được gọi là trục của hình nón).

Bán kính đáy:
Đường sinh:
Góc ở đỉnh:
Thiết diện qua trục:

cân tại

Góc giữa đường sinh và mặt đáy:
Chu vi đáy:
Diện tích đáy:
Thể tích:
(liên tưởng đến thể tích khối chóp).
Diện tích xung quanh:
Diện tích tồn phần:
2.3.2. Hệ thống bài tập về thiết diện khối nón
Dạng 1. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa trục của nón

Bài 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau về thiết diện qua trục
của một hình nón trịn xoay
A. Là tam giác vng tại đỉnh của nón.
B. Là tam giác đều.

skkn


7
C. Là tam giác vng cân tại đỉnh của nón . D. Là tam giác ln cân .
Phân tích
Thiết diện qua trục có hai cạnh là đường sinh của hình nón nên ln cân
tại đỉnh của nón.
Lời giải
Chọn đáp án D.
Bài 2. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình nón có
thiết diện qua trục là tam giác vng có cạnh huyền bằng
. Tính diện tích
xung quanh
A.

của hình nón đó.
.

B.

.

C.
Phân tích

.

D.

.

Vì thiết diện là tam giác ln cân tại nên là tam giác vng thì nó sẽ
vng cân tại với cạnh góc vng là độ dài đường sinh cạnh huyền là
đường kính của đường trịn đáy.
Lời giải
Gọi là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác
.
Ta có

, suy ra

;

.

Vậy
.
Bài 3. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác
đều có cạnh bằng . Biết
thuộc đường trịn đáy. Thể tích của khối nón là

A.

B.

C.

D.

Phân tích
Vì thiết diện là tam giác ln cân tại
.

skkn

nên là tam giác đều thì


8

Lời giải
Ta có :

,

Vậy
.
Bài 4. (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho khối nón có thiết diện qua trục là một tam
giác cân có một góc
và cạnh bên bằng . Tính thể tích khối nón.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Phân tích
Vì thiết diện là tam giác ln cân tại , tam giác có một góc bằng
nên góc

.

Lời giải
Gọi thiết diện qua trục là tam giác
(Hình vẽ) có
và
. Gọi là trung điểm của đường kính
của đường trịn đáy
khi đó ta có

và

. Vậy thể

tích khối nón là
.
Dạng 2. Thiết diện qua đỉnh không chứa trục
Bài tập xung quanh dạng này chủ yếu là dạng bài liên quan đến diện tích
thiết diện, khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện, góc giữa mặt
phẳng chứa thiết diện và mặt đáy, góc giữa trục và mặt phẳng chứa thiết diện.

skkn


9

Kiến thức cần lưu ý:
- Thiết diện là tam giác ln cân tại đỉnh của nón và độ dài cạnh
bên
.
- Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng chứa thiết diện là đoạn
với
là hình chiếu của lên
.
- Góc giữa trục

và mặt phẳng chứa thiết diện là góc

- Góc giữa mặt phẳng chứa thiết diện và mặt phẳng đáy là góc
Bài 1. (Sở Hà Nội 2019) Cho hình nón trịn xoay có chiều cao bằng

và bán

kính bằng 3. Mặt phẳng

đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết
diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng . Diện tích của thiết diện bằng.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Phân tích

Thiết diện là tam giác cân tại
Gọi

là trung điểm

.
Lời giải
.

Ta có:
Gọi

.

là trung điểm

.

Lại có:

;

Vậy:

.
.

skkn


10
Bài 2. (Liên Trường THPT TP Vinh Nghệ An 2019) Cắt hình nón
đỉnh
cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vng cân có
cạnh huyền bằng

Biết

sao cho mặt phẳng
Tính diện tích tam giác
A.

là một dây cung đường trịn của đáy hình nón

tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc
.
B.

C.

.

D.

Phân tích

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vng cân nên vng cân
tại đỉnh của nón, suy ra đường kính đường trịn đáy
Ta có góc giữa mặt phẳng
Để tính diện tích tam giác

tạo với đáy bằng góc
ta cần tính
.
Lời giải

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vng cân, suy ra

Ta có góc giữa mặt phẳng

tạo với đáy bằng góc

Trong tam giác

có

vng tại
và

Mà
Diện tích tam giác

là

skkn


11
Bài 3. (Mã 123 2017) Cho một hình nón có chiều cao
. Mặt phẳng
đi qua
cắt đường trịn đáy tại
. Tính khoảng cách
A.

từ tâm của đường trịn đáy đến
B.

Gọi

là hình chiếu của

hình chiếu của

và bán kính đáy
và
sao cho

C.

D.

Phân tích
lên
suy ra là trung điểm

lên

.

