Giáo án Hình học lớp 12 Chuyên đề 5 bài 3 Thể tích khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ 5
BÀI 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết cơng thức tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp.
+

Biết cách xác định chiều cao khối lăng trụ, khối chóp thơng qua mối quan hệ về góc, khoảng cách
và các hệ thức lượng trong tam giác.

+ Biết cách tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp: phân chia khối đa diện, tách
ghép, bổ sung khối đa diện, sử dụng công thức tỉ số thể tích.
+ Biết liên hệ với bài tốn thực tế thơng qua giải các bài tốn thực tế, bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất.
 Kĩ năng
+

Thành thạo công thức tính thể tích các khối đa diện.

+

Tính được khoảng cách, góc thơng qua bài tốn thể tích.

TOANMATH.com

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cơng thức tính thể tích khối chúp, lng tr
1

Th tớch khi chúp: V Sđáy .h .
3

1
Ví dụ: VS . ABCD  d S . ABCD .S ABCD
3

Trong ú: Sđáy : Din tớch mt ỏy.
h: Độ dài chiều cao khối chóp.

Thể tích khối lăng trụ: V Sđáy .h
Trong ú: Sđáy : Din tớch mt đáy.
h: Chiều cao của khối chóp.

Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là
cạnh bên.
Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c
Thể tích khối lập phương: V  a3

Chú ý:
+) Đường chéo của hình vng cạnh a là:

a 2.
+) Đường chéo của hình lập phương cạnh a
là: a 3
+) Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba
kích thước a, b, c là:

a2  b2  c 2 .

+) Đường cao của tam giác đều cạnh a là:

a 3
2

TOANMATH.com

Trang 2


Các cơng thức hình phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.
+) AB 2  AC 2  BC 2 ;

+) AC 2  CH. BC ;

+) AH. BC  AB. AC ;

+) AB 2  BH. BC ;

+) AH 2  BH. HC ;

+)

1
1
1
;



2
2
AH
AB
AC 2

+) AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B .
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài các trung
tuyến ma , mb , mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán
kính đường trịn nội tiếp r, nửa chu vi p.
+) Định lí hàm số cosin:

a 2  b 2  c 2  2 bc.cos A ;
b 2  c 2  a 2  2ca.cos B ;

c 2  a 2  b2  2 ab.cos C .

+) Định lí hàm số sin:

a
b
c


 2R .
sin A sin B sin C

+) Độ dài trung tuyến:
ma2 

b2  c 2 a2
c2  a2 b2
a2  b2 c 2
 ; mb2 
 ; mc2 
 .
2
4
2
4
2
4

2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
+) S 

1
1
1
a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2

+) S 

1
1

1
bc sin A  casin B  ab sin C
2
2
2

+) S 

abc
4R

+) S  pr (p: nửa chu vi của tam giác).
+) S 

p  p  a  p  b  p  c 

+) ABC vuông tại A: S 

AB. AC BC. AH

2
2

+) ABC đều, cạnh a: AH 

TOANMATH.com

a 3
a2 3
.

,S
2
4

Trang 3


b) Hình vng: S  a 2 (a: cạnh hình vng)

c) Hình chữ nhật: S  ab (a, b: hai kớch thc)

d) Hỡnh bỡnh hnh:


S đáy chiều cao = AB. AD.sin BAD

  1 AC. BD
e) Hình thoi: S  AB. AD.sin BAD
2

f) Hình thang: S 

1
 a  b  h (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2

g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S 

1
AC. BD

2

Một số kỹ thuật tính thể tích hay dùng
1. Kĩ thuật chuyển đỉnh
Khi đáy khơng đổi ra có thể chuyển đỉnh để việc tính
tốn dễ dàng hơn.
+) Trường hợp 1: Đỉnh mới và đỉnh cũ nằm trên đường
thẳng song song với đáy: Vmíi  Vcị
+) Trường hợp 2: Đỉnh mới và đỉnh cũ nằm trên đường
thẳng cắt đáy:
Vmíi BM

Vcị
AM

TOANMATH.com

Trang 4


2. Kĩ thuật chuyển đáy
Khi chiều cao không đổi ta có thể chuyển đáy để việc
tính tốn dễ dàng hơn:

VSABCD S SABCD

VEFG
S EFG

Góc giữa đường thẳng vằ mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa
đường thẳng đó và hình chiếu vng góc của nó trên mặt
phẳng.
Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
SA,  P   , ta gọi H là hình chiếu vng góc
Để tính góc 

của S trên  P  . Khi đó HA là hình chiếu vng góc của SA
trên  P  .

