Mo t biu din ph hp ca di s lie g
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.09 KB, 16 trang )
Mô tả biểu diễn phụ hợp của đại số Lie G giải được 7-chiều
có căn lũy linh là g4 ⊗ g1
Trần Nam Hưng*
Ngày 11 tháng 2 năm 2021
Tóm tắt nội dung
Đại số Lie g4 ⊗ g1 có cấu trúc Lie như sau
g4 ⊗ g1 = Span {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } : [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X2 ] = X4
Lấy G là đại số Lie giải được 7-chiều có căn lũy linh là g4 ⊗ g1 . Gọi các cơ sở của G là {Xi }i=1 ... 7 . Khi
đó ta có G đẳng cấu với các đại số Lie L được trình bày trong phần phụ lục.
Biểu diễn phụ hợp của G là đồng cấu đại số Lie ad : G → G , g 7→ adg, trong đó adg được xác định bởi
adg(h) = [g , h] , ∀h ∈ G . Ta cũng có định lý đẳng cấu
Định lí 1 (Định lý đẳng cấu). Cho đồng cấu đại số Lie ϕ : G → G ′ . Khi đó G /Kerϕ ∼
= Imϕ.
Đối với biểu diễn phụ hợp, ta dễ dàng tính được Ker(ad) = Z(G ). Khi đó, G /Z(G ) ∼
= Imϕ.
Mục tiêu của bài báo cáo là 1) Xác định tâm của G , 2) Xác định đại số Lie ảnh Im(ad). Từ đó ta có kết
luận về tính đẳng cấu với tập ảnh.
Mục lục
1. Các kết quả đối với L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2. Các kết quả đối với L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3. Các kết quả đối với L3a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4. Các kết quả đối với L4ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5. Các kết quả đối với L5a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6. Các kết quả đối với L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7. Các kết quả đối với L7a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8. Các kết quả đối với L8aδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9. Các kết quả đối với L9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
a ............................................................
10. Các kết quả đối với L10
11
11. Các kết quả đối với L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
a ............................................................
12. Các kết quả đối với L12
13
*
1
1. Các kết quả đối với L1
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X5 ] = X5 ,
(1)
[X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X2 ] = −2X2 , [X7 , X3 ] = −X3 ,
[X6 , X7 ] = X4 .
Tâm của L1
Z(L1 ) = Span{X4 }.
Ma trận biểu diễn của L1
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L1 . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 − 2x7 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 − x7 X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = 0
adg(X5 ) = [g , X5 ] = x6 X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x5 X5 − x7 X4
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 + 2x2 X2 + x3 X3 + x6 X4
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x7
0
0
0 −2x7
0
−x2
x1
−x7
L1 /Span{X4 } ∼
=
0
x1
−x3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−x1
0
0
0
0
0
0
0
0
−x7
2x2
x3
x6
: x1 , . . . , x7 ∈ R .
0
0
0
0 x6 −x5
0
0
0
0
0
0
2
(result)
2. Các kết quả đối với L2
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 ,
(2)
[X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 ,
[X6 , X7 ] = X5 .
Tâm của L2
Z(L2 ) = Span{X5 }.
Ma trận biểu diễn của L2
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L2 . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = 0
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − x7 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − x3 X3 − 2x4 X4 + x6 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x7
0
0
0
0 x6
0
0
−x2 x1 x6 + x7
0
L2 /Span{X5 } ∼
=
x1
x6 + 2x7
−x3 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0 −x2
0 −x3
0 −x4
0 −x7
0
0
0
0
−x1
0
−x3
−2x4
: x1 , . . . , x 7 ∈ R .
x6
0
0
(result)
3. Các kết quả đối với L3a
Các móc Lie khơng tầm thường với tham số a 6= 0
[X1 , X2 ] = X3 ,
[X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X2 ] = X2 ,
[X6 , X3 ] = X3 ,
[X6 , X4 ] = X4 ,
(3)
[X7 , X1 ] = aX1 , [X7 , X3 ] = aX3 , [X7 , X4 ] = 2aX4 , [X7 , X5 ] = X5 .
