Luận án mô men từ dị thường của muon trong mô hình 3 3 1 tiết kiệm và phiên bản siêu đối xứng

Chương 1
Giới thiệu
Mơ hình chuẩn là một trong những thành công lớn của vật lý hạt cơ bản. Tuy nhiên
vẫn tồn tại những vấn đề về mặt lý thuyết cũng như thực nghiệm chưa thể giải thích
được trong khn khổ mơ hình chuẩn. Có thể liệt kê ở đây là sự dao động neutrino
[1–4] dẫn đến sự tồn tại khối lượng rất nhỏ của neutrino. Vấn đề khối lượng neutrino
hiện vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng trong mơ hình chuẩn. Một trong những vấn
đề quan trọng cần phải giải thích là sự bất đối xứng vật chất phản vật chất [5]. Mặc
dù vi phạm CP xuất hiện tự nhiên trong mơ hình chuẩn bởi sự tồn tại của 3 thế hệ
quark dẫn đến sự tồn tại của pha phức trong ma trận trộn CKM. Tuy nhiên giá trị
của pha phức nhỏ khơng đủ để giải thích sự bất đối xứng giữa vật chất phản vật chất
[6–8].
Bên cạnh đó, về mặt lý thuyết vẫn tồn tại một số câu hỏi chưa được giải thích thỏa
đáng trong khn khổ mơ hình chuẩn ví dụ như câu hỏi về số thế hệ, sự phân bậc
giữa các thang năng lượng mà cụ thể là thang điện yếu và thang thống nhất lớn,
hằng số vũ trụ, số chiều không thời gian, lượng tử hóa điện tích.
Hiện nay vật lý hạt cơ bản đang ở kỷ nguyên của máy gia tốc năng lượng cao.
Những tín hiệu vật lý mới gần đây cho thấy vật lý hạt cơ bản đang ở giai đoạn chuyển
tiếp sang miền vật lý mới. Trong khoảng vài thập kỉ gần đây có rất nhiều mơ hình lý
thuyết được giới thiệu nhằm giải thích cũng như tiên đốn hiệu ứng vật lý mới. Mô
1


Chapter 1. Giới thiệu

2

hình vật lý mới thường đi kèm các tham số vật lý mới do đó việc kiểm chứng các mơ
hình lý thuyết là một nhu cầu tất yếu trong việc định hướng nghiên cứu của cộng
đồng các nhà lý thuyết.
Trong khoảng thời gian cuối năm 2012 và đầu năm 2013, máy gia tốc năng lượng

cao LHC (Large Hadron Collider ) tại CERN Thụy Sĩ đã phát hiện ra mảng ghép
cuối cùng của mơ hình chuẩn (SM) là hạt Higgs. Việc phát hiện ra hạt Higgs mang
lại một giải Nobel cho vật lý hạt cơ bản. Những tín hiệu gần đây nhất tại LHCb[9]
cho thấy tín hiệu có độ lệch 3.6σ so với tiên đoán bởi lý thuyết trong kênh rã. Và gần
đây nhất theo như báo cáo của ATLAS [10] cho thấy tín hiệu sai khác 2.6σ trong kênh
rã χ
e02 → χ
e01 Z → χ
e01 l+ l− . Những tín hiệu này chứng tỏ vật lý năng lượng cao đang ở
giai đoạn mới hứa hẹn những phát hiện lớn.
Mô men từ dị thường là một trong những đại lượng được đo và tính tốn chính
xác nhất trong vật lý. Đã từ lâu mô men từ dị thường được coi là một trong các kênh
chính để tìm hiệu ứng vật lý mới. Gần đây nhất thí nghiệm tại Brookhaven [11] cho
thấy sai khác 3.6σ giữa lý thuyết và thực nghiệm. Mô men lưỡng cực điện là một đại
lượng quan trọng trong việc kiểm chứng đối xứng rời rạc. Lý thuyết trường định xứ
địi hỏi tính bất biến đối với phép biến đổi tích CPT. Tuy nhiên vẫn xảy ra trường hợp
CP khơng được bảo tồn.
Việc nghiên cứu mơ men lưỡng cực điện góp phần hiểu rõ mối quan hệ giữa vi
phạm CP, sự mất cân đối vật chất phản vật chất từ đó ta sẽ có một cái nhìn tổng quát
hơn về các hiệu ứng vật lý mới trong thời gian tới. Mơ men từ có liên hệ mật thiết với
mô men điện. Việc nghiên cứu mô men từ sẽ góp phần trả lời câu hỏi về độ lớn của
mô men điện cũng như mối liên hệ với vi phạm CP.