.
Vậy 
SA,  P    
SA, AH   SAH
Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
SB,  SAH   biết
Để tính góc 

 SAH    P 

ta dựng

 BK  AH
BK  AH  K  AH  . Vì 
nên BK   SAH 
 BK  SH

Khi đó K là hình chiếu vng góc của B trên  SAH 
 SK là hình chiếu vng góc của SB trên  SAH 


SB,  SAH    
SB, SK   BSK
Vậy 
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng
lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vng góc với giao
tuyến.

TOANMATH.com

Trang 5


Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy
Để tính góc 
 SAB  ,  P   , ta gọi H là hình chiếu vng
góc của S trên  P  .
Kẻ HI  AB  I  AB 
 AB  HI

 AB   SHI   AB  SI
 AB  SH

.
SI , HI   SIH
Vậy 
 SAB  ,  P    
Góc giữa mặt bên và mặt đứng
Để tính góc 

 SAB  ,  SAH   biết  SAH    P  , ta kẻ
 BK  HA
 BK   SHA  .
BK  HA  K  HA   
 BK  SH

Kẻ KI  SA  I  SA 
 SA  KI

 SA   BKI   SA  BI
 SA  BK

.
Vậy 
KI , BI   BIK
 SAB  ,  SAH    
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thể tích khối chóp
Bài tốn 1. Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Phương pháp giải
Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, thì cạnh
bên đó chính là chiều cao của khối chóp.
MƠ HÌNH 1
Hình chóp S . ABC , cạnh SA vng góc với đáy.
+ Đáy là tam giác ABC.
+ Đường cao SA.
+ Cạnh bên SB, SC, SA.
+ SAB , SAC là các tam giác vng tại A.

.

+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc SBA

.
+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc SCA
 với H
+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy là góc SHA
là hình chiếu vng góc của A trên BC.
TOANMATH.com

Trang 6


MƠ HÌNH 2
Hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật
(hình vng) và SA vng góc với đáy.
+ Đáy là hình chữ nhật (hình vng) ABCD.
+ Đường cao SA.
+ Cạnh bên SA, SB, SC, SD.
+ SAB, SAC , SAD là các tam giác vuông tại A.

.
+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là SBA
.
+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là SCA
.
+ Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là SDA
.
+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy ABCD là SBA
.
+ Góc giữa mặt bên SCD với đáy ABCD là SDA

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác S . ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , Chú ý:
AC  2a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và SA  a . Thể tích của khối Chóp tam giác O. ABC có

OA, OB, OC đơi một

chóp S . ABC là
A. V  a3

B. V 

a3
2

C. V 

a3
3

D. V 

a3
4

Hướng dẫn giải

khối chóp S . ABC là
V

Diện tích đáy

S ABC 

vng góc thì thể tích của
OA.OB.OC
.
6

1
1
AB. AC  a.2a  a 2 .
2
2

Chiều cao: SA  a .

1
1
a3
Vậy VS . ABC  S ABC .SA  a 2 .a  .
3
3
3
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,
cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và SA  a 2 . Thể tích của khối chóp
S . ABCD là

A.

a3 2

3

B. a 3 2

C.

a3 2
4

D.

a3 2
6

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 7


Diện tích đáy S ABCD  a 2 .
Chiều cao: SA  a 2 .
a3 2
1
1
Vậy VABCD  B.h  a 2 .a 2 
3
3
3

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABC đáy ABC là tam giác vng tại B, AB  a ,


ACB  60 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy
một góc bằng 45 . Thể tích của khối chóp S . ABC là
A.

a3 3
6

B.

a3 3
18

C.

a3 3
9

D.

a3 3
12

Hướng dẫn giải
Ta có ABC vng tại B nên

a 3
BC  AB.cot 
ACB  a.cot 60 
3
 S ABC 

1
1 a 3 a2 3

BA.BC  a.
2
2
3
6

Ta có AB là hình chiếu vng góc của SB trên

 ABC 

 







  45
 SB
,  ABC   SB

, AB  SBA
SAB vuông tại A nên

  AB.tan 45  a .
SA  AB.tan SBA

1
1 a2. 3
a3 3
Vậy VS . ABC  S ABC .SA 
.a 
3
3 6
18
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,

Nhận xét: Việc chia nhỏ

 AD 

BC  , cạnh AD  2a , AB  BC  CD  a và SA vng góc với mặt

hình thang cân ABCD

phẳng  ABCD  , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Thể tích của khối

thành ba tam giác đều sẽ

chóp S . ABCD là

A.