Tâm của L3a
Z(L3a ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L3a
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L3a . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 − ax7 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + ax7 )X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2ax7 )X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −ax1 X1 − ax3 X3 − 2ax4 X4 − x5 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
ax
0
0
0
0
0
−ax
7
1
0 x6
0
0
0
−x
0
2
−x
x
x
+
ax
0
0
−x
−ax
7
3
3
2 1 6
a∼
.
:
x
,
.
.
.
,
x
∈
R
,
a
=
6
0
L3 =
−x
0
x
2ax
+
x
0
−x
−2ax
1
7
1
7
4
4
6
3
0
0
0
0
x7
0
−x5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
(result)
4. Các kết quả đối với L4ab
Các móc Lie khơng tầm thường với các tham số a , b 6= 0
[X1 , X2 ] = X3 ,
[X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X1 ] = X1 ,
[X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 ,
[X7 , X2 ] = bX2 , [X7 , X3 ] = bX3 , [X7 , X4 ] = bX4 ,
(4)
[X7 , X5 ] = X5 .
Tâm của L4ab
Z(L4ab ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L4ab
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L4ab . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + (ax6 + bx7 )X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + [(1 + a)x6 + bx7 ]X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = [(2 + a)x6 + bx7 ]X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − ax2 X2 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −bx2 X2 − bx3 X3 − bx4 X4 − x5 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x
0
0
0
0
−x
0
1
6
0
ax
+
bx
0
0
0
−ax
−bx
7
2
2
6
−x
x
(1
+
a)x
+
bx
0
0
(−1
−
a)x
−bx
2
1
7
3
3
6
ab ∼
L4 = −x3
0
x1
(a + 2)x6 + bx7 0 (−a − 2)x4 −bx4 : x1 , . . . , x7 ∈ R , a , b 6= 0 .
0
0
0
0
x7
0
−x
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(result)
5
5. Các kết quả đối với L5a
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = 2X3 , [X6 , X4 ] = 3X4 , [X6 , X5 ] = aX5 ,
(5)
[X7 , X5 ] = X5 , [X7 , X1 ] = X2 .
Tâm của L5a
Z(L5a ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L5a
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L5a . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1 + x7 X2
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + 2x6 X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = 3x6 X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = (ax6 + x7 )X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − x2 X2 − 2x3 X3 − 3x4 X4 − ax5 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X2 − x5 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x
0
0
0
0
−x
0
1
6
x7 x6 0
0
0
−x
−x
2
1
−x
x
2x
0
0
−2x
0
3
6
2 1
a∼
L5 =
:
x
,
.
.
.
,
x
∈
R
,
a
=
6
0
.
−x
0
x
3x
0
−3x
0
7
1
4
6
3
1
0
0
0
0 ax6 + x7 −ax5 −x5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
(result)
6. Các kết quả đối với L6
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 ,
[X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X2 ] = X2 ,
[X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 ,
(6)
[X7 , X1 ] = X1 + X5 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X7 , X5 ] = X5 .
Tâm của L6
Z(L6 ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L6
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L6 . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1 + x7 X5
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − (x1 + x5 )X5 − x3 X3 − 2x4 X4
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x
0
0
0
0
0
−x
7
1
0 x6
0
0
0
−x
0
2
−x
x
x
+
x
0
0
−x
−x
7
3
3
2 1 6
L6 ∼
:
x
,
.
.
.
,
x
∈
R
.
=
−x
0
x
x
+
2x
0
−x
−2x
1
7
1
7
4
4
6
3
x7
0
0
0
x7
0 −x1 − x5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
(result)
7. Các kết quả đối với L7a
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X6 , X5 ] = X5 ,
(7)
[X7 , X5 ] = X5 , [X7 , X2 ] = X4 .
Tâm của L7a
Z(L7a ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L7a
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L7a . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + ax6 X2 + x7 X4
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (1 + a)x6 X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = (2 + a)x6 X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = (x6 + x7 )X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − ax2 X2 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4 − x5 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x2 X4 − x5 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x
0
0
0
0
−x
0
1
6
0
ax
0
0
0
−ax
0
2
6
−x
x
(1
+
a)x
0
0
(−1
−
a)x
0
2
1
3
6
a∼
L7 = −x3 x7
x1
(2 + a)x6
0
(−2 − a)x4 −x2 : x1 , . . . , x7 ∈ R , a 6= 0 (result)
0
0
0
0
x
+
x
−x
−x
7
6
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
8. Các kết quả đối với L8aδ
Các móc Lie khơng tầm thường với các tham số a 6= 0 , δ = ±1
[X1 , X2 ] = X3 ,
[X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X2 ] = X2 ,
[X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , [X6 , X5 ] = aX5 ,
(8)
[X7 , X2 ] = δ X4 , [X7 , X5 ] = X5 .