1.1

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống vấn đề mô men từ dị thường trong các mơ hình
mở rộng. Cụ thể hơn là:

Chapter 1. Giới thiệu

3

• Khảo sát q trình đóng góp vào mơ men từ dị thường của muon trong mơ
hình 331 kinh tế và mơ hình 331 kinh tế siêu đối xứng.
• Khảo sát mơ men từ dị thường trong mơ hình 331 kinh tế và khơng gian tham
số.
• Khảo sát mơ men từ dị thường trong mơ hình 331 kinh tế siêu đối xứng và
khơng gian tham số.
• Khảo sát phổ khối lượng của trường Higgs có CP chẵn và CP lẻ trong mơ hình
SUSYE331.

1.2

Đối tượng nghiên cứu

• Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331 ở mức gần đúng 1-vịng .
• Mơ men từ dị thường trong mơ hình SUSYE331 ở mức 1-vịng.
• Thế Higgs và phổ khối lượng của trường Higgs trong mơ hình SUSYE331.

1.3

Nội dung nghiên cứu

• Mơ hình E331.
• Mơ hình SUSYE331.
• Giản đồ Feynman đóng góp vào mơ men từ dị thường ở mức 1 vịng trong mơ
hình E331.

• Giản đồ Feynman đóng góp vào mơ men từ dị thường ở mức 1 vịng trong mơ
hình SUSYE331.
• Khảo sát khơng gian tham số của mơ hình E331.
• Khảo sát khơng gian tham số của mơ hình SUSYE331.


Chapter 1. Giới thiệu

4

• Dạng đầy đủ của thế Higgs trong mơ hình SUSYE331.
• Phổ khối lượng của hạt Higg mang điện và Higg trung hịa có CP chẵn và CP
lẻ.

1.4

Phương pháp nghiên cứu

• Lý thuyết trường lượng tử
• Sử dụng phần mềm Mathematica để khảo sát số.

1.5

Mô men từ dị thường

Spin của electron và mô men từ được khẳng định lần đầu thông qua sự lệch quỹ
đạo của nguyên tử trong từ trường không đồng nhất và sự quan sát hằng số cấu trúc
tinh tế [12]. Kể từ đó mơ men từ đóng vai trị quan trọng trong sự phát triển của vật
lý hạt cơ bản. Cho đến thời điểm hiện tại mô men từ dị là một trong các đại lượng
vật lý được đo chính xác và là đối tượng nghiên cứu nhiều trong vật lý hạt cơ bản.

Hai đối tượng được nghiên cứu nhiều là mô men từ của electron và muon.
Trong lý thuyết điện động lực học cổ điển, mô men lưỡng cực từ của một hạt mang
→
−
−
−
điện q có khối lượng m và mơ men qu o L =
r ì
p l:

q


L.
àL =
2m

(1.1)

Mụ men lưỡng cực điện tồn tại khi có sự phân bố tương đối của điện tích âm và điện
tích dương. Hamiltonian của tương tác điện từ được cho bởi:
− →
→
− →
−
−
H = −→
µ m · B − de · E ,

(1.2)

Chapter 1. Giới thiệu

5

→
−
→
−
→
−
−
Trong đó B và E là cường độ điện từ trường; →
µ m và d e là lưỡng cực từ và lưỡng
cực điện .
Lagrangian tương tác của một hạt với spin

1
2

với EDM dl và MDM al được cho bởi:

i
eal ¯
L = − dl (¯lσµν γ5 l)F µν +
(lσµν l)F µν .
2
4ml

(1.3)

Thơng thường ta sử dụng phép đo có đơn vị Bohr magneton µB được định nghĩa :

µB =
Một hạt cơ bản có spin

1
2

e
.
2me

(1.4)

thì mơ men từ đạt được bằng cách thay toán tử xung lượng

bằng toán tử spin
→
−
→
−
σ
S = ,
2

(1.5)

Trong đó σi (i=1,2,3) là các ma trận Pauli.