3

a
3

giúp ta thuận tiện trong
việc tính diện tích đáy.

B.

a

Hướng dẫn giải

3

4

3

C.

3a

3

4

3

D.

3a

3

2

3

Chú ý: Nếu ABC là tam
giác đều thì
S ABC 

TOANMATH.com

AB 2 3
4

Trang 8


Gọi M là trung điểm AD. Ta chia hình thang cân
ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam
giác này là các tam giác đều cạnh a.
Do đó S ABCD 

3a 2 3

.
4

Ta có AC là hình chiếu vng góc của SC trên


  60 .
,  ABCD     SC
, AC   SCA
 ABCD    SC

Lại có AH là đường cao trong tam giác đều ABM nên
AH 

AB 3 a 3

 AC  2 AH  a 3 .
2
2

SAC vuông tại A nên

  AC. tan 60  3a .
SA  AC. tan SCA
1
1 3a 2 . 3
3a 3 3
Vậy VS . ABCD  S ABCD .SA  .
.
.3a 

3
3
4
4
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi AC  2a ,
BD  3a , AC  BD và SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , cạnh SC tạo

với mặt phẳng đáy góc  thỏa mãn tan  

1
. Thể tích khối chóp S . ABCD
3

là
A.

2a 3
3

B.

a3
3

a3
4

C.

D.

a3
12

Hướng dẫn giải
Ta có AC  BD  S ABCD 

AC.BD
 3a 2 .
2

Do AC là hình chiếu vng góc của SC trên

 ABCD 

 







 
nên SC
,  ABCD  SC
, AC  SCA

 SA  AC. tan  

Vậy VS . ABCD 

2a
.
3

1
1
2a 2a 3
SS . ABCD .SA  3a 2 .

.
3
3
3
3

Chọn A.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
hai mặt phẳng

 SAB 

TOANMATH.com

và

 SBC 

 ABC  ,

vng góc với nhau, SB  a 3 ,

Tổng qt:
Cho hình chóp S . ABC có
SA vng góc với mặt
Trang 9


a3
  45 , 
là
BSC
ASB  30 . Thể tích khối chóp SABC là V. Tỉ số
V

8 3
B.
3

8
A.
3

2 3
C.
3

4

D.
3

Hướng dẫn giải
Ta có: SA   ABC    SAB    ABC  .

 ABC  ,

phẳng

 SAB 

và

 SBC 

vng

góc

với

nhau,

hai mặt

  , 
BSC
ASB   .
Thể tích khối chóp S . ABC

là:

 SBC    SAB  ,  ABC    SAB 
Mà 
 BC   SAB 
 SBC    ABC   BC

VS . ABC 

 ABC , SBC là các tam giác vuông tại B.

SB 3 .sin 2 .tan 
12

Chứng minh:

Xét SAB vng tại A có:

Xét SAB vng tại A có:

a 3
3a
AB  SB.sin 
ASB 
, SA  SB.cos 
ASB 
2
2

a 3

Xét SBC vng tại B có: BC  SB.tan BSC
 S ABC 

phẳng

SA  SB.cos 

Xét SBC vng tại B có:
BC  SB.tan 

1
1 a 3
3a 2
AB.BC  .
.a 3 
2
2 2
4
2

AB  SB.sin 

3

3

1
1 3a 3a 3a
a
8

. 


Vậy VS . ABC  .S ABC .SA  .
3
3 4 2
8
V 3
Chọn A.

 S ABC 

1
AB.BC
2

1
 .SB 2 .sin  . tan 
2
1
Vậy VS . ABC  .S ABC .SA
3



SB 2 sin  tan  SB cos 
6

SB3 .sin 2 .tan 


12
Bài tốn 2. Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy
Phương pháp giải
Hình chóp có một mặt bên vng góc với đáy thì chân đường
cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.

     

       d
Ta có: 
 a    .
a





a  d


TOANMATH.com

Trang 10


Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy thì giao tuyến của
chúng sẽ vng góc với đáy.