, gọi

là

suy ra

.
Kẻ

.

Lời giải
Có

.

Ta có
lên

suy ra
ra

là trung điểm

, gọi

, gọi là hình chiếu của
là hình chiếu của lên
suy

.
Ta tính được
, suy ra

suy ra

là trung điểm của

là tam giác vuông cân tại

nên

Bài 4. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình nón có chiều cao
, bán kính đáy
. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy
đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích của thiết diện đó.
A.
B.
C.

D.
Phân tích
Bài này giả thiết gần tương tự bài 3 tuy nhiên cần sử dụng hệ thức trong
tam giác vng

để tính
Lời giải

skkn

.


12
Giả sử hình nón đỉnh
u cầu bài tốn là

, tâm đáy
(hình vẽ).

và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn

Ta có
là đường cao của hình nón. Gọi
.
Gọi là hình chiếu của lên
Ta chứng minh được
Xét tam giác vng

là trung điểm của

.
.

có
.
.

Xét tam giác vng

có

Xét tam giác vng

có

.
.

Ta có

.

Bài 5. (Chun ĐHSPHN - 2018) Cho hình nón đỉnh , đáy là hình trịn tâm
, bán kính,
, góc ở đỉnh hình nón là
. Cắt hình nón bởi mặt phẳng
qua đỉnh tạo thành tam giác đều
, trong đó , thuộc đường trịn đáy.
Diện tích tam giác
bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Phân tích
Bài này học sinh dễ nhầm lẫn thiết diện qua trục: Góc ở đỉnh hình
nón là
và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh tạo thành
tam giác đều
nên mặt phẳng khơng chứa trục của hình nón.
Lời giải

skkn


13

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là
và khi cắt hình nón
bởi mặt phẳng qua đỉnh
tạo thành tam giác đều
nên mặt phẳng
khơng chứa trục của hình nón.
Do góc ở đỉnh hình nón là

nên

Xét tam giác vng
.

ta có

Xét tam giác vng

ta có

Do tam giác

.

.

đều nên

.

Bài 6. (Chun Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình nón đỉnh
có đáy là hình trịn tâm
bán kính
Dựng hai đường sinh
và
biết
chắn trên đường trịn đáy một cung có số đo bằng
khoảng cách từ tâm
đến mặt phẳng
A.

.

bằng

Đường cao

B.

.

Dựng hai đường sinh
và
cung có số đo bằng
nên

của hình nón bằng

C.
.
D.
Phân tích
biết
chắn trên đường trịn đáy một
Lời giải

Gọi
Kẻ

là trung điểm

vng góc với

Ta có cung

bằng

nên

skkn


14

Tam giác
Tam giác

vng tại
vng tại

ta có
ta có

Bài 7. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình nón đỉnh có đáy là hình trịn tâm .
Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một
tam giác vng
có diện tích bằng
. Góc giữa trục
và mặt phẳng
A.

bằng
.

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
B.
.
C.
.
D.
Phân tích

Bài này cần xác định được góc giữa trục

và mặt phẳng

.
là góc

. Các giả thiết khác khai thác tương tự các ví dụ trên.
Lời giải

Gọi

là trung điểm của
suy ra

Dựng

, tam giác
.

.

skkn

cân đỉnh

nên

và


15
Theo trên có

nên

.

Vậy góc tạo bởi giữa trục
và mặt phẳng
Tam giác vng cân
có diện tích bằng

là
suy ra

.

.

Xét tam giác vng

có

.

Cuối cùng
.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng
.
Bài 8. Cho hình nón đỉnh , đường trịn đáy có tâm và bán kính
, góc ở
đỉnh là
. Thiết diện qua đỉnh của hình nón cắt đường trịn đáy tại hai điểm
, gọi
là hình chiếu vng góc của
lên
và
là trung điểm
của
. Khi tam giác
có diện tích lớn nhất, tính thể tích của khối nón tạo
thành khi quay
xung quanh cạnh
A.

B.

C.
D.

Phân tích
Bài này dành cho liên quan đến diện tích thiết diện qua đỉnh khơng qua
trục của hình nón ban đầu nhưng lại u cầu tính thể tích khối nón tạo
thành khi quay
xung quanh cạnh
Đặt
. Ta cần tính
theo , tìm giá trị để
tam giác
có diện tích lớn nhất. Từ đó tính thể tích của khối nón tạo
thành khi quay
xung quanh cạnh
Lời giải
S

H
N
A

F

O

B

M

Gọi
Đặt

là đường kính hình tròn đáy và
.
.

skkn

.


16

Xét hàm số

.