Chúng ta có thể tổng qt hóa phương trình (1.1) như sau:
−
e →
→
−
µ l = gl
S,
2ml

(1.6)

Trong đó ml là khối lượng của lepton, e là điện tích và gl = 2 là tỉ số hồi chuyển
từ. Mô men từ dị thường của lepton được định nghĩa như sau:

al =
Ở giới hạn cổ điển al = 0 và

gl
2

gl − 2
.
2

(1.7)

= 1. Do đó mơ men từ dị thường là đại lượng chỉ xuất

hiện ở mức lượng tử.
Mô men lưỡng cực là một đại lượng quan trọng trong việc nghiên cứu đối xứng

rời rạc ví dụ như liên hợp điện tích C, đối xứng P và đối xứng T. Lý thuyết trường


Chapter 1. Giới thiệu

6

tương đối tính định xứ yêu cầu bất biến với tích CPT, tuy nhiên sự vi phạm riêng
rẽ vẫn có thể tồn tại. Bằng cách khảo sát Hamiltonian (1.2) ta sẽ biết được biến đổi
của mô men lưỡng cực dưới tác động của đối xứng C,P,T. Mô men lưỡng cực điện và
−
lưỡng cực từ do tỉ lệ với vector spin →
σ nên là vector dòng trong khi đó trường điện
→
− →
−
từ E , B biến đổi như vector và vector dòng. Vector dòng đổi dấu dưới phép biến đổi
T và không đổi dưới phép biến đổi P cịn vector thì ngược lại. Do vậy mơ men lưỡng
cực điện vi phạm phép biến đổi T hay CP còn mơ men lưỡng cực từ bảo tồn T.
Như đã nói ở trên mô men điện là một đại lượng quan trọng để dị tìm hiệu ứng
vật lý mới. Mơ men điện là phép thử trực tiếp của vi phạm thời gian T hay tương
đương với vi phạm CP. Trong các mơ hình mở rộng của mơ hình chuẩn thường chứa
các nguồn vi phạm CP nên mô men điện là một kênh tốt để kiểm nghiệm lý thuyết
mới. Do có mối liên hệ giữa mô men điện và mô men từ nên thơng qua mơ men từ
ta sẽ có được thơng tin cần thiết về mô men điện. Mối liên hệ giữa mô men điện và
mô men từ của một lepton được cho như sau:

|dl | =

1 e p

(al )2 .
2 ml

(1.8)

Một trong các đặc điểm quan trọng của mô men từ dị thường của lepton là thông
qua mô men từ dị thường, độ xoắn của lepton bị thay đổi. Đối với lepton khơng khối
lượng thì độ xoắn được bảo tồn bởi tương tác với các boson chuẩn. Đối với lepton
mang khối lượng thì độ xoắn bị thay đổi và biên độ của tương tác tỉ lệ với khối lượng
của hạt.

δal ∝

m2l
,
M2

(1.9)

Trong đó M có thể là khối lượng của hạt nặng hơn trong mơ hình chuẩn hay khối
lượng của hạt vật lý mới hoặc thang năng lượng mới.
Do độ nhạy của mơ men từ tỉ lệ với bình phương khối lượng của lepton nên mô
men từ giữa các thế hệ tỉ lệ với bình phương khối lượng của lepton. So với electron
mô men từ của muon lớn hơn một thừa số tỉ lệ với

aµ
ae

∼

m2µ
m2e

cịn so với tauon nhỏ hơn


Chapter 1. Giới thiệu
một thừa số

m2τ
.
m2µ

7

Tuy nhiên tauon có thời gian sống ngắn nên lựa chọn mô men từ

của muon là hợp lý nhất trong các lepton để dị tìm hiệu ứng vật lý mới.
Lagrangian tồn phần miêu tả mơ men từ và mô men điện được cho như sau:
i
eal
L = − dl (lσµν γ5 l)F µν +
(lσµν l)F µν .
2
4ml

(1.10)

trong đó σ µν = 2i [γ µ , γ ν ]. Biên độ của mô men điện và mô men từ lần lượt là:

µ
MM
DM =

eal
u(p0 )(iσ µν qν )u(p),
2ml

µ
MEDM
= dl u(p0 )(σ µν γ5 qν )u(p).

(1.11)

(1.12)

Hiệu ứng của mơ hình vật lý mới có thể được kiểm tra thơng qua việc đánh giá
SM
SM
là đóng góp của mơ hình chuẩn vào mơ men từ dị thường
aexp
µ − aµ . Trong đó aµ

và có thể được chia làm 3 phần như sau:

(1.13)

aSM
= aQED
+ aEW

+ aHad
µ
µ
µ
µ .

Trong đó phần điện động học lượng tử (QED) bao gồm tương tác của photon và các
lepton(e, µ, τ ) tại mức vịng với đóng góp cổ điển là

α
.
2π

Đóng góp của QED cho đến

thời điểm hiện tại được tính đến mức 5 loop [13–16] và có giỏ tr
aQED
= 116584718.95(0.08) ì 1011 .
à
Phn úng gúp in yu vào aEW
liên quan đến đóng góp của W ± , Z, H ở bậc vịng.
µ
Các đóng góp này bị chặn bi s hng

2
mà
2
mW

' 4 ì 109 . Ti bậc một vịng [17–19]

đóng góp của phần điện yếu aEW
= 194.8 × 10−11 . Đóng góp ở mức hai vịng nhỏ
µ
hơn khơng và tương đối lớn [20–23] cịn ở mức 3 vịng nhỏ và có thể bỏ qua [24, 25].