    P 


Ta có:      P 
 d   P .

       d

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vng góc với  ABC  . Thể tích khối chóp S . ABC là
A.

a3
9

B.

a3 3
24

C.

a3 3
9

D.

a3
16

Hướng dẫn giải
Ta có tam giác ABC đều nên S ABC 

AB 2 3 a 2 3
.

4
4

Tam giác SAB vuông cân tại S và có AB  a nên SH 

a
2

Thể tích khối chóp S . ABCD là:
V 

1
1 a a 2 3 a3 3
SH .S ABC  . .

3
3 2 4
24

Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, cạnh BA  3a , BC  4a . Mặt phẳng

 SBC  vng góc với mặt phẳng  ABC  .
  30 . Thể tích khối chóp S . ABC là
Biết SB  2a 3 và SBC
B. V  a 3

A. V  3a 3

C. V  3 3a 3

D. V  2 3a3

Hướng dẫn giải
Ta có: S ABC 

1
BA.BC  6a 2
2

Trong tam giác vng SBH có:

 a 3.
SH  SB.sin SBC
Vậy VS . ABC 

1
S ABC .SH  2 3a 3 .
3

Chọn D.

TOANMATH.com

Trang 11

Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a , AD  2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng 45 . Thể
tích của khối chóp S . ABCD là

a 3 17
A.
9

B.

a 3 17

a 3 17
C.
6

3

a 3 17
D.
3

Hướng dẫn giải
Ta có: S ABCD  AB. AD  2a 2 .
Gọi M là trung điểm của AB, khi đó

SM  AB  SM   ABCD  .

 







  45 .
Do đó SC
,  ABCD   SC
, MC  SCM
Khi đó SM  MC  4a 2 

a 2 a 17

.
4
2

1
1 a 17
a 3 17
Vậy VS . ABCD  SM .S ABCD  .
.
.2a 2 
3
3 2
3
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD, AB  a , AD  a 3 , tam giác SAB cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vng góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng

3a
. Tính thể tích V của khối chóp
2

S . ABCD .

A. V  a

3

3

B. V  2a

3

3

2a 3 3
C. V 
3

D. V  3a 3 3

Hướng dẫn giải

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, kẻ HK  SI .
Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy

Suy ra SH   ABCD  .

TOANMATH.com

Trang 12


CD  HI
 CD   SIH   CD  HK  HK   SCD 

CD  SH

CD  AB  d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  H ,  SCD    HK
Suy ra HK 

3a
; HI  AD  a 3
2

HI 2 .HK 2
 3a
HI 2  HK 2

Trong tam giác vng SHI ta có SH 

1
1
Vậy VS . ABCD  SH .S ABCD  3a.a 2 3  a 3 3 .
3
3

Chọn A.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  A 2 , AC  A 5 . Hình chiếu
của điểm S trên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng

 SAB  và mặt phẳng  SAC  bằng 60 . Thể tích của khối chóp
A.

5a 3 6
12

B.

5a 3 10
12

C.

S . ABC là

a 3 210
24

D.

a 3 30
12

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có  SAB    SAC   SA , kẻ BE  SA và GH  BE ,

 






  60 .
Suy ra 
SAC  ,  SAB   GH
,  SAC   HGI
Đặt SH  h , ta tính được SA  h 2 

Vậy BE 

2 S SAB

SA

7a 2
5a 2
và SP  h2 
.
4
4

5a 2

a 2
.h
4  HG  BE , HI  SH .HM 
2
SM
2
7a 2
a2
h2 
h2 
4
2

a 2. h 2 

Tam giác GIH vng tại I có
TOANMATH.com

Trang 13


5a 2
a 2
a 2
. h2 
h.
3 2
IH
4
2

 sin 60 

.
2
HG
2
a2
7a
h2 
h2 
4
2

 h4 

7 a 2 2 15a 4
2a 3
h 
0h
4
8
4

Vậy VSABC 

a 3 30
1
.
AB. AC.SH 
6

12

Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABC với các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vng góc với nhau từng đơi
một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là 20 cm 2 , 27 cm 2 , 30 cm 2 . Thể tích khối chóp SABC
là
A. 40 3 cm3

B. 40 cm3

C. 60 cm 3

D. 60 3 cm3

Hướng dẫn giải
Ta có các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vng góc với nhau từng đơi một nên SA  SB , SA  SC ,
SB  SC .