Bảng biến thiên
x

3a

0

f'(x)

+

3a 3
-

0

324a4

f(x)

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy
,
vng tại có
Từ

kẻ

lên
Do đó
ra

Khi quay

tại
.
vng cân tại

.

là hình chiếu vng góc của
.
vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của

.
xung quanh cạnh
và bán kính đáy

, suy

ta được khối nón có chiều cao
.

Vậy thể tích của khối nón tạo thành là:
.
Dạng 3. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với mặt đáy
Kiến thức cần lưu ý:
Thiết diện là đường trịn có tâm là giao điểm của đường cao và mặt phẳng
chứa thiết diện, bán kính
Trong tam giác
, nếu
thì ta có:

Bài 1. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và
chiều cao bằng 10. Mặt phẳng

vng góc với trục và cách đỉnh của hình nón

skkn


17
một khoảng bằng 4, chia hình nón thành hai phần. Gọi
chứa đỉnh của hình nón đã cho,
A.

.

là thể tích của phần

là thể tích của phần cịn lại. Tính tỉ số

B.

.

C.

.

?

D.

.

Phân tích

Mặt phẳng

vng góc với trục và cách đỉnh của hình nón một

khoảng bằng 4( như hình vẽ ) nên

song song với mặt đáy nên áp dụng

định lý Thales trong phẳng ta có

Áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón suy ra tỉ lệ cần tính.
Lời giải
Ta có:

Khi đó,
Suy ra:
Vậy
Bài 2. (Phan Đăng Lưu - Huế - 2018) Cho hình nón
và bán kính đáy bằng

, gọi

là thiết diện của mặt phẳng
Tìm
A.

là điểm trên đoạn

.

, đặt

vng góc với trục

để thể tích khối nón đỉnh
B.

đáy là
.

skkn

có đường cao
tại

,

.

, với hình nón

.

lớn nhất.
C.

.

D.

.


18
Phân tích
là đường trịn tâm
Khối nón có đỉnh
Do

đường kính

đáy là đường trịn

nên có chiều cao là

nên

.
.

Từ đó tính được thể tích khối nón theo
tìm giá trị lớn nhất của thể tích.

. Sử dụng bảng biến thiên để

Lời giải
Ta có
Do

là bán kính đường trịn
tam

.

giác

nên

.
Thể tích của khối nón đỉnh

đáy là

là:

.
Xét hàm số

,

Ta có

;

Lập bảng biến thiên ta có

skkn

ta có
.


19

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh

đáy là

lớn nhất khi

.

2.3.3. Bài tập đề nghị
Bài 1. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam
giác vng cân có cạnh huyền bằng
. Tính thể tích của khối nón đó.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh , diện
tích xung quanh là và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có
diện tích . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài 3. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh , có thể
tích và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích . Khi
đó, tỉ số thể tích

bằng bao nhiêu?

A.

B.

.

.

C.

.

D.

.

Bài 4. Cho hình nón trịn xoay có chiều cao bằng
, bán kính đáy bằng
.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt
phẳng chứa thiết diện bằng

. Diện tích của thiết diện đó bằng

A.

.

.

B.

C.

Bài 5. Cho hình nón đỉnh
có chiều cao
phẳng
đi qua
cắt đường tròn đáy tại
khoảng cách từ tâm của đường trịn đáy đến
A.

B.

C.

skkn

.

D.
và bán kính đáy
và
sao cho

D.

.
Mặt

. Tính


20
Bài 6. Cho hình nón trịn xoay có đỉnh là , là tâm của đường trịn đáy,
đường sinh bằng
và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng
. Diện
tích xung quanh
A.

của hình nón và thể tích
.

C.

.

của khối nón tương ứng là:

B.

.

D.

.

Bài 7. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình nón có chiều cao bằng
. Một

mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác
đều có diện tích bằng
. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã
cho bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Bài 8. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình nón có chiều cao

.
. Một mặt

phẳng
đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là , thiết diện
thu được là một tam giác vng cân. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi
hình nón đã cho bằng
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Bài 9. Một hình nón đỉnh bán kính đáy
, góc ở đỉnh là
. Mặt
phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác. Diện tích
lớn nhất của tam giác đó bằng
A.

B.

C.

D.

.

Bài 10. (Chuyên Bắc Giang 2019) Một vật
có dạng hình nón có chiều cao
bằng
. Người ta cắt vật
bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó
để được một hình nón nhỏ
có thể tích bằng thể tích .Tính chiều cao
của hình nón ?
B.
C.

