Các dạng bài tập toán lớp 7 bài (3)

DẠNG 3: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
I. LÝ THUYẾT:
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm
0 trên trục số.

 x khi x  0
x 
 x khi x  0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 3.1: Tính tốn các số hữu tỉ có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Phương pháp giải:
- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:

 x khi x  0
x 
 x khi x  0
- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

x  : x  0; x  x ; x  x.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính:
2 5 3
 :
.
5
4 4
Giải:
2 5 3 2 5 3 2 5 4
 :   :   .
5 4 4 5 4 4 5 4 3
2 5 6 25 19

   

.
5 3 15 15 15
Dạng 3.2: Tìm một số chưa biết trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Phương pháp giải:
- Áp dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
- Quy tắc chuyển vế.
- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

x  : x  0; x  x ; x  x.
2. Ví dụ minh họa:


Ví dụ 2: Tìm x, biết:
2
a) x 
5
2 6
b) x  
7 7

2
13 3
 x

5
10 2
Giải:
2

2
2
a) x   x  hoặc x 
5
5
5
c)

Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 

2
2
hoặc x  .
5
5

2 6

7 7
Cách 1: (Căn cứ vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối)
2
2
2
2
- Nếu x   0 , tức là x  thì x   x 
7
7
7
7
b) x 

2 6

7 7
6 2
x 
7 7
8
2
x  (thỏa mãn điều kiện x  )
7
7
2
2 2
2
2

- Nếu x   0 , tức là x  thì x     x     x
7
7
7
7 7

Khi đó, ta có: x 

Khi đó, ta có:

2
6
x

7
7
2 6
x 
7 7
4
2
x
(thỏa mãn điều kiện x  )
7
7


Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài tốn là x 

8
4
hoặc x  .
7
7

Cách 2: (Căn cứ vào tính chất |x| = |–x|).
2 6
2 6
2 6
(1) hoặc x  
(2)
x 
suy ra: x  
7 7

7 7
7 7

2 6 2 8
   .
7 7 7 7
6 2 4
  .
Từ (2) ta có: x 
7 7 7
Từ (1) ta có: x 

Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 
c)

8
4
hoặc x  .
7
7

2
13 3
 x

5
10 2
x

13 3 2

 
10 2 5

x

13 11

10 10

13 11
13 11

(1) hoặc x  
(2)
10 10
10 10
11 13 12
Từ (1) ta có: x    .
10 10 5
13 11 13 1
  .
Từ (2) ta có: x  
10 10 10 5
12
1
Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài tốn là x 
hoặc x  .
5
5
Dạng 3.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có chứa giá trị

tuyệt đối.
1. Phương pháp giải:
Cho biểu thức A thì |A|  0, với m là hằng số, ta có:
+ Giá trị nhỏ nhất của |A| + m ≥ m.
+ Giá trị lớn nhất của –|A| + m ≤ m.
2. Ví dụ minh họa:
Suy ra: x 


Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
A x 4
3
Giải:
Vì x 

1
≥ 0 x
3

1
 4 ≥ 0 + 4 x
3
Do đó A ≥ 4 x
Suy ra x 

1
1
= 0, nghĩa là x = .
3

3
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 5,5 – |2x – 1,5|
Giải:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x 

Vì |2x – 1,5| ≥ 0 x
 –|2x – 1,5| ≤ 0 x
 –|2x – 1,5| + 5,5 ≤ 5,5 x

 5,5 – |2x – 1,5| ≤ 5,5 x

Suy ra B ≤ 5,5 x
Vậy giá trị lớn nhất của B là 5,5 khi |2x – 1,5|= 0, nghĩa là 2x – 1,5 = 0 hay x = 0,75.
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng:
a) |–10,5| = 10,5;
b) –0,75| = –0,75;
c) |–15,25| = – (–15,25).
Bài 2: Tính:
5 3 6
  ;
a)
14 7 5

2
1 3
;
b)   1 
5

6 10


3 1 16
 : .
8
4 3
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau với: |a| = 1,5; b = –0,5.
a) A = a + b;
b) B = 2a – |3b|.
Bài 4: Tìm x, biết:
5
6
3
a)   x :   ;
14
11
7
c) 

1
b) x  ;
5
4
c) x 
5
Bài 5: Tìm x, biết:
2 1
a) x  
5 4

b) x 

2 1 1
 
5 3 3

c) 2. x  3,5 

1
2

Bài 6: Tính giá trị biểu thức: A = 2x2 – 5x + 1 biết |x| =
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = |3,7 – x| + 2,5
b) B = |x + 1,5| – 4,5
Bài 8: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
a) M  2  x 
3

2
 2021
5
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức:
b) N   x 


3,2 6,63 
P   2,4  5,2  4,5 . 9,3 


4
2 

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1
3


A = |x – 100| + |x – 400|
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
a) Đúng (Vì –10,5 < 0 nên |–10,5| = –(–10,5) = 10,5).
b) Sai (vì |–0,75| = – (–0,75) = 0,75);
c) Đúng (vì |–15,25| = 15,25 = – (–15,25)).
Bài 2: (Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi tính tốn như bình thường).
5 3 6 5 3 6 79
      ;
a)
14 7 5 14 7 5 70

2
1 3
2 7 3 7
    ;
b)   1 
5
6 10
5 6 10 15

3 1 16
3 1 3 21
 :   . 
.
8
4 3
8 4 16 64
Bài 3:
a) Với a = 1,5; b = –0,5  A = a + b = 1
c) 

Với a = –1,5; b = –0,5  A = a + b = –2
b) Với a = 1,5; b = –0,5  B = 2a – |3b| = 1,5
Với a = –1,5; b = –0,5  B = 2a – |3b| = – 4,5
Bài 4:
5
6
3
a)   x :  
14
11
7

5
11
3
 x.  
14
6
7

11 11
x. 
6 14
3
x
7
1
1
b) x   x   .
5
5


4
4
4
 x   x
5
5
5
Bài 5: Tìm x, biết:
2 1
2
1
 13 3 
a) x    x     x   ; 
5 4
5
4
 20 20 

c) x 

b) x 

2 1 1
2 2
2
2
 16 4 
   x    x     x
; 
5 3 3
5 3
5
3
 15 15 

1
 x  3,5  0,25  x  3,5  0,25  x 3,75;3,25
2
1
1
Bài 6: |x| =  x  
3
3
2
1
1
2 5
4

1
Với x   A  2.   5.  1    1 
.
3
3
9 3
9
3
c) 2. x  3,5 

1
2 5
8 26
 1 
 1
Với x 
 A  2.   5.    1    1  2 
3
9 3
9 9
 3
 3
Bài 7: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

a) A = |3,7 – x| + 2,5 ≥ 2,5. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 3,7
b) B = |x + 1,5| – 4,5 ≥ – 4,5. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = –1,5
Bài 8: Giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) M  2  x 

2
2
≤ 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =
3
3

2
2
 2021 ≤ 2021. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =
5
5
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức:
b) N   x 


3,2 6,63 
P   2,4  5,2  4,5 . 9,3 

4
2 

3,2 6,63 

  2,4  5,2  4,5   9,3 


4
2 

 1,7.11,815  20,0855

Bài 10:



 x  100  x  100
Ta có: 

 x  400  400  x  400  x
A = |x – 100| + |x – 400| = |x – 100| + |400 – x|
≥ | x – 100 + 400 – x| = 300.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

x  100  0
 x  100  x  100

 100  x  400

400

x

0
400

x

400

x




Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 300 khi và chỉ khi 100 ≤ x ≤ 400.