S SAB  20 cm 2  SA.SB  40 cm 2
S SBC  27 cm 2  SB.SC  54 cm 2
S SAC  30 cm 2  SA.SC  60 cm 2
  SA.SB.SC   40.54.60  129600  SA.SB.SC  360
2

Do  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vng góc với nhau từng đôi một  AS   SBC  .
Vậy VS . ABC 

1
1
S ABC .SA  SA.SB.SC  60 cm3 .

3
6

Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a, hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vng
góc với đáy, biết SC  a 3 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Thể tích của khối
chóp A.MNPQ là
A.

a3
3

B.

a3
8

C.

a3
12

D.

a3
4

Hướng dẫn giải
 MN  PQ


Ta có  MN  PQ
 NP  PQ BD  SC




TOANMATH.com

Trang 14


 MNPQ là hình chữ nhật.

Suy ra VA.MNPQ  2VA.MQP  2VM . AQP
Ta có d  M ;  AQP   

1
SA
2

Mà SA  SC 2  AC 2  a  d  M ;  AQP   
S AQP 

a
1
SA 
2
2

1

1 3
1
3
3
AH .QP  . AC. BD 
AC.BD 
a 2
2
2 4
2
16
16





2

3
 a2
8

1
1 a 3
a3
Do đó: VM . AQP  d  M ;  AQP   .S AQP  . . a 2 
3
3 2 8
16

Vậy VA.MNPQ  2VM . AQP  2.

a3 a3

16 8

Chọn B.
Bài tốn 3. Thể tích khối chóp đều
Phương pháp giải
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và
các cạnh bên bằng nhau.
Trong hình chóp đều:
+) Đáy là một đa giác đều
+) Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.
+) Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau .
Đường cao vẽ từ đỉnh của một mặt bên gọi là trung
đoạn của hình chóp đều.

Chú ý:

+) Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau

+) Phân biệt hình chóp tam giác đều khác với

+) Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

hình chóp có đáy là tam giác đều. Hình chóp tam
giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều và
các cạnh bên bằng nhau. Nói một cách khác, hình
chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam

giác đều nhưng điều ngược lại không đúng.
+) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có
đáy là hình vng.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối
chóp S . ABC là
TOANMATH.com

Trang 15


11a 3
12

A. V 

B. V 

13a 3
12

C. V 

11a 3
6

D. V 

11a 3

4

Hướng dẫn giải

S . ABC là hình chóp tam giác đều và G là
trọng tâm tam giác ABC. Khi đó
SG   ABC  . Do đáy là tam giác đều nên

gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là
đường cao của tam giác đáy.
Theo định lý Pi-ta-go ta có

AI  a 2 

a2 a 3
2
2a 3 a 3
, và AG  AI 

.

3
3.2
3
4
2

Trong tam giác SGA vng tại G ta có SG  4a 2 

a2

11a

.
3
3

1 1 a 3 11a
11a 3
Vậy V  . a
.

3 2
2
12
3

Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .
Thể tích khối chóp S . ABC là
A. V 

a3 3
4

B. V 

a3 3
12

C. V 

a 3. 5
12

D. V 

a 3. 3
10

Hướng dẫn giải
Ta có S ABC 

a2 3
.
4

S . ABC là hình chóp tam giác đều và G là trọng

tâm tam giác ABC. Khi đó SG   ABC  .
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
AG 

2
a 3
AM 
3
3

Xét tam giác SAG vng tại G có

SG  AG.tan 60  a
1
1 a2 3 a3 3
Vậy VS . ABC  SG.S ABC  .a.

.
3
3
4
12

Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc 60 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là
A. V 

a3 6
2

TOANMATH.com

B. V 

a3 6
3

C. V 

a3 3
2

D. V 

a3 6
6

Trang 16


Hướng dẫn giải
Ta có S ABCD  a 2 .
Gọi O  AC  BD .
Do S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .

.
SB,  ABCD    
SB, OB   SBO
Ta có 
Tam giác SOB vng tại O, có
  a 2 .tan 60  a 6 .
SO  OB.tan SBO
2
2
a 6 a3 6
1
1
.
Vậy VS . ABCD  .S ABCD .SO  .a 2 .