D.
A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Như trong phần đặt vấn đề đã nêu, sáng kiến nhằm đưa ra giải pháp giúp học
sinh trường THPT Hà Văn Mao giải thành thạo bài tốn về thiết diện khối nón
theo các mức độ của năng lực.
Với tinh thần đó, trong q trình soạn, dạy dạng tốn này tơi thực hiện theo
cách phân dạng và phân tích cách giải cho từng dạng từ dễ đến khó, thơng qua
các ví dụ được chọn lọc. Tôi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, định hướng
nhanh và đạt độ chính xác cao hơn.

skkn


21
Qua kiểm tra thử nghiệm với học sinh của các lớp 12A1 và 12A3 năm học
2021- 2022. Tôi tiến hành chia cả hai lớp thành hai nhóm có lực học tương
đương và cho làm cùng một đề trong khoảng thời gian bằng nhau. Kết quả khảo
sát và thực nghiệm cụ thể như sau:

Lớp 12A1
Nhóm đối chứng
Nhóm thực
nghiệm

Sĩ
số
16
16

Điểm
dưới TB

Điểm TB
(5 đến 6,4)

SL %
2 12.5
0
0

SL
8
5

%
50
31.25

Điểm khá
(6,5 đến 7,9)
SL
5
7

%
31.25
43.75

Điểm giỏi
(từ 8 trở
lên)
SL
%
1
6.25
4
25

Lớp 12A3
Nhóm đối chứng 20
7
35
9
45
4
20
0
0
Nhóm thực
20
1
5
9
45
8
40
2
10

nghiệm
Từ những kết quả trên tơi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là
hoàn tồn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Xây dựng hệ thống bài tập về thiết
diện khối nón theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh lớp 12 trường
THPT Hà Văn Mao” theo kinh nghiệm của bản thân cũng như việc tham khảo ý
kiến của nhiều đồng nghiệp khác, đó là một việc làm rất có hiệu quả và gây
hứng thú cho học sinh trong học tập môn hình học, nhất là trong giai đoạn hiện
nay khi việc tự hệ thống, tự học của học sinh đang có nhiều hướng giảm sút,
xuống cấp. Xã hội ngày càng phát triển đi lên về kinh tế, do ảnh hưởng của nền
kinh tế thị trường, lối suy nghĩ và cách sống thực dụng đang tác động mạnh mẽ
đến từng học sinh cùng với thái độ học đối phó, qua loa, đại khái của học sinh
đã và đang là những trở ngại khơng nhỏ đối với việc giảng dạy mơn Tốn.
Việc ơn tập cuối năm và ơn tập cuối cấp có một ý nghĩa vơ cùng quan
trọng cho cả q trình học tập tồn cấp trung học phổ thơng, nắm vững kiến
thức và kỹ năng của chương trình. Thầy cơ đóng một vai trò hết sức quan trọng
trong việc giúp học sinh ôn tập để đạt kết quả tốt nhất.
Sáng kiến  nghiệm “Xây dựng hệ thống bài tập về thiết diện khối nón
theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh lớp 12 trường THPT Hà Văn
Mao” cung cấp cho các thầy cơ một cách ơn tập có hiệu quả theo từng mức độ
đạt được về năng lực, giúp học sinh nắm vững kiến thức và các kỹ năng cơ bản

skkn


22
của bài học về khối nón. Từ sáng kiến này phát triển, áp dụng phương pháp,

cách nhìn nhận này cho các chủ đề khác của chương trình.
Sáng kiến cho chúng ta một chủ đề cần ôn tập chuẩn bị cho học sinh lớp
12 tham gia thi tốt nghiệp THPT cũng như thi vào các trường Đại học, Cao
đẳng trên toàn quốc.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là một sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị
trong các năm học vừa qua. Đề tài là một tài liệu học tập giúp học sinh hệ thống
được kiến thức chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT. Mặc dù vậy trong q
trình làm cịn có nhiều hạn chế mong được sự góp ý của bạn bè, đồng nghiệp.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 4 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người viết
Nguyễn Thị Linh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]- Đề tham khảo, đề thử nghiệm và đề minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2020,
2021
[2]- Các đề thi thử của các trường THPT trong và ngoài tỉnh.
[3]- Tài liệu tham khảo trên các diễn đàn toán học trên internet.
[4]- Các đề thi học sinh giỏi của các trường trong tỉnh và ngoài tỉnh
[5]- Nguồn Internet

skkn

23

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Linh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - THPT Hà Văn Mao.

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Hướng dẫn học sinh
lựa chọn hệ số thích hợp
khi sử dụng phương

Cấp đánh giá
xếp loại
(Phịng, Sở,
Tỉnh...)
Sở GD&ĐT

skkn

Kết quả
đánh giá

Năm học
xếp loại
đánh giá xếp
(A, B, hoặc
loại
C)
C
2015-2016


24
pháp tích phân từng
phần.

skkn