Tâm của L8aδ
Z(L8aδ ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L8aδ
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L8aδ . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 + δ x7
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + x6 X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = x6 X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = (ax6 + x7 )X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − ax5 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −δ x2 X4 − x5 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
L8aδ
0
0
0
0
0
0
0
0
x
0
0
0
−x
0
2
6
−x
x
x
0
0
−x
0
2
1
3
6
∼
= −x3 δ x7 x1 x6
0
−x4 −δ x2 : x1 , . . . , x7 ∈ R , a 6= 0 , δ = ±1 .
0
0
0
0
ax
+
x
−ax
−x
7
6
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
9
(result)
9. Các kết quả đối với L9
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 ,
(9)
[X6 , X5 ] = X5 ,
[X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X7 , X2 ] = X5 .
Tâm của L9
Z(L9 ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L9
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L9 . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 + x7 X5
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = x6 X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − x5 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − x2 X5 − x3 X3 − 2x4 X4
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x7
0
0
0
0
0 x6
0
0
0
−x x x + x
0
0
2
1
7
6
∼
L9 = −x3 0
x1
x6 + 2x7 0
0 x7
0
0
x6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
−x2
−x3
−x4
−x5
0
0
−x1
0
−x3
−2x4
: x1 , . . . , x7 ∈ R .
−x2
0
0
(result)
a
10. Các kết quả đối với L10
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 ,
[X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X1 ] = X1 ,
[X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X6 , X5 ] = aX5 ,
[X7 , X2 ] = X2 + X5 , [X7 , X3 ] = X3 ,
[X7 , X4 ] = X4 ,
(10)
[X7 , X5 ] = X5 .
a
Tâm của L10
a
Z(L10
) = 0.
a
Ma trận biểu diễn của L10
7
a . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L10
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x7 X2 + x7 X5
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + [(1 + a)x6 + x7 ]X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = [(2 + a)x6 + x7 ]X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x2 X2 − (x2 + x5 )X5 − x3 X3 − x4 X4
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x
0
0
0
0
−x
0
1
6
0
x
0
0
0
0
−x
7
2
−x x (1 + a)x + x
0
0
(−1
−
a)x
−x
2
1
7
3
3
6
a ∼
L10 = −x3 0
x1
(2 + a)x6 + x7 0 (−2 − a)x4
−x4 : x1 , . . . , x7 ∈ R , a 6= 0 .
0 x7
0
0
x
0
−x
−
x
7
2
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(result)
11
11. Các kết quả đối với L11
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 ,
[X6 , X5 ] = X5 ,
(11)
[X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X7 , X5 ] = X4 + X5 .
Tâm của L5a
Z(L11 ) = 0.
Ma trận biểu diễn của L11
7
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L11 . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x7 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = (x6 + x7 )X5 + x7 X4
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − x5 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − x3 X3 − (2x4 + x5 )X4 − x5 X5
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
x7
0
0
0
0
0
0
0
0 x6
−x x x + x
0
0
2
1
7
6
∼
L11 = −x3 0
x1
x6 + 2x7
x7
0
0
0
0
x6 + x7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−x2
−x3
−x4
−x5
0
0
12
−x1
−x3
−2x4 − x5
:
−x5
0
0
0
x1 , . . . , x7 ∈ R , a 6= 0 .
(result)
a
12. Các kết quả đối với L12
Các móc Lie khơng tầm thường
[X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 ,
[X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X6 , X5 ] = (2 + a)X5 ,
[X7 , X2 ] = X2 , [X7 , X3 ] = X3 ,
[X7 , X4 ] = X4 ,
(12)
[X7 , X5 ] = X4 + X5 .
a
Tâm của L12
a
Z(L12
) = 0.
a
Ma trận biểu diễn của L12
7
a . Ta tính ảnh của cơ sở qua đồng cấu adg.
Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1,...,7 là các cơ sở của L12
i=1
adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1
adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x7 X2
adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + [(1 + a)x6 + x7 ]X3
adg(X4 ) = [g , X4 ] = [(2 + a)x6 + x7 ]X4
adg(X5 ) = [g , X5 ] = (2 + a)x6 X5 + x7 X3 + x7 X4
adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4 − (2 + a)x5 X5
adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x2 X2 − (x3 + x5 )X3 − (x4 + x5 )X4
Đồng nhất adg với ma trận biểu diễn của nó ứng với cơ sở C, khi đó ta được
a ∼
(result)
L12
=
x
0
0
0
0
−x
0
1
6
0 ax6 + x7
0
0
0
−ax
−x
2
2
−x
x
(1
+
a)x
+
x
0
0
(−1
−
a)x
−x
1
7
3
3
6
2
−x3
.
:
x
,
.
.
.
,
x
∈
R
,
a
=
6
0
0
x
(2
+
a)x
+
x
x
(−2
−
a)x
−x
−
x
1
7
1
7
7
4
4
6
5
0
0
0
0
(2 + a)x6 + x7 (−2 − a)x5
−x5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13
Kết luận
Hầu như các đại số Lie G giải được 7-chiều đều đẳng cấu với tập ảnh (chỉ trừ L1 và L2 ).
Phụ lục các lệnh sử dụng trong Maple
#Load some libraries
with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras):
#Creat and setup a new Lie algebra #Examle of L1
StructureEquations := [[x1, x2] = x3, [x1, x3] = x4, [x1, x7] = -x1,
[x2, x7] = 2*x2, [x3, x7] = x3,[x5, x6] = -x5, [x6, x7] = x4]
L1 := LieAlgebraData(StructureEquations, [x1], x2, x3, x4,
x5, x6, x7], g); DGsetup(L1)
#Find a centre of Lie algebra
Center(L1)
#Find adjoint transformation
eval(x1*Adjoint(e1)+x2*Adjoint(e2)+x3*Adjoint(e3)+x4*Adjoint(e4)
+x5*Adjoint(e5)+x6*Adjoint(e6)+x7*Adjoint(e7))
Phụ lục các đại số Lie L giải được 7-chiều có căn lũy linh là g4 ⊗ g1
14
G giải được 7-chiều có căn luỹ linh là g4 × g1
Đại số Lie g4 × g1 có cấu trúc như sau
g4 × g1 = span{X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } : [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 .
Lấy G là đại số Lie giải được 7-chiều, có căn lũy linh là g4 × g1 . Khi đó, G đẳng cấu với
một trong các đại số Lie được liệt kê dưới đây1
Kí hiệu
1
A
B
L1
L2
La3
Lab
4
diag(0, 0, 0, 0, 1)
diag(0, 1, 1, 1, 0)
diag(0, 1, 1, 1, 0)
diag(1, a, 1 + a, 2 + a, 0)
La5
diag(1, 1, 2, 3, a)
L6
diag(0, 1, 1, 1, 0)
La7
diag(1, a, 1 + a, 2 + a, 1)
Laδ
8
diag(0, 1, 1, 1, a)
diag(1, −2, −1, 0, 0)
diag(1, 0, 1, 2, 0)
diag(a, 0, a, 2a, 1)
diag(0, b, b, b, 1)
0 1
0
0
0
1
1
1
0
1
2
1
0
1
1
1
1
0
0
0
δ
0
0
1
Các móc Lie được xác định như trường hợp căn lũy linh g5,3 ở đề tài.
1
[X, Y ]
Điều kiện
X4
X5
0
0
a 6= 0
b 6= 0
0
0
0
0
δ = ±1
Kí hiệu
A
L9
diag(0, 1, 1, 1, 1)
La10
diag(1, a, 1 + a, 2 + a, a)
L11
diag(0, 1, 1, 1, 1)
La12
diag(1, a, 1 + a, 2 + a, 2 + a)
B
1
0
1
1
2
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1 2
0
1
1
1
1 1
2
[X, Y ]
0
0
0
0
Điều kiện