3

3
2
6

Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc
giữa SG và mặt phẳng  SBC  là 30 . Thể tích khối chóp S . ABC là
A.

a3 3
4

B.

a3 3
8

C.

a3 3
12

D.

a3 3
24

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC 

a2 3
.
4






  30 .
Hạ GH  SM  H  SM   GH   SBC   SG
,  SBC   GSM

  1 . AM .cot 30  1 . a 3 . 3  a
SG  GM .cot GSM
3
3 2
2
1
1 a2 3 a a3 3
.
Vậy VS . ABC  .S ABC .SG  .
. 
3
3 4 2
24
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 . Thể
tích V của khối chóp đó là

A. V 

2 2 3
a
3

TOANMATH.com

B. V 

4 2 3
a
3

C. V 

2 3
a
6

D. V 

2 3
a
9

Trang 17


Hướng dẫn giải

Ta có SM  a 3 . Do SBC đều nên SC  BC  2a .

 SO 

AC 2a 2

a 2.
2
2

1
1
4a 3 2
.
Vậy thể tích khối chóp đó là V  SO.S ABCD  a 2.4a 2 
3
3
3
Bài tốn 4. Thể tích khối chóp biết trước một đường thẳng vng góc với đáy
Phương pháp giải
Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, thì cạnh bên đó chính là chiều cao của khối chóp.
Việc tính SH ta thường dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Đề bài thường cho mối quan hệ về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng hoặc góc giữa hai mặt phẳng
xác định độ dài đường cao.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh Chú ý:
BC  2a , gọi M là trung điểm BC, hình chiếu vng góc của S lên mặt Trong tam giác vuông đường

phẳng  ABC  là trung điểm của AM, tam giác SAM vng tại S. Thể tích trung tuyến ứng với cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền.
của khối chóp S . ABC là
A.

a3
6

B.

a3
2

C.

a3
3

D.

a3
9

Hướng dẫn giải
Ta có ABC vng cân tại A, BC  2a
 AM 

1
BC
 a  S ABC  AM .BC  a 2
2

2

Xét SAM vng tại S có: SH 

AM a

2
2

1
1
a a3
Vậy VS . ABC  .S ABC .SH  .a 2 . 
3
3
2 6
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác ABC có AB  19 cm , Chú ý:
BC  20 cm , AC  37 cm , cạnh bên SA= 985 cm . Gọi M là trung điểm Khi biết độ dài ba cạnh thì

TOANMATH.com

Trang 18


của BC, hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng  ABC  là điểm H thỏa diện tích tam giác được tính
theo cơng thức Hê-rơng.

 1 
mãn AH  AM . Thể tích của khối chóp S . ABC là

3

A. 570cm 3

B. 760cm3

C. 1520cm 3

D. 1140cm 3
Tam giác ABC có:

Hướng dẫn giải

BC  a; AC  b; AB  c
Nửa chu vi: p 

abc
2

Khi đó:
S ABC  p  p  a  p  b p  c  .

Ta có p 

Cơng thức độ dài trung tuyến:

AB  BC  AC
 38 cm .
2

 S ABC  38  38  19  38  20  38  37   114 cm 2 .
AM 

AB 2  AC 2 BC 2

 3 85 cm
2
4

1
 AH  AM  85 cm
3

ma2 

b2  c2 a 2
 .
2
4

SAH vng tại H có: SH  SA2  AH 2  30 cm

mb2 

1
1
Vậy VS . ABC  .S ABC .SH  .114.30  1140 cm 3
3
3

a 2  c2 b2
 .
2
4

mc2 

a2  b2 c2
 .
2
4

Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  a ,
AD  2a . Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng

 ABCD 

là trung

điểm H của AD. Cạnh SC tạo với đáy một góc bằng 30 . Thể tích khối
chóp S . ABCD là

a3
A.
3

2a 3 6
B.
9

a3 3
C.
3

a3 2
D.
3

Hướng dẫn giải
Ta có S ABCD  AB. AD  2a 2 .
Do HC là hình chiếu vng góc của SC lên

  30
SC ,  ABCD    SCH
 ABCD   
+ Xét tam giác DHC vng tại D có:
TOANMATH.com

Trang 19


HC  DH 2  DC 2  a 2
+ Xét tam giác SHC vng tại H có:
  HC.tan 30  a 6 .
SH  HC.tan SCH
3
a 6 2a 3 6
1
1

Vậy VS . ABCD  S ABCD .SH  .2a 2 .