Chapter 1. Giới thiệu

8

Đóng góp tổng cộng do đó là:
aEW
= 153.6(1.0) ì 1011 .
à
Phn tng tỏc mnh liờn quan n đóng góp của quark và gluon ở mức vịng. Phần
tương tác mạnh tạo nên sự sai số về mặt lý thuyết. Đóng góp của phần tương tác
mạnh vào mơ men t d thng l: [26]

11
.
aHad
à [N LO] = 7(26) ì 10

(1.14)

Do đó đóng góp tổng cộng được tiên đốn bởi mụ hỡnh chun l:

aSM
= 116591803(1)(42)(26) ì 1011 .

à

(1.15)

Gn õy, mụ men từ đã được đo bởi thí nghiệm E821 tại Brookhaven bằng cách lấy
trung bình của một lượng mẫu bằng nhau của µ+ và µ− [11]. Nếu có tính đến sự liên
quan giữa sai số hệ thống ta có
aE821
= 116592091(54)(33) × 10−11
µ
= (116592091 ± 63.3) × 10−11 .
Do đó

∆aµ (E821 − SM ) = 288(63)(49) × 10−11
= (288 ± 80) × 10−11 .
Sai khác này là 3.6 σ. Sai số lý thuyết hiện tại là ±49.4 × 10−11 . Sai số tại bậc thấp
nhất của đóng góp từ phần tương tác mạnh có thể được giảm xuống 25 × 10−11 với
dữ liệu hiện tại. Trong tương lai những kết quả bổ đính từ phần tương tác mạnh có
thể giảm sai số của mơ hình chuẩn xuống ±30 × 10−11 [27, 28]. Với sai số của thực


Chapter 1. Giới thiệu

9

nghiệm là ±16 × 10−11 , sai số giữa thực nghiệm và lý thuyết có thể đạt ±34 × 10−11
hay ∼ 2.4 σ so với sai số hiện tại [27].
Một điều đáng lưu ý là ∆aµ = (288 + 80) × 10−11 cỡ khoảng 2.3 lần đóng góp của
tương tác điện yếu vào mơ men từ dị thng aàEW , aàEW = 153.6(1.0) ì 1011 chng
t rng hiệu ứng vật lý mới là tương đối lớn.

Chương 2
Mơ men từ dị thường trong mơ hình
E331
2.1

Tóm tắt mơ hình 3-3-1

Như đã đề cập trong phần mở đầu, mơ hình chuẩn là mơ hình hiệu dụng và cần
phải mở rộng. Lẽ tự nhiên khi muốn mở rộng ta có hai lựa chọn:
• Mở rộng đối xứng ngồi hay khơng thời gian. Theo hướng này có lý thuyết
nhiều chiều [29–31].
• Mở rộng đối xứng trong: Ở hướng này thì có một số lý thuyết tiêu biểu như đối
xứng trái-phải, mở rộng đối xứng chuẩn như SO(10), SU (5), SU (3)L .
Lớp mơ hình 3-3-1 [32–46] dựa trên sự mở rộng của nhóm chuẩn SU (2)L →
SU (3)L có các đặc điểm nổi bật như số lượng trường Higgs tăng lên. Để lý thuyết
khơng tồn tại dị thường thì số lượng tam tuyến phải bằng số lượng phản tam tuyến.
Một trong các khả năng để sắp xếp các thế hệ fermion là 3 thế hệ lepton biến đổi
như phản tam tuyến. Nếu tính đến số mầu thì số tam tuyến quark bằng số phản tam
tuyến quark cộng 1. Do đó 2 thế hệ quark sẽ biến đổi như tam tuyến, thế hệ còn lại
10


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

11

biến đổi như phản tam tuyến. Điểm khác biệt trong vấn đề khử dị thường là mơ hình
chuẩn khử dị thường trong từng thế hệ cịn mơ hình 3-3-1 khử dị thường chỉ xảy ra

khi tất cả các thế hệ được tính đến.
Do là mơ hình mở rộng của mơ hình chuẩn nên cấu trúc fermion của mơ hình 3-3-1
đã bao hàm cấu trúc fermion của mơ hình chuẩn. Cụ thể hơn là hai thành phần trên
của tam tuyến hoặc phản tam tuyến được đồng nhất với fermion của mô hình chuẩn.
Thành phần thứ ba đối với các thế hệ quark là quark nặng còn với lepton thành phần
thứ ba là tùy chọn. Lựa chọn tối thiểu là không đưa vào lepton mới mà thành phần
thứ ba của phản tam tuyến lepton được lựa chọn như là liên hợp của lepton mang
điện .
Tốn tử điện tích của lớp mơ hình 331 là tổ hợp của các ma trận Gell-man chéo:
b = T 3 + βT 8 + X1.
Q