.
3
3
3
9

Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,
cạnh AB  a , BC  a 3 , tam giác SAC vng tại S. Hình chiếu vng
góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AO. Thể
tích khối chóp S . ABC là
A.

a3
2

B.

a3
4

C.

a3
6

D.

a3
8

Hướng dẫn giải
Ta có S ABC 

a2 3
1
AB.BC 
2
2

Xét ABC vng tại B có:

AC  AB 2  BC 2  2a
Xét SAC vng tại S có:
SO  AO 

AC
AO a
 a  HO 

2
2
2

Xét SHO vng tại H có:

SH  SO 2  HO 2  a 2 

a2 a 3

4
2

1
1 a 2 3 a 3 a3
Vậy VS . ABC  S ABC .SH  .
.

3
3 2
2
4

Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

  60 , hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng
BAC

 ABCD 

trùng

với trọng tâm G của tam giác ABC. Mặt phẳng  SAC  hợp với mặt phẳng

 ABCD 
A.

một góc 45 . Thể tích khối chóp S . ABCD là

a3 3
12

B.

a3
6

C.

a3
12

D.

a3 2
6

Hướng dẫn giải
TOANMATH.com

Trang 20


  60 nên tam giác ABC đều
Ta có BAC
 S ABCD  2.S ABC 

a2 3
2

Gọi O  AC  BD
Ta có AC  BD, AC  SG

 AC   SBD   AC  SO
Mặt khác OB  AC

  45
 
 SAC  ,  ABCD    SOB
Xét tam giác SOG vuông tại G:
  OG.tan 45  1 BO  a 3
SG  OG.tan SOB
3
6
1
1 a 3 a2 3 a3
.
Vậy VS . ABCD  SG.S ABCD  .

.
3
3 6
2
12

Chọn C.
Bài toán 5. Thể tích khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên, mặt bên cùng tạo với

đáy những góc bằng nhau
Phương pháp giải
- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cạnh Ví dụ: Cho hình chóp S . ABC , đáy ABC có
bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân

AB  10 cm , BC  12 cm , AC  14 cm , các mặt

đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau
đáy.

và đều bằng  thỏa mãn tan   3 . Thể tích khối

- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những chóp S . ABCD là
góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm

A. 228 cm 3

B. 576 cm3

đường tròn nội tiếp mặt đáy.

C. 192 cm 3

D. 384 cm3

Hướng dẫn giải

Ta có p 
TOANMATH.com

AB  BC  AC
 18  cm 
2

Trang 21


S  18 18  10 18  12 18  14   24 6  cm 2 
Các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc
bằng nhau nên hình chiếu của S trên  ABC  là tâm
đường tròn nội tiếp ABC  SI   ABC  .
S  p.r  IM  r 

S 4 6

 cm 
p
3

SIM vng tại I có

  4 6 .3  4 6  cm  .
SI  IM .tan SMI
3
Vậy
1
1
VSABC  .S ABBC .SI  .24 6.4 6  192  cm 3 
3
3

Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, các
cạnh bên bằng nhau và đều bằng a 3 . Thể tích khối chóp S . ABC là
A.

a3 3
2

B.

a3 3
6

C.

a3 2
6

D.

a3 2
4

Các cạnh bên bằng nhau nên

Hướng dẫn giải

hình chiếu của S trên  ABC  là

Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 

tâm đường tròn ngoại tiếp

a 3
a 3
 AG 
2
3

ABC đều  AM 

ABC . Do ABC đều nên hình
chiếu vng góc của S trên

SGA vng tại G có
SG  SA2  AG 2 

 ABC 

2a 6
3

là trọng tâm G

 SG   ABC 

1
1 a 2 3 2a 6 a 3 2

Vậy VSABC  .S ABC .SG  .

.
3
3 4
3
6
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân Cạnh bên bằng nhau và cùng

  120 , các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt tạo với mặt phẳng đáy các góc
AB  AC  a , BAC
30 nên hình chiếu của S trên
phẳng đáy các góc 30 . Thể tích khối chóp S . ABCD là
A.

a3 3
12

B.

Hướng dẫn giải
TOANMATH.com

a3
4

C.

a3 3

4

D.

a3
12

 ABC 

là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC .
  30 .
SA  ,  ABC    SAO


Trang 22


S ABC 

2
1
a 3
AB. AC.sin BAC
2
4

Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo
với mặt phẳng đáy các góc 30 nên

hình chiếu O của S trên  ABC  là
tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

 SO   ABC 





  30
 
SA  ,  ABC   SAO
ABC có BC 

S

 a 3
AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos BAC

abc
a.a.a 3 a 2 3


 OA  a
4R
4.OA
4

a 3
SAO có SO  AO.tan SAO

3
1
1 a2 3 a 3 a3
.

Vậy VSABC  .S AABC .SO  .
3
3 4
3
12

Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo
bởi các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  ,  SDA  với mặt đáy lần lượt
là 90 , 60 , 60 , 60 . Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, AB  a
và chu vi tứ giác ABCD là 9a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V 

a3 3
9

B. V 

a3 3
4

C. V 

2a 3 3
9

D. V  a 3 3

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm AB.


Kẻ IH  BC  H  BC  , ta có góc giữa 
 SBC  ,  ABCD    SHI
Do các mặt  SBC  ,  SCD  ,  SDA  tạo với  ABCD  các góc bằng nhau
TOANMATH.com

Kẻ IH  BC ta có
Trang 23


và bằng 60 nên các khoảng cách từ I đến các cạnh CD, DA bằng nhau
và bằng IH.

Do các mặt

SI
a 2 1
a 6
Ta có SI  IH .tan 60  IH 
.


tan 60

2
6
3
S ABCD 

.
 SBC  ,  ABCD    SHI


 SDA

a 6 2a 2 6
1
1

 BC  CD  DA  .HI   9a  AB  .
2
2
6
3

 SBC  ,  SCD  ,

tạo với

 ABCD 

các

góc bằng nhau nên các khoảng

cách từ I đến các cạnh CD, DA
bằng nhau từ đó tính được

1
1 a 2 2a 2 6 a 3 3
Vậy V  SI .S ABCD 

3
3 2
6
9


SI  IH .tan SIH

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B,

AB  a , AD  2a . Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C, D, của mặt đáy và C, D nên tâm hình chữ nhật là
chân đường cao hạ từ đỉnh

SB  a 5 . Thể tích khối chóp S . ABCD là

a 3 15
A.
8

a 3 15
B.

6

a 3 15
C.
4

a 3 15
D.
3

xuống đáy.

Hướng dẫn giải

Ta có S ABCD  AB. AD  2a 2 .

AC  DB  O . Do S các đều các đỉnh A, B, C , D  SO   ABCD  .
Ta có BD  AB 2  AD 2  a 5

 SB  SD  BD  a 5 nên SBD là tam giác đều  SO 

BD 3 a 15

.
2
2

1
1 a 15
a 3 15

.
Vậy VS . ABCD  SO.S ABCD  .
.2a 2 
3
3 2
3
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các
mặt bên  SAB  ,  SAC  ,  SBC  lần lượt tạo với đáy các góc là 30 ,
45 , 60 . Tính thể tích của khối chóp S . ABC . Biết rằng hình chiếu

vng góc của S trên  ABC  nằm trong tam giác ABC.
TOANMATH.com

Trang 24


A. V 

C. V 



a3 3

8 4 3



a3 3

4 4 3



B. V 



D. V 

a3 3
4 3



a3 3

2 4 3



Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vng góc
của S trên mặt phẳng  ABC  .
Kẻ HD  AB  D  AB 

HE  AC  E  AC 
HF  BC  F  BC 

Tam giác ABC bị chia thành 3
tam giác nhỏ do đó
S ABC  S HAB  S HBC  S HAC .

Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng  ABC  .
Kẻ HD  AB  D  AB  , HE  AC  E  AC  , HF  BC  F  BC  .
Ta có HD  SH .cot 30  3SH , HE  SH .cot 45  SH ,
HF  SH .cot 60 

Ta có S ABC 



Diện tích các tam giác nhỏ biểu
diễn theo cạnh SH và hệ thức
lượng các tam giác vng. Từ
đó tìm được SH.

3
SH
3

a2 3
mà S ABC  S HAB  S HBC  S HAC
4


a2 3
1
3

3a
SH  1  3 
a

 SH 
.

2
3 
4
2 4 3




a2 3
a3 3
1
3a

Vậy VS . ABCD  .
.
3 2 4 3
4
8 4 3











Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng  ABC  ,
SA  a 3 . Thể tích khối chóp S . ABC là

A. a 3

B. 2a 3

C. 6a 3

D. 12a 3

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng  ABC  và AB  3a , BC  4a , AC  5a ,
AD  6a . Thể tích khối tứ diện ABCD là

A. 6a 3
TOANMATH.com

B. 12a 3

C. 18a 3

D. 36a 3

Trang 25