(2.1)

Tham số β tùy thuộc mơ hình và đóng vai trị quan trọng.
Sự mở rộng nhóm chuẩn cũng dẫn đến sự xuất hiện của các boson chuẩn mới
đó là boson chuẩn trung hịa Z 0 và boson chuẩn mang điện V Q tùy thuộc mơ hình.
Boson trung hịa mới mang đặc điểm khác với boson trung hịa của mơ hình chuẩn
cũng như của các mơ hình vật lý mới. Khối lượng của boson chuẩn trung hịa của
một số mơ hình 3-3-1 trên thực tế bị chặn trên thông qua mối liên hệ:
2
gX
6 sin2 θW
=
,
g2
1 − (1 + β 2 ) sin2 θW

(2.2)

Trong đó gX là hằng số tương tác của nhóm U (1)X , θW là góc Weinberg và β là tham số
tùy thuộc mơ hình. Cận dưới của khối lượng của Z 0 tùy thuộc vào mơ hình [33, 47, 48]
và được nghiên cứu thông qua kênh rã của muon trong mô hình đó. Tuy nhiên khối
lượng của Z 0 được ước lượng trong khoảng 1T eV 6 MZ 0 6 3T eV và nằm trong giới
hạn năng lượng của LHC.


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

12

Điểm khác biệt của lớp mơ hình 331 so với mơ hình chuẩn liên quan đến Z 0 là sự
xuất hiện của dòng trung hòa thay đổi số vị ở mức cây. Một điểm nữa cần lưu ý là lớp
mô hình 331 có đối xứng Peccei-Quinn [49] do đó giải quyết được vấn đề CP trong
tương tác mạnh [50].

2.1.1

Boson chuẩn

Trong phần này chúng tơi sẽ giới thiệu tóm tắt mơ hình 331 có β bất kỳ [51]. Vi
tử của nhóm đối xứng chuẩn SU (3)L trong biểu diễn tam tuyến là T a =

λa
2

với λa

(a=1, 2,..., 8) là các ma trận Gell-mann. Nhóm U (1) có vi tử T 9 được định nghĩa là
T9 =

1
√
X.
6

Các vi tử thỏa mãn điều kiện T r[T a T b ] =
a

δ ab
.
2

Trong trường hợp phản

tam tuyến các vi tử sẽ là: T = −(T a )T . Các boson chuẩn của nhóm SU (3)L và nhóm
U (1)X được kí hiệu lần lượt là: W a , a = 1, ..., 8 và B, hằng số tương tác của hai nhóm
lần lượt là g và gX . X là số lượng tử mới tương ứng với nhóm U (1)X .
Đạo hàm hiệp biến viết cho nhóm SU (3)L và U (1)X tác động lên cỏc trng nh sau:
ã Tam tuyn L : Dà L = ∂µ ψL − igWµa T a ψL − igX XBà T 9 L
ã Phn tam tuyn L : Dà ψL∗ = ∂µ ψL∗ + igWµa (T a )T ψL∗ igX XBà T 9 L
ã n tuyn R : Dµ ψR = ∂µ ψR − igX XBµ T 9 ψR
Ma trận Wµa T a cho tam tuyến có thể được viết như sau:
√
√ Q 
W 3 + √13 Wµ8
2Wµ+
2Yµ Y



√
√
1
−
3
QV 
√1 W 8
Wµ = Wµa T a = 
2W
−W
+
2V
µ
µ
µ 
2 √
√ −Q3
2
−QY
V
√
2Yµ
2Vµ
− 3 Wµ8


(2.3)


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

13

Trong đó ta đã đồng nhất các trường như sau:
1
Wµ± = √ (Wµ1 ∓ iWµ2 )
2
1
Yµ±QY = √ (Wµ4 ∓ iWµ5 )
2
1
Vµ±QV = √ (Wµ6 ∓ iWµ7 )
2

(2.4)
(2.5)
(2.6)

W 3 và W 8 tương ứng với boson chuẩn trung hòa. W ± tương ứng với boson mang
điện trong mơ hình chuẩn trong khi đó V ±QV và Y ±QY có thể mang điện hoặc trung
hịa.
Tác dụng tốn tử điện tích lên các đa tuyến sẽ cho ta điện tích của hạt trong đa tuyến:
bW ψL = Qtriplet ψL trong đó
• Q
W


1
2

+


Qtriplet
=
W


β
√
2 3

+X

0
− 12 +

0
0

β
√

2 3

+X

0



0





− √β3 + X

0

(2.7)

b ∗ = Qantitriplet ψ ∗
• Qψ
L
L
W



Qantitriplet
=
W


− 12 −

β
√

2 3

0
0

+X

0
1
2

−

β
√
2 3

0

+X
β
√
3

0



0





+X

(2.8)

bW ψR = Qsinglet ψR với Qsinglet = X
• Q
W
W

2.1.2

Cấu trúc Fermion

Các lepton phân cực trái được sắp xếp vào tam tuyến hoặc phản tam tuyến trong
khi đó thành phần phải là đơn tuyến dưới tác động của nhóm SU (3)L . Nếu các lepton


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

14

phân cực trái được sắp xếp vào tam tuyến thì điều kiện khử dị thường dẫn đến hai
thế hệ quark đầu biến đổi như phản tam tuyến còn thế hệ thứ 3 biến đổi như tam
tuyến và ngược lại. Thành phần thứ ba của tam tuyến hay phản tam tuyến là các
fermion nặng mới. Trong các biểu diễn sau ta có hai thế hệ đầu là sắp xếp các hạt của
phản tam tuyến và biểu diễn thứ ba là sự sắp xếp các hạt trong tam tuyến:



d





 −u 


D



L

s





 −c 


S



L

t





 b  .


T

(2.9)

L

Các quark thành phần phải tương ứng là các đơn tuyến. Các thành phần của mơ hình
chuẩn chiếm hai vị trí trên cùng của tam tuyến. Thành phần thứ ba của tam tuyến
được chọn theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc biến thể của lớp mơ hình. Tam tuyến
lepton có dạng như sau:




νe


 e 



Ee

2.1.3



L



νµ


 µ 


Eµ

L





ντ


 τ  .



Eτ

(2.10)

L

Phần Higgs

Phá vỡ đối xứng tự phát được thực hiện qua hai bước. Ở bước một mơ hình chuẩn
được phục hồi như là một lý thuyết hiệu dụng của mơ hình 331 sau khi phá vỡ đối
xứng SU (3)L ⊗ U (1)X → SU (2)L ⊗ U (1)Y tại một thang năng lượng nhất định thông
qua một trường Higg mà ta tạm gọi là Φ1 có giá trị trung bình chân khơng (VEV)
khác khơng. Ở bước này ta có:

Tb1 < Φ1 >= Tb2 < Φ1 >= Tb3 < Φ1 >= (β Tb8 + X1) < Φ1 >= 0.
Các vi tử khác khi tác động lên chân không cho giá trị khác không.

(2.11)


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

15

Ở bước hai, đối xứng của mơ hình chuẩn bị phá vỡ SU (2)L ⊗ U (1)Y ở thang điện yếu.
Trung bình chân khơng của trường Higg được kí hiệu là < Φ2 >. Ở bước này vi tử
duy nhất bất biến với chân không là:

bW < Φ2 >= 0.

Q

(2.12)

Khối lượng của fermion và boson có được thơng qua Lagrangian Yukawa và Lagrangian của trường Higgs có chứa đạo hàm hiệp biến và được khảo sát cụ thể cho
từng mô hình.

2.2

Mơ hình E331

Mơ hình E331 có tham số β = − √13 được nghiên cứu một cách chi tiết trong [46].
Trong luận án này chúng tôi chỉ điểm qua một số đặc điểm chính của mơ hình. Đa
tuyến các hạt được sắp xếp như sau:
ψiL
Q1L
uiR



1
= (νi ei
∼ 3, −
, eiR ∼ (1, −1), i = 1, 2, 3,
3


1
T
= (u1 d1 U )L ∼ 3,

, QαL = (dα − uα Dα )TL ∼ (3∗ , 0), α = 2, 3,
3








2
1
2
1
∼
1,
, diR ∼ 1, −
, UR ∼ 1,
, DαR ∼ 1, −
.
3
3
3
3
(2.13)
νic )TL

Trong đó giá trị trong ngoặc đơn là các số lượng tử lần lượt của nhóm đối xứng
SU (3)L , U (1)X . Điện tích của các quark ngoại lai U , Dα bằng điện tích của các quark
thơng thường qU =

2
3

và qDα = − 31 .


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

16

Nhóm đối xứng chuẩn SU(3)L ⊗ U(1)X bị phá vỡ theo hai giai đoạn. Trước tiên sẽ
phá vỡ xuống nhóm đối xứng của mơ hình chuẩn thơng qua tam tuyến vơ hướng
χ=

χ01

χ−
2


T
χ03


∼

1
3, −
3



Tam tuyến này có giá trị chân khơng
1
hχi = √ (u
2

ω)T .

0

(2.14)

Cuối cùng là phá vỡ từ mô hình chuẩn xuống U(1)Q thơng qua tam tuyến Higgs
φ=

φ+
1

φ02


T
φ+
3



2
∼ 3,
3

Tam tuyến này có chân khơng như sau:
1
hφi = √ (0
2

0)T .

v

(2.15)

Khối lượng của fermion được cho bởi Lagrangian Yukawa và có dạng tổng quát như
sau:
LY = (LχY + LφY ) + Lmix
Y ,

(2.16)

Trong luận án này chúng tôi quan tâm đến phần Lagrangian sau:
(LχY + LφY ) = h011 Q1L χUR + h0αβ QαL χ∗ DβR
c

+ heij ψ iL φejR + hij pmn (ψ iL )p (ψjL )m (φ)n + hd1i Q1L φdiR
+ hdαi QαL φ∗ uiR + h.c.,

(2.17)

Lmix
= hu1i Q1L χuiR + huαi QαL χ∗ diR + h001α Q1L φDαR

Y
+ h00α1 QαL φ∗ UR + h.c.

(2.18)


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

17

Trung bình chân khơng ω tạo khối lượng cho quark ngoại lai U và Dα còn u tạo khối
lượng cho u1 , dα quarks trong khi đó v tạo khối lượng cho uα , d1 và lepton thông
thường. Quark thông thường đạt khối lượng thơng qua bổ đính một vịng và tương
tác hiệu dụng [52]. Lưu ý rằng trung bình chân không ω phá vỡ đối xứng tự phát ở
giai đoạn đầu cịn trung bình chân khơng u, v phá vỡ đối xứng ở giai đoạn sau do đó
ta có điều kiện:
u, v  ω.

2.2.1

(2.19)

Khối lượng lepton

Lepton mang điện đạt khối lượng thông qua tương tác Yukawa

LeY = heij ψ iL φejR + h.c.

(2.20)

Bởi vì tương tác vi phạm số lepton là rất nhỏ nên ta có thể giả thiết rằng hằng số
tương tác heij được chéo hóa trong hệ cơ sở vị .Trong cơ sở này khối lượng của e, µ, τ
là

he v
mi = √ii ,
2

với i = e, µ, τ .
Khối lượng của neutrino được khảo sát chi tiết trong [53]. Vì khối lượng của neutrino
là rất nhỏ nên ta không xét đến trong khuôn khổ của luận án này.

2.2.2

Higgs và boson chuẩn

Dạng tổng quát nhất của thế Higgs trong mơ hình này là:
V (χ, φ) = µ21 χ† χ + µ22 φ† φ + λ1 (χ† χ)2 + λ2 (φ† φ)2
+λ3 (χ† χ)(φ† φ) + λ4 (χ† φ)(φ† χ).

(2.21)


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

18

Trường Higgs có thể được triển khai xung quanh giá trị trung bình chân khơng như
sau:



1
†
†
=
φ1 , √ (v + S2 + iA2 ), φ3
2


1
− 1
√ (u + S1 + iA1 ), χ2 , √ (w + S3 + iA3 ) .
=
2
2

T

φ

χT

Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát các hạt giả vô hướng là các Goldstone boson bị ăn
bởi các gauge boson để sinh khối lượng cho các hạt này. Trong hệ cơ sở khối lượng
các trường vô hướng thực Higgs (H 0 , H10 , G4 )T có liên hệ với (S1 , S2 , S3 ) bởi phép
biến đổi [53].








0



H
S1
−sζ sθ sζ sθ cθ



 


 S2  =  cζ
sζ
0   H10 
,

 
G4
sζ cθ cζ cθ −sθ
S3
Trong đó
t2ζ = tan 2ζ ≡
và cζ = cos ζ, sζ = sin ζ , tθ = tan θ =

u
,
w

λ3 mW mX
λ1 m2X − λ2 m2W

(2.22)

(2.23)

cθ = cos θ and sθ = sin θ. Trong phép tính

liên quan đến mô men từ dị thường ta coi các hằng số tương tác λ1 , λ2 , λ3 ở cùng bậc
nên tan 2ζ sẽ ở bậc

mW
mX

và sin ζ '

mW
.
2mX

Goldstone boson G4 bị ăn bởi X 0 boson. Khối lượng của 2 trường Higgs vật lý là:
m2H0 ,H 1
0

q

= λ2 v + λ1 (u + w ) ± [λ2 v 2 − λ1 (u2 + w2 )]2 + λ3 v 2 (u2 + w2 ).
2

2

2

Trong giới hạn u, v  w , m2H 0 '

(4λ1 λ2 −λ23 )v 2
2λ1

(2.24)

và m2H 0 ' 2λ2 w2 . Do đó H 0 được đồng
1

nhất với Higgs của mơ hình chuẩn. Trong phần Higgs mang điện chỉ có một Higgs
vật lý là H2+
H2+



1
†
†
†
uφ1 + vχ2 + wφ3 .
=√
u2 + v 2 + w2

(2.25)


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

19

Trong giới hạn u, v  w, Higgs vật lý được cho bởi [46] như sau:
H o ' S2 ,

H1o ' S3 ,

(2.26)

H2+ ' φ+
3.

Phần Lagrangian chứa tương tác Higgs-lepton-lepton là:

LlY





c
+
l
+
c
+

¯laL laR φ0
= 2hνab ν¯aL
lbL φ+
−
ν
¯
l
φ
+
h
ν
¯
l
φ
+
ν
¯
l
φ
+
aR
bL
aL
aR
aR
3
1
aa
1
aR

3
2
(2.27)

+ H.c.
Hằng số tương tác của Higgs và muon được cho trong bảng 2.1.
Đỉnh
0

µ
¯µH
ν¯µ µH2+

Số
hạng
√

i 2mµ cζ
v
√
i 2mµ wsθ
v

√

w2 +c2θ v 2

PR

Đỉnh

µ
¯µH10
ν¯µc µH2+

Số
hạng
√

i 2mµ sζ
v
i 2mµ wcθ
√

v

√

w2 +c2θ v 2

PR

Bảng 2.1: Đỉnh tương tác Higg-lepton-lepton

Chúng ta có thể ước lượng nhanh rằng hằng số tương tác của Higgs mang điện và
trung hịa của mơ hình E331 ở bậc 10−3 nên ta có thể coi đóng góp của phần Higgs
trong mơ hình E331 là rất nhỏ. Các boson chuẩn đạt khối lượng thông qua phá vỡ
đối xứng tự phát. Phổ khối lượng của boson chuẩn được cho bởi [46] như sau:

g2v2
g2

, m2Y ± = (u2 + v 2 + ω 2 ),
4
4
2
g
g 2 c2w ω 2
2
2
2
'
(v
−
3u
),
m
,
0 '
Z
4c2w
3 − 4s2w

m2W ± =
m2Z

m2X =



g2 2
w + u2 ,
4

(2.28)
(2.29)


Chương 2. Mơ men từ dị thường trong mơ hình E331

20

trong đó ta đã đồng nhất các trường như sau:
1
Wµ± = √ (Wµ1 ∓ iWµ2 )
2
1
Yµ± = √ (Wµ6 ∓ iWµ7 )
2
1
Xµ0 = √ (Wµ4 ∓ iWµ5 )
2

(2.30)
(2.31)
(2.32)

sw = sin θw và cw = cos θw . Z và Z 0 tương đương với Z 1 và Z 2 trong [46]. Bởi vì
u  v  w nên ta có
m2Z 0 =

2.2.3

4c2W
m2Y − m2W .
2
3 − 4sW

(2.33)

Dòng mang điện

Tương tác của boson mang điện và fermion có thể viết dưới dạng:


g
µ−
H CC = √ JW
Wµ+ + JYµ− Yµ+ + JXµ0∗ Xµ0 + h.c.
2

(2.34)

Trong đó phần được sử dụng trong luận án này là:
1
[cθ ν i γ µ (1 − γ5 )ei + sθ ν ci γ µ (1 − γ5 )ei ] ,
2
1
= [cθ ν ci γ µ (1 − γ5 )ei − sθ ν i γ µ (1 − γ5 )ei ] .
2
(2.35)

µ−

JW
= cθ ν iL γ µ eiL + sθ ν ciL γ µ eiL =

JYµ− = cθ ν ciL γ µ eiL − sθ ν iL γ µ eiL

X 0 boson không tương tác với lepton mang điện nên khơng cho đóng góp vào aµ .
Giới hạn của u  v, w có nghĩa là θ ' 0 với tan θ ≡ u/w do đó dịng tương tác của W
boson với neutrino và đóng góp của dịng này tương tự như mơ hình chuẩn. Phần
đóng góp chính của Y ± boson vào aµ có tương tác với neutrino ν c trong mơ hình mở
rộng . Chi tiết sẽ được đề cập ở phần